Gorbachev_OsnoviTeoriiSluchajProtces[1]

o o

Rxx ′(t1 , t2 ) = M X (t1 ) X '(t2 ) =

= ∂RX (t1 , t2 ) ;

∂t2

(читатель может убедиться в справедливости этого результата самостоятельно).

Интеграл от случайного процесса в среднем квадратичном. Понятие интеграла в среднем квадратичном от случайного процесса X (t) (стохастического интеграла в среднем квадратичном)

формируется следующим образом.

Пусть X (t ) – ограниченный случайный процесс, определенный на интервале значений аргумента t T = [ 0 , θ ) , и на этом же интервале задана неслучайная функция g ( t ) . Разобьем интервал [0,θ)

на n непересекающихся отрезков [0, θ) = Un [ti−1, ti ) и образуем сумму (случайную величину):

i=1
n
S n = ∑ g ( ti′) X ( ti′) ti ,	(1.31)
i =1
где t i = t i − t i −1 , t i′ [ t i −1 , t i ).
Определение 1.12. Интегралом Римана от случайного процесса второго порядка	X (t) в среднем

квадратичном (стохастическим интегралом Римана в среднем квадратичном) с функцией g(t) на интервале [0,θ) называется предел в с.к.

			n
J = l.i.m Sn = l.i.m			∑ g (ti′) X (ti′)	ti ,	(1.32)
n → ∞	sup t	→0	i =1
	i
если он существует и одинаков при любом разбиении [0,θ) на непересекающиеся полуинтервалы.
Примем обозначение
J(θ) = ∫θ	g (t ) X (t )dt .				(1.33)
0
Определение 1.13. Если для случайного	процесса	X (t) существует		интеграл	J(θ) в смысле

определения 1.12, то процесс называется интегрируемым на интервале [0,θ) в среднем квадратичном (в смысле Римана).

Докажем следующую теорему.

Теорема1.3. Необходимым и достаточным условием интегрируемости случайного процесса второго порядка X (t) в смысле существования предела (1.32) с ограниченным моментом второго

порядка ( M J (θ) 2 < ∞ ) является существование конечного интеграла

Q (θ) = ∫θ	∫θ	g ( t1 ) g (t2 ) K (t1 , t2 )dt1 , dt 2 <∞.	(1.34)
0	0

Рассмотрим две суммы Sm и Sn вида, определенного в (1.31), с произвольными независимыми разбиениями интервала [0, θ).

Если существует интеграл (1.34), то существует предел

lim Qmn			= lim MSm Sn =
m,n→∞			m,n→∞
		m	n
= lim		∑∑g(ti )g(t j )MX (ti ) X (t j ) ti t j = c,				c		< ∞.
m,n→∞		i=1 j=1
(sup	ti , sup t j			→ 0)
Одновременно с этим,	согласно			с.к.		= J(θ) ,			M J(θ)	2	< ∞
				лемме 1.3б, Sm → S

(достаточность).

Обратно, пусть{Sk} – семейство сумм вида (1.31) для различных k и способов разбиения [0, θ). Если любые последовательности из {Sk} сходятся в среднем квадратичном к J(θ) и M J(θ)2 < ∞ , то, по лемме 1.3а, при m , n → ∞ MS m S n → M J( θ) 2 < ∞ , | Q | < ∞ , что означает существование

интеграла (1.32).

Условие (1.34) существования интеграла (1.32) может быть заменено условием существования

21

ограниченных интегралов

m0 = ∫θ g (t )m X (t )dt

0

и Q0 = ∫θ ∫θ g (t1 ) g (t2 ) R X (t1 , t2 )dt1dt 2 .

0

0

Справедливы следующие полезные равенства:

θ

MJ(θ) = M

l.i.m S

= lim

MS

(t)dt ;

(1.35)

m

n

= ∫ g(t)m

X

m → ∞

n → ∞

0

MJ(θ)2= M l.i.mS l.i.m MS

= lim

MS S

n

=Q(θ);

(1.36)

m

n

m,n→∞

m

o

DJ = M I( θ)2 = Q −[MJ]2 = Q0.

(1.37)

При θ = const J (θ) есть случайная величина. Если θ = t = var, то J = J(t) – случайный процесс:

t

J(t) = ∫g(t′) X (t′)dt′.

0

Найдем математическое ожидание и корреляционную функцию этого случайного процесса:

						t
		MJ(t) = lim	MS		(t) =	∫	′		′ ′	(1.38)
				m			g(t )m	x	(t )dt ;
		m→∞
						0
o	o	o		o
R J (t1 , t2 ) = M J(t1 ) J(t2 ) =		lim M S m (t1 ) S n (t2 )					=
		m,n→∞

=

(здесь t1(i)

		m n	o
m,n→lim∞		∑∑g(t1(i) )g(t2( j ) )M X (t1(i) )
( t ( i ) ,	t ( j ) →0)	i=1 j =1
1	2

и t2( j) – точки деления интервалов [0, t1)

o	t1	t2	(1.39)
X (t2( j ) ) t1(i)	t2( j ) =∫∫g(t)g(s)Rx (t, s)dt, ds;
	0	0

и [0, t2)).

Читателю предлагается убедиться в справедливости формулы для взаимной корреляционной

функции X(t) и Y ( t ) = I(	t ) =	t	(при g(t) ≡ 1):
		∫ X ( t ) dt
		0
			t2
			Rxy (t1 ,t2 ) = ∫Rx (t1 ,t2′ )dt2′ .
			0

Наряду с интегралом вида (1.33) нас будет интересовать стохастический интеграл РиманаСтилтьеса. Рассмотрим (при прежних обозначениях) сумму вида

n

S* = ∑g(t′)[X (t′) − X (t′− )].

n i i i 1 i=1

Определение 1.14. Интегралом Римана-Стилтьеса от случайного процесса второго порядка X (t) в среднем квадратичном (стохастическим интегралом Римана-Стилтьеса в среднем

квадратичном) с функцией g(t) на интервале [0,θ) называется предел

J•(θ) = l.i.mSn*,	(1.40)
n→∞

если он существует и одинаков при любом разбиении интервала [0,θ) на непересекающиеся отрезки:

[0, θ) = Un	[ ti−1 , ti ). .
i=1
Стохастический интеграл Римана-Стилтьеса обозначается
	J*(θ) = θ∫ g(t)dX (t) .	(1.41)
	0
Без доказательства приведем следующую теорему.

22

Теорема 1.4. Необходимым и достаточным условием интегрируемости на интервале [0,θ) случайного процесса второго порядка X(t) в смысле существования (1.40) с M ( J* (θ))2 < ∞ является существование конечного интеграла Римана-Стилтьеса:

θ θ
Q* = ∫∫g(t1 )g(t2 )dt1t2	K(t1 , t2 ) < ∞.		(1.42)
0 0
Если это условие выполняется при любом θ = t, то	J*(t) = ∫t	g(t′)dX (t′) = J*(t)	– случайный
	0

процесс второго порядка.

§1.6. Стационарность и эргодичность случайных процессов. Спектральное представление случайных процессов.

§1.6.1.Стационарность случайных процессов.

При определении случайного процесса на его конечномерные распределения не налагалось каких-либо условий, определяющих их неизменность при текущем изменении аргумента (времени). Другими словами, не исключалось, что не только значения самого случайного процесса, но и его функции распределения изменяются с течением времени.

При моделировании реальных процессов можно, однако, нередко полагать, что описывающие их случайные процессы обладают, в той или иной степени, стохастической стационарностью. Ниже рассматриваются классы случайных процессов, обладающих таким свойством.

Определение 1.15. Случайный процесс X(t) называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если все его конечномерные распределения не изменяются при эквидистантном изменении аргументов t1, … tn, т.е. если

n,t1,..., tn ,η: F(u1,t1,..., un ,tn ) = F(u1,t1 +η,..., un ,tn +η).

(1.43)

Из этого определения следует, что моментные функции строго стационарных процессов второго

порядка обладают следующими свойствами:
t, η: mX (t) = mX (t + η) = mX = const ;	(1.44)
DX (t) = DX (t + η) = DX = const ;	(1.45)

t1 , t2 , η: RX (t1 , t2 ) = RX (t1 + η, t2 + η),

или, принимая η= – t1,
RX (t1, t2 ) = RX (t2	− t1 ) = RX (τ) ,	(1.46)
(τ = t2 − t1 ).

Класс случайных процессов, рассматриваемых как стационарные, можно расширить, если ограничить условия стационарности равенствами (1.44) ÷ (1.46).

Определение1.16. Случайный процесс X(t) называется стационарным (или стационарным в широком смысле), если его моментные функции mx (t), Dx (t) и Rx (t1, t2 ) удовлетворяют (1.44) ÷

(1.46).

Ясно, что строго стационарные процессы являются одновременно стационарными. Обратное в общем случае утверждать нельзя. Однако в тех (практически частых) случаях, когда моментные функции первого и второго порядка вполне определяют все конечномерные распределения с.п., образующие семейство SX, оба типа стационарности существуют (или не существуют) одновременно.

Примером может служить класс нормальных (гауссовских) случайных процессов , (см. Главу 2), у

которых каждый конечный набор сечений представляет собой случайный вектор с нормальным распределением. Что это действительно так, читатель может проверить самостоятельно.

Свойства корреляционной функции вещественного случайного процесса, приведенные в §1.3, для стационарного процесса очевидным образом принимают вид

1.RX (0) = DX ≥ 0 ;

2.RX (τ) = RX (−τ) ;

3.

R

X

(τ)

≤ D

X

; r (τ) =

RX (τ)

,

r (τ)

≤1 ;

X

DX

X

23

	n
4.	zr, n, t1, ..., tn ; ∑RX (ti − t j )zi z j	≥ 0 .
	i, j=1
5.	Непрерывность RX (τ) при τ = 0 влечет за собой непрерывность RX (τ) для всех τ .

Понятие стационарности распространяется на корреляционную связь стационарных случайных процессов следующим образом:

Определение 1.17. Два стационарных процесса X(t) и Y(t) называются взаимно стационарными (в широком смысле), если выполняется условие

Rxy (t1 , t2 ) = Rxy (t2 − t1 ) = Rxy (τ) .

1.6.2. Эргодичность случайных процессов.

Обратимся теперь к понятию эргодичности случайных процессов второго порядка.

Из определений математического ожидания и корреляционной функции случайного процесса ((1.6) и (1.8)) следует, что для их вычисления теоретически следует знать двумерные распределения случайного процесса, а практически –- иметь множество реализаций процесса, позволяющее вычислить оценки этих функций для различных значений аргумента (методы получения таких оценок рассматриваются в курсе математической статистики). На практике, однако, нередко нет возможности получать достаточное число таких реализаций; более того, часто в распоряжении исследователя имеется всего одна реализация процесса. Возникает вопрос, нельзя ли получить моментные функции процесса (вернее – их оценки) по такой единственной реализации.

Пусть X(t) – стационарный интегрируемый (в соответствии с теоремой 1.3)случайный процесс. Определим интеграл в среднем квадратичном

	X θ	=		1	∫θ X ( t )dt	(1.47)
			θ
					0

как среднее значение случайного процесса по аргументу на интервале (0, θ). Величина Х θ – случайная величина, реализациями которой являются неслучайные величины

			1	θ
	x θ	=		∫x( t )dt ,	(1.48)
			θ
				0

где х(t) – реализация случайного процесса X(t). Заметим, что

M X θ = mx .

(1.49)

Допустим теперь, что при θ → ∞ предел Х θ в среднем квадратичном равен mx, т.е.

X θ с.к.→mx ;

тогда говорят, что рассматриваемый процесс обладает свойством эргодичности в среднем квадратичном по математическому ожиданию.

Подытожим сказанное в виде определения:

Определение 1.17. Стационарный случайный процесс X(t) эргодичен в среднем квадратичном по математическому ожиданию, если его среднее значение по аргументу Х θ сходится при θ → ∞ в среднем квадратичном к значению математического ожидания MX (t) = mx .

Ясно, что из эргодичности случайного процесса в среднем квадратичном следует его эргодичность и по вероятности, т.е.

X θ вер→mx .

Итак, эргодичность случайного процесса по математическому ожиданию позволяет использовать в качестве оценки этого параметра процесса величину х θ, определенную согласно (1.48) для достаточно длинной реализации случайного процесса x(t).

Условие эргодичности случайного процесса по математическому ожиданию содержится в следующей теореме.

Теорема 1.5. Необходимым и достаточным условием эргодичности в среднем квадратичном по математическому ожиданию стационарного случайного процесса второго порядка является существование предела

θ→∞	θ2	∫∫0 0
lim	1	θ θ	R	x	(t ,t	2	)dt dt	2	= 0.	(1.50)
					1		1

24

Действительно, (1.50) равносильно равенству

1 θ θ

limθ→∞ θ2 ∫∫0 0 K (t1 ,t2 )dt1dt2 = mx2 < ∞,

которое необходимо и достаточно для существования Х θ как интеграла в среднем квадратичном (1.48). Из рассмотренных выше свойств интеграла в среднем квадратичном следует, что

	M X θ2 = Qθ =			1	θ θ
					∫∫K( t1 ,t2 )dt1dt2
				θ2
	и		0			0
		2
	lim X		= lim Q				θ	= m2	,
	θ→∞	θ		θ→∞				x

т.е., с учетом (1.49),

lim M ( X θ − mx )2 = 0 ,

θ→∞

что и требовалось доказать.

Можно показать (это читатель может проделать в виде упражнения), что достаточным условием для выполнения (2.56) и, следовательно, для эргодичности в среднем квадратичном по математическому ожиданию стационарного случайного процесса второго порядка является существование предела

lim Rx (τ) = 0 .	(1.51)
τ→∞

Распространение понятия эргодичности случайного процесса на эргодичность по дисперсии и по корреляционной функции, а также нахождение соответствующих условий типа (1.50) осуществляется естественным образом, если заметить, что эргодичность X(t) по дисперсии означает эргодичность

0 2

случайного процесса Y (t) = X (t) по математическому ожиданию, а эргодичность X(t) по корреляционной функции есть эргодичность по математическому ожиданию случайного процесса от

o o

двух аргументов (случайного поля) Z(t1,t2 ) = X (t1 ) X (t2 ) .

1.6.3. Спектральное представление случайного процесса.Нередко возникает необходимость спектрального представления случайного процесса. Такая задача возникает, например, при изучении результатов преобразования случайных сигналов системами, обладающими определенными частотными характеристиками.

Не приводя детальных доказательств основных положений спектральной теории и выдвигая на первый план ее физическое содержание, наметим пути использования аппарата преобразования Фурье применительно к случайным процессам. Для этого, однако, необходимо привести ряд новых определений и фактов из теории случайных процессов.

До сих пор нами рассматривались вещественные случайные процессы. Вместе с тем, при описании спектральных свойств случайных процессов будут полезны их комплекснозначные представления.

Определение 1.8. Комплекснозначным (комплексным) случайным процессом называется процесс

Z (t) = X (t) +iY (t) , реализации которого представляют собой		неслучайные комплексные функции
z(t) = x(t) + iy(t) , где i – мнимая единица, x(t)	и y(t) –	реализации скалярных вещественных

случайных процессов X(t) и Y(t), определенных на одном вероятностном пространстве.

Ясно, что задание комплексного случайного процесса равносильно заданию двухмерного случайного процесса Z (t) = ( X (t),Y (t)) .

Для комплексного случайного процесса понятие корреляционной функции требует обобщения. Определение 1.19. Корреляционная функция комплексного случайного процесса

Z (t) = X (t) +iY (r) определяется равенством:

o o o o o o

RZ (t1, t2 ) = M Z (t1 )Z (t2 ) = M ( X (t1 ) + i Y (t1 )( X (t2 ) − i Y (t2 )) = = RX (t1, t2 ) + RY (t1, t2 ) − i [RXY (t1, t2 ) − RYX (t1, t2 )].

Свойства корреляционной функции RZ (t1 ,t2 ) имеют более общий вид, чем (1.13) ÷ (1.15). В частности, (1.14) заменяется равенством

RZ (t1, t2 ) =

RZ (t2 , t1 )

,

(1.52)

25

а (1.15) принимает вид

r	n	n	(1.53)
w,t1, ..., tn ;	∑∑RZ (ti ,t j )wi wj ≥ 0 ,
r	i=1 j=1
где w – неслучайный комплексный вектор.
Введем определения для двух типов случайных процессов, часто используемых в приложениях.
Определение 1.20. Пусть V(l) – случайный процесс с аргументом l L.
а) Случайный процесс V(l) носит название		процесса с независимыми приращениями, если
случайные величины V (l2 ) −V (l1 ) и V (l4 ) −V (l3 ) независимы при l1 < l2 < l3 < l4.
б) Центрированный случайный процесс V(l) носит название			процесса с ортогональными
приращениями, если случайные величины V (l2 ) −V (l1 ) и V (l4 ) −V (l3 )			некоррелированы при l1 < l2 <

l3 < l4.

Приведем без доказательства следующую теорему о спектральном представлении стационарного случайного процесса с непрерывным аргументом.

Теорема 1.6. Всякому (вещественному или комплексному) стационарному случайному процессу с непрерывным аргументом X(t) соответствует случайный (вообще говоря – комплексный) процесс с ортогональными приращениями V(ν) такой, что c вероятностью единица выполняется равенство

X (t) = mx (t) + ∞∫eiνt dV (ν) ,	(1.54)
−∞
,т.е множество A Ω, определенное условием A ={ω: t, X (t) = mx (t) + ∞∫eiωt dV(ω)} ,	имеет
−∞
вероятностную меру, равную единице: P(A)=1..

Выражение (1.54) представляет X(t) как континуальную сумму элементарных гармонических составляющих dV (ν)eiνt , где dV (ν) – амплитуда элементарной гармонической составляющей eiνt с

угловой частотой ν.

Интеграл в (1.54) является несобственным стохастическим интегралом Римана-Стилтьеса, т.е. пределом при a → −∞, b → ∞ предела в среднем квадратичном интегральной суммы

Sn(a

b

,b)

= ∑eiνjt [V (νj ) −V (νj−1 )] .

νj =a

Используя свойства процесса V(ν) и приведенные выше леммы о сходимости в среднем

квадратичном, нетрудно получить

∞

o

o

∫eiνt M | dV (ν) |2 ;

Rx (t1 ,t2 ) = M X (t1 ) X (t2 ) = Rx (τ) =

−∞

последний интеграл следует понимать как предел в среднем квадратичном интегральной суммы

lim

lim

b

eiνjt M[V(ν

) −V(ν

)][

.

(1.55)

j

j−1

V(ν

j

) −V(ν

j−1

)]

a→−∞

sup ν →0

∑

b→∞

i

νj =a

Величина M | dV (ν) |2 имеет смысл среднего значения квадрата модуля амплитуды элементарной

гармонической составляющей и в электрофизических приложениях пропорциональна доли мощности сигнала, вносимой этой составляющей.

Рассмотрим величину s(ν), равную (с точностью до постоянного коэффициента) пределу отношения средней мощности P(ν), вносимой гармоническими составляющими с частотами в

интервале (ν,ν+ Δν) (т.е. P(ν) ~ M | V (ν) |2 ), к ширине этого интервала
s(ν) = lim	P(ν) .
ω→0	ν
Если s(ν) существует, то
M | dV (ν) |2 = s(ν)dν ,
R(τ) = ∞∫eiντs(ν)dν .		(1.56)
−∞

Последний результат, полученный из физических соображений, позволяет искать условия, при которых корреляционная функция представима в виде (1.56). Ответ на этот вопрос содержится в

26

следующей теореме.

Теорема 2.7. (Хинчин). Для того, чтобы непрерывная функция R(τ) являлась корреляционной функцией некоторого стационарного непрерывного (в среднем квадратичном) процесса X(t), необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде

R(τ) = ∞∫eiντdS(ν) ,	(1.57)
−∞

где S(ν) – неотрицательная монотонно неубывающая ограниченная непрерывная слева функция.

Эта теорема непосредственно следует из теоремы Бохнера, согласно которой всякая непрерывная функция R(ν) является неотрицательно определенной, тогда и только тогда, когда она представима в виде (1.57). К этому следует лишь добавить, что корреляционная функция непрерывного в среднем квадратичном случайного процесса непрерывна и что неотрицательная определенность является характеристическим свойством корреляционной функции.

Функция S(ν) называется спектральной функцией. Если она абсолютно непрерывна, т.е. существует интегрируемая функция s(ν), такая, что

ν	~ ~
ν; S(ν) = ∫s(ν)dν ,
−∞

то приходим к (1.56): R(τ) = ∞∫eiντs(ν)dν, где s(ν) – спектральная плотность случайного процесса,

−∞

физический смысл которой разъяснен выше.

Выражение (1.56) есть интегральное преобразование Фурье функции s(ν). Обратное преобразование Фурье

s(ν) =	1	∞∫e−iντR(τ)dτ	(1.58)
	2π −∞

позволяет вычислить спектральную плотность случайного процесса по его корреляционной функции. Для вещественного случайного процесса формула (1.58) ввиду четности R(τ) приводится к виду

s(ν) =		1	∞∫R(τ) cos ντdτ.	(1.59)
		π
			0
В этом случае s(ν) есть четная функция ν и
R(τ) = 2∞∫s(ν) cos ντdν.				(1.60)
	0

Выясним, как преобразуется спектральная плотность стационарного процесса X(t) в результате его дифференцирования (при существовании его производной в среднем квадратичном X′(t)).

Корреляционная функция случайного процесса X(t) равна

RX (τ) = ∞∫eiντsX (ν)dν.

−∞

В результате формального двукратного дифференцирования этого равенства по τ получим

соотношение
	∂2 RX (τ)	= −	∞	ν2eiντsX (ν)dν,	(1.61)
	∂τ2		∫
			−∞

которое справедливо, если допустимо выполненное дифференцирование под знаком интеграла, т.е. выполняется условие

∞∫ν2 sX (ν)dν < ∞ ,

−∞

где интеграл представляет собой т.н. спектральный момент второго порядка, который мы полагаем существующим и ограниченным.

Переходя к производной X′(t), напомним, что она является стационарным случайным процессом с корреляционной функцией

	RX ′(τ) = −	∂2 RX (τ)	=	∞ eiντsX ′(ν)dν.	(1.62)
		∂τ2
				∫
				−∞

Сравнивая (1.61) и (1.62), для спектральной плотности производной X′(t) случайного процесса X(t)

27

получаем (ввиду единственности представления функции интегралом Фурье) sX ′(ν) = ν2 sX (ν) .

Когда существует ограниченный спектральный момент 2k-го порядка
				∞∫ν2k sX (ν)dν				< ∞ ,		(1.63)
				−∞
для спектральной плотности sX ( k ) (ν) производной k-го порядка X(k) по индукции получим
	s	X	( k ) ( ν ) = ν2k s		X	( ν ) .

Типичное применение спектрального представления случайного процесса при изучении прохождения случайных сигналов через каналы связи и управления состоит в следующем. Для

входного случайного сигнала	X вх (t)	с известной корреляционной	функцией	вычисляется
спектральная плотность sвх (ν) ,	которая преобразуется в линейной системе с известной частотной
характеристикой W(ν) согласно равенству
		sвых(ν) =| W (ν) |2 sвх(ν) .		(1.64)
Найденная спектральная	плотность	выходного сигнала sвых (ν)	позволяет	определить
корреляционную функцию выходного сигнала X вых (t) по формуле (1.56).

Покажем, в общих чертах, как решается подобная задача на примере анализа результата преобразования случайного процесса линейным дифференциальным оператором.

Пусть X(t) – стационарный центрированный входной процесс (сигнал), поступающий на вход системы, описываемой линейным дифференциальным оператором m-го порядка, Y(t) – выходной случайный процесс, связанный, следовательно, с входным процессом равенством

m	d	j	Xj(t)
Y (t) = ∑bj				+ b0 X (t),	(1.65)
j=1		dt

bj (j = 0,1,…, m) – постоянные неслучайные коэффициенты; корреляционная функция RX(τ) и

спектральная	плотность sX(ν) процесса X(t)			существуют и известны. Предполагается также, что
производные	входного процесса	d j X (t)	= X	( j)	(t)	в среднем квадратичном существуют. Следует
		dt j

найти корреляционную функцию RY(τ) и спектральную плотность sY(ν) выходного процесса Y(t). Прежде всего укажем, что процесс Y(t) стационарен. Этот факт легко устанавливается прямым

вычислением корреляционной функции RY(t1,t2) при учете стационарности производных X(j)(t) и их взаимной стационарности. В силу этого и ввиду теоремы 1.6 процесс Y(t) можно представить в виде

Y (t) = ∞∫eiνt dVY (ν)	(1.66)
−∞

(заметим, что из центрированности процесса X(t) следует центрированность процесса Y(t), т.е. mY(t) =0). Для спектральной плотности sY процесса Y(t) имеет место соотношение

M | dV (ν) |2	= s (ν)dν .	(1.67)
Y	Y

Предположим теперь, что существуют ограниченные спектральные моменты (1.63) до порядка 2m включительно. Тогда, отправляясь от равенства

X (t) = ∞∫eiνt dVX (ν)

−∞

и используя допустимость (при указанном предположении) дифференцирования по параметру t под знаком интеграла, можно получить систему равенств

X (k ) (t) = ∞∫(iν)k eiνt dVX (ν), k =1, m ,

−∞

которая приводит к соотношению

m	d	j	X (t)		∞	m
Y (t) = ∑bj				+b0 X (t) =	∫	∑bj (iν)e j iνt dVX (ν).	(1.68)
			j
j=1		dt			−∞ j=0

Сопоставляя (1.66), (1.67) и (1.68), а также в виду равенства

M | dVX (ν) |2 = sX (ν)dν

28

для спектральной плотности выходного процесса получаем

	m		2
sY (ν) =	∑bj (iν )j		sX (ν) .
	j=0

Полученная плотность распределения sY(t) согласно (1.56) однозначно определяет корреляционную функцию выходного процесса RY(τ). Вместе с тем, когда входной процесс X(t) имеет нормальное распределение (см. §2.7), при его линейном преобразовании тип распределения сохраняется и функция RY(τ) полностью описывает свойства выходного (центрированного) процесса

Y(t).

Остановимся вкратце на одном типе случайного процесса, который, строго говоря, не относится к процессам второго порядка, но играет важную роль в корреляционной теории.

Корреляционная функция случайного процесса характеризует собой корреляционную связь между сечениями процесса. По мере снижения этой связи значение |R(τ)| при данном τ уменьшается. Представляет интерес предельная модель стационарного случайного процесса, у которого корреляционная связь между любой парой несовпадающих сечений отсутствует, т.е.

0, если τ ≠ 0; R(τ) = c ≠ 0, если τ = 0.

Нетрудно убедиться, что при c < ∞ спектральная плотность s(ν) тождественно равна нулю, что делает процесс не имеющим физического смысла, так как он не может быть обнаружен прибором с конечной полосой пропускания частот. Поэтому определим корреляционную функцию рассматриваемого процесса с помощью дельта-функции Дирака:

где 0 < c0 < ∞ . Теперь получим		Rx (τ) = c0δ(τ) ,
s(ν) =	c0	∞∫δ(τ)e−iντ =	c0	= const ,
	2π −∞		2π

что означает равномерное распределение средней мощности случайного процесса по всем частотам спектра.

Такая идеализированная модель случайного процесса носит название «белого шума». Она широко используется в прикладных задачах теории случайных процессов (например, как модель шумовой составляющей случайного сигнала).

29

Г Л А В А 2

НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

В этой главе описываются свойства ряда конкретных типов случайных процессов, которые часто используются в стохастических моделях, предназначенных для вероятностного анализа реальных явлений, развивающихся во времени и в пространстве.

При этом основное внимание (§2.1 – §2.6) будет уделено важным для практики точечным случайным процессам. Про-

цессы этого типа описывают потоки событий, т.е. последовательности событий, возникающих в случайные моменты времени. Значение точечного процесса X(t) в момент времени t представляет собой, обычно, число событий, произошедших в интервале времени [0,t), или их суммарный «вес» (если события обладают индивидуальным весом, выражающим приносимый ими эффект).

§2.1 Простой пуассоновский процесс (простейший поток событий).

Рассмотрим точечный процесс K(t), выражающий число событий, произошедших в случайные моменты времени в интервале времени [0,t). Предположим, что этот процесс

удовлетворяет следующим трем условиям.
Условие 2.1. Стационарность: вероятность Pt,t+τ (k)		по-
явления ровно k событий в интервале времени [t,	t + τ)	не
зависит от t, т.е. от его положения на оси времени:
τ,t [0,∞) Pt,t+τ (k) = Pτ (k), k = 0, 1, 2, ..	. (2.1)

(заметим, что здесь определение стационарности процесса отличается от принятого в Главе 1. Этот вопрос мы обсудим ниже).

30