навчатьный посибник 2

Основи фізики твердого тіла

Рисунок 8.32

8.33. На рис. 8.33 показаний графік залежності логарифма питомої провідності від величини, зворотної абсолютній температурі ln f (1T ) для герма-

нію. Знайти за допомогою цього графіка ширину забороненої зони германію.

Рисунок 8.33

151

Елементи фізики атомного ядра

Розділ 5. ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА

§9 Будова атомних ядер. Ядерні перетворення

9.1Основні теоретичні відомості

1.Ядра позначаються тим же символом, що і нейтральний атом:

ZA X

або

Z X A ,

де X – символ хімічного елемента, Z – порядковий номер хімічного елемента в періодичній системі елементів Менделєєва, А – масове число ядра.

2. Заряд ядра дорівнює Ze, де e – величина заряду протона. Порядковий номер Z збігається з числом протонів в ядрі.

Масове число А – ціле число, найближче до атомної маси, вираженої в а.о.м. Воно визначає число нуклонів, тобто загальне число протонів і нейтронів в ядрі: A Z N . Тоді число нейтронів

N A Z .

(9.1)

3. Маса ядра менше, ніж сума мас складових його нуклонів. Різниця між ними називається дефектом маси.

m Z m

11 H A Z m n m а .

(9.2)

де m11 H – маса ізотопу водню, ma – маса атома, mn – маса нейтрона.

4. Щоб розщепити ядро на окремі нуклони без надання їм кінетичної енергії, необхідно витратити енергію Езв, яка називається енергією зв’язку.

Е				A Z m	m		c	2	,	(9.3)
	зв	Z m1
			1 H	n		a

де с – швидкість світла.

Якщо маси виразити в а.о.м., то енергія зв’язку обчислюється за формулою:

Eзв 931 ,5 m (МеВ),

(9.4)

5. Питома енергія зв’язку пит – енергія зв’язку, яка припадає на один ну-

клон:

пит	Езв	.	(9.5)
	А

6. Ядерні реакції символічно записуються в наступному вигляді:

X Y або X , Y , (9.6)

де X і Y – початкове і кінцеве ядра;

152

Елементи фізики атомного ядра

і – частинка, яка бомбардує і частинка, яка випромінюється в ядерній реакції.

7. Енергетичний вихід ядерної реакції Q (тепловий ефект реакції):

	Q	m		m	k	c2 ,	(9.7)
		i
де m i	– сума мас спокою частинок, що беруть участь в реакції;
m k	– сума мас спокою частинок – продуктів реакції.
Якщо маси виразити в а.о.м., то
	Q 931,5 mi mk (МэВ).						(9.8)
8. Спонтанний розпад ядер підпорядковується закону радіоактивного
розпаду:	N N0 e t ,
							(9.9)

де N0 – кількість ядер даного ізотопу в момент часу t=0;

N – кількість ядер, що не розпалися, цього ж ізотопу в момент часу t;

– постійна розпаду.

9. Період напіврозпаду T1 2 і постійна розпаду пов’язані наступним спів-

відношенням:

T		ln 2	.	(9.10)
1 2

10. Активність а препарату (активність радіоактивного джерела):

a		dN		.	(9.11)
		dt

Активність препарату дорівнює добутку постійної розпаду на число N атомів, що не розпалися, які містяться в цьому препараті:

a N .

(9.12)

Активність радіоактивного препарату змінюється з плином часу за законом:

a a0 e t ,

(9.13)

де а0 – активність в момент часу t = 0.

Питома активність апит (активність, віднесена до одиниці маси речовини):

aуд	a	.	(9.14)
	m

11. При проходженні γ-променів через речовину відбувається їх ослаблення. Інтенсивність γ-випромінювання змінюється за законом:

I I0 e x ,

(9.15)

153

Елементи фізики атомного ядра

де I0 – інтенсивність γ-випромінювання, що падає на поверхню речовини;

μ – лінійний коефіцієнт ослаблення γ-променів в речовині, що залежить від природи речовини і спектрального складу потоку γ-випромінювання;

х– товщина шару, який поглинає.

9.2Алгоритми розв’язання задач і методичні поради

9.2.1.Зазначена в таблиці Д.І. Менделєєва атомна маса хімічного елемента – це середньозважене від всіх ізотопів елемента, що зустрічаються в природі

вприродних умовах. Тому при розрахунку дефекту маси, енергії зв’язку, питомої енергії зв’язку маси ізотопів треба брати з відповідної таблиці довідкових даних («Таблиці фізичних величин», п. 3.23).

9.2.2.При скороченому запису реакції перед дужками пишуть хімічний символ вихідного ядра. В дужках на першому місці ставлять позначення частинки, яка бомбардує на другому – частинки, що вилітає з ядра. За дужками – хімічний символ ядра – продукту реакції. Символи, що застосовуються для поз-

начення частинок: p протон, n нейтрон, d дейтон ( 21 H ), альфа-

частинка ( 42 He ), гамма-фотон.

Задачі на ядерні реакції розв’язуються із застосуванням законів збереження.

1.Для знаходження невідомої частинки або ізотопу, які беруть участь у реакції, а також для перевірки правильності запису реакції, використовують закони збереження електричного заряду і закон збереження сумарної кількості нуклонів.

2.Для знаходження кінетичних енергій частинок - продуктів реакції, а також напрямів їх руху використовують закони збереження імпульсу та енергії. В законі збереження енергії під повною енергією мають на увазі повну релятиві-

стську енергію, яка дорівнює сумі енергії спокою і кінетичної енергії: mc2 m0c2 Wk . Відповідно до закону збереження повної релятивістської енергії:

m0i c2 Wki m0 k c2 Wk k ,

де m0ic2 – сума енергій спокою частинок до реакції, Wk i – сума їх кінети-

чних енергій. Величини праворуч відносяться до частинок після реакції.

3. При розрахунку енергії ядерної реакції (теплового ефекту реакції) маси спокою ядер замінюють масами атомів. Різниця сум мас частинок, що вступають в реакцію і утворюються після реакції, при цьому не змінюється, так як

кожна сума зростає на одну і ту ж величину, що дорівнює me Z.	Тут me
маса електрона, Z сумарне зарядове число всіх частинок.

9.2.3. Щоб знайти число атомів, що містяться в даній масі m радіоактивного ізотопу, використовують співвідношення:

154

Елементи фізики атомного ядра

N N A Мm N A ,

де – кількість речовини, NA – стала Авоґадро, М – молярна маса ізотопу. Молярна маса ізотопу виражається числом, близьким до його масового числу А:

MA 10 3 кг/моль.

9.2.4.При розв’язанні задач з використанням закону радіоактивного розпаду врахуйте наступне.

1. Якщо проміжок часу t, протягом якого відбувається розпад, набагато менше періоду напіврозпаду T1 2 ( t T1 2 ),то можна вважати, що кількість

ядер, що не розпалися практично залишається постійною і рівною їх початковій

кількості N0. Для знаходження числа ядер N , що розпалися, закон радіоактивного розпаду можна використовувати в диференціальній формі:

N N0 t .

2. Якщо проміжок часу t , протягом якого відбувається розпад, і період напіврозпаду T1 2 є величинами одного порядку, то закон радіоактивного роз-

паду використовують у вигляді (9.9).

9.2.5. Залежність лінійного коефіцієнта ослаблення γ-променів в речовині від енергії квантів і природи речовини дається у вигляді графіка, який приводиться в довідкових матеріалах («Таблиці фізичних величин», п. 3.22).

Шаром половинного ослаблення називається шар, товщина х1/2 якого така, що інтенсивність -випромінювання, що проходить через нього, зменшується в 2 рази.

9.3 Приклади розв’язання задач

Приклад 9.3.1. Знайти число протонів і нейтронів, що входять до складу ядер

двох ізотопів магнію: а)

1224 Mg ;

б) 1225 Mg .

Розв’язання. Ядро позначається тим же символом, що і нейтральний атом:

		ZA X ,
де	Х – символ хімічного елемента;
	Z – порядковий номер хімічного елемента в періодичній системі елемен-
тів Менделєєва. Порядковий номер Z збігається з числом протонів в ядрі.
	A – масове число (тобто число нуклонів в ядрі).
Число нейтронів в ядрі		N A Z .
З урахуванням сказаного знайдемо:
а)	ядро 1224 Mg містить 12 протонів і 12 нейтронів;
б)	ядро 1225 Mg містить 12 протонів і 13 нейтронів.

155

Елементи фізики атомного ядра

Приклад 9.3.2. Знайти дефект маси, енергію зв’язку і питому енергію зв’язку

ядра атома кисню 168 O .
Розв’язання. Дефект маси ядра
m Z m	11 H A Z m n m а .	(1)
де m1 H – маса ізотопу водню, ma – маса атома, mn – маса нейтрона.
1
Енергія зв’язку будь-якого ізотопу дорівнює
Eзв 931 ,5 m ,		(2)

Питома енергія зв’язку пит (енергія зв’язку, яка припадає на один нуклон) дорівнює

		пит	Езв	.	(3)
			А
Для кисню 168 O : A=16, Z=8. Маси ізотопів визначаємо за довідковими даними
(«Таблиці	фізичних	величин»,	п. 3.23):		m16 O 15,9994 а.о.м,
m11 H 1,007825	а.о.м, mn 1,00867 а.о.м.				8
Підставивши чисельні значення величин в формули (1), (2), (3), отримаємо
m 0 ,13 а.о.м,		Eзв 121,1 МеВ, пит =7,57 МеВ/нуклон.

Приклад 9.3.3. Написати відсутні позначення в реакціях:

а) 2713 Al n, Х б) 199 F p, x 168O

Розв’язання. а) У будь-якій ядерній реакції виконуються закони збереження електричних зарядів і кількості нуклонів. Запишемо рівняння реакції і розрахуємо зарядові і масові числа:

2713 Al 01n 2411X 42 .

Знаючи порядковий номер Z (Z=11), за таблицею Менделєєва знайдемо, що шуканий елемент X – Na (натрій). Отже: 2713 Al n, 2411Na .

б) Запишемо рівняння реакції і розрахуємо зарядові і масові числа ядра Х:

199 F 11p 168 O 42 Х.

За таблицею Менделєєва визначаємо: Х – 42 He . Ядро атома гелію – це альфачастинка. Отже: 199 F p, 168O .

156

Елементи фізики атомного ядра

Приклад 9.3.4. Знайти енергію Q, що виділяється при реакції:

21 H 23He 11H 42 He .

Розв’язання. Енергетичний вихід ядерної реакції Q (тепловий ефект реакції) дорівнює різниці енергій початкової і кінцевої пар ядер в реакції:

		Q 931,5 mi mk	(1)
де	m i	– сума мас спокою частинок до реакції;
	m k	– сума мас спокою частинок після реакції.

Маси ізотопів визначаємо за довідковими даними («Таблиці фізичних вели-

чин», п. 3.23):

mi m21 H m23 He 2,014102 3,016030 5,030132 а.о.м.;

mk m11 H m42 He 1,007825 4,002604 5,010429 а.о.м.

Оскільки mi mk , то реакція йде з виділенням тепла. Підставивши чисельні значення величин у формулу (1), отримаємо:

Q=18,35 МеВ.

Зверніть увагу! Реакції, що відбуваються з виділенням тепла, називаються екзотермічними, з поглинанням тепла – ендотермічними.

Приклад 9.3.5. Скільки атомів полонію розпадається з N0 106 атомів за час:

1) t=1 добу; 2) t=120 діб? Яку помилку ми допускаємо в другому випадку при знаходженні кількості атомів, що розпалися, з використанням закону радіоактивного розпаду в диференціальній формі?

Розв’язання. За довідковими даними («Таблиці фізичних величин», п. 3.23) визначаємо період напіврозпаду полонію: T1 2 138,4 діб.

1) Оскільки проміжок часу t, протягом якого відбувається розпад, набагато менше періоду напіврозпаду T1 2 ( t T1 2 ), то можна вважати, що кіль-

кість ядер, що не розпалися, практично залишається постійним і рівним їх початковій кількості N0. Для знаходження кількості N ядер, що розпалися, закон радіоактивного розпаду в цьому випадку можна використовувати в диференціальній формі:

N N0 t .

(1)

де постійна розпаду.

Період напіврозпаду T1 2 і постійна розпаду пов’язані наступним співвідношенням:

ln 2 .

(2)

T12

Зробимо заміну в (1), отримаємо

157

Елементи фізики атомного ядра

N ln 2 N0 t .	(3)
T1 2

Підставивши чисельні значення величин у формулу (3), отримаємо

N 5 103 .

2) В даному випадку проміжок часу t, протягом якого відбувається розпад, порівняльний з періодом напіврозпаду. Це значить, що закон радіоактивного розпаду треба використовувати у вигляді:

N N0 e t .	(4)
Кількість атомів, що не розпалися
N N0 N N0 (1 e t ) ,	(5)

де постійна розпаду.

Період напіврозпаду T1 2 і постійна розпаду пов’язані наступним співвідношенням:

ln 2 .					(6)
T
1 2
Зробимо заміну в (2), отримаємо		ln 2
			t
N N0 N N0 (1 e	T			) .	(7)
	1 2

Підставивши чисельні значення величин у формулу (7), отримаємо

N 4,5 105 .

Розрахуємо кількість атомів, що розпалися, застосувавши закон радіоактивного розпаду в диференціальної формі (формула (3)):

N1 6,0 105 .

Розрахуємо похибку

N1 N 100% .

N1

(6,0 4,5)5105 100% 25% . 6,0 10

Таким чином, якщо проміжок часу t, протягом якого відбувається розпад, порівняльний з періодом напіврозпаду, то застосовувати закон радіоактивного розпаду в диференціальної формі не можна.

158

Елементи фізики атомного ядра

Приклад 9.3.6. В урановій руді відношення кількості ядер 238 U до кількості

ядер 206 Pb становить =2,8. Оцінити вік руди, вважаючи, що весь свинець 206 Pb є кінцевим продуктом розпаду уранового ряду.

Розв’язання. Спонтанний розпад ядер підпорядковується закону радіоактивного розпаду:

N N0 e t .

де N0 – кількість ядер даного ізотопу в момент часу t=0;

N – кількість ядер, що не розпалися, цього ж ізотопу в момент часу t;– постійна розпаду.

Розділимо обидві частини рівняння (1) на N0 і прологарифмуємо:

N e t . N0

ln N t .

N0

Виразимо з (3) час:

(1)

(2)

(3)

t

1 ln

N

.

(4)

N0

Період напіврозпаду T1 2 і постійна розпаду пов’язані наступним співвід-

ношенням:

ln 2

T

.

(5)

1 2

Виразимо з (5) постійну розпаду і підставимо її в (4). Одержимо:

t

T1 2

ln

N

.

(6)

ln 2

N0

Початкова кількість ядер дорівнює N0 N NPb , де NPb

– кількість ядер свин-

цю, що утворюється. За умовою NPb

N

. Тоді, замінивши NPb , одержимо:

2,8

N0 N

N

1,357N .

(7)

2,8

Значення періоду напіврозпаду 238 U визначаємо за довідковими даними («Таблиці фізичних величин», п. 3.23).

Підставивши чисельні значення величин у формулу (6), отримаємо t 2 109 років.

159

Елементи фізики атомного ядра

Приклад 9.3.7. В кров людини ввели невелику кількість розчину, що містить 24 Na з активністю a 2,0 103 Бк. Активність 1 см3 крові через t=5,0 год ви-

явилася рівною a' 0,267 Бк/см3. Період напіврозпаду даного радіоактивного ізотопу Т=15 год. Знайти об’єм крові людини.

Розв’язання. Активність радіоактивного ізотопу змінюється з часом за законом:

a a0 e t ,

(1)

де а0 – активність в момент часу t = 0, – постійна розпаду.
Знаючи активність 1 см3 крові в момент часу t, можна знайти активність
об’єму V:
a a' V .								(2)
Постійна розпаду і період напіврозпаду T1 2								пов’язані наступним співвід-
ношенням:
ln 2 .								(3)
	T
	1 2
Підставимо (2) і (3) в рівняння (1) і виразимо об’єм.
						ln 2	t
a' V a e					T1 2		,	(4)
		a				ln 2	t
V				e	T
					1 2 .			(5)
		a	'

Підставивши чисельні значення величин у формулу (5), отримаємо

V 5,95 103 см3 6 л.

Приклад 9.3.8. На рис. 9.1 заданий графік залежності логарифма активності радіоактивного препарату від часу. Визначити період напіврозпаду, постійну розпаду і середній час життя радіоактивного ізотопу. Якому ізотопу може відповідати цей графік?

Розв’язання. Активність радіоактивного ізотопу змінюється з часом за законом:

a a0 e t		,	(1)
де а0 – активність в момент часу t = 0,
– постійна розпаду.
Запишемо рівняння (1) для двох різних моментів часу:
a a e t1		,	(2)
1	0
a2 a0e t2 .			(3)

160