Posit1nov (1)

Дисперсия D(X) является центральным моментом второго порядка. Величина σ(X) характеризует разброс случайной величины X вокруг ее математического

ожидания.

Свойства дисперсии:

D1.	D(X) ≥ 0, по свойству E4 математического ожидания и D(X) = 0 тогда и
только тогда когда P (X = C) = 1 - где C постоянная величина, то есть когда
случайная величина X вырождена.
D2.	Постоянный множитель выносится из под	знака дисперсии в квадрате:
D(CX) = C2D(X) для любых постоянных C.
D3.	Дисперсия инвариантна относительно сдвига D(X + B) = D(X) для любых
постоянных B.
Докажем сразу D2 и D3.
Доказательство. Так как E(CX + B) = CE(X) + B, то
	D(CX + B) = E((CX + B − E(CX + B))2) = E((CX − CE(X))2) =
	= E(C2(X − E(X))2) = C2E((X − E(X))2) = C2D(X).
Следствие 4.1 Дисперсии случайной величины X и соответствующей центри-
	˚
рованной случайной величины X равны:
	˚
	D(X) = D(X − E(X)) = D(X).
D4.	Если E(XY ) = E(X)E(Y ), то D(X + Y ) = D(X) + D(Y ).
Доказательство. Используя второе свойство из упражнения 4.1 получим
	˚ ˚	˚ ˚ 2	) =
	D(X + Y ) = D( X+Y) = E((	X+Y)
	˚˚
	= D(X)+D(Y ) + 2E(XY) = D(X) + D(Y ).
D5.	Справедливо следующее выражение дисперсии через начальные моменты

D(X) = E(X2) − E2(X).

Доказательство. Для доказательства воспользуемся определением дисперсии:

D(X) = E((X − E(X))2) = E(X2 − 2XE(X) + E2(X)) =

= E(X2) − 2E(X) · E(X) + E(E2(X)) = E(X2) − (E(X))2,

так как E(X) и E2(X) - постоянные величины.

Пример 4.7 Пусть X - число гербов, выпавших при двух бросаниях правильной монеты. Укажем ряд распределения случайной величины X (см. пример 4.3).

xl

0

1

2

pl

1/4

2/4

1/4

Следовательно,

X

/

· 2

/

· 1

/

, D

X

E

X2

) − (

E

X

2

0

2

· 1/4 + 1

2

E(

2 ) = 0 · 1

4 + 1

4 + 2

4 = 1

(

) =

(

(

))

=

· 2/4 + 2

· 1/4 − 1 = 1/2.

33

f (x)

6

Пример 4.8 Пусть

случайная

величина

X

имеет

плотность

f (x) =

1/(π(1 + x2)),

−∞ <

x < ∞. Распределение с указанной плотностью носит

название распределение Коши. Найти E(X).

Решение:

2π ln(1 +

)−

π(1 + x2)

=

=

2π

x >+

ln(1 +

∞

∞

−

∞

Z

1

1

E(X) =

x

dx

x2

lim

x2

−∞

−∞

−

lim ln(1 + x2) .

x−>−∞

В данном случае несобственный интеграл, задающий математическое ожидание, расходится и случайная величина не имеет математического ожидания.

Мода и медиана случайной величины X.

Определение 4.10 Для дискретной случайной величины X модой называется её наиболее вероятное значение. Обозначается mod(X) или m. Для непрерывной случайной величины - модой называются те значения переменной x, при которых плотность вероятности f (x) достигает максимума.

Определение 4.11 Медианой случайной величины X называется такое число med(X), которое удовлетворяет условиям P (X < med(X)) = P (X > med(X)) = 1/2.

Геометрически:

f (m) = fmax, S1 = S2

следовательно,

µ = med(X).

			r
			f (m) − max
				S2
		S1			-
	0	µ	m		x

Пример 4.9 Дана плотность случайной величины

√

1/(e 2π). Найти моду этой случайной величины X. Решение. Находим fx′ (x) = 2a(1 − x)e2x−x2 , f ′(x) = 0

X: f (x) = ae2x−x2 , a =

при x = 1, причем в точке

x= 1 f ′(x) меняет знак с “+” на “-”, следовательно, функция f (x) имеет при

x= 1 максимальное значение, то есть m = 1.

Пример 4.10 Задана плотность распределения

f (x) =	x x3			/4, 0 x 2,
		0,		x < 0,
			−	≤ ≤
	0,			x > 2.

34

Найдем медиану случайной величины X.

µ

R

P (X < µ) = (x − x3/4)dx = (x2/2 − x4/16)|0µ = µ2/2 − µ4/16 = 1/2.

0

) = ±p

4

√8 1, 09.

(

0

(

)

2

(

) =

X

4 ± 8

, но

X

<

X

Следовательно,

med

√

< med

значит, med

p

−

≈

4.3Примеры распределений случайных величин.

Остановимся на примерах распределений случайных величин.

1. Равномерное распределение.

Пусть случайная величина X жутка [a, b], причем существует f ны X:

принимает любое значение из конечного проме- (x) - плотность распределения случайной величи-

f (x) =		1/(b a), a x b,
		0,		x < a,
			−	≤ ≤
		0,		x > b.
Такую случайную величину	называют равномерно распределенной на промежутке

[a, b].

Функцию распределения вероятностей F (x) найдем с помощью интегрирования:

F (x) = Rax dx/(b − a) = (x − a)/(b − a), a ≤ x ≤ b.
		,				x < a,
	−			−		≤	≤
	1,		a)/(b		a),	x > b.		b,
Следовательно, F (x) = (x0						a x

Заметим, что функция F (x) непрерывна и монотонно возрастает от 0 до 1, следовательно условия F 1, F 2, F 3 (см. теор. 4.1) выполнены, такое распределение веро-

ятностей существует. Аналогично ведут себя и функции распределения остальных, рассмотренных в следующих примерах непрерывных случайных величин. Для дис-

кретных величин функции распределения удовлетворяют F 1, F 2, F 3 по построе-

P

нию, если pi ≥ 0 и выполнено условие нормировки i pi = 1.

Равномерно распределенная величина имеет моменты всех порядков. В частности,

	Za	b − a			2(b − a)		2
E(X) =	b	x	dx =		b2 − a2		=	b + a
			=	(b − a)2		, σ(X) =
				12

, D(X) =

a

x − 2

b

−

a =

Z

b

2

b + a

dx

b

a

pD(X) =

2−√

.

3

График плотности равномерного распределения приведен на следующем рисунке

35

f (x)

6

1

b a

−

-

0

a

b

x

Пример 4.11 Случайная величина X равномерно распределена на [0, 2]. Найти

E(X), D(x).

f (x)

6

1/2

-

0

2

x

Решение.

(0,

x / [0, 2].

0

0

−

Так как

f (x)

=

1/2,

x [0, 2],

E(X) =

R

2

(x/2)dx = 1, D(X) =

R

2

((x

2

1)2/2)dx = (x − 1)3/6 = 1/3.

0

2. Показательный закон распределения.

Пусть X принимает любые неотрицательные значения x ≥ 0, причем плотность вероятности равна f (x) = λe−λx, где λ > 0 – произвольное положительное число. Говорят, что X имеет показательное распределение. В этом случае F (x) = 0 при

x

x

λx

R

R

= −e−λx

=

x ≤ 0, при x > 0: F (x) =

f (x)dx = λe−λxdx = λ e−λx/(−λ) 0x

0x

1 − e−

. Следовательно,

−∞

0

F (x) = (1 − e−λx, x ≥ 0

F (x)

-

6

0,

x < 0

0

x

Эта функция непрерывна, возрастает от 0 до 1 и lim

F (x) = 0,

lim F (x) = 1,

x→−∞

x→∞

то есть свойства F1, F2, F3 выполнены.

∞

∞

∞

R

R

E(X) =

xf (x)dx =

xλe−λxdx = 1/λ.

−∞

0

R

D(X) = E(X2) − (E(X))2

x2λe−λxdx − 1/λ2 = 1/λ2

(интегралы вычисляются

=

по частям), σ(X) = p

0

D(X)

= 1/λ.

Замечание 4.5 Для показательного распределения математическое ожидание равно среднеквадратичному отклонению.

36

Пример 4.12 ( Задача о надежности системы.) При работе некоторой системы в случайные моменты времени возникают неисправности. Время T работы

системы от момента её включения до возникновения неисправности распределено по показательному закону с параметром λ. Найти вероятность безотказной

работы системы в течение времени t.

(

Решение. В данном случае FT (t) =	1 − e−λt,	t ≥ 0,
	0,	t < 0.

Если система время "t" работала безотказно, а "T" - время до момента наступления неисправности, то T ≥ t. Тогда искомая вероятность есть P (T ≥ t) = 1 − P (T < t) = 1 − FT (t) = e−λt.

Заметим, что показательное распределение и только оно обладает свойством отсутствия последействия - при известном настоящем будущее не зависит от прошлого, что позволяет использовать его при построении простейших моделей массового обслуживания.

Точнее, случайная величина X обладает свойством отсутствия последействия,

если выполнены два условия:

P (X > x) > 0,	для любого x > 0,
P (X > x + y|X > x)	= P (X > y), для любых положительных x, y.

3. Биномиальное распределение. Пусть X - случайная величина, равная числу успе-

хов в n испытаниях Бернулли. И пусть вероятность успеха в каждом испытании равна p (0, 1), тогда величина X имеет распределение

pm = P (X = m) = Cnmpmqn−m > 0, где q = 1 − p, m = 0, 1, 2, ..., n.

	n		n
Как и для схемы Бернулли		pi =	Cnmpmqn−m = (p + q)n = 1. Следовательно,
	m=0		m=0
такое вероятностное	распределение существует.
	P		P

Говорят, что случайная величина X имеет биномиальное распределение.

E(X) = np, D(X) = npq, σ(X) = √npq.

При n = 1, то есть, если испытание только одно, будем называть такую случайную

величину бернуллиевской.

Пример 4.13 Вероятность попадания стрелком в мишень равно 2/3. Стрелком сделано 15 выстрелов. Случайная величина X - число попаданий в мишень. Найти

E(X), D(X).

Решение. X – случайная величина, распределенная по биноминальному закону; p = 2/3; q = 1 − p = 1/3; n = 15. Тогда E(X) = np = 15 · 2/3 = 10; D(X) = npq = 15 · 2/3 · 1/3 = 10/3.

37

Пример 4.14 Урна содержит 6 белых	шаров и 4 черных. Пять раз доста-
ют шар из урны (с возвращением). X - число вынутых белых шаров. Найти
E(X), D(X), σ(X)
Решение. Имеем p = 0, 6 q = 0, 4 n = 5,	X – случайная величина, распределенная

по биноминальному закону√. Тогда E(X) = np = 0, 6 · 5 = 3, D(X) = npq = 0, 6 · 0, 4 · 5 = 1, 2, σ(X) = 1, 2.

4. Распределение Пуассона.

Это распределение является предельным для биноминального распределения, при n → ∞, а np → λ.

Пусть случайная величина X имеет распределение

P (X = m) = λm · e−λ/m!, m = 0, 1, 2, ..., λ > 0.

Проверим неотрицательность и нормировку. Очевидно, что pm = P (X = m) > 0

так как

∞ λm/m! = eλ.

∞

∞

P

P

при любом m = 0, 1, 2, .... Найдем m=0 λm ·

e−λ/m! = e−λ m=0 λm/m! = e−λ · eλ = 1,

m=0

случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона с

ТакаяP

параметром λ.

∞

∞

∞

2

∞

m 2 λ

2

P

m λ P

E(X) = m=1 mλme−λ/m! = λe−λ m=1 λm−1/(m

−

1)! = λe−λeλ = λ.

E(X(X

−

1)) =

P

−

1)λ e−

/m! = λ

P

λ − e− /(m

−

2)! = λ .

m(m

m=2

m−2=0

−

−

Следовательно, D(X) = E(X(X

1)) + E(X)

−

(E(X))2 = λ2

+ λ

λ2 = λ.

Пример 4.15 Автоматическая станция получает в среднем за час 300 вызовов.

Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно два вызова? Решение. За минуту АТС получает в среднем a = 300/60 = 5(вызовов), следовательно, λ = 5. Отсюда P (X = 2) = e−λλ2/2! = e−552/2! = 25/2e5 ≈ 0, 0842.

5. Нормальное распределение.

Среди случайных величин важное место занимают случайные величины, функция распределения вероятностей которых имеет вид:

F (x) = σ√2π

x

e−(t−a)

/2σ

dt.

(4.2)

Z

1

2

2

−∞

Заметим, что

∞ e−t2/2dt = √

- это так называемый интеграл Пуассона. Отсюда

2π

−∞

x

a /σ получим, что

с помощью

замены переменных u

R

= (

− )

∞

e−(t−a)

/2σ

dt = 1.

(4.3)

σ√2π Z

1

2

2

−∞

38

Следовательно, интеграл (4.2) сходится при любом x (абсолютно сходится, так как под интегралом стоит положительная функция). Отсюда, функция F (x) из соотношения (4.2) определена при любом x, непрерывна как интеграл с переменным

верхним пределом, монотонно возрастает в силу аддитивности интеграла и неот-

рицательности подынтегральной функции. Кроме того, lim F (x) = 0 - в пределе

x→−∞

интеграл по пустому множеству и в силу соотношения (4.3) lim F (x) = 1. Соотно-

x→∞

шения F1, F2, F3 выполнены.

Такие случайные величины называются распределенными по нормальному закону. Часто их называют гауссовыми случайными величинами, а распределение вероятностей - распределением Гаусса.

Пусть случайная величина X, распределена по нормальному закону (будем это кратко обозначать X N (a, σ2)), тогда ее плотность имеет вид

−(x−a)2/2σ2

√

f (x) = e

/(σ 2π), − ∞ < x < ∞,

Величины σ > 0 и −∞ < a < ∞ - параметры распределения.

График функции f (x) называют кривой Гаусса. Он имеет следующий вид:

f (x)

Прямая x = a является

6

1

σ√

осью симметрии графика.

2π

ymax = f (a) = (σ√

)−1

-

2π

0

a − σ

a a + σ x

Точки x = a − σ и x = a + σ - являются точками перегиба графика.

∞

x · e−(x−a) /2σ

dx = a,

E(X) = σ√2π Z

1

2

2

−∞

использова-

Интеграл вычисляется с помощью замены переменных u = (x − a)/σ с

2

нием интеграла Пуассона, а также нечетности и интегрируемости функции ue−u

/2

R

(из чего следует, что

∞ ue−u2/2dt = 0.)

−∞

∞

(x − a)2 · e−(x−a) /2σ

dx = σ2.

D(X) = σ√2π Z

1

2

2

−∞

Интеграл вычисляется также как предыдущий с использованием дополнительно интегрирования по частям.

Таким образом, мы выяснили вероятностный смысл параметров a и σ. Параметр a является математическим ожиданием случайной величины X, а σ2- дисперсией

этой случайной величины.

39

Если a = 0, σ = 1, то случайная величина X называется стандартной нормаль-

ной величиной, ее распределение называют стандартным нормальным распределением и обозначают N (0, 1), X N (0, 1).

Функция распределения случайной величины X N (a, σ), определенная в (4.2)

выражается через стандартную табулированную функцию

x

e−

(t a)2

/2σ2

√

(x−a)/σ

e−

u2

/2

√

a)/σ), где Φ(x) -

F (x) =

−

dt/( 2πσ) =

du/ 2π = Φ((x

−

−∞

−∞

функция распределения стандартного нормального закона, уже рассмотренная в
R	R
подразд. 3.5.
	1					6
						r	y
График функции y = Φ(x) имеет вид	1/2
							-
	0								x

Для нормально распределенной случайной величины P (x1 ≤ X ≤ x2) = F (x2) −

F (x1) = Φ((x2 − a)/σ)) − Φ((x1 − a)/σ)).

Замечание 4.6 Найдем вероятность того, что отклонение нормальной случайной величины X от её математического ожидания по модулю меньше некоторого

ε > 0

P (|X − a| < ε) = P (a − ε < X < a + ε) = Φ(ε/σ) − Φ(−ε/σ) = 2Φ(ε/σ) − 1.

Мы использовали соотношение Φ(−ε/σ) = 1 − Φ(ε/σ).

Следствие 4.2 (правило "3σ".) Пусть ε = 3σ. Для нормально распределенной случайной величины X со средним a и дисперсией σ2 справедливо соотношение

P (|X − a| < 3σ) = 2Φ(3σ/σ) − 1 = 2Φ(3) − 1 ≈ 0, 9973,

то есть в среднем из 10000 значений случайной величины X только 27 не попадут на интервал (a − 3σ, a + 3σ).

В этом и состоит правило "3σ", которое иногда применяют экспериментаторы при

решении некоторых прикладных задач с использованием теории вероятностей и математической статистики, считая событие {|X − a| > 3σ} практически невоз-

можным.

Пример 4.16 Случайная величина X имеет плотность распределения f (x) = (8π)−1/2 · e−(x−3)2 /8. Найти P (1 ≤ X < 7)

Решение. Так как a = 3, σ = 2, то P (1 ≤ X < 7) = Φ((7 − 3)/2) − Φ((1 − 3)/2) = Φ(2) − Φ(−1) = 0, 97725 + 0, 84135 − 1 = 0, 8186.

Вычисления значений Φ(2) и Φ(−1) = 1 − Φ(1) производятся по таблице.

40

5Многомерные случайные величины или случайные векторы.

5.1Случайный вектор и его распределение вероятностей.

Определение 5.1 Рассмотрим	упорядоченный набор случайных	величин
X1, X2, ..., Xn, заданных на	одном и том же вероятностном	простран-

стве (Ω, A, P ). Каждому ω Ω поставим в соответствие n-мерный вектор X(ω) = (X1(ω), X2(ω), ..., Xn(ω)), называемый n - мерным случайным вектором или n - мерной случайной величиной. Таким образом, n - мерная случайная величина это измеримое отбражение X: Ω → Rn.

Пример 5.1 Пусть опыт состоит в двукратном бросании монеты. X1 - число выпавших гербов, X2 - число выпавших решек, а X3 - число гербов выпавших при первом бросании. Здесь Ω = {ГГ, ГР, РГ, РР}, 3-х мерный вектор X= X(ω) = (X1(ω), X2(ω), X3(ω) принимает значения

X(ГГ) = (2, 0, 1), X(ГР) = (1, 1, 1), X(РГ) = (1, 1, 0), X(РР) = (0, 2, 0).

Также как и в одномерном случае n - мерный случайный вектор порождает (переносит) на Rn вероятностную меру: PX (An) = P {ω Ω : X(ω) An}. Здесь An - параллепипед в Rn, P - вероятностная мера на пространстве исходов Ω, а PX - вероятностная мера в Rn. Для того чтобы определить на Rn эту новую вероятност-

ную меру (аналог площади) достаточно задать функцию распределения случайного

вектора X.
Определение 5.2 Функцией	распределения	случайного	вектора

X = (X1, X2, ..., Xn) называется функция F (x1, x2, ..., xn), зависящая от n вещественных аргументов x1, x2, ..., xn, равная вероятности тех ω, для которых одновременно выполнены неравенства X1 < x1, ..., Xn < xn:

F (x1, x2, ..., xn) = P {ω Ω : X1(ω) < x1, X2(ω) < x2, ..., Xn(ω) < xn},

где xi (−∞, ∞), при любых i = 1, 2, ..., n.

Далее для простоты будем рассматривать случайные векторы с двумя компонентами X = (X, Y ). Функция распределения в этом случае будет иметь вид:

F (x, y) = P (X < x, Y < y) = P {ω Ω : X(ω) < x, Y (ω) < y}.

Геометрический смысл F (x, y):

Функция F (x, y) задает вероятность попадания случайной точки (X, Y ) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (x, y) , лежащий левее и ниже её:

y 6

(x, y)

-

0 x

41

Основные свойства функции F (x, y).

Fv1. Функция распределения F (x, y) является неубывающей функцией каждого из своих аргументов при условии, что второй аргумент фиксирован (то есть F (x, y0) - неубывающая функция аргумента x при любом y = y0, аналогично F (x0, y) - неубывающая функция аргумента y при любом x = x0).

Fv 2. F (−∞, y) = F (x, −∞) = F (−∞, −∞) = 0, F (+∞, +∞) = 1

Fv 3. 0 ≤ F (x, y) ≤ 1, так как по определению это вероятность некоторого собы-

тия.

Fv 4. F (x, +∞) = FX (x), F (+∞, y) = FY (y), где FX (x) и FY (y) соответственно функции распределения случайных величин X и Y .

Fv 5. Функция F (x, y) непрерывна слева по каждому из аргументов.

Fv 6. Пусть D = {(x, y) R2 : a ≤ x < b, c ≤ y < d} - прямоугольник, тогда

P ((X, Y ) D) = F (b, d) − F (b, c) − F (a, d) + F (a, c)).

	y
d	6				Действительно, по теореме сложения вероятностей
			R
c				-	P (X < a, c ≤ Y < d) = F (a, d) − F (a, c),
0		a b x			так как мы имеем дело с несовместными событиями.

F (b, d) = F (b, c) + F (X < a, c ≤ Y < d) + P (a ≤ X < b, c ≤ Y < d), откуда

((	) ) = (	) − ( ) − (					}
			|) + (		{z
				P ((X,Y ) D)
P X, Y	D F b, d	F b, c F a, d F a, c).

Доказательство пяти первых совойств такое же, как для функции распределения одной случайной величины (см. подразд. 4.1 ).

Как и для случайных величин будем рассматриваются дискретные и непрерывные случайные векторы.

Рассмотрим сначала две дискретные случайные величины X и Y . Пусть случайная величина X принимает значения x1, x2, . . ., а случайная величина Y - значения y1, y2, . . .. Одновременное наступление событий {X = xi} и {Y = yj } будем обозначать {X = xi, Y = yj }, а вероятность их наступления pij = P (X = xi, Y = yj ).

Определение 5.3 Соответствие, которое каждой паре значений (xi, yj ) дискретных случайных величин X и Y сопоставляет её вероятность pij называется совместным законом распределения случайных величин X и Y или распределением дискретного случайного вектора X = (X, Y ).

Совместный закон распределения случайных величин X и Y можно задать таб-

лицей:

X \ Y	y1	y2	. . .		yn	. . .
x1	p11	p12	. . .		p1n	. . .
x2	p21	p22	. . .		p2n	. . .
.	.	.	..		.	.
.	.	.		.	.	.
.	.	.			.	.
xm	pm1	pm2	. . .		pmn	. . .
. . .	. . .	. . .	. . .		. . .	. . .

42