Baskakov_Integraly,zavisyaschie_ot_parametra_2013

∫d	f (x, y) dy	(2.16)
c

равномерно сходится на любом отрезке [a, ξ] , ξ (a, b) , и существует хотя бы один из двух повторных интегралов

∫d dy ∫b

f (x, y)

dx ,

∫b dx ∫d

f (x, y)

dy ,

c

a

a

c

то существуют и равны между собой оба повторных интеграла

∫d dy ∫b

f (x, y) dx ,

∫b dx ∫d

f (x, y) dy ,

c

a

a

c

то есть

∫d dy ∫b

f (x, y) dx = ∫b dx ∫d

f (x, y) dy .

(2.17)

c

a

a

c

Доказательство. Пусть, например, существует интеграл

∫b dx ∫d

f (x, y)

dy

(2.18)

ac

ипусть η (c, d) . В силу равномерной сходимости на отрезке [c, η] интеграла (2.15) согласно предыдущей теореме имеем

η	b	b	η
∫dy ∫ f (x, y) dx = ∫dx ∫ f (x, y) dy .				(2.19)
c	a	a	c

Рассмотрим правую часть соотношения (2.19) и покажем, что для нее имеет место соотношение

	b	η		b		η
η→limd −0	∫dx ∫ f (x, y) dy = ∫dx				η→limd −0	∫ f (x, y) dy =
	a	c		a		a
		= ∫b dx ∫d		f (x, y) dy .		(2.20)
		a	c

21

Для этого обозначим

η

Φ(x, η) = ∫ f (x, y) dy

c

и проверим для функции Φ(x, η)			( a ≤ x <b , c < η< d ) выполнение
предположений теоремы 2.4. Имеем:
1)	функция Φ(x, η) непрерывна по x [a, b) в силу теоремы 1.1;
2)	Φ(x, η) → ∫d	f (x, y) dy при η→ d −0 равномерно на каждом
	c
отрезке [a, ξ] в силу условия (2.16);
	b	b	η
3)	интеграл ∫	Φ(x, η) dx = ∫dx	∫ f (x, y) dy сходится равномерно
	a	a	c

относительно η (c, d) в силу признака Вейерштрасса (теорема 2.1), поскольку

Φ(x, η)

≤ ∫d

f (x, y)

dy ,

(2.21)

c

а интеграл ∫b dx ∫d

f (x, y)

dy сходится в силу предположения.

a c

Таким образом, выполнены все предположения теоремы 2.4, и поэтому соотношение (2.20) является справедливым. Следовательно, в правой части соотношения (2.20) допускается предельный переход под знаком интеграла. Полученная при этом величина является конечной (в силу (2.21) и (2.18)). Таким образом, переходя в обеих частях (2.19) к пределу при η→ d −0 , запишем

	η	b	b	d
η→limd −0	∫dy ∫ f (x, y) dx = ∫dx ∫ f (x, y) dy .				(2.22)
	c	a	a	c

Осталось заметить, что левая часть (2.22) по определению есть несобственный интеграл

∫d dy ∫b		f (x, y) dx .
c	a

22

Таким образом, доказано равенство (2.17) и, следовательно, теорема.

Перейдем к рассмотрению дифференцируемости несобственных интегралов, зависящих от параметра.

Теорема 2.8. Пусть функция

f (x, y) и

∂f (x, y)

определены и

∂y

непрерывны на открытом прямоугольнике

{a ≤ x <b, c ≤ y ≤ d} ,

где −∞ < a <b ≤ +∞,

−∞ < c < d < +∞ .

Если интеграл ∫b

f (x, y) dx сходится, а интеграл

∫b ∂f (x, y) dx

a

a

∂y

равномерно сходится на отрезке [c, d] , то функция

Φ( y) = ∫b

f (x, y) dx

a

непрерывно дифференцируема на этом отрезке и

d

∫b

f (x, y) dy = ∫b ∂f (x, y)

dx .

dy a

a

∂y

Доказательство.

Пусть

{η }∞

– такая монотонно возрастаю-

n n=1

η1 = a ,

щая последовательность

действительных

чисел,

что

lim ηn =b . Тогда, очевидно,

n→∞

b

∞

ηn+1

∫ f (x, y) dx = ∑

∫

f (x, y) dx ,

a

n=1

η

n

и для каждого члена ряда

∞

ηn+1

∑ ∫ f (x, y) dx

n=1 ηn

справедливо в силу теоремы 1.4 соотношение

23

d

η

η

∂f (x, y)

∫n+1

f (x, y) dx = ∫n+1

dx ,

n =1, 2, ...

(2.23)

dy

∂y

η

η

n

n

Для ряда

∞

ηn+1

∂f (x, y)

∑

∫

dx

=

∂y

n 1

η

n

справедливо, очевидно, соотношение

∞

ηn+1

∂f (x, y)

b

∂f (x, y)

dx

(2.24)

∑

∫

dx = ∫

n=1

η

∂y

a

∂y

n

и, поскольку интеграл в правой части (2.24) сходится равномерно на [c, d] , то и ряд в левой части (2.24) также равномерно на [c, d]

сходится, и поэтому равномерно на [c, d] сходится в силу (2.23) ряд

∞		ηn+1
∑=	d	∫	f (x, y) dx .
	dy
n 1		η
		n

Таким образом, выполнены предположения теоремы о почленном дифференцировании рядов ([1], с. 461), так что

d

b

d

∞

ηn+1

∫ f (x, y) dx =

∑

∫ f (x, y)dx =

dy

dy

a

n=1

η

n

∞

d

ηn+1

∞

ηn+1

∂f (x, y)

= ∑

∫

f (x, y) dx = ∑

∫

dx =

dy

∂y

=

=

n 1

η

n

1

η

n

n

= ∫b ∂f (x, y)

dx .

a

∂y

Теорема доказана.

24

3. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА

Пример 3.1. Вычислить интеграл J0 = +∞∫	sin αx	dx , α > 0 .
0	x
Непосредственное дифференцирование	его по параметру α

приводит к расходящемуся интегралу +∞∫cos αx dx . Поэтому введем

0

в подынтегральную функцию множитель e−kx ( k > 0 ), обеспечивающий сходимость продифференцированного по α интеграла. Вычислим

J = +∞∫e−kx sin αx dx , α ≥ 0 .
0	x

Для него выполнены условия теоремы 2.8, поскольку подынтегральная функция и ее частная производная по α непрерывны по x и α при x ≥ 0 , α ≥ 0 , а интеграл

∂J	= +∞∫e−kx cos αx dx =			k		(3.1)
∂α		k	2	+α	2
	0

сходится равномерно по α , что легко установить по признаку Вейерштрасса (подынтегральная функция мажорируется функцией

e−kx ).

Проинтегрировав (3.1) по α , найдем, что J = arctg (α / k) . Этот

результат получен в предположении, что k > 0 . Но при α = const интеграл J непрерывен как функция k и при k = 0 . Это вытекает из равномерной сходимости интеграла J относительно k при k ≥ 0 . Следовательно,

	J0	= lim J .
		k →+0
Если α > 0 , то			π .
J0	= lim arctg (α / k) = arctg (+∞) =
	k →+0		2

25

Аналогично можно показать, что J0

= −

π

при α < 0 . Таким обра-

зом, J0 = π sgn α .

2

2

sin px 2

+∞

Пример 3.2. Вычислить F( p) =

∫0

dx .

x

Дифференцируя формально по параметру p, имеем

F′( p) = +∞∫

sin 2 px

dx = π

,

p > 0 .

(3.2)

0

x

2

Интегрируя результат, находим

F( p) = π p

+ F(0) =

π p ,

p > 0 .

2

2

Поскольку F( p) – четная функция p, то

F( p) =

π

p

.

2

Проверим выполнение условий теоремы 2.8. Запишем

1

+∞

sin px 2

F( p) =

∫

+ ∫

dx .

x

0

1

Первый их этих интегралов – собственный, а второй сходится равномерно относительно p при p (−∞, +∞) по признаку Вейер-

штрасса. Поэтому функция F( p) непрерывна на (−∞; +∞) . Производная подынтегральной функции по p, равная (sin 2 px / x) , непрерывна при x ≥ 0 , p (−∞; +∞) . Интеграл (3.2) сходится равномерно относительно p при p ≥ ε > 0 по теореме 2.3. Поэтому дифференцирование по p под знаком интеграла возможно при p ≥ ε > 0 , а в силу произвольности ε – при p ≠ 0 . При p = 0 функция F( p) не дифференцируема.

26

Пример 3.3. Вычислить J = +∞∫			1 −cos αx			e−kx dx ; α, k > 0 .
		0	x
Производная ∂J / ∂α выражается сходящимся равномерно отно-
сительно α интегралом
	∂J	= +∞∫e−kx sin αx dx =			α			.
	∂α			α	2		2
		0				+ k

Поскольку при α = 0 интеграл J равен нулю, то, интегрируя последнее соотношение, получим

J = 12 ln (α2 + k2 ) .

Пример 3.4. Вычислить H = +∞∫	sin αx		sin βx	e−kx dx .
0	x		x

Условия теоремы 2.8 выполнены, как нетрудно убедиться. Поэтому

∂H	= +∞∫e−kx	sin βx cos αx	dx .
∂α	0	x

Представив произведение синуса на косинус как разность синусов, сведем последнее выражение к интегралам известного вида

∂H		1	+∞	−kx sin (α +β)x		+∞	−kx sin (α −β)x
	=		∫e			dx − ∫e			dx	=
∂α		2			x			x
			0			0

		1		α+β		α −β
	=		arctg	k	−arctg	k	.
		2

Интегрируя по α и пользуясь тем, что H = 0 при α = 0 , находим

H =

α +β

arctg

α +β

−

α −β

arctg

α −β

+

k

ln

k2 +(α −β)2

.

2

k

2

k

4

k2 +(α +β)2

27

Пример 3.5. Исследовать на сходимость и вычислить интеграл

		b
+∞	sin ax −
J = ∫		x		dx ; a, b > 0 .
	x
0

Исследуем интеграл на сходимость. Использовав формулу для синуса разности, запишем

					b
+∞	sin ax cos(b / x) dx	+∞ cos ax sin
J1 = ∫		, J2 = −∫			x				dx .
	x			x
0		0
В интеграле J1 подынтегральная функция				f1 (x)	ограничена на
[0, + ∞) и f (x) = 0(1 / x2 ) при		x → +∞ . Поэтому			J	1	сходится по
1

признаку сравнения со степенью.

Во втором интеграле выполним замену переменной y =1 / x и приведем его к виду

	+∞	cos a sin bt
	J2 = −∫	t	dt .
		t
	0
	Сходимость J2 очевидна.
	Для вычисления интеграла J положим t = ax −			b	, тогда x и t свя-
				x

заны уравнением ax2 −tx −b = 0 . Пусть

	x =	t + t2	+ 4ab	;	dx	=		dt
		2a			x		t2	+ 4ab

(необходимо удовлетворить условию x > 0 ). Имеем

J = +∞∫		sin t	dt .	(3.3)
		2
−∞	t	+ 4ab

Поскольку подынтегральная функция нечетная, то ее первообразная F(x) – функция четная. Следовательно, J = F (+∞) − F(−∞) = 0.

28

Пример 3.6. Исследовать на сходимость интегралы

∫1	xα sin (1 / x) dx ;						(3.4)
0
∫1	xβ cos (1 / x) dx .						(3.5)
0
Выполнив замену переменной t =					1	в выражении (3.4),	приве-
дем его к виду					x
	+∞	sin t
	∫			dt .
		t	2+α
	1
Если 2 + α < 0 , т.е. α < −2 , то последний интеграл расходится, так

как подынтегральная функция возрастает при t → +∞ как степен-

ная функция. Если же α > −2 , то интеграл сходится согласно тео-
реме 2.3. В самом деле, функция f (t) = sin t имеет ограниченную
первообразную,	а функция	g(t) =1 / t2+α непрерывна и монотонна
на (1, + ∞) .
При α > −1	абсолютная	величина подынтегральной функции

оценивается сверху функцией 1 / tε , где ε >1 . Поэтому при α > −1 рассматриваемый интеграл сходится абсолютно.

Интеграл (3.5) исследуется аналогично. Пример 3.7. Вычислить

+∞

sin x dx

ε→+lim0

∫

.

(3.6)

x

2

+ε

2

0

Обозначим f (x, ε) =

sin x

, x (0, + ∞) ; ε (0, 1) . Переформу-

(x

2

+ε

2

1/ 2

)

лируем теорему 2.4 для случая, когда интеграл

∫b

f (x, y) dx имеет

две «особые» точки: a и b.

a

29

Теорема 2.4′. Пусть функция					f (x, y) определена для всех
x (a, b) , y Y		и при любом		y Y	непрерывна по x (a, b) . То-
гда, если при любых таких				ξ и	η,	что a < ξ < η< b , функция
f (x, y) равномерно на отрезке [ξ, η]						стремится к функции ψ(x)
при y → y0 и интеграл ∫b			f (x, y) dx		равномерно сходится на мно-
жестве Y, то		a
ylim→y	∫b	f (x, y) dx = ∫b		ylim→y f (x, y) dx = ∫b ψ(x) dx .
0	a		a	0		a

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.4. Проверим, что интеграл в условии задачи удовлетворяет всем

предположениям теоремы 2.4′.

1. f (x, ε) непрерывна по x (0, + ∞) при любом ε (0, 1) – оче-

видно.

2. f (x, ε) при ε →0 + равномерно на каждом отрезке [ξ, η] , 0 < ξ < η< ∞, стремится к sin x / x . Действительно, по формуле конечных приращений Лагранжа ([1], с. 169) имеем:

f (x, 0) − f (x, ε)

=

∂f (x, θ(x, ε) ε)

ε =

∂ε

=

sin x

ε θ(x, ε)

ε ≤

(x

2

2

3/ 2

+[ε θ(x, ε)] )

≤ max

sin x

1

ε ≤

ε

.

ξ2

[ξ, η]

x

ξ2

Таким образом, для наперед заданного ε1 > 0 достаточно выбрать 0 < ε < ξ2ε1 , и тогда соотношение

f (x, ε) −	sin x		< ε
	x		1

будет выполняться одновременно для всех x [ξ, η] .

30