Часть 1 Mathcad

РАБОТА № 4 MATHCAD: ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ

Цель работы: изучение способов интегрирования и дифференцирования, решения алгебраических уравнений и их систем в пакете Mathcad.

4.1 Теоретические сведения

Интегрирование и дифференцирование функций в пакете Mathcad

осуществляется с использованием кнопки Calculus (Калькуляция) на панели

инструментов.

Численное решение систем алгебраических уравнений в Mathcad.

При этом должно быть задано некоторое начальное приближение для тех переменных, значение которых необходимо найти. Основываясь на этих начальных данных, Mathcad будет последовательно уточнять решение до тех пор, пока не подберет наиболее точные значения.

Решающий блок состоит из нескольких компонент, следующих на листе в строго определенном порядке:

1. Начальное приближение (присваивание начальных значений перемен-

ным).

2.Директива Given, которую необходимо набрать с клавиатуры.

3.Уравнения, которые необходимо решить. Уравнения вводятся в обычной математической форме, но вместо простого знака равенства используется оператор логического равенства (вводится путем нажатия Ctrl+=).

4.Обращение к функции Find. Аргументами функции являются имена переменных, относительно которых решается система. Функция возвращает вектор значений, где первый элемент соответствует первой переменной в списке аргументов, второй элемент – второй переменной и т. д. При этом решение системы может быть найдено как при помощи численного (знак «=»), так и с использованием символьного процессоров системы (знак « »).

21

Пример 1. Решим систему алгебраических уравнений:

Данная система имеет два решения. Найдем одно из них (рис. 1) с

начальным приближением x = 0; y = 0.

Рис. 1. Решение системы алгебраических уравнений в Mathcad

Последняя запись – вектор (–1; –2) есть значение, которое вернула функ-

ция Find, то есть одно из решений системы. Найти второе решение можно, если взять другое начальное приближение x = 2; y = 2. Тогда функция Find вернет вектор (2; 4).

Аналитическое решение алгебраических уравнений и их систем в

Mathcad. Данное решение используется для получения решений в общем виде.

Обычно при этом система уравнений записывается только с использованием буквенных обозначений переменных, без конкретных чисел. Для получения аналитического решения (рис. 2) используется оператор аналитического вычис-

ления « » вместо оператора числового вычисления «=».

Рис. 2. Пример аналитического решения системы алгебраических уравнений Следует обратить внимание, что здесь при решении системы нелинейных уравнений в блоке Given/Find уже нет необходимости указывать начальные

22

0... 2

приближения, поскольку решение идет не численными, а символьными методами (используется ядро математической системы Maple).

Решение задачи определения корней полинома в Mathcad осуществляется при помощи встроенной функции polyroots(v), где v – вектор-столбец коэффициентов полинома, первым элементом которого является свободный член полинома, вторым – коэффициент при x1 и т. д.

Задание 1. Найдите неопределенные и определенные на интервале

интегралы от следующих выражений:

№								Выражение												№													Выражение
1.		xsin( x) 3																		16.	(1 ex )(x2											4) 1
2.																				17.
				6x (4 x2 )																	x 3x2							x4
3.						3														18.	(x ln x) (1														x	sin x)
								x2
		x xe x
																																		5
4.	2x3 3x2 x4																			19.	2x 5 3e2x													x2
5.	2tg x sin x																			20.	x6 x3							45x x2
6.	5cos2 x 7																			21.	(1 x)x2 6x
7.		x2 (x 1) x3 x(x 2)																		22.
																					6 2						x ln x
8.		2x(1 ex )																		23.	x				x 3
																								x 2x3
			(1 x2 )2
9.	2 9x2 (4x2 6x3 )x																			24.	6x4 2x x2
10.			x (1 x2 ) 1 x2																	25.	5 tg x sin 2x
11.	cos x (x2 1) sin x																			26.	x x(2ln x 1)
12.	5												3							27.	x 4x2								x3e x2
			x(x 1)								x 2
13.																				28.										2
												2				5
		x 45								x x																		x
																						3
																					8			x								sin		2x
																												8
14.						4										3				29.	2x 3 (x4											3x2 )x 4
		x (ln x						ln x							4) ln
																		x
15.		x6 2x x3																		30.	x3
																										2x x 1
	Задание 2. Для функции sin x																			найдите первую и вторую производные

аналитически и в точке x 0,1.

Задание 3. Для функции f (x, y) , равной следующему выражению:

23

№

Выражение

№

Выражение

1.																					16.	(1 e y )(x2 4) 8 y
		y sin x 3									6 y			(4 x2 )
2.															3						17.	y7 x 3x2 yx4
				6x	(4 x2 ) y xe y x2
3.		y xe x					y2				y sin x 3										18.	(x ln y) (1 x sin y)
						3
																																		5
4.	2x3 3y 2 x4 2tg x sin y																				19.	2 y 5 3e2 x												xy2
5.	2tg y sin x															(4 x2 )					20.	y6 x3 45 yx x2
												6 y
6.	5cos2 y 7 x2 ( y 1)																				21.	(1 x) y 2 6x
7.		x2 ( y 1) x3 x( y 2)																			22.
																						6 y 2						xy ln x
8.		2x(1 e yx )																			23.	xy			x 3
																							x		2xy3
			(1 y2 )2
9.	2 9 y 2 (4x2										6x3 ) y										24.	6 yx4 2x xy2
10.		x (1 y 2 ) 1 yx2																			25.	5 tg yx sin												2x y5
11.	cos y (x2 1) sin yx																				26.	xy4 x(2ln xy 1)
12.	5									3y											27.	x 4xy2 x3e y
			x( y 1)						x 2
13.										2					5						28.											2
		y 45						x xy														8xy 3								x			sin 2xy
																									y
																									8
14.						4									3						29.	2xy 3			(xy4								3x2 )x 4
		x (ln y					ln x				4) ln
																			y
15.		y6 2x xy3																			30.	xy3
																										2x y 1
	найдите первую и вторую частные производные по x																																	и y . Вычислите

частную производную по y				в точке (1; 0,1). Частные производные в Mathcad
находятся так же, как и обычные.
	Задание 4. Решите алгебраическое уравнение:
№			Выражение		№	Выражение
1.		x sin( x) 3			16.	(1 e x ) (x2	4) 1
2.		6x (4 x2 )			17.	x 3x2 x4
3.		x xe x 10x2			18.	(x ln x) (1 x sin x)
		3
							5
4.		2x3 3 x2 x4			19.	2x 5 3e2x	x2

24

5.	2tg x sin x 67															20.		x6 x3									45x x2
6.	5cos2 x 7															21.	(1 x)x2 6x
7.		x2 (x 1) x3 x(x 2)														22.
																	6 2							x ln x
8.		2x(1 ex )						89								23.			x 3								90x
																		x 2x3
			(1 x2 )2
9.	2 9x2 (4x2 6x3 )x															24.	6x4 2x x2
10.			x (1 x2 ) 1 x2													25.	5 tg x sin 2x
11.	cos x (x2							1) sin x								26.		x(2ln x 1) 3x4
12.	5									3						27.		x 4x2									x3e x2
			x(x 1)					x 2
13.									2			5				28.						x			2
		x 45						x		x							3
																			x								sin( 2x)
																					8
14.				4								3				29.	2x 3				(x4 3x2 )x 4
		x (ln x			ln x 4) ln
														x
15.																30.
		x6 2x x3								3x								x3					2x x6 1

Задание 5. Решите систему алгебраических уравнений численно и анали-

тически:

x4 y2 0 .x 2 y 0

Задание 6. Определите корни полинома:

x4 6x3 12x2 10x 3 0 .

25

РАБОТА № 5 MATHCAD: РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ

Цель работы: получение навыков решения однородных дифференциальных уравнений и их систем в пакете Mathcad.

5.1 Теоретические сведения

Вычислительный процессор Mathcad может работать с дифференциальными уравнениями, представленными только в форме Коши, т. е. в виде:

y'(t) f ( y(t),t) .

У пользователя имеется выбор – либо использовать вычислительный блок

Given/Odesolve, либо встроенные функции.

Для решения дифференциальных уравнений при помощи блока Giv-

en/Odesolve:

–ввести ключевое слово Given;

–ввести дифференциальное уравнение в форме Коши, записанное с помощью логических операторов;

–ввести начальное условие в форме y(t0 ) b ;

– решить уравнение с помощью функции Odesolve(t, t1, step), где t – переменная дифференцирования в дифференциальном уравнении; t1 – правая граница интервала, на котором производится поиск решения; step – необязательный параметр, определяющий количество шагов метода Рунге-Кутты, который применяется при решении. Чем больше step, тем больше точность решения, тем больше времени будет затрачено на его поиск. По умолчанию в методе применяется фиксированный шаг (Fixed). Для замены его на адаптивный (Adaptive) необходимо вызвать контекстное меню над функцией Odesolve.

При использовании блока Given/Odesolve для решения дифференциаль-

ного уравнения высшего порядка необходимо кроме начального значения самой функции, задать начальные значения для всех ее производных, входящих

26

в уравнение, причем производные должны быть записаны при помощи обычно-

го обозначения производной (один, два и т. д. штриха справа от имени функ-

ции, Ctrl+F7).

Пример 1. Решение дифференциального уравнения первого порядка y' y 2 при помощи блока Given/Odesolve:

Пример 2. Решение дифференциального уравнения 3-го порядка при по-

мощи блока Given/Odesolve:

y'''(t) 4 y''(t) 3y '(t) y(t) 0; y( 0 ) 50, y'(0) 10, y''(0) 0.

Для решения дифференциального уравнения или системы диффе-

ренциальных уравнений при помощи встроенных функций необходимо:

27

– переменной y0 присвоить начальное значение (т. е. при t0 0 ) либо вектор начальных значений в случае решения системы;

– функции D(t, y) присвоить функцию из правой части уравнения в фор-

ме Коши (либо вектор-функцию при решении системы);

– решить уравнение (или систему) при помощи одной из функций: rkfixed (y0, t0, t1, M, D) – метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом, rkadapt (y0, t0, t1, M, D) – метод Рунге-Кутты с переменным шагом, bulstoer (y0, t0, t1, M, D) – метод Булирша-Штера,

где y0 – вектор начальных значений в точке t0 ; t0 – начальная точка рас-

чета; t1 – конечная точка расчета; M – количество точек интегрирования (чис-

ло шагов); D – векторная функция размера n 1 двух аргументов – скалярного t и векторного y (для одного дифференциального уравнения – просто функ-

ция).

Результатом будет матрица, 0-й столбец которой представляет собой зна-

чения аргумента t , а в остальных – соответствующие значения искомых функ-

ций.

Пример 3. Решение дифференциального	уравнения первого порядка
y' y 2 при помощи встроенной функции rkfixed:

28

Пример 4. Решение дифференциального уравнения 3-го порядка при по-

мощи встроенной функции rkfixed:

y'''(t) 4 y''(t) 3y '(t) y(t) 0; y( 0 ) 50, y'(0) 10, y''(0) 0.

Необходимо ввести обозначения:

y0 y, y1 y', y2 y'', y3 y'''.

Пример 5. Решение системы двух дифференциальных уравнений при по-

мощи встроенной функции rkfixed:

dy
	0		y ;
dt
			1
dy1			y0	0,1y1;
dt
y0 (0) 0,1,				y1 (0) 0.

29

Задание 1. Решите дифференциальное уравнение первого порядка (при

помощи блока Given/Odesolve и встроенной функции rkfixed), задав t1 10, M 100:

y '(t) y(t) y(t)2 0, y(0) 0,1.

Постройте график решения уравнения.

Задание 2. Решите дифференциальное уравнение 3-го третьего порядка на интервале t 0...50 (при помощи блока Given/Odesolve и встроенной функ-

ции rkfixed):

y'''(t) 0,1y''(t) 10 y '(t) y(t) 0, y( 0 ) 50, y'(0) 10, y''(0) 0

Постройте график решения.

Задание 3. При помощи встроенной функции rkfixed решите систему дифференциальных уравнений:

y0 ' Cy0 ry0 y1 , r 0,1, c 0,1, d 1 ,y1' dy1 ry0 y1

30