Безруков Л.В. ФИЗИКА -- 1
.pdf211
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ. Уравнение, связывающее любой термодинамический параметр (любое термодинамическое свойство) системы с параметрами, принятыми в качестве независимых переменных.
ФАЗА. Гомогенная часть гетерогенной термодинамической системы, ограниченная поверхностью раздела.
ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД. Термодинамический процесс перехода вещества из одной фазы в другую при изменении внешних условий (температуры, давления и т.д.).
В узком смысле Ф.п. – скачкообразное изменение физических свойств вещества при непрерывном изменении внешних параметров. Для таких Ф.п. характерно наличие точки перехода с конкретными значениями температуры, давления или каких-либо др. параметров. Различают Ф.п. двух родов.
Фазовый переход первого рода – Ф.п., при котором скачком изменяются энтропия системы, плотность и концентрация еѐ компонентов. Такие переходы всегда сопровождаются теплотой перехода. К фазовым переходам первого рода относятся плавление и кристаллизация, испарение и конденсация, сублимация и десублимация, а также аллотропные превращения кристаллов (например, у льда, серы, олова).
Фазовый переход второго рода – Ф.п., при котором плотность и энтропия изменяются непрерывно, но их частные производные, т.е. теплоѐмкость и различные термические коэффициенты вещества претерпевают скачки. Такие переходы не сопровождаются теплотой перехода. Примером Ф.п.в.р. является обратимый переход парамагнетика в ферромагнетик.
ФУНКЦИЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ f(x). Закон распределения непрерывной случайной величины. Вероятность P(a< X <b) того, что значение, определяемое случайной величиной X , попадет в промежуток ]a,b[, определяется равенством
|
b |
P a X b |
f x dx |
a
График функции f(x) называется кривой распределения. Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток ]a,b[ равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ox и прямыми x = a, x = b. Ф. п. в. обладает следующими свойствами:
1) f x 0; |
2) f x dx 1 |
Если все значения случайной величины X заключены в промежутке ]a,b[, то последнее b
равенство можно записать в виде f x dx 1.
a
ФУНКЦИЯ ПРОЦЕССА. Физ. вел., непосредственно зависящая от термодинамического процесса и проявляющаяся только тогда, когда система в результате взаимодействия со средой изменяет один или несколько своих параметров состояния. К типичным Ф.п. относятся работа расширения A и теплота Q. Обе они являются разными формами энергетического обмена между системой и средой в ходе какого-либо процесса, а в каждом конкретном состоянии системы теряют смысл. Количество работы и теплоты зависит от вида процесса.
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Основное понятие статистической физики,
характеризующее плотность вероятности распределения частиц термодинамической системы по фазовому пространству (т.е. по координатам и импульсам) в классической статистике или по квантовым состояниям в квантовой статистике. Функция распределения является основной характеристикой самых разнообразных (не только физических) систем,
212
которым свойственно случайное поведение, т.е. случайное изменение состояния системы и, соответственно, ее параметров. Функция распределения в подавляющем большинстве случаев содержит в себе всю возможную и потому исчерпывающую информацию о свойствах таких систем.
В математической теории вероятностей и математической статистике функция распределения и плотность вероятности отличаются друг от друга, но однозначно связаны между собой. Согласно принятой в физике традиции плотности вероятности называют плотностью распределения вероятности или функцией распределения, ставя знак равенства между этими двумя терминами.
ФУНКЦИЯ СОСТОЯНИЯ. Физ. вел., значение которой полностью определяется термодинамическим состоянием системы. К Ф.с. относятся, например, внутренняя энергия, энтальпия, свободная энергия, а также все параметры состояния: давление и объѐм, температура и энтропия, химический потенциал, масса и др.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Функция состояния термодинамической системы соответствующих параметров, характеризующаяся тем, что посредством этой функции и производных ее по этим параметрам могут быть выражены в явном виде все термодинамические свойства системы.
ХИМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ μ .Термодинамическая функция состояния, определяющая изменение термодинамических потенциалов при изменении числа частиц в системе и необходимая для описания свойств открытых систем (с переменным числом частиц). X.п. был введѐн Дж. У. Гиббсом в 1875 при рассмотрении хим. равновесия в многокомпонентных системах, отсюда его название. Основное уравнение равновесной термодинамики для однокомпонентной системы имеет вид:
dU TdS PdV dN ,
где U – внутренняя энергия системы, S – еѐ энтропия, N – количество частиц в системе.
Эта формула определяет, кроме Х. п. μ, также давление P и температуру T. Х.п. задаѐтся формулой
U TS PV |
|
G |
, |
|
|
||
N |
|
N |
где G – энергия Гиббса.
Если в системе имеется несколько разных типов частиц (многокомпонентные системы), то в ней столько же разных Х.п., сколько компонентов:
dU TdS PdV |
i |
dN |
i |
. |
|
|
|
||
|
i |
|
|
|
Обычно Х. п. компонента системы вычисляют как частную производную энергии Гиббса по числу частиц (или молей) этого компонента при постоянной температуре, давлении и массах других компонентов.
Х.п. играет важную роль при изучении сложных термодинамических систем, является нормировочным множителем во всех классических и квантовых статистиках. Равенство Х.п. всех фаз одного компонента в любой многокомпонентной системе является непременным условием ее термодинамического равновесия. Из этого условия следуют: правило фаз Гиббса (при фазовых переходах), закон действующих масс (при химических реакциях), свойства растворов (законы Вант-Гоффа). Если для частиц одного из компонентов переход из одной части системы в другую невозможен, то для этого компонента условия равенства Х.п. нарушаются и в системе возникает осмотическое давление. Х.п. оказывается очень важным при описании свойств открытых систем (систем с переменным числом частиц). Численно X.п. выражается в единицах энергии на единицу массы (Дж/кг), или на единицу кол-ва вещества (Дж/моль), или на 1 частицу.
ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛЫ. Число i независимых координат, которые описывают движение молекулы в пространстве. Каждая молекула обладает тремя степенями
213
свободы поступательного движения. При умеренных и высоких температурах все линейные (как правило, двухатомные) молекулы обладают дополнительно двумя, а плоские и объѐмные молекулы, содержащие три и более атома,– тремя степенями свободы вращательного движения. При высоких температурах к ним добавляются степени свободы колебательных движений атомов внутри молекул. Согласно теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы молекулы на каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится энергия теплового движения, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы в среднем приходится энергия kT, где k – постоянная Больцмана, T – термодинамическая температура.
ЭНЕРГИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА, свободная энергия F. Функция состояния термодинамической системы, равная разности между внутренней энергией и произведением термодинамической температуры на энтропию: F
Энергия Гельмгольца является характеристической функцией, если объем и термодинамическая температура являются независимыми переменными. Комплекс TS иногда называют связанной энергией системы. Внутреннюю энергию системы можно представить в виде суммы свободной энергии F и связанной энергии TS: U Следовательно, именно комплекс TS характеризует ту часть внутренней энергии, которая не может быть полезно (в форме работы) израсходована в изотермическом процессе.
ЭНЕРГИЯ ГИББСА, свободная энтальпия G. Функция состояния термодинамической системы, равная разности между энтальпией и произведением термодинамической температуры на энтропию: G
Энергия Гиббса является характеристической функцией, если давление и термодинамическая температура являются независимыми параметрами. Из определения
энергии Гиббса следует, что эта величина имеет размерность |
L2 MT 2 |
и выражается в |
джоулях. |
|
|
ЭНТАЛЬПИЯ H. Функция состояния термодинамической |
системы, |
равная сумме |
внутренней энергии и произведения объема на давление: H U |
PV. |
|
Энтальпия является характеристической функцией, если энтропия и давление являются независимыми параметрами.
ЭНТРОПИЯ S. Одно из важнейших понятий физики. Введено в термодинамику Р. Клаузиусом в 1865 г. для определения меры необратимого рассеяния энергии и теплового хаоса в термодинамической системе. Э. – экстенсивный параметр теплового состояния системы, дифференциал dS которого в обратимых процессах однозначно связан с поглощаемой теплотой δQ соотношением:
Q T dS dS TQ ,
где T – термодинамическая температура процесса.
В соответствии с первым началом термодинамики полный дифференциал Э. в обратимых процессах
dS |
|
1 |
d U PdV . |
|
T |
||||
|
|
Изменение Э. в термодинамическом процессе, переводящем систему из состояния 1 в состояние 2
2 |
Q |
|
|
S |
. |
||
|
|||
1 |
T |
Например, изменение Э. ν молей идеального газа:
S S |
S |
C ln |
T2 |
R ln |
V2 |
. |
|
|
|||||
|
2 1 |
V |
T1 |
|
V1 |
|
|
|
|
|
214
П Р И Л О Ж Е Н И Е Б
ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Отличительным свойством теплового движения атомов и молекул является его случайный характер. Невозможно точно предсказать, с какой скоростью будет двигаться та или иная молекула, какой она будет обладать энергией, импульсом и т.д. Имеет смысл постановка лишь одного вопроса: какова вероятность того, что какая-либо физическая величина будет иметь то или иное значение?
Статистической вероятностью (или частотой) |
(A) события A называется |
отношение числа mА опытов, в которых появилось событие А, к общему числу n |
|
произведенных независимых опытов (испытаний): |
|
~ |
m |
A |
. |
(Б.1) |
P A |
|
|||
|
|
|||
|
n |
|
При увеличении n частота приближается к некоторой средней постоянной величине,
называемой вероятностью случайного события.
Вероятность может принимать значения в интервале от 0 до 1: 0 |
(A) 1. |
Например, при бросании монеты на твердую горизонтальную поверхность, неясно, как она ляжет: цифрой вверх или гербом. Вероятности этих событий, при определенных условиях, равны 1/2. При бросании игральной кости нельзя с уверенностью сказать, какая из шести цифр окажется на верхней грани. Вероятность выпадения каждой из цифр при определенных предположениях (кость – однородный куб без сколотых ребер и вершин падает на твердую, гладкую горизонтальную поверхность) равна 1/6.
Не обязательно многократно повторять одинаковые испытания. Можно одновременно выполнить большое количество испытаний (например, бросание сразу множества монет или игральных костей). Результаты оказываются в среднем одинаковыми.
Событие, которое реализуется обязательно в каждом испытании, называется достоверным. Вероятность такого события A = 1. Если A – невозможное событие (оно вообще не реализуется), то mA = 0 и A = 0.
События называются независимыми (несовместными), если появление одного из них
вединичном испытании исключает появление другого в том же испытании.
Пр а в и л о с л о ж е н и я в е р о я т н о с т е й . Вероятность того, что произойдет какоелибо одно из нескольких независимых событий, равно сумме вероятностей рассматриваемых событий.
Пример 1. Пусть в ящике находится 15 шаров, различающихся только по цвету (7 красных, 3 зеленых, 5 белых). Какова вероятности вытащить: а) белый шар; б) белый или красный шар; в) белый или красный или зеленый шары?
~ 5 1 |
~ 5 7 12 |
4 |
~ 5 7 3 |
|
|||||||||||||||
а) P |
|
|
|
; б) P |
|
|
|
|
|
|
|
; в) P |
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15 |
3 |
15 |
15 |
15 |
5 |
15 |
15 |
15 |
|
||||||||||
П р а в и л о ум н ож е н и я в е р о я т н о с т е й . Вероятность |
того, что произойдут |
сразу несколько независимых событий, равна произведению вероятностей этих событий.
Пример 2. Бросают два кубика (игральных кости) одновременно. Какова вероятность того, что выпадут два одинаковых числа (например, две четверки)?
~ 1 |
1 |
1 |
. |
|||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
6 |
36 |
|
216
так как это достоверное событие.
В общем случае условие нормировки можно записать как |
|
|||||||||
|
f |
X |
dX |
1 |
|
|
(Б.8) |
|||
|
|
|
|
|||||||
Среднее значение непрерывной случайной величины |
|
|
|
|||||||
X |
X |
|
f |
X |
dX |
|
|
(Б.9) |
||
|
|
|
|
|||||||
В теории вероятностей и математической статистике большую роль играет |
||||||||||
нормальный закон распределения (распределение Гаусса): |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
X |
a 2 |
|
|
|
f X |
|
|
|
e |
2 |
2 , |
(Б.10) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
где a – среднее значение (математическое ожидание) случайной величины; |
ζ – среднее |
квадратическое отклонение, которое характеризует разброс случайной величины относительно среднего значения.
Кривая нормального распределения имеет колоколообразную форму, симметричную
относительно прямой x = a. В точке x = a функция достигает максимума |
f |
X |
|
1 |
. |
|
max |
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
По мере возрастания |x = a| функция f(X) монотонно убывает, асимптотически приближаясь к нулю. С уменьшением ζ кривая становится все более узкой и высокой. Изменения a не влияют на форму кривой, а лишь сдвигают ее вдоль оси абсцисс. Площадь под кривой, согласно условию нормировки, всегда равна единице.
217
П Р И Л О Ж Е Н И Е В
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ
В1 Геометрия
Треугольник. Обозначения: S – площадь; a, b, c – стороны; α, β, γ – соответствующие противолежащие углы; h – высота.
c2 a2 b2 2bc cos (теорема косинусов);
a |
|
b |
|
|
|
c |
|
|
(теорема синусов); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
sin |
|
|
|
sin |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
S |
|
1 |
ah |
|
1 |
ab sin ; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
a |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ha |
|
|
b sin |
|
|
c sin . |
Параллелограмм. Длины сторон a, b; длины диагоналей d1 и d2.
|
|
|
S |
|
ah |
bh |
ab sin |
|
; S |
|
1 |
d d |
|
sin . |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
2 1 |
2 |
|
||
Квадрат. |
S |
a2 ; |
|
прямоугольник S |
ab . |
|
|
|
|
|
||||||
Ромб. S |
|
1 |
d d |
|
; |
трапеция: S |
|
a |
b |
h |
ch. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Длина окружности и площадь круга:
L 2 r d ; S r 2 |
d |
2 |
, |
|
|
||
4 |
|
||
|
|
|
где π = 3,141592653589…≈ 3,142; r – радиус окружности, d – диаметр.
|
|
d |
|
r |
|
|||
Длина дуги окружности: L r |
|
|
|
|
|
|
|
. |
360 |
|
|
180 |
|||||
|
|
|
|
|||||
Площадь эллипса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
ab , |
|
|
|
где a – большая полуось, b – малая полуось эллипса. Цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра:
S 2 rh.
Площадь полной поверхности цилиндра и его объем:
S |
2 r r |
|
|
h ; |
V |
Sоснов |
h ; V |
r 2h . |
||||
Конус. Объем конуса: |
V |
1 |
S |
|
|
h ; |
V |
1 |
r 2h . |
|
||
|
основ |
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шар. Площадь поверхности и объем шара радиуса r:
S 4 r 2 |
d 2 ; V |
4 |
r3 |
1 |
d 3 . |
|
3 |
6 |
|||||
|
|
|
|
218
В2 Формулы алгебры и тригонометрии
Формулы сокращенного умножения
a |
b a |
b |
a2 |
b2 ; |
a |
b 2 |
a2 |
2ab b2 ; |
|
a |
b 2 |
a2 |
2ab |
b2 ; |
a b 3 a3 |
3a2b |
3ab2 |
b2 ; |
||||
a b 2 a3 |
3a2b |
3ab2 |
b2 ; |
||||
a |
b |
a2 |
ab |
b2 |
a3 |
b3; |
|
a |
b |
a2 |
ab |
b2 |
a3 |
b3. |
Полное квадратное уравнение
ax |
2 |
bx c 0, x |
b |
|
b2 4ac |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
1,2 |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
Приведенное квадратное уравнение
x2 px q 0, |
x |
p |
|
|
p 2 |
q |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1,2 |
2 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
Основные формулы тригонометрии
Определение тригонометрических функций угла. В прямоугольном треугольнике a и
b – катеты, с – гипотенуза; a2 b2 |
c2 ; угол α – противолежащий катету a. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
sin |
|
|
a |
; |
cos |
|
b |
; tg |
|
|
a |
; |
|
|
|
|
b |
ctg ; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 |
|
|
|
cos2 |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
sin |
tg |
; |
|
cos |
|
|
ctg |
; |
|
|
|
tg |
|
|
ctg |
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
cos |
|
sin |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Формулы суммы и разности двух углов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
sin |
|
|
sin |
|
|
|
|
cos |
cos |
|
sin |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
cos |
|
|
|
cos |
|
cos |
sin |
|
sin |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 tg |
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Функции двойного и половинного угла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin 2 |
|
|
2sin |
|
cos |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
cos |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
cos 2 |
|
|
cos2 |
|
sin 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
cos |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
sin |
|
|
2 1 |
cos 2 |
|
|
|
cos |
|
|
|
2 1 cos 2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
219
tg 2 |
|
2 tg |
|
; |
|
tg |
1 |
cos |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 tg2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|||||||||
В3 Логарифмы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Если loga x |
|
b , то x |
|
|
ab (x > 0, a > 0, a ≠ 1). |
|
|||||||||||||||
Основные свойства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log 0 |
|
; |
|
log1 |
0; |
|
loga a |
1; |
|
|
|||||||||||
|
log xy |
|
|
log x |
log y; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
log |
x |
|
|
|
log x |
log y; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
log xn |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
log x. |
||||||||||||
|
nlog x; |
|
log n |
x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переход к другому основанию в логарифмах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
loga x |
|
logb x |
; |
loga x |
|
|
1 |
|
. |
|
|
||||||||||
|
logb a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log x a |
|
В4 Определители
Определитель (детерминант) второго порядка:
a1 |
b1 |
= a1b2 – a2 b1. |
a2 |
b2 |
|
где a1, a2, b1, b2 – числа – элементы определителя; элементы a1b2 образуют главную диагональ; элементы a3b2 образуют побочную диагональ.
Определитель (детерминант) третьего порядка:
à1 b1 c1 a2 b2 c2 ;
a3 b3 c3
∆ = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 – c1b2a3 – b1a2c3 – a1c2b3.
Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Например,
|
à1 |
b1 |
c1 |
|
|
b2 |
c2 |
|
|
a2 |
c2 |
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
a1 |
b1 |
c1 |
|||||||
|
|
b c |
a c |
a b |
||||||||||
|
a3 |
b3 |
c3 |
|
|
3 |
3 |
|
|
3 |
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными. |
|
|||||||||||||
Если определитель системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a1x b1 y |
c1z |
u |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a2 x |
b2 y |
c2 z |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 x |
b3 y |
c3 z |
w |
|
|
|
|