ІПЗ.pdf

71

відповіді і виконаєте подвійне натиснення мишею. При цьому відкриється вкладка Number Format (Формат числа) вікна Result Format (Формат результату). У віконці параметра Number of decimal places (Кількість

десяткових позицій) даної вкладки визначте з точністю до якого знаку після коми повинен бути відображений результат.

У Mathcad існує декілька форматів чисельного результату, серед яких:

•General (Основний). Формат, вибраний за умовчанням.

•Decimal (Десятковий). Результат відображається тільки у вигляді десяткового дробу. Десяткова частина числа визначеється

параметром Number of decimal places (Кількість десяткових позицій). Приклад представлення результата в десятковому форматі:

•Scientific (Науковий). Число відображається тільки із степенем так, щоб ціла частина мантиси складалася з одного символу. Кількість десяткових знаків і відображення незначущих нулів результату визначається користувачем. Крім того, існує можливість представлення числа в технічному форматі (параметр Show exponents as E±000 (Показувати показник ступеня як Е±000)). Приклад представлення результата в науковому форматі:

•Engineering (Інженерний). Формат дуже близький до наукового. Єдиною відмінністю є те, що порядок числа повинен бути обов'язково кратний трьом.

Чисельний результат може бути відображений не тільки в десятковій, але і в двійковій, вісімковій і шістнадцятковій системах числення. Для зміни системи числення слід двічі натиснути мишею на результаті обчислення. При цьому з'явиться вікно Result Format (Формат результату), в якому слід перейти на вкладку Display Options (Параметри відображення) і вибрати потрібну систему числення в списку Radix. Щоб числа в різних системах числення можна було відрізнити, в кінець двійкового числа додається буква «b», вісімкового — «о», шістнадцятькового — «h».

6.2. Розв‘язок лінійних та нелінійних алгебраїчних рівнянь, систем рівнянь (СЛАР) та нерівностей

У Mathcad реалізовано три принципово різних підходу до розв’язку рівнянь: використання символьних перетворень за допомогою оператора solve або блоку розв’язку, застосування чисельних алгоритмів і графічний метод. Окрім цього в деяких випадках корені можливо отримати по формулі Крамера.

6.2.1. Аналітічній розв‘язок систем алгебраічних рівнянь

Нижче наведений приклад розв’язку системи рівнянь за допомогою оператора

"solve":

72

В свою чергу блок розв’язку Given-Find

починається з ключового слова given (дано) і закінчується викликом функції find (знайти). Між ними розташовують логічні твердження, що задають обмеження на значення шуканих величин, іншими словами, рівняння і нерівності. Всім змінним, що використовуються для позначення невідомих величин, повинні бути заздалегідь присвоювані початкові значення.

Для запису рівняння використовується знак логічної рівності «=» — кнопка Equal to на панелі інструментів Boolean. Інші знаки логічних умов також можна знайти на цій панелі.

Закінчується блок розв’язку викликом функції find, якій передаються шукані величини. Ця функція повертає вектор значень невідомих, тоді як оператор solve повертає рядок значень невідомих.

6.2.2. Розв‘язок СЛАР по формулі Крамера

Нехай задана система лінійних рівнянь

Запишемо формули знаходження коренів рівнянь цієї системи за формулою Крамера:

Визначник відмінний від нуля. Система має один розв’язок.

73

Знак можна знайти в панелі грецького алфавіту Greek.

6.2.3.Чисельний розв’язок рівнянь

Для чисельного пошуку коріння рівняння в програмі Mathcad використовується функція root. Вона призначена для розв’язку рівнянь виду f(x)= 0. Для пошуку коріння за допомогою функції root потрібно присвоїти шуканій змінній початкове значення, починаючи з якого буде шукатись корінь, а потім обчислити його за допомогою функції root(f(x), x). Функція root повертає значення незалежної змінної, що обертає функцію f(x) в 0. Наприклад:

x:=1 root(2sin(x) – x, x) = 1.895

Якщо необхідно знайти корінь деякого рівняння, причому відомий інтервал, в якому він знаходиться, можна використати функцію root з чотирма аргументами: root(f(x),x,a,b), де f(x) — функція, що визначає рівняння, х — змінна, а і b — границі інтервалу. Обов'язковою умовою є те, що значення функції на кінцях інтервалу повинні бути протилежних знаків. Це пов'язано з особливістю використовуваних root алгоритмів.

Також для знаходження чисельного рішення може бути використаний блок рішення з чисельним оператором "=":

Розглянемо приклад чисельного розв‘язку нелінійних рівнянь:

Завдання: визначити значення кореня рівняння x+lg(x)+ln(x/10) = 11.1 з точністю

10-5, якщо відомо, що х [10;11].

Методика виконання роботи

Багато рівнянь не мають аналітичних рішень. Вони можуть розв’язуватись чисельними методами із заданою похибкою. Для простих рівнянь виду F(x) = 0 розв’язок знаходиться за допомогою функції root(Вираз, Імя_змінної). Функція root повертає значення змінної, при якому вираз стає рівним нулю, тобто F(x)= 0.

Для розв’язку рівняння потрібно спочатку задати початкове значення змінної. Задана функція має декілька коренів, тому вибір розв’язку визначається початковим значенням змінної.

74

Введемо умовні позначення:

f(x) — функція, що прирівнюється до 0; TOL — точність обчислення;

х — початкове значення змінної;

x1 — наближений корень функції f(х).

1.Виведіть на екран панелі інструментів, необхідні для роботи: Math і Calculate.

2.Запишіть задану функцію і умови:

∙f(x): = х + log(x, 10)+ ln(x/10) -11.1;

∙у робочій області екрану введіть точність TOL: = 10-5 і початкове значення змінної

х:=10

3.Розв’язок нелінійного рівняння за допомогою функції root

У робочій області екрану наберіть xl: = root(f(x), x). Натисніть <Enter>.

4.Виведення на екран значення xl:

∙наберіть х1 = <Enter>. На екрані з'явиться наближене значення xl. За умовчанням кількість знаків після коми дорівнює 3;

∙при необхідності зменіть точність результату за допомогою команди верхнього меню

Format->Number->Displayed Precision.

6.3 Обчислення похідної

6.3.1. Інструменти знаходження похідних в Matchcad

У Mathcad існує чисельне і символьне диференціювання. На відміну від символьного інтегрування або розв’язку рівнянь, аналітично можна прорахувати похідну будь-якої функції. Оператор першої похідної (Derivative) розташований на панелі Calculus (Обчислення) і, може бути також введений поєднанням клавіш Shift+«/».

Оператор першої похідної має два маркери, принцип заповнення яких абсолютно очевидний: у верхній вводиться функція, в нижний

— змінна, по якій проводиться диференціювання.

Коли оператор буде заповнений, слід вирішити, в якій формі необхідно отримати відповідь. Якщо в результаті диференціювання повинна бути отримана функція похідної, слід звернутися до можливостей символьного процесора. Для цього як оператор виводу слід використовувати оператор символьного виводу «à».

При символьному диференціюванні можна оперувати функціями декількох змінних і функціями з параметрами. Також оператор диференціювання може поєднуватися з будьяким обчислювальним або символьним оператором. Особливо корисний оператор simplify, для спрощення отриманого результату. Також можуть бути корисними оператори collect (зводить подібні доданки), factor (розкладає вираз на множники) і expand (розкриває дужки).

6.3.2. Приклад обчислення похідної

Нехай потрібно знайти в точці x=0 похідну функції

Фрагмент робочого документа Mathcad, що містить необхідні обчислення, приведений нижче:

1. Значення функції при x, відмінному від нуля:

75

Це означає, що первісна функции f(x) в точці x=0 існує і дорівнює 4: . 2. Символ приросту виберіть в панелі грецького алфавіту Greek.

3. Для обчислення похідної з використанням меню символьних операцій, введіть вираз функції, що диференціюється, виділіть змінну x і натисніть на пункт верхнього меню Symbolics --> Variable --> Differentiate. Для обчислення похідної за допомогою операторів натисніть кнопку "Derivative" панелі інструментів Calculus (гарячі клавіші "Ctrl+/"), заповніть необхідні позиції і натисніть комбінацію клавіш "Shift + F9". Для спрощення виразу і приведення подібних доданків по cos(x) використовуйте оператори "simplify" і "collect, cos(x)". Поєднання декількох символьних операторів в одному блоці відбувається, якщо вводити наступний оператор в крайній правий маркер попереднього оператора. Отриманий результат матиме наступний вигляд:

6.4 Розрахунок невизначеного інтегралу

6.4.1. Інструменти інтегрування у Mathcad

Інтегрування в Mathcad може бути як чисельним, так і символьним. При символьному інтегруванні система шукає первісну, при чисельному — приблизно підраховує площу, обмежену кривою функції. Обчислення певного інтеграла може бути як символьним, так і чисельним, невизначеного — тільки символьним. Панель Calculus (Обчислення) містить два оператори інтегрування (див. рисунок 6.1): оператор невизначеного інтегралу "Indefinite Integral" (гарячі клавіши Ctrl+I) і визначеного інтегралу «Definite Integral» (Shift+7).

Часто в результаті інтегрування отримуємо громіздкий вираз. В цьому випадку його варто спрощувати за допомогою операторів спрощення із панелі інструментів

Symbolic, таких як Simplify, Collect, Expand (розкладання степені) або Factor. Щоб задіяти потрібний символьний оператор, слід виділити вираз інтеграла і натиснути відповідну кнопку на панелі Symbolic. Застосовувати до результату інтегрування можна відразу декілька символьних операторів.

6.4.2. Приклад розрахунку невизначеного інтегралу Завдання: розрахувати невизначенний інтеграл, перевірити обчислення

диференціюванням, побудувати графік сімейства першопохідних.

Фрагмент робочого документа Mathcad, що містить необхідні обчислення, приведений нижче:

76

6.5. Геометричний розв‘язок систем нерівностей на прикладі задач лінійного програмування

Розглянемо приклад геометричного розв‘язку задачі лінійного програмування. Завдання: Знайти мінімум цільової функції f(х, у) = 2х + 3у, з обмеженнями

Фрагмент робочого документу Mathcad з розв’язком задачі наведено нижче:

77

Задача має один розв’язок. Мінімум цільової функції досягається у точці перетину прямих x + 2 = 4, 2x + y = 5.

Мінімальне значення цільової функції дорівнює 7, воно досягається в точці х=2,

у=1, fmin=f(2, 1)=7.

Вказівка. Для того, щоб ввести і розв’язати відносно y обмеження х+у≤5, введіть ліву частину нерівності, знак символьної рівності (<Ctrl>+<=>) і праву частину нерівності; помітьте виділяючою рамкою змінну y, клікніть в меню Symbolic на рядок Solve - результат обчислень буде виведений в робочому документі праворуч від рівняння; введіть ім'я функції (у даному прикладі – це y1(x)) і присвойте їй отриманий вираз. Таким чином визначено рівняння однієї з прямих, що обмежують область допустимих значень. Аналогічно введіть решту обмежень. Введіть рівняння ах + bу = C лінії рівня цільової функції. Дійте, так само, як і при введенні обмежень, але, перш ніж розв’язувати рівняння відносно у, присвойте будь-яке значення константі С. Побудуйте графіки-прямі, що обмежують область допустимих значень, і лінії рівня цільової функції. Змінюючи значення константи C, наприклад C = 2, 3, 4.... 10, спостерігайте за рухом прямою, що визначає лінії рівня цільової функції, і сформулюйте висновок щодо розв’язуваності завдання. У вище приведеному фрагменті мінімум цільової функції досягається в точці перетину прямих х + у = 5, х + 2у = 4. Знайдіть координати точки, використовуючи функцію Find.

Методичні вказівки до виконання роботи 1. Розв‘язок систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Дослідіть задану систему лінійних рівнянь і, якщо розв’язок існує, знайдіть його по формулам Крамера. Теоретичні відомості розташовані в п.6.2. Варіанти завдання записані в таблиці 6.1.

Порядок виконання завдання:

1. Встановіть режим автоматичного виконанні обчислень і режим відображення результатів обчислень по горизонталі.

78

2.Присвойте змінній ORIGIN значення 1.

3.Введіть матрицю системи і стовпець правої частини.

4.Обчислите визначник матриці системи. Система має один розв’язок, якщо визначник відмінний від нуля.

5.Обчислите визначників матриць, отриманих заміною відповідного стовпця стовпцем правої частини.

6.Знайдіть розв’язок системи по формулах Крамера.

7.Знайдіть аналітичний розв’язок за допомогою оператора solve.

8.Знайдіть аналітичний і чисельний розв’язок за допомогою блоку розв’язку Given-Find.

2. Чисельній розв‘язок нелінійних рівнянь.

Завдання: знайти корень рівняння. Результат вивести у форматі:

-з фіксованою крапкою Decimal в десятковій, двійковій, вісімковій і шістнадцятковій системі числення;

-з плаваючою крапкою Scientific при відображення порядку у вигляді 10k і ek. Теоретичні відомості можна знайти в п. 6.1, п. 6.2.3, а варіанти завдання - в таблиці

6.2.

3. Обчислення похідної

Знайдіть похідну заданої функції f(x). Обчисліть значення похідної у вказаній точці.

Порядок виконання завдання

1.Встановіть режим автоматичного розрахунку і режим відображення результатів обчислень по горизонталі.

2.Визначте функцію.

3.Визначте приріст функції у вказаній точці.

4.Знайдіть границю відношення приросту функції до приросту аргументу при наближенні приросту аргументу до нуля.

5.Знайдіть похідну аналітично.

Теоретичні відомості можна знайти в п.6.3, а варіанти завдання - в таблиці 6.3.

4. Розрахунок невизначеного інтегралу

Обчисліть невизначений інтеграл і перевірте правильність обчислень; побудуйте графіки сімейства первісних.

Порядок виконання завдання:

1.Встановіть автоматичний режим обчислень і режим відображення результатів обчислень по горизонталі.

2.Визначіть підінтегральную функцію як функцію змінної х.

3.Знайдіть первісну, використовуючи символьну математику пакету.

4.Визначите первісну як функцію змінної.

5.Знайдіть похідну первісною, використовуючи символьну математику пакету.

6.Спростите похідну від первісної, порівняєте результат з підінтегральной функцією.

7.Побудуйте на одному графіку зображення декількох первісних.

Теоретичні відомості можна знайти в п.6.4, а варіанти завдання - в таблиці 6.4.

5. Геометричний розв‘язок задач оптимізації

Знайдіть мінімум цільової функції f(х,у) = ах + by при обмеженнях

Порядок виконання завдання:

1. Встановіть режим автоматичних обчислень.

79

2. Запишіть у вигляді у = kх + b рівняння прямих, що обмежують область допустимих значень змінних.

3. Зобразіть на графіку відповідні прямі і визначте область допустимих значень змінних.

4.Побудуйте для одного або декількох значень C лінії рівня цільової функції f(x,y)= C (стільки, скільки знадобиться, аби з’ясувати чи має завдання розв’язок і де досягається шуканий екстремум).

5.Якщо завдання має одиничний розв’язок, знайдіть вершину, в якій досягається шукане екстремальне значення (максимум або мінімум) цільової функції, і вкажіть її координати.

6.Обчисліть значення цільової функції в знайденій точці.

7.Якщо завдання має нескінченну множину розв’язків, а екстремум досягається на відрізку, на напівпрямій або на прямій, тоді обчисліть відповідне екстремальне значення цільової функції і опишіть множину розв’язків.

8.Сформулюйте висновки.

Таблиця 6.1. Варіанти завдання 1.

80

Таблиця 6.2. Варіанти завдання 2. Знайдіть корені нелінійного рівняння:

Варіант	Рівняння	Умова
1.		з точністю е = 10-5, якщо х0 = 0,8
2.		з точністю е = 10-3, якщо х0 = 2
3.		з точністю е = 10-6, якщо х0 = 1,2
4.		з точністю е = 10-3, якщо х0	= 1,5
5.		з точністю е = 10-4, якщо х0	= 1,1
6.		з точністю е = 10-6, якщо х0	= 1,4