romanovskiy_romanovskaya_elementy_teorii_veroyatnostey
.pdf2.Теоремы сложения и умножения вероятностей
2.1.Из урны, в которой 10 белых и 5 черных шара, берут наугад 2 шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара – черные; б) оба шара – белые; в) шары одинакового цвета.
2.2.В условиях предыдущей задачи берут 3 шара. Какова вероятность того, что хотя бы один черный?
2.3.В связке из 4-х ключей один открывает дверь. Какова вероятность того, что для открывания двери потребуется не более 3-х попыток?
2.4.Абонент набирает наугад последнюю цифру телефонного номера пока не наберет правильную цифру. Найти вероятность того, что абонент наберет правильную цифру: а) с третьей попытки; б) не более, чем с третьей попытки.
2.5.Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочнике соответственно равны: 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) хотя бы в одном справочнике.
2.6.Вероятность поражения цели при одном выстреле 0,8. Какова вероятность того, что для поражения цели потребуется не более 3-х выстрелов?
2.7.Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попасть в мишень первым стрелком 0,7, вторым – 0,8. Найти вероятность того, что: а) оба стрелка попали; б) только один попал; в) цель поражена.
2.8.Три стрелка с точностями 0,6; 0,8; 0,9 стреляют по одной и той же цели. Какова вероятность того, что хотя бы один из них попал в цель?
2.9.В магазине установили две независимо работающие системы сигнализации. Вероятность несрабатывания первой системы равна 0,05; второй системы – 0,02. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработает хотя бы одна система сигнализации.
121
2.10.В первом ящике 5 белых, 7 черных и 3 красных шара; во втором ящике 7 белых, 2 черных и 4 красных шара. Из каждого ящика наугад вынимаются по одному шару. Найти вероятность того, что оба выбранных шара – одного цвета.
2.11.Рабочий обслуживает три станка. Вероятности нарушения нормальной работы в течение часа равны: для первого станка – 0,04; для второго – 0,02; для третьего – 0,025. Найти вероятность того, что в течение часа: а)лишь один из станков не будет работать нормально; б) не менее чем один станок будет работать нормально.
2.12.Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июне равно 6. Какова вероятность того, что 1-го и 2-го июня будет ясная погода?
2.13.В магазин поступила большая партия товара: 40% партии – товар 1 сорта; 50% – товар 2 сорта; остальное высшего качества. Найти вероятность того, что две случайным образом выбранные единицы товара – одного сорта.
2.14.Для охраны банка созданы три независимо работающие системы безопасности, вероятности отказа которых равна соответственно 0,05, 0,02 и 0,01. Какова вероятность того, что в случае несанкционированного проникновения в банк сработает хотя бы одна система безопасности?
2.15.Студент, который знает 10 из 15 вопросов по первому разделу и 16 из 20 вопросов по второму разделу, получает по одному случайно выбранному вопросу из каждого раздела. Найти вероятность того, что студент ответит: а) правильно на оба вопроса; б) правильно на первый вопрос и неправильно на второй; в) правильно хотя бы на один вопрос; г) правильно на один вопрос.
2.16.Предприятие обеспечивает регулярный выпуск продукции при безотказной поставке комплектующих от двух смежников. Вероятность отказа в поставке
122
продукции от первого из смежников равна 0,05, от второго – 0,08. Найти вероятность сбоя в работе предприятия.
2.17.Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одним предприятием.
2.18.Среди билетов денежно-вещевой лотереи половина выигрышных. Сколько лотерейных билетов нужно купить, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,999 быть уверенным в выигрыше хотя бы по одному билету?
2.19.Найти надежность прибора приведенного на рисунке, если надежность блоков ai равна 0,8 (i = 1, 2, 3), надежность блоков bj равна 0,9 (j = 1,2) и надежность блока с равна 0,7.
a1
b2
a2 |
|
|
c |
|
|
||
|
|
|
|
b2
a3
3.Формулы полной вероятности и Байеса
3.1.Имеется пять винтовок, из которых три с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель из винтовки с прицелом равна 0,95, а без – 0,8. Найти вероятность попадания в цель из наудачу выбранной винтовки.
3.2.Три цеха по пошиву обуви производят 25%, 35% и 40% продукции. Брак их продукции составляет соответственно 5%, 4% и 3%. Какова вероятность того, что случайно выбранная пара обуви будет бракованной?
123
3.3.В условиях задачи 3.2. найти вероятность изготовления пары обуви цехами, если она оказалась бракованной.
3.4.Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено из первой группы четыре студента, из второй – шесть, из третьей – пять. Вероятность того, что отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадет в сборную, равны соответственно 0,5; 0,4; 0,3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
3.5.Вероятность того, что изделие удовлетворяет стандарту, равна 0,96. Используется упрощенная схема контроля, которая дает положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту и с вероятностью 0,05 для изделий, не удовлетворяющих стандарту. Какова вероятность того, что изделие, прошедшее контроль, удовлетворяет стандарту?
3.6.На трех автоматических линиях изготавливаются одинаковые детали в одинаковых количествах. Вероятность брака для первой линии равна 0,002; для второй– 0,001; для третьей – 0,005. Найти вероятность того, что: а) наудачу взятая деталь окажется стандартной; б) наудачу взятая стандартная деталь оказалась с первой линии.
3.7.Вся продукция фабрики выпускается станками трех типов. На станках первого типа выпускается 30% всей продукции, на станках второго – 20%. Станки первого типа дают 2% брака, второго типа – 1,5% и третьего – 1,2 %. Найти вероятность того, что: а) наугад взятое изделие этой фабрики окажется бракованным; б) наугад взятая бракованная деталь выпущена станками первого типа.
3.8.Из урны, содержащей 2 белых и 1 черный шар, перекладывают шар в урну, содержащую 2 черных и 1 бе-
124
лый шар. Определить вероятность извлечь черный шар из второй урны после указанного перекладывания.
3.9.Имеется 3 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных шаров, в третьей – 4 белых и 3 черных шара. Наугад выбрали урну и вынули два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Найти вероятность того, что шары были вынуты из третьей урны, если оказалось, что они оба белые.
3.10.Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки: первая – 15 счетов, вторая – 10, третья – 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций соответственно таковы: 0,9; 0,8; 0,85. Какова вероятность, что наугад выбранный счет окажется правильным?
3.11.В условиях задачи 3.9. был выбран счет, и он оказался правильным. Определите вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.
3.12.В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – удовлетворительно, 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный– на 16, удовлетворительно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.
3.13.На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантированного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что:
а) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантированного срока; б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на
125
первом заводе, на втором заводе?
3.14.Противотанковая батарея состоит из 10 орудий. Для любого из 6 орудий первой группы вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Для любого из 4 орудий второй группы эта вероятность равна 0,9. Наудачу выбранное орудие произвело два выстрела по цели, в результате чего были зафиксированы два попадания. Найти вероятность того, что стрелявшее орудие принадлежит: а) первой группе; б) второй группе.
3.15.Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверял второй товаровед.
4.Схема с повторением испытаний
4.1.Проводится 10 независимых бросаний монеты. Найти вероятность того, что герб выпадет от 4 до 6 раз.
4.2.Проводится 100 независимых бросаний монеты. Найти вероятность того, что герб выпадет от 45 до 55 раз.
4.3.Проводится 100 независимых выстрелов по цели. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Найти: а) вероятность того, что цель будет поражена не менее 75, но не более 85 раз; б) наиболее вероятное число попаданий в цель.
4.4.Надежность серийно изготовляемого изделия 0,999. Какова вероятность того, что в партии из 10000 изделий число неисправных не менее 8950 и не более 9050? Найти также наиболее вероятное число исправных изделий.
4.5.Вероятность рождения мальчика 0,51. Какова вероятность того, что из 100 новорожденных:
126
а) окажется 50 мальчиков; б) число мальчиков будет заключено в пределах от 50 до 55.
4.6.В лотерее 30% выигрышных билетов. Найти; а) вероятность того, что из 6 купленных билетов будет не менее двух выигрышных; б) наиболее вероятное число выигрышных билетов из 6 купленных; в) вероятность того, что из 40 купленных билетов не менее 10 выигрышных.
4.7.Надежность серийно изготовляемых изделий 80%. Какова вероятность того, что из 500 проверенных изделий не менее 400 окажутся качественными?
4.8.В семье 5 детей. Какова вероятность того, что в ней не более 2-х мальчиков?
4.9.Вероятность брака равна 0,1. Каково наиболее вероятное число бракованных изделий в партии из 25 изделий?
4.10.Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут: а) восемь; б) по крайней мере восемь; в) не менее трех.
4.11.Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из шести телевизоров: а) не более одного потребуют ремонта; б) хотя бы один потребует ремонта.
4.12.Рабочий за смену изготавливает 120 изделий. Вероятность того, что изделие оказывается высшего сорта, равна 0,94. Найти: а) наиболее вероятное число изделий высшего сорта и вероятность данного значения; б) вероятность того, что изделий высшего сорта заключено в пределах от 105 до 118.
4.13.В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий наудачу взятых из этой партии, ровно три окажутся дефектными.
4.14.Предполагая, что вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6, найти вероятности
127
следующих событий: 1) при 12 выстрелах мишень будет поражена 7 раз; 2) при 200 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 110, но не более 130 раз; б) не более 100 раз; в) не менее 115 раз.
4.15.Что вероятней? Выиграть у равносильного противника 3 партии из четырех или 5 партий из восьми (ничейный исход исключен).
4.16.В компьютерных классах одновременно установили 84 новых компьютера. Вероятность безотказной работы одного компьютера в течение трех лет равна 0,7. Найти вероятность того, что за три года откажет: а) ровно 21 компьютер; б) от 21 до 27 компьютеров; в) менее 21 компьютера.
4.17.Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет: а) 15 ошибок; б) меньше 20 ошибок.
4.18.В страховой компании застраховано 10000 автомобилей. Каждый владелец застрахованного автомобиля платит в год 60 долларов страховых и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает от компании 5000 долларов. Считая, что вероятность поломки автомобиля в течение года в результате аварии равна 0,006, найти вероятность того, что: а) по истечении года работы страховая компания окажется в убытке; б) прибыль компании окажется не меньше 200000 долларов; в) прибыль окажется не меньше 300000 долларов.
5.Случайные величины
5.1.В связке 5 ключей, из которых один открывает дверь.
Найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины ξ – числа попыток открыть дверь.
128
5.2.Линия связи состоит из 4-х участков. На одной из них произошел обрыв связи. Вероятность обрыва на каждом участке одинакова. Найти закон распределения числа проверенных участков.
5.3.У стрелка 4 патрона. Вероятность попадания при
одном выстреле равна 3 . Стрельба ведется до первого
5
попадания или до израсходования всех патронов. Составить закон распределения случайной величины – числа израсходованных патронов.
5.4.Игральная кость бросается три раза. Найти закон распределения числа выпадений шестерки.
5.5. Вероятность успеха при одном испытании равна 3 .
4
Найти закон распределения и числовые характеристики числа успехов после 4-х независимых испытаний.
5.6.Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5; вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий при двух выстрелах. Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий. Построить график функции распределения.
5.7.В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу
отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины ξ – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики этой случайной величины.
5.8.Мастер делает попытки обнаружить неисправность и при этом до конца смены успевает сделать не более трех попыток. Вероятность обнаружения неисправности при одной попытке равна 0,6. Составить закон распределения числа производимых попыток.
5.9.В лотерее из 100 билетов разыгрываются два выигрыша на сумму 200 руб. и 60 руб. Стоимость
билета 10 руб. Составить закон распределения суммы
129
чистого выигрыша для лица, купившего 2 билета.
5.10.Студент знает 10 из 15 экзаменационных вопросов. Ему задают два вопроса, случайным образом выбранные из списка. Случайная величина Х – число вопросов, на которые ответил студент. Найти закон распределения данной случайно величины, М [Х], D [X].
5.11. Случайные |
величины |
x |
|
|
и |
h |
заданы законом |
|||||||||
распределения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
-1 |
0 |
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
h: |
|
|
|
|
|
|
|||
x: 1 |
1 |
|
1 |
|
, |
1 |
1 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
4 |
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|||||||||
Составить закон распределения суммы этих случайных величин и проверить свойство математического ожидания для суммы двух случайных величин.
5.12.Плотность вероятности случайной величины x имеет вид:
|
|
2 |
|
|
-1 £ x £1; |
f (x) = Cx |
|
, |
если |
||
|
0, |
|
если |
| x | >1. |
|
Найти: а) константу С; б) Р(x Î [– 2; 0]); в)М [x ]; г) D[x ];
д) функцию распределения F (x).
5.13. Плотность вероятности случайной величины x имеет вид:
0, |
|
если |
x < 5; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = C |
, |
|
x ³ 5. |
|||
|
|
|
|
если |
||
|
5 |
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
Найти: а) константу С; б) М[x]; в) D[x];
г) P (2 < x <10); д) функцию распределения F (x).
5.14.Плотность вероятности случайной величины x имеет вид:
|
0, |
если |
x < 0; |
f (x) = |
|
|
x ³ 0. |
Ce−3x , |
если |
||
Найти: а) константу С; б) P (|x|≤2); в) функцию распределения F (x).
130