ТМИ и.з.1 до 26 11

		Таблиця 2. Індивідуальне завдання №1
				(максимальна сума балів – 5)
№ варіанту		Тема 1		Тема 2	Тема 3	Тема 4		Тема 5
		№ вправи		№ вправи	№ вправи	№ вправи		№ вправи
0		1.1	1.12	2.7	3.10	4.7	4.17	5.17
1		1.2	1.14	2.8	3.9	4.8	4.18	5.6
2		1.3	1.15	2.10	3.3	4.1	4.19 ,	5.7
3		1.4	1.17	2.9	3.8	4.2	4.21	5.16
4		1.5	1.13	2.5	3.7	4.3б)	4.22	5.13
5		1.6	1.11б)	2.6	3.5	4.4в,д	) 4.23а	5.8
6		1.7	1.11а)	2.1	3.6	4.10	4.19б,г	5.19
7		1.8	1.11в)	2.3	3.4	4.13	4.23б	5.1
8		1.9а)	1.11є)	2.2	3.2	4.12	4.23	5.2
9		1.9в)	1.11ж)	2.4	3.1	4.11	4.20	5.3
							а в
Бали		0,5	0,5	1	1	0,5	0,5	1
Тема1.	Множини, класи множин
Тема2.	Властивості міри
Тема3.	Зовнішня міра, вимірні множини
Тема4.	Міра Лебега, Лебега-Стільтьєса
Тема5.	Вимірні відображення, вимірні функції
Тема6.	Послідовності вимірних функцій

Зверніть увагу! Індивідуальне завдання №1 немає вправ з теми №6. Вправи за цією темою разом із темами 2-5 включаються до контрольної роботи. За кожну вірно виконану у контрольній роботі вправу нараховується 2 бали.

Приклад варіанту контрольної роботи№1:		∞
1. μ − міра на σ-алгебрі A підмножин множини Х. {An
		n ³ 1}Ì A і μ UAn < +¥ , то
		n=1

limμ (An ) £ μ (limAn )

2. X = {1,2,3,4}, R= {Ø ,{2}{, 1,3}}. Довести, що R-півкільце, μ − σ - адитивна на R, якщо μ (Ø ) = 0,μ ({}1 ) = 1,μ ({2}) = 1,μ ({3,4}) = 2 .Побудувати на

2 X зовнішню міру μ , індуковану функцією μ . Описати μ - вимірні множини.

3.Знайти міру Лебега множин:

A= {(x1 , x2 )Î [0,2]´ [-1,1]cosπ (x1 - x2 )Î(Ñ\Ð) sinπ (x1 + x2 ) < 0,5}

4.Довести, що функція f : Ñ2 → Ñ є μ2 - вимірною ( μ2 - міра Лебега у Ñ2),

якщо : f (x, y) = arctg([x]cos(x 2 + y 2 )),

5.

1,−∞ < x ≤ 0

. μF - міра Лебега-Стільтьєса, що відповідає функції

F(x) =

2, 0 < x < ∞

(x) } - μF - вимірні функції. Описати збіжність на

F . {f n (x), n ³ 1 , f

μ F

Ñза мірою послідовності lim f n

(x) = f (x) . Яка з послідовностей

n→∞

збігається f n(1) (x)

= (2 +

x

)n

f n(2 ) (x) = ln(1 +

x

n ). Чи може бути границя

неперервною функцією

?