Pobegailo
.pdfw2′(u) = 30(1−u)2 u2 ,
w2′′(u) = 60(1−u)2 u −60(1−u)u2 .
Теперь найдем значения этих производных в граничных точках. Получим w2′(0) = w2′(1) = 0, w2′′(0) = w2′′(1) = 0.
7.7. Деформация однопараметрических групп Ли
Рассмотрим произвольную мультипликативную группу G. Обозначим через g1(u) и g2 (u), где u [0, 1], некоторые однопараметрические под-
группы группы G, которые удовлетворяют следующим начальным условиям:
g1(0) = e, g2 (0) = e, |
(7.16) |
где e обозначает единичный элемент группы G. Проблема состоит в том, чтобы построить такую однопараметрическую подгруппу g(u) G, где
u [0, 1], которая удовлетворяет следующим граничным условиям:
g(0) = g1(0), |
g(1) = g2 (1), |
(7.17) |
g(l) (0) = g(l) (0), |
g(l) (1) = g(l) (1) |
(7.18) |
1 |
2 |
|
для всех l {1, 2, ..., k}, где k N. В этом случае подгруппа g(u) будет называться деформацией однопараметрических подгрупп g1(u) и g2 (u).
Другими словами можно сказать, что однопараметрическая группа g(u)
гладко деформируется или переходит из однопараметрической подгруппы g1(u) в однопараметрическую подгруппу g2 (u). Для решения этой
проблемы используем сглаживающие полиномы wk (u), которые были
определены в разделе 7.5. А именно, при помощи этих полиномов определим для однопараметрических подгрупп g1(u) и g2 (u) новую параме-
тризацию, о чем и говорится далее. Определим для k N полиномы
τ−(u) = (1− w (u))u, |
(7.19) |
|
k |
k |
|
где u [0, 1]. Из этого определения видно, что полиномы τk−(u) |
удовле- |
|
творяют следующим граничным условиям: |
|
|
τk−(0) = 0, |
τk−(1) = 0, |
(7.20) |
учитывая граничные условия, которым удовлетворяют полиномы wk (u). Определим производные по параметру u от полиномов τ−k (u). Получим
160
(τ−k (u))′ = −wk′(u)u +(1− wk (u)),
(τ−k (u))′′ = −wk′′(u)u − wk′(u) − wk′(u) = −wk′′(u)u − 2wk′(u), (τ−k (u))′′′ = −wk′′′(u)u − wk′′(u) − 2wk′′(u) = −wk′′′(u)u −3wk′′(u)
и, следовательно,
(τ−k (u))(l) = −wk(l) (u)u −lwk(l−1) (u),
где l {2, 3, ..., k}. Из этих равенств следует, что производные от полиномов τ−k (u) удовлетворяют следующим граничным условиям:
(τk−(u))′(0) =1, |
(τk−(u))′(1) = |
0, |
(7.21) |
(τk−(u))(l) (0) = 0, |
(τk−(u))(l) (1) |
= 0 |
(7.22) |
для всех l {2, 3, ..., k}, учитывая свойство 2 из раздела 7.6. Профили некоторых полиномов τ−k (u) показаны на рис. 7.3.
Рис. 7.3. Профили первых трех полиномов τ−k (u)
Теперь определим для k N полиномы |
|
|
τ+(u) = w (u)u , |
(7.23) |
|
k |
k |
|
где u [0, 1]. Из этого определения видно, что полиномы τk+(u) |
удовле- |
|
творяют следующим граничным условиям: |
|
|
τk+(0) = 0, |
τk+(1) =1, |
(7.24) |
учитывая граничные условия, которым удовлетворяют полиномы wk (u). Определим производные по параметру u от полиномов τ+k (u), получим
(τ+k (u))′ = wk′(u)u + wk (u),
(τ+k (u))′′ = wk′′(u)u + wk′(u) + wk′(u) = wk′′(u)u +2wk′(u), (τ+k (u))′′′ = wk′′′(u)u + wk′′(u) + 2wk′′(u) = wk′′′(u)u +3wk′′(u)
и, следовательно,
161
(τ+k (u))(l) = wk(l) (u)u +lwk(l−1) ,
где l {2, 3, ..., k}. Из этих равенств следует, что производные от полиномов τ+k (u) удовлетворяют следующим граничным условиям:
(τk+(u))′(0) = 0, |
(τk+(u))′(1) =1, |
(7.25) |
(τk+(u))(l) (0) = 0, |
(τk+(u))(l) (1) = 0 |
(7.26) |
для всех l {2, 3, ..., k}, учитывая свойство 2 из раздела 7.6. Профили некоторых полиномов τ+k (u) показаны на рис. 7.4.
Рис. 7.4. Профили первых трех полиномов τ+k (u)
Следующая теорема показывает, как с помощью полиномов τ−k (u) и
τ+k (u) можно выполнить гладкий переход между однопараметрическими
группами Ли.
Теорема. Если g1(u) и g2 (u), где u [0, 1], являются такими однопа-
раметрическими подгруппами группы G, которые удовлетворяют равенствам (7.16), то однопараметрическая подгруппа
g(u) = g |
2 |
(τ+(u))g (τ−(u)), |
(7.27) |
|
|
k |
1 k |
|
где u [0, 1], удовлетворяет граничным условиям, заданным равенствами
(7.17) и (7.18).
Доказательство. Пусть g1(u) и g2 (u), где u [0, 1], будут такими однопараметрическими подгруппами группы G, которые удовлетворяют
162
равенствам (7.16). Рассмотрим однопараметрическую подгруппу g(u), которая определена равенством (7.27). Здесь полиномы τ−k (u) и τ+k (u) определены равенствами (7.19) и (7.24). Из определения подгруппы g(u) следует, что она удовлетворяет следующим граничным условиям:
g(0) = g2 (τ+k (0))g1(τ−k (0)) = g2 (0)g1(0) = g1(0),
g(1) = g2 (τ+k (1))g1(τ−k (1)) = g2 (1)g1(0) = g2 (1),
принимая во внимание равенства (7.16), (7.20) и (7.25). Следовательно, граничные условия, заданные равенствами (7.17), выполняются.
Производные по параметру u от подгрупп g1(τ−k (u)) и g2 (τ+k (u)) можно определить следующими рекуррентными формулами:
g1(l) (τ−k (u)) = (g1(l−1) )′τ−k (τ−k (u))′, g2(l) (τ+k (u)) = (g2(l−1) )′τ+k (τ+k (u))′,
где l N. Так как производные полиномов τ−k (u) и τ+k (u) удовлетворяют
граничным условиям, заданным соответственно равенствами (7.21), (7.22), (7.25), (7.26), то из последних двух равенств следует, что произ-
водные по параметру u от подгрупп g (τ−(u)) |
и g |
2 |
(τ+(u)) удовлетворя- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
k |
|
|
k |
|
|||
ют следующим граничным условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(g(l) |
(τ−(u)))(0) = |
|
|
∂l g |
(0)((τ−)′(0))l = |
|
∂l g |
|
|
(0) = g(l) (0) , |
|
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
(7.28) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
k |
|
|
(∂τk−)l |
|
|
|
k |
|
|
|
(∂τ−k )l |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(g(l) (τ− |
|
|
|
|
|
|
∂l g |
|
(1)((τ−)′(1))l |
|
|
|
|||||
|
(u)))(1) = |
|
1 |
|
|
= 0 |
(7.29) |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
(∂τ−k )l |
|
k |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(g2(l) (τk+(u)))(0) = |
|
∂l g2 |
|
(0)((τ+k )′(0))l |
= 0 , |
(7.30) |
|||||||||||
|
(∂τk+)l |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(g2(l) (τk+(u)))(1) = |
∂l g2 |
|
(1)((τ+k )′(1))l = |
∂l g2 |
|
(1) = g2(l) (1) |
(7.31) |
|||||||||||
(∂τ+k )l |
(∂τ+k )l |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
для l {1, 2, ..., k}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, |
производные по параметру u от подгруппы g(u) |
|||||||||||||||||
могут быть определены следующим образом: |
|
|
|
|
|
l
g(l) (u) = ∑Cli (g2 (τ+k (u)))(i) (g1(τ−k (u)))(l−i)
i=1
163
для l N. Отсюда следует, принимая во внимание равенства (7.28)– (7.31), что производные по параметру u от подгруппы g(u) удовлетво-
ряют следующим граничным условиям:
g(l) (0) = g1(l) (0), g(l) (1) = g2(l) (1)
для l {1, 2, ..., k}. В результате получили, что граничные условия, за-
данные равенствами (7.18), также выполняются. Теорема доказана.
7.8. Сглаживание однопараметрических групп Ли
Рассмотрим произвольную мультипликативную группу Ли G. Обозначим через g1(1−u) и g2 (u), где u [0, 1], некоторые однопараметри-
ческие подгруппы группы G, которые удовлетворяют следующим начальным условиям:
g1(0) = e, g2 (0) = e, |
(7.32) |
где e обозначает единичный элемент группы G. Проблема состоит в том, чтобы построить такую однопараметрическую подгруппу g(u) G, где
u [0, 1], которая удовлетворяет следующим граничным условиям:
g(0) = g1(1), |
g(1) = g2 (1), |
(7.33) |
g(l) (0) = g(l) (1), |
g(l) (1) = g(l) (1) |
(7.34) |
1 |
2 |
|
для всех l {1, 2, ..., k}, где k N. В этом случае подгруппа g(u) будет называться сглаживанием однопараметрических подгрупп g1(u) и g2 (u).
Другими словами можно сказать, что однопараметрическая группа g(u) гладко сглаживает точку соединения однопараметрических подгрупп g1(u) и g2 (u). Для решения этой проблемы используем сглаживающие полиномы wk (u), которые были определены в разделе 7.5. А именно, при по-
мощи этих полиномов определим для однопараметрических подгрупп g1(u) и g2 (u) новую параметризацию, о чем и говорится далее.
Определим для k N полиномы
σ−(u) = (1− w (u))(1−u), |
(7.35) |
|
k |
k |
|
где u [0, 1]. Из этого определения видно, что полиномы σk−(u) |
удовле- |
|
творяют следующим граничным условиям: |
|
|
σk−(0) =1, |
σk−(1) = 0, |
(7.36) |
164
учитывая граничные условия, которым удовлетворяют полиномы wk (u). Определим производные по параметру u от полиномов σ−k (u). Получим
(σ−k (u))′ = −wk′(u)(1−u) −(1− wk (u)),
(σ−k (u))′′ = −wk′′(u)(1−u) + wk′(u) + wk′(u) = −wk′′(u)(1−u) + 2wk′(u), (σ−k (u))′′′ = −wk′′′(u)(1−u) + wk′′(u) +2wk′′(u) = −wk′′′(u)(1−u) +3wk′′(u)
и, следовательно,
(σ−k (u))(l) = −wk(l) (u)(1−u) +lwk(l−1) ,
где l {2, 3, ..., k}. Из этих равенств следует, что производные от полиномов σ−k (u) удовлетворяют следующим граничным условиям:
(σk−(u))′(0) = −1, |
(σk−(u))′(1) = 0, |
(7.37) |
(σk−(u))(l) (0) = 0, |
(σk−(u))(l) (1) = 0 |
(7.38) |
для всех l {2, 3, ..., k}, учитывая свойство 2 из раздела 7.6. Графики некоторых полиномов σ+k (u) показаны на рис. 7.5.
Рис. 7.5. Графики некоторых полиномов σ+k (u)
Теперь определим для k N полиномы |
|
|
σ+(u) = w (u)u, |
(7.39) |
|
k |
k |
|
где u [0, 1]. Из этого определения видно, что полиномы σk+(u) |
удовле- |
|
творяют следующим граничным условиям: |
|
|
σk+(0) = 0, |
σk+(1) =1, |
(7.40) |
165
учитывая граничные условия, которым удовлетворяют полиномы wk (u). Производные по параметру u от полиномов σ+k (u) имеют те же значения на границах интервала [0, 1], что и производные по параметру u от полиномов τ+k (u), определенных в предыдущей главе, а именно:
(σk+(u))′(0) = 0, |
(σk+(u))′(1) =1, |
(7.41) |
(σk+(u))(l) (0) =1, |
(σk+(u))(l) (1) = 0 |
(7.42) |
для l {2, 3, ..., k}. Графики некоторых полиномов σk+(u) |
показаны на |
рис. 7.3, так как полиномы σ+(u) совпадают с полиномами τ+k (u). Следующая теорема показывает, как с помощью полиномов σ−k (u) и
σ+k (u) можно выполнить гладкое сглаживание однопараметрических групп Ли.
Теорема. Если g1(1−u) и g2 (u) , где u [0,1] , являются такими одно-
параметрическими подгруппами группы G, которые удовлетворяют равенствам (7.32), то однопараметрическая подгруппа
g(u) = g |
2 |
(σ+(u))g (σ−(u)), |
(7.43) |
||
|
k |
1 |
k |
|
где u [0, 1], удовлетворяет граничным условиям, заданным равенствами
(7.33) и (7.34).
Доказательство. Пусть g1(1−u) и g2 (u) , где u [0, 1], будут такими однопараметрическими подгруппами группы G, которые удовлетворяют равенствам (7.32). Рассмотрим однопараметрическую подгруппу g(u),
которая определена равенством (7.43). Здесь полиномы σ−k (u) и σ+k (u) определены равенствами (7.35) и (7.39). Из определения подгруппы g(u) следует, что она удовлетворяет следующим граничным условиям:
g(0) = g2 (σ+k (0))g1(σ−k (0)) = g2 (0)g1(1) = g1(1), g(1) = g2 (τ+k (1))g1(τ−k (1)) = g2 (1)g1(0) = g2 (1),
принимая во внимание равенства (7.32), (7.36) и (7.40). Следовательно, граничные условия, заданные равенствами (7.33), выполняются.
Производные по параметру u от подгрупп g1(σ−k (u)) и g2 (σ+k (u)) можно определить следующими рекуррентными формулами:
166
g1(l) (σ−k (u)) = (g1(l−1) )′σ−k (σ−k (u))′, g2(l) (σ+k (u)) = (g2(l−1) )′σ+k (σ+k (u))′,
где l N. Так как производные полиномов σ−k (u) и σ+k (u) удовлетворяют
граничным условиям, заданным соответственно равенствами (7.37), (7.38) и (7.41), (7.42), то из последних двух равенств следует, что произ-
водные по параметру u от подгрупп g (σ−(u)) |
и g |
2 |
(σ+(u)) удовлетворя- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
k |
|
|
|
k |
|
|
ют следующим граничным условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(g(l) (σ−(u)))(0) = |
|
∂l g |
|
(1)((σ−)′(0))l = |
∂l g |
|
|
(1) = g(l) (1), |
|
||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
(7.44) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 k |
|
(∂σk−)l |
|
|
|
k |
|
(∂σ−k )l |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(g(l) (σ−(u)))(1) = |
∂l g |
(0)((σ−)′(1))l |
|
|
|
||||||||||
1 |
|
= 0, |
(7.45) |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
1 |
k |
|
|
|
|
|
(∂σk−)l |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(g2(l) (σk+(u)))(0) = |
|
∂l g2 |
|
(0)((σ+k )′(0))l |
= 0, |
(7.46) |
|||||||||
|
(∂σk+)l |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(g2(l) (σk+(u)))(1) = |
|
∂l g2 |
|
(1)((σk+)′(1))l = |
∂l g2 |
|
|
(1) = g2(l) (1) |
(7.47) |
||||||
|
(∂σk+)l |
|
(∂σ+k )l |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для l {1, 2, ..., k}.
С другой стороны, производные по параметру u могут быть определены следующим образом:
l
g(l) (u) = ∑Cli (g2 (σ+k (u)))(i) (g1(σ−k (u)))
i=1
от подгруппы g(u)
(l−i)
для l N. Отсюда следует, принимая во внимание равенства (7.44)–(7.47), что производные по параметру u от подгруппы g(u) удовлетворяют сле-
дующим граничным условиям:
g(l) (0) = g(l) (1), |
g(l) (1) = g(l) (1) |
1 |
2 |
для l {1, 2, ..., k}. В результате получили, что граничные условия, задан-
ные равенствами (3.34), также выполняются. Теорема доказана.
Глава 8
МОДЕЛИРОВАНИЕ СПЛАЙН-КРИВЫХ НА СФЕРЕ S2
В этой главе рассмотрен подход к моделированию сплайн-кривых на поверхности двумерной сферы при помощи деформации и сглаживания параметрических поворотов. В следующей главе этот же подход будет использован для моделирования ориентационных кривых. Отметим, что изучение данной главы существенно упростит понимание материала, изложенного в следующей главе.
Представленный в данной главе материал, организован следующим образом. Сначала рассмотрено построение интерполяционных сплайнкривых, а затем сглаживание углов ломаных линий на поверхности двумерной сферы. Сегменты сплайн-кривых определяются как деформации дуг окружностей, являющихся орбитами поворотов.
Отметим, что изложенный подход можно рассматривать как кинематический способ построения сплайн-кривых. Потому это особенно подходит для решения различных кинематических задач, например таких, как планирования траекторий роботов.
Другие подходы к моделированию кривых на поверхности двумерной сферы рассмотрены в работах [52–64].
8.1. Постановка задачи построения сплайн-кривой на сфере
Рассмотрим сферу S 2 , которая описана каноническим уравнением
x2 + y2 + z2 = r2
относительно некоторой ортогональной системы координат с началом в центре этой сферы. Пусть задана некоторая последовательность различ-
ных точек (P , P , …, P ), лежащих на поверхности сферы S 2 |
. Причем |
|
1 2 |
k |
|
предполагается, что последовательность содержит более трех точек, т. е. k > 3.
168
Проблема формулируется следующим образом:
1. Нужно построить параметризованную кривую r(t), которая лежит на поверхности сферы S 2 и проходит через точки Pi для всех i {1,2,…,k}. В этом случае говорят, что параметризованная кривая r(t) интерполирует точки Pi.
2. Параметризованная кривая r(t) должна принадлежать классу Cn , т. е. иметь непрерывные производные до порядка n включительно.
3. Дополнительным требованием к параметризованной кривой r(t)
является ее инвариантность относительно выбора ортогональной системы координат с началом в центре сферы.
Параметризованная кривая r(t), удовлетворяющая перечисленным выше требованиям, будет называться интерполяционным сплайном на
поверхности сферы S 2.
Предлагаемое решение этой проблемы, которое рассматривается в дальнейших разделах 8.2–8.4, базируется на деформации дуг малых ок-
ружностей сферы S2 , каждая из которых проходит через три соседние точки последовательности (P1, P2, ..., Pk ).
8.2. Построение дуг малых окружностей по точкам
Рассмотрим сферу S 2 , которая описана каноническим уравнением
x2 + y2 + z2 = r2
относительно ортогональной системы координат с началом в центре сферы. Возьмем три различные точки P1 , P2 и P3 на поверхности сферы S 2.
В этом случае эти точки определяют секущую плоскость, которая описывается уравнением
|
x |
y |
z |
1 |
|
||
|
x1 |
y1 |
z1 |
1 |
= 0, |
||
|
x |
y |
2 |
z |
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
x3 |
y3 |
z3 |
1 |
|
||
где (x1, y1, z1) , (x2 , y2, z2 ) и (x3, y3, z3) |
|
– координаты точек P1 , P2 и P3 со- |
ответственно. Раскрывая определитель, это уравнение может быть переписано следующим образом:
169