Лекции _ Вышка
.pdfP ( X - a < 3σ ) » 1
Равномерное распределение
Определение: Закон распределения называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.
Найдем плотность вероятности равномерного распределения
b |
|
b |
|
|
|
b |
|
|
1 |
|
||||
По условию ò f (x)dx = 1Þ òCdx = 1Þ Còdx = 1Þ C(b - a) = 1Þ C = |
. |
|||||||||||||
b - a |
||||||||||||||
a |
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ì |
|
0 |
|
|
x < a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f (x) = í |
|
|
|
|
a £ x £ b |
(рис.1). |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ïb - a |
x > b |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ï |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
0 |
|
|
x < a |
|
|
|
||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ï x - a |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функция распределения F(x) = í |
|
|
a £ x £ b |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ïb - a |
|
x > b |
|
|
|
|||||
|
|
|
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
b − a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Рис. 1 |
|
|
|
b |
|
|
|
Понятию равномерного распределения на [a,b] соответствует представлению о выборе точки на отрезке [a,b] “наудачу”.
Найдем числовые характеристики равномерного распределения.
Математическое ожидание:
63
b |
|
dx |
|
|
|
1 x2 |
|
b |
|
b2 - a2 |
|
|
|
b + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
M (X ) = òa x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
a = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b - a |
b - a |
2 |
2(b - a) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (X ) = |
b + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
x2dx |
|
|
(b + a)2 |
|
|
|
|
|
1 x3 |
|
b |
(b + a)2 |
|
|
|
b3 - a3 |
(b + a)2 |
|
(b - a)2 |
||||||||||||||||
D(X ) = òa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
- |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
a - |
|
|
|
|
|
|
= |
|
- |
|
= |
|
||||||||||||
b - a |
4 |
|
|
b - a |
3 |
|
|
|
4 |
|
|
3(b - a) |
4 |
12 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D( X ) = |
|
(b - a)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Показательное распределение
Определение: Показательным (экспоненциальным) называют распределение непрерывной случайной величины X , которое описывается плотностью
(рис.2).
ì0, |
при |
x < 0 |
f (x) = í |
|
x ³ 0 |
îλe−λx ,при |
Как видно, показательное распределение зависит от одного параметра λ . Можно показать, что функция распределения будет иметь вид (рис.2):
ì0, x < 0 |
|
F(x) = í |
- e−λx , x ³ 0 |
1 |
|
î |
|
Показательное распределение является единственным непрерывным распределением, обладающим тем свойством, что для любых чисел x1 и x2 выполняется неравенство
P (X > x1 + x2 ) = P( X > x1 )P( X > x2 ) (свойство отсутствия последействия). Указанным свойством в значительной мере объясняется та роль, которую показательное распределение играет в теории массового обслужива-
f (x) |
F(x) |
|
|
|
1 |
64
x |
x |
Рис. 2
ния, где предполагается показательный закон распределения времени.
Числовые характеристики показательного распределения.
Найдем математическое ожидание
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
dυ = e−λx dx |
|
|
æ |
|
|
xe−λx |
|
|
|
+∞ |
1 |
|
|
ö |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
M (X ) = ò |
xλe−λx dx = λ |
ò |
xe−λx dx = |
du = dx |
= λ ç |
- |
|
|
|
|
0+∞ |
+ ò |
|
|
|
|
e−λx |
÷ = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
λ |
|
|
|
λ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
υ = - |
1 |
e−λx |
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
ø |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
æ |
1 |
|
−λx |
|
+∞ ö |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= λ ç - |
|
|
e |
|
|
|
|
0 ÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
λ |
2 |
|
|
|
|
λ |
2 |
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
M (X ) = |
1 |
|
– математическое ожидание показательного распределения. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
λ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дисперсия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dυ = λe−λx dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = dx |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
D(X ) = ò x2 λe−λx dx - |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= -x2e−λx |
|
0+∞ + 2 |
ò e−λx xdx = |
dυ = e−λx dx |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
λ |
2 |
du = 2xdx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ = - |
1 |
e−λx |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = -e−λx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
ì |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
æ |
|
|
1 |
ö |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= 2í- |
|
e−λx |
|
0+∞ + |
|
|
ò |
e−λx dx |
ý |
- |
|
|
= 1ç |
- |
|
|
e−λx ÷ |
|
0x - |
|
|
|
= |
|
- |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
λ |
λ |
λ2 |
λ2 |
|
λ2 |
|
λ2 |
|
λ2 |
|
|
λ2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(X ) = λ12 – дисперсия показательного распределения
Среднеквадратическое отклонение:
X D X 1 ,
|
X |
1 |
– среднеквадратическое отклонение показательного распре- |
|
|
|
|
деления |
|
|
Пример: Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратиче-
ì0, |
при |
x < 0 |
ское отклонение показательного распределения f (x) = í |
|
x ³ 0 |
î5e−5x ,при |
||
65 |
|
|
Решение: λ = 5, M (X ) = |
1 |
= |
1 |
, |
D( X ) = |
1 |
= |
1 |
, |
σ (X ) = |
1 |
= |
1 |
λ |
5 |
2 |
25 |
λ |
5 |
||||||||
|
|
|
|
λ |
|
|
|
66
Лекция 13
Функция надёжности. Вероятность попадания в заданный
интервал показательно распределённой случайной величины. Понятие о системе двух случайных величин. Функция распределения двумерной случайной величины
Функция надёжности.
Пусть |
некоторое |
устройство начинает работать в момент времени |
||||||||||
t0 = 0 и через время |
t |
|
происходит его отказ. Обозначим |
непрерывную |
||||||||
случайную |
величину |
|
T – |
длительность времени |
безотказной |
работы |
||||||
устройства. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
F(t) = P(T < t) |
– |
вероятность отказа за время длительностью t Þ |
|||||||||
вероятность |
безотказной |
работы: |
R(t) = P(T > t) = 1- F(t) . |
Функция |
||||||||
R(t) = 1- F(t) называется |
функцией надёжности. |
|
|
|
||||||||
Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное |
||||||||||||
распределение: F(t) = 1- e-λt , |
t > 0; |
R(t) = 1- F(t) = 1- (1- e-λt ) = e-λt . |
||||||||||
|
|
|
|
λ – |
|
|||||||
|
R(t) = e-λt |
|
– показательный закон надёжности, |
интенсивность |
||||||||
отказов (среднее |
число |
отказов в |
единицу времени). |
R(t) определяет |
вероятности безотказной работы устройства в течении времени t , если время безотказной работы имеет показательное распределение.
Пример: Время безотказной работы устройства распределено по показательному закону f (t) = 0,02×e-0,02t при t ³ 0 ( t – время). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.
Решение: Вероятности безотказной работы устройства в течении времени t =100 определяется функцией R t при t 100
R(t) = e-λt = e-0,02×100 = e-2 = e12 = 0,13534
Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределённой случайной величины.
Пусть случайная величина X распределена по показательному закону
ì0, x £ 0 |
|
f (x) = í |
; |
îλe-λx , |
x ³ 0 |
66 |
|
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (α, β ) .
|
|
b |
b |
æ |
|
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P(a < X < b) = ò f (x)dx = òλe−λx dx = λ ç |
- |
|
÷e−λx |
ba = |
|||||
λ |
|||||||||
|
|
a |
a |
è |
|
ø |
|
||
= -e−λx |
|
ab = -e−λb + e−λa = e−λa - e−λb |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем формулу
P(a < X < b) = e−λa - e−λb
Понятие о системе двух случайных величин.
Мы рассматривали случайную величину X , возможные значения которой определяются одним числом. Такие случайные величины называются одномерными случайными величинами
Определение: Двумерной случайной величиной (X ,Y ) называется система
двух случайных величин, каждая из составляющих (компонентов) которых является одномерной случайной величиной.
Закон распределения двумерной случайной величины.
Определение: Законом распределения дискретной двумерной случайной величины (X ,Y ) называется перечень её возможных значений
(xk , yi ); |
k = 1,n; i = 1,m и соответствующих вероятностей pki |
= p(xk , yi ) . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( X ,Y ) |
|
y1 |
y2 |
|
... |
yi |
... |
ym |
|
x1 |
|
p(x1 ; y1 ) |
p(x1; y2 ) |
|
p(x1 ; yi ) |
|
p(x1; ym ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
p(x2 ; y1 ) |
p(x2 ; y2 ) |
|
p(x2 ; yi ) |
|
p(x2 ; ym ) |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
p(xn ; y1 ) |
p(xn ; y2 ) |
|
p(xn ; yi ) |
|
p(xn ; ym ) |
|
|
|
|
|
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
åå p(xi , yj ) = 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
i =1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
|
|
|
Функция распределения.
y |
Определение: |
|
Функцией |
||||
распределения |
двумерной |
случайной |
|||||
|
|
||||||
|
|
величини (X ,Y ) називается функция, которая |
|||||
|
|
каждой паре |
чисел |
(x, y) |
ставит в |
||
|
x |
соответствие вероятность того, что |
X примет |
||||
|
значение, меньшее x а Y - меньшее y . |
||||||
Рис. 3 |
|
|
|
|
|
||
|
F(x, y) = P(X |
< x,Y < y) |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Геометрически это равенство можно трактовать так: F(x, y) есть вероятность того, что случайная точка ( X ,Y ) попадет в бесконечный квадрат с вершиной (x, y) , расположенный левее и ниже этой вершины (рис.3).
Свойства функции распределения
1) Значения функции F(x, y) удовлетворяют двойному неравенству
0£ F(x, y) £1
2)Функция F(x, y) является неубывающей по каждой своей координате, т.е.
Если x2 > x1 , то F(x2 , y) ³ F(x1 , y) , Если y2 > y1 , то F(x, y2 ) ³ F(x1 , y1 ) .
3) Имеют место предельные соотношения
lim F(x, y) = 0 ; lim F(x, y) = 0 , lim F(x, y) = 0 . |
|||
x→−∞ |
y→−∞ |
x→−∞ |
|
4) |
|
y→−∞ |
|
y → ∞ функция распределения системы двух случайных величин |
|||
а) При |
|||
становится функцией распределения X |
|||
lim F(x, y) = F1 (x) , где F1 (x) |
– функция распределения X |
||
y→+∞ |
|
|
б) При x → ∞ функция распределения системы двух случайных величин становится функцией распределения Y
lim F(x, y) = F2 (y) , где F2 (y) – функция распределения Y .
x→+∞
68
Вероятность попадания двумерной случайной величины в полуполосу и прямоугольник:
|
|
y |
|
|
|
Используя функцию |
|
|||||
|
|
|
|
распределения системы |
|
|||||||
|
|
|
(x1 , y) |
(x2 , y) |
случайных величин, легко |
|
||||||
|
y |
|
найти вероятность того, что |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
в результате испытания |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
случайная величина попадет |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
в полуполосу |
|
|
|||
a) |
|
|
|
|
|
|
x1 < X < x2 ,Y < y (рис.4 а) |
|
||||
|
xy1 |
|
|
|
|
|
или в полуполосу |
|
||||
|
|
x1 |
|
|
x |
y < Y < y |
, X < x (рис.4 б) |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
x2 |
|
Вычитая |
из |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
вероятности |
попадания |
||||
|
|
|
|
|
|
|
случайной |
|
величины |
в |
||
|
|
y |
|
|
квадрант с вершиной (x2 , y) |
|||||||
б) |
|
|
|
вероятность |
попадания |
в |
||||||
|
|
|
|
|
|
квадрант с вершиной (x1 , y) , |
||||||
|
y2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(x1 ≤ X < x2 ,Y < y) = |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x2 , y) − F(x1 , y) |
|
||
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
Аналогично имеем |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(X < x, y1 < Y < y2 ) = |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
c) |
|
|
|
|
|
F(x, y2 ) − F(x, y1 ) |
|
|
y2 |
|
|
|
Найдем |
вероятность |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
y1 |
|
|
|
попадания |
случайной |
||
|
|
|
|
величины в прямоугольник |
||||
|
|
|
|
|
(рис.4 c). |
|
|
|
Рис.4 |
x1 |
x2 |
x |
|
Искомую вероятность |
|||
можно найти, |
например так: |
|||||||
|
|
|
|
|
из вероятности попадания |
|||
|
|
|
|
|
случайной |
величины |
в |
горизонтальную полуполосу вычесть вероятность попадания в вертикальную полуполосу
69
P(x1 £ X < x, y1 £ Y < y2 ) = [F(x2 , y2 ) - F(x1 , y2 )]-
+[F(x2 , y1 ) - F(x1 , y1 )]
Пример: Задана интегральная функция двумерной случайной
величины |
|
|
|
|
|
|
x /2, 0 y /2 |
||
sinx siny при 0 |
||||
F x,y |
0 приx |
0 |
или y 0 |
|
|
||||
|
|
|
||
Найти вероятность попадания |
случайной величины X,Y в |
прямоугольник, ограниченный прямыми x 0,x /4,y /6,y /3 .
Решение: Воспользуемся выше доказанной формулой
P(0 £ X < π / 4,π / 6 £ Y < π /3) = [F(π / 4,π / 3) - F(0,π / 3)]-
-[F(π / 4,π / 6) - F(0,π / 6)] = |
ésin |
π ×sin π - sin 0×sin |
π ù |
- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
4 |
3 |
ú |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
3 û |
|
||||
|
π |
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
é |
×sin |
- sin 0×sin |
ù |
= |
|
6 |
2 |
= 0,26 |
|
|
||||||
êsin |
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
6 |
6 |
|
4 |
|
|
|
|
||||||||
ë |
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
Плотность распределения двумерной случайной величины
Определение: Плотностю распределения независимой случайной величины (X ,Y ) называется смешанная производная 2-го порядка от функции распределения:
f (x, y) = ¶2 F(x, y)
¶x¶y
Функция распределения выражается через плотность с помощью двойного интеграла
x y
F(x, y) = ò ò f (x, y)dxdy
−∞ −∞
Свойства плотности распределения
1) f (x, y) ³ 0 .
+∞ +∞
2) ò ò f (x, y)dxdy = 1.
−∞ −∞
70
Лекция 14
Элементы теории корреляции.Зависимость и независимость одномерных случайных величин. Коэффициент корреляции.
Понятие о многомерной случайной величине.
Во многих задачах требуется оценить зависимость между двумя и более случайными величинами. Например, хотят определить, существует ли связь между курением и продолжительностью жизни, между умственными способностями и успеваемостью и так далее.
Рассмотрим зависимость между двумя случайными величинами X и
Y. Эта зависимость может быть трех типов:
1)величины независимы.
2)между ними существует функциональная зависимость.
3)между ними существует статистическая зависимость.
Определение: Две случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения одной случайной величины не зависит от закона распределения другой случайной величины.
Например, X – рост студента, Y – его оценка на экзамене и так далее.
Функциональная зависимость.
Определение: Если каждому возможному значению случайной величины X соответствует единственное возможное значение случайной величины Y , то Y является функцией от X : Y = ϕ(X ) .
Например:
Реализатор на рынке получает 2% от суммы реализованных товаров. Пусть X – сумма, на которую проданы товары – имеет распределение:
X |
0 |
30 грн |
80 грн |
100 грн |
150 грн |
P |
p1 |
p2 |
p3 |
p4 |
p5 |
Тогда Y – полученные реализатором деньги – будет иметь распределение
Y |
0 |
60 коп |
1,6 коп |
2 грн |
3 грн |
P |
p1 |
p2 |
p3 |
p4 |
p5 |
Как видим, эти случайные величины связаны между собой строгой функциональной зависимостью Y = 0,02X
71