Вычислительная математика лекции

Теория матриц определяет основные классы математических моделей линейных непрерывных и дискретных систем управления.

Излагаемый материал предполагает знакомство с курсом линейной алгебры, с арифметическими операциями над матрицами и понятием определителя матрицы.

9.1.Собственные числа и векторы.

Преобразование y=Ax (x Rn, A Rn×n) приводит к тому, что образ y испытывает вращение и изменение длины относительно прообраза x. Однако существуют особые ненулевые вектора e,

называемые собственными, которые сохраняют направление и изменяют только длину, т. е. выполняется соотношение Ae = λe.

Здесь λ скаляр, называемый собственным числом матрицы A.

Собственные векторы являются решением системы линейных однородных уравнений (A-λE)e = 0. Известно, что эта система будет иметь ненулевые решения, если rank (A-λE) < n. В этом случае должно быть det (A-λE) = 0. Решив алгебраическое уравнение n-ой степени det (A-λE) = 0, найдем n значений собственных чисел λ (с

учетом их кратности). Совокупность собственных значений называют спектром матрицы. Решая систему однородных линейных уравнений (A-λE)e = 0, для попарно различных λi, вычисляют набор собственных векторов. Одному значению λi может соответствовать один или несколько собственных векторов. Число собственных векторов для каждого λi называют геометрической кратностью λi в

отличие от его алгебраической кратности. Доказано, что геометрическая кратность λi не превышает его алгебраическую кратность.

Таким образом, мы имеем набор собственных чисел (спектр матрицы) и соответствующий набор собственных векторов.

71

Доказано, что собственные векторы из этого набора линейно независимы.

Обозначим α(λ) и γ(λ) алгебраическую и геометрическую кратности λ. Если для каждого λ α(λ) = γ(λ), то имеем дело с матрицей простой структуры. В противном случае матрица называется дефектной. Количество собственных векторов в наборе для матрицы простой структуры равно размеру матрицы. Иными словами для матрицы простой структуры количество собственных векторов равно количеству собственных значений с учетом их кратности.

9.2.Решение системы линейных однородных уравнений с

вырожденной матрицей.

Ранг матрицы.

Пусть A Rm×n. Произвольным образом выбираем "к" строк и

"к" столбцов, где к min(m,n). Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу размером "к".

Определитель этой матрицы называют минором к-ого порядка матрицы A.

Определение. Рангом r матрицы называют максимальный порядок минора матрицы, отличного от нуля.

Ранг нулевой матрицы равен нулю. Разность (min(m,n) – r) –

дефект матрицы. Если дефект равен нулю, Am×n есть матрица полного ранга. Квадратную матрицу в этом случае называют невырожденной.

Теорема. Если n число неизвестных однородной системы уравнений и r ранг её матрицы, то размерность пространства решений равна k = n –r (число ненулевых линейно независимых решений ). Если матрица полного ранга, то решение тривиально.

72

0 если i k

1 если i=k

Далее полагаем, что A Rn×n матрица квадратная.

Алгоритм решения.

Убеждаемся, что матрица А вырождена.

Определяем ранг А, т. е. находим минор наибольшего размера,

отличный от нуля.

Из матрицы А выделяем подматрицу Вr×n, состоящую из строк,

выбранных при определении минора.

Пусть при определении минора мы выбрали строки с номерами i1, i2,…, ir и столбцы с номерами j1, j2,…, jr. Будем решать систему Вх

=0 следующим образом. Компоненты х с номерами, отличными от j1, j2,…, jr (n –r элементов), будем считать произвольно заданными постоянными с1, с2,…, сn-r. Тогда оставшиеся r неизвестных однозначно определятся из решения системы с квадратной невырожденной матрицей размера r.

Число линейно независимых решений определяется количеством линейно независимых (n –r) мерных векторов

(с1, с2,…, сn-r)T и равно n – r. Набор таких векторов удобно

сформировать следующим образом: с(i) ={ k }kn 1r

(i=1,…,n-r),

k

.

Другой вариант.

Воспользуемся методом исключения Гаусса. Метод включает два этапа. Сначала, используя последовательность эквивалентных преобразований, приводят матрицу системы к верхнему треугольному виду (прямой ход). На втором этапе решают полученную систему снизу вверх, начиная с последнего уравнения

(обратный ход). На этапе прямого хода последовательно обнуляют элементы столбцов, расположенные ниже главной диагонали,

73

начиная с первого столбца и кончая (n-1) - ым. Для этого при обработке очередного i-ого столбца выделяют ненулевой элемент aii,

стоящий на главной диагонали матрицы, называемый ведущим элементом. Для обнуления каждого из элементов aki, где k = i+1,…,n,

из уравнения с номером k вычитают уравнение с номером i,

умноженное на коэффициент aki/aii .

Если оказывается aii = 0, среди элементов i-ого столбца ниже главной диагонали находят ненулевой элемент и переставляют соответствующее уравнение с i-ым уравнением. После обнуления элементов i-ого столбца переходят к следующему (i+1)-ому столбцу.

В качестве очередного ведущего элемента пытаются использовать элемент ai+1 i+1 .

Если все анализируемые элементы i-ого столбца ниже главной диагонали оказались нулевыми (последнее возможно только при вырожденной матрице), говорят, что i-ый столбец не имеет ведущего элемента. Тогда в качестве нового ведущего элемента в i-ой строке пытаются использовать элемент ai i+1 в соседнем (i+1)-ом столбце и производят обнуление элементов (i+1) – ого столбца.

После обработки всех (n-1) столбцов матрица будет иметь следующий вид.

1.Ненулевые строки расположены выше нулевых ( в противном случае нужно было произвести перестановку строк) и каждый ведущий элемент является первым ненулевым элементом в своей строке.

2.В каждом столбце все элементы, расположенные ниже ведущего, равны нулю.

3.Каждый ведущий элемент лежит правее ведущих элементов предыдущих строк.

74

Пусть полученная матрица имеет r ведущих элементов, т. е.

последние (n-r) строк - нулевые. Тогда ранг матрицы равен r, r

переменных будут базисными, а (n-r) переменных свободными.

Причем они соответствуют столбцам преобразованной матрицы с ведущими элементами и без них соответственно. Компоненты вектора переменных, отнесенные к свободным переменным,

задаются набором произвольных констант с1, с2,…, сn-r. Базисные переменные вычисляются через свободные переменные с помощью обратной подстановки (обратный ход).

Число линейно независимых решений определяется количеством линейно независимых (n –r) мерных векторов

(с1, с2,…, сn-r)T и равно n – r. Набор таких векторов удобно

сформировать следующим образом: с(i) ={ k }kn 1r									(i=1,…,n-r),
	0			если i k
k			1 если i=k
							.
			Пример. Решить однородную систему Ax=0,
	1			1	5	1
		1		1	2	3
A
		3		1	8	2
		1		3	9	7
								.

Осуществляем процедуру Гауссова исключения

A A1 A2 U.

			1		1 5		1				1		1 5		1
				0	2	7	4					0	2	7	4
	A1								A2
				0	2	7	5					0	0	0	1
				0	4	14	8					0	0	0	0
																.

Обработка третьего столбца не потребовалась, A2 = U. r(A) =r(U)=3, n –r = 1. Существует одно ненулевое линейно

независимое решение. Третий столбец матрицы U оказался без ведущего элемента. Переменная x3=c свободная переменная.

75

Остальные переменные находятся обратной подстановкой. Из третьего уравнения следует x4 = 0, из второго 2x2 -7c + 4x4 = 0, т. е. x2 = (7/2)c. Из первого уравнения имеем x1 – x2+ 5x3 – x4 = 0, т. е. x1= -(3/2)c.

				3							3
						c
				2							2
		7							7
	x				c			c					.
			2						2
				c					1
				0					0
.

9.3.Подобное преобразование.

Говорят, что квадратные матрицы A и B подобны, если существует невырожденная матрица P такая, что B = P-1AP.

Подобные матрицы имеют одинаковый набор собственных чисел.

Действительно det(P-1AP – λE) = det(P-1(A – λE)P) = =detP-1det(A – λE)detP= det(A – -λE). Преобразование подобия

возникает естественным путем как результат замены переменных

(или перехода к новому базису) в пространстве n мерных векторов.

Действительно, пусть модель процесса (устройства) имеет вид y=Ax.

Произведем замену переменных x=Px1, y=Py1. Тогда уравнение y=Ax примет вид y1= P-1APx1.Это означает, что в новых переменных то же самое преобразование осуществляется уже не матрицей A, а матрицей P-1AP, подобной A.

Подобное преобразование применяют для перехода к новой матрице более простой формы, пригодной для решения задачи.

Например, если удастся путем последовательности подобных преобразований привести исходную матрицу к треугольному виду,

будут вычислены собственные значения, стоящие на диагонали этой матрицы.

76

Теорема. Матрица простой структуры подобна диагональной.

Доказательство. Выберем в качестве столбцов матрицы преобразования P собственные векторы матрицы A. матрица P не вырождена, т. к. матрица A простой структуры имеет n линейно независимых собственных векторов. Тогда Λ= P-1AP, Требуется доказать, что AP=PΛ. Действительно, AP=A(e1, e2, …, en) = (Ae1, Ae2,

1

…, Aen)= (λ1 e1, λ2 e2, …, λn en)= P

0

0

. Т. е.

n

1

0

0 .

n

9.4.Приведение к канонической форме Жордана.

1. Произвольную матрицу А Rn n с помощью подобного преобразования S-1AS=J возможно привести к канонической форме Жордана.

Матрица J есть блочно-диагональная матрица ( J Cn n ). Её диагональные блоки называются клетками (ящиками) Жордана.

Каждому собственному числу λi может соответствовать одна или несколько клеток Жордана. Число таких клеток равно геометрической кратности γ(λi), а сумма их размеров алгебраической кратности α(λ i). Так как для дефектной матрицы γ(λi) < α(λi), число диагональных блоков матрицы J меньше размера матрицы A. Однако размер J (суммарный размер всех блоков) совпадает с размером A.

Клетка Жордана размера k для собственного числа λi

		i 1		0
Jki Ck k имеет вид			0
	Jki					. Если алгебраическая
				1
			0	0 i

кратность α(λ i) ≤ 3, то по известному значению γ(λi) однозначно

77

определяется количество и размер клеток Жордана для λi . Пусть например α(λ i) = 3. Тогда при γ(λi) = 1 имеем одну клетку размера 3,

а в случае γ(λi) = 2 количество клеток равно 2, одна размера 2, а

другая 1. При α(λ i) > 3 не всегда удаётся однозначно определить размер клеток. Пусть например α(λ i) = 4, γ(λi) = 2 . Тогда количество клеток равно двум, однако недостаточно информации для выбора из двух вариантов: размер обеих клеток равен 2 или размер одной 1, а второй 3. В подобных случаях можно воспользоваться ранговым критерием: число клеток gh размером h для кратных

собственных чисел λi	gh = rank(A -λi E)h-1 -	-2rank(A -λi
E)h +rank(A -λi E)h+1,	h = 1,2,∙∙∙,α(λ i) .
Для каждого λi	следует определить количество и размер

клеток Жордана, после чего каноническая Жорданова форма может быть записана с точностью до перестановки Жордановых клеток.

Если условится располагать клетки в порядке возрастания модулей собственных чисел, а клетки с совпадающими собственными числами в порядке возрастания их размеров, то каноническая форма Жордана будет определена единственным способом.

Заметим, что диагональная матрица является частным случаем

матрицы Жордана, все клетки которой имеют размер 1.

Пример 1.

11		8	7
	9	16	10
A				.
	15	19	12

. Используя разработанную выше методику, рассчитываем характеристический полином P3(λ) = -( λ + 5)3 . Таким образом, λ = -5,

α(λ ) = 3. Находим систему собственных векторов.

78

6		8 7			6 8			7		6 8			7
	9	11	10			0	1	0.5			0	1	0.5		. Таким образом,
A 5E
	15	19	17			0	1	0.5			0	0	0

1

решение системы (A+5E)е = 0 дает единственный вектор е = 1 , а

2

								5		1	0
Жорданова форма состоит из одной клетки									0	5	1
								J				.
									0	0	5
Пример 2.
10		9	6
	1	16	5		; λ1	= 9, λ2	= 10, α(λ	1) = 1, α(λ 2) = 2 , γ(λ1) = 1,
A
	1	9	3

			3							3			9 0		0
γ(λ2) = 1, е(λ1) =				1						2				0 10	1
					, е(λ2) =						. Таким образом,	J				.
				2						3				0 0	10
Пример 3.
2		4			4
	1	2			2
A						. λ1 = 0, α(λ1) = 3, γ(λ1) = 2.
	2	4			4
		2					2					0 0 0
		0			е(λ1)2			1					0	0 1
е(λ1)1 =			,				=			. Таким образом, J
		1						0					0	0 0
			9.5.Вычисление матрицы преобразования.
J = S-1AS; AS = SJ;
						J1					0
A (S1, S2 ,..., Sn ) =S											(SJ1, SJ2 ,..., SJ p ) . Здесь Jk				k– ый
							0
											J p

столбцовый блок матрицы J ( k 1, p ), Si i – ый столбец матрицы

S( i 1, n ), p n, где n – размер A.

79

Последовательно для каждой клетки Жордана вычисляем набор линейно независимых векторов, число которых должно совпадать с размером клетки. Эти векторы будут столбцами искомой матрицы S. Для матрицы простой структуры α(λ i) = γ(λi) и в качестве столбцов матрицы S берутся собственные векторы. При этом гарантируется независимость столбцов и, следовательно, не вырожденность S. Однако, если α(λ i) ≠ γ(λi) , возникает необходимость доопределить недостающее число векторов

α(λ i) - γ(λi) . Вектор – столбцы матрицы S в этом случае вычисляют в результате решения набора систем линейных уравнений,

получаемых приравниванием соответствующих столбцов справа и слева в уравнении AS=SJ.

Пример.

Пусть A R5×5, её характеристический полином (λ-λ1)3(λ-λ2)2.

Следовательно, α(λ1) = 3, α(λ2) = 2. Дополнительно рассчитаны геометрические кратности γ(λ1) = 1, γ(λ2) = 1.

Матрица Жордана содержит две клетки и имеет вид

	1	1	0	0	0
	0		1	0	0
		1
J=	0	0		0	0		. Система AS =SJ выглядит следующим
			1
	0	0	0	2	1
	0	0	0	0
					2
образом
									1			1	0	0	0
										0			1	0	0
												1
A(s s			s s s ) (s				s	s s s )		0	0		0 0			.
1		2	3 4 5			1	2	3 4 5					1	2
										0		0	0		1
										0		0	0	0
															2

80