Эконометрика. Учебное пособие

Рис. 5.18. Формулы для расчета аддитивной модели (строки 9-59 скрыты)

5.4. Проверка остатков на автокорреляцию. Критерий ДарбинаУотсона

В разделе 4.10 были подробно рассмотрены условия применимости метода наименьших квадратов, а также последствия, к которым может привести их нарушение. В частности, в условии 3) требовалась некоррелированность остатков (отсутствие автокорреляции). Нарушение условия 3) особенно часто возникает при построении моделей временных рядов, поэтому полученную модель временного ряда необходимо обязательно проверить на отсутствие автокорреляции остатков.

Автокорреляцию остатков часто можно обнаружить при помощи визуального анализа графика остатков. Если автокорреляция отсутствует, то остатки расположены хаотично. В противном случае на графике будет просматриваться некоторая «структурированность». Возможные ситуации изображены на рисунке 5.19.

91

Рис. 5.19. Визуальный анализ остатков: а)-г) – есть автокорреляция, д) – автокорреляции скорее всего нет

Критерий Дарбина-Уотсона. Основной числовой характеристикой, отвечающей за автокорреляцию остатков, является коэффициент автокорреляции первого порядка для ряда, составленного из остатков.

Если коэффициент автокорреляции первого порядка отличен от нуля, то говорят о наличии автокорреляции первого порядка.

Критерий Дарбина-Уотсона – метод обнаружения автокорреляции первого порядка с помощью статистики Дарбина-Уотсона. Этот критерий используется для проверки гипотезы

H0 :r1 0;

при конкурирующей гипотезе

H1 :r1 0.

Наблюдаемое значение критерия Дарбина–Уотсона вычисляется на основании остатков по формуле:

n 2

e 1 e

DW	2		,
		n
набл

e 2

1

где e – остатки в наблюдениях. Можно показать, что

DWнабл 2 1 r1 .

92

Критерий Дарбина-Уотсона обнаруживает только ярко выраженную автокорреляцию первого порядка. Если автокорреляция отсутствует, то r1 0, и

поэтому величина DWнабл должна быть близкой к двум. При наличии положи-

тельной автокорреляции величина, вообще говоря, будет меньше двух; при отрицательной автокорреляции она должна превышать 2. Так как r1 должно нахо-

диться между значениями 1 и –1, то DWнабл должно лежать между 0 и 4.

Критическое значение DWкрит при любом данном уровне значимости зависит, как можно предполагать, от числа объясняющих переменных в уравнении регрессии и от количества наблюдений в выборке. К сожалению, оно также зависит от конкретных значений, принимаемых объясняющими переменными. Поэтому невозможно составить таблицу с указанием точных критических значений для всех возможных выборок, как это можно сделать для t- и F- статистик; но можно вычислить верхнюю и нижнюю границы для критического значения. Они обычно обозначаются, как du и dl . Решение о принятии или от-

клонении нулевой гипотезы принимается на основании схемы, изображенной на рисунке 5.20.

Рис. 5.20. Проверка гипотез при помощи статистики Дарбина-Уотсона

Таким образом, существуют следующие возможности:

Величина DWнабл меньше, чем dl . В этом делаем вывод о наличии положительной автокорреляции;

Величина DWнабл больше, чем 4 dl . В этом случае делаем вывод о наличии отрицательной автокорреляции;

Величина DWнабл больше, чем du , но меньше чем 4 du . В этом случае делаем вывод об отсутствии автокорреляции;

Величина DWнабл находится между dl и du или между 4 du и 4 dl . В этом случае мы не можем ни отклонить, ни принять нулевую гипотезу.

В случаях 1-3 тест Дарбина-Уотсона дает определенный ответ, но случай 4 относится к зоне невозможности принятия решения относительно автокорре-

ляции. Таким образом, зона неопределенности критерия Дарбина-Уотсона –

93

промежуток значений статистики Дарбина-Уотсона, при попадании в который критерий не дает определенного ответа о наличии или отсутствии автокорреляции первого порядка.

Пример 24. Исследуем на автокорреляцию остатки аддитивной модели временного ряда из примера 15. График остатков и расчет наблюдаемого значения критерия Дарбина-Уотсона представлены на рис. 5.21 – 5.23.

1500,000					Остаток,				Е=У-У*
1000,000
500,000
0,000
1	4	7	10	13	16	19	22	25	28	31	34	37	40	43	46	49	52	55	58
-500,000
-1000,000
-1500,000
-2000,000
				Рис. 5.21. График остатков

Рис. 5.22. Расчет наблюдаемого значения критерия Дарбина-Уотсона (строки 9-53 скрыты)

94

Рис. 5.23. Формулы для расчета наблюдаемого значения критерия Дарбина-Уотсона (строки 9-53 скрыты)

По таблице d-статистики Дарбина-Уотсона (см. приложение) найдем dl и du при n=60 и k=1. Получаем dl=1,55 и du=1,62. Следовательно, DW=1,755 лежит в области принятия гипотезы. Таким образом, мы принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции. Полученный результат хорошо согласуется с визуальным анализом графика остатков.

95

Приложение. Распределение Дарбина-Уотсона

Критические точки dL и dU для уровня значимости 5% (n – число наблюдений, k – число объясняющих переменных в уравнении регрессии).

	n	k=1		k=2		k=3		k=4		k=5
		dL	dU	dL	dU	dL	dU	dL	dU	dL	dU
	15	1,08	1,36	0,95	1,54	0,82	1,75	0,69	1,97	0,56	2,21
	16	1,1	1,37	0,98	1,54	0,86	1,73	0,74	1,93	0,62	2,15
	17	1,13	1,38	1,02	1,54	0,9	1,71	0,78	1,9	0,67	2,1
	18	1,16	1,39	1,05	1,53	0,93	1,69	0,82	1,87	0,71	2,06
	19	1,18	1,4	1,08	1,53	0,97	1,68	0,86	1,85	0,75	2,02
	20	1,2	1,41	1,1	1,54	1	1,68	0,9	1,83	0,79	1,99
	21	1,2	1,42	1,13	1,54	1,03	1,67	0,93	1,81	0,83	1,96
	22	1,22	1,43	1,15	1,54	1,05	1,66	0,96	1,8	0,86	1,94
	23	1,24	1,44	1,17	1,54	1,08	1,66	0,99	1,79	0,9	1,92
	24	1,26	1,45	1,19	1,55	1,1	1,66	1,01	1,78	0,93	1,9
	25	1,27	1,45	1,21	1,55	1,12	1,66	1,04	1,77	0,95	1,89
	26	1,29	1,46	1,22	1,55	1,14	1,65	1,06	1,76	0,98	1,88
	27	1,3	1,47	1,24	1,56	1,16	1,65	1,08	1,76	1,01	1,86
	28	1,32	1,48	1,26	1,56	1,18	1,65	1,1	1,75	1,03	1,85
	29	1,33	1,48	1,27	1,56	1,2	1,65	1,12	1,74	1,05	1,84
	30	1,34	1,49	1,28	1,57	1,21	1,65	1,14	1,74	1,07	1,83
	31	1,35	1,5	1,3	1,57	1,23	1,65	1,16	1,74	1,09	1,83
	32	1,36	1,5	1,31	1,57	1,24	1,65	1,18	1,73	1,11	1,82
	33	1,37	1,51	1,32	1,58	1,26	1,65	1,19	1,73	1,13	1,81
	34	1,38	1,51	1,33	1,58	1,27	1,65	1,21	1,73	1,15	1,81
	35	1,39	1,52	1,34	1,58	1,28	1,65	1,22	1,73	1,16	1,8
	36	1,4	1,52	1,35	1,59	1,29	1,65	1,24	1,73	1,18	1,8
	37	1,41	1,53	1,36	1,59	1,31	1,66	1,25	1,72	1,19	1,8
	38	1,42	1,54	1,37	1,59	1,32	1,66	1,26	1,72	1,21	1,79
	39	1,43	1,54	1,38	1,6	1,33	1,66	1,27	1,72	1,22	1,79
	40	1,44	1,54	1,39	1,6	1,34	1,66	1,29	1,72	1,23	1,79
	45	1,48	1,57	1,43	1,62	1,38	1,67	1,34	1,72	1,29	1,78
	50	1,5	1,59	1,46	1,63	1,42	1,67	1,38	1,72	1,34	1,77
	55	1,53	1,6	1,49	1,64	1,45	1,68	1,41	1,72	1,38	1,77
	60	1,55	1,62	1,51	1,65	1,48	1,69	1,44	1,73	1,41	1,77
	65	1,57	1,63	1,54	1,66	1,5	1,7	1,47	1,73	1,44	1,77
	70	1,58	1,64	1,55	1,67	1,52	1,7	1,49	1,74	1,46	1,77
	75	1,6	1,65	1,57	1,68	1,54	1,71	1,51	1,74	1,49	1,77
	80	1,61	1,66	1,59	1,69	1,56	1,72	1,53	1,74	1,51	1,77
	85	1,62	1,67	1,6	1,7	1,57	1,72	1,55	1,75	1,52	1,77
	90	1,63	1,68	1,61	1,7	1,59	1,73	1,57	1,75	1,54	1,78
	95	1,64	1,69	1,62	1,71	1,6	1,73	1,58	1,75	1,56	1,78
	100	1,65	1,69	1,63	1,72	1,61	1,74	1,59	1,76	1,57	1,78

96

Библиографический список

1.Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: Учебное пособие – Мн.: БГУ, 2000. – 354 с.

2.Катышев П.К., Магнус Я.Р., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 2002. – 208 с.

3.Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.

4.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. – М.: Дело, 2001. – 400 с.

5.Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с.

6.Эконометрика: Учебник / под ред. И.И. Елисеевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2007. 576 с.

97

98