Егупова МВ_пратико_ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя

2.3.2.Пути использования на уроках задач, обеспечивающих практико-ориентированное обучение математике в школе

Изучение математических предложений (определений, аксиом, тео-

рем) Я.И. Груденов [84, с.118] делит на три этапа: введение, усвоение и за-

крепление. Для реализации этих этапов необходимы соответствующие за-

дачи и упражнения. В настоящее время при формировании понятий в обу-

чении школьного курса математике сложилась практика использования за-

дач по пяти основным направлениям: 1) актуализация знаний и умений,

необходимых для усвоения понятия; 2) мотивация изучения понятия; 3)

распознавание понятия; 4) применение понятия; 5) включение нового по-

нятия в систему известных понятий. (Л.М. Лоповок, Е.С. Канин,

К.И. Нешков, А.Д. Семушин). Эти направления отражены в пятом призна-

ке (по назначению в обучении) приведенной ранее классификации. Мето-

дика работы с задачами по каждому направлению имеет определенные особенности.

Раскроем эти особенности на примере использования задач на при-

ложения на различных этапах обучения геометрии в основной школе на уроках: при введении, усвоении и закреплении изученного.

I. Введение понятий

Я.И. Груденов предлагает на этапе введения понятия организовывать на уроке математики обучение таким образом, что учащиеся либо сами

«открывают» новые понятия, самостоятельно формулируют их определе-

ния, либо с помощью соответствующих задач готовятся к их пониманию

[84]. На этом этапе считаем целесообразным использовать задачи, способ-

ствующие актуализации знаний и умений, необходимых для усвоения по-

нятия; мотивации изучения понятия.

Л.М. Лоповок приводит пример задачи, которую учитель решает с учащимися для актуализации их знаний перед изложением теоремы об объеме шарового сегмента:

201

Купол имеет форму шарового сегмента с радиусом основания R

ивысотой Н. Для его строительства смонтированы подмостки, завер-

шающиеся пятью цилиндрическими кольцами высоты h. Определить пло-

щадь поверхности этих колец.

При решении этой задачи учащиеся определяют радиусы колец, т.е.

радиусы сечений шарового сегмента плоскостями, параллельными плоско-

сти его основания. Кроме того, учащиеся рассматривают «ступенчатую» цилиндрическую фигуру. Все эти сведения понадобятся школьникам при изучении теоремы [191, с.161].

Приведем примеры использования задач на приложения с целью

мотивации изучения понятий. Перед тем как перейти к определению вво-

димого понятия, целесообразно провести подготовительную работу. Для этого учитель предлагает учащимся ряд задач, при решении которых еще нет необходимости использовать понятие на уровне точного определения.

Оно вводится только на интуитивном уровне, т.е. имеется некоторая ин-

формация, характеризующая понятие с той или иной стороны. Такие зада-

чи используются для мотивирования изучения нового понятия. Задачи для этой цели подбираются первого или второго уровня сложности (имеется прямое указание на математическую модель; объекты и отношения легко соотносимы с математическими объектами и отношениями), они имеют направленность на изучение математики с помощью ее приложений. Про-

иллюстрируем рассмотренное положение примерами. Следующая задача мотивирует введение понятия центральной симметрии.

 Игра в монеты. Двое по очереди кладут на лист бумаги прямо-

угольной формы пятикопеечные монеты. Монеты можно класть только на свободные места, т.е. так, чтобы они не покрывали друг друга даже отчасти. Сдвигать монеты с места, на которое они положены, нельзя.

Предполагается, что каждый имеет достаточное количество монет.

Выигравшим считается тот, кто положит монету последним. Как дол-

жен класть монеты начинающий игру, чтобы выиграть?

202

Учитель для поиска выигрышной стратегии предлагает учащимся познакомиться с новым для них понятием центральной симметрии и сооб-

щает им следующие сведения. Пусть на плоскости выбрана точка О. Возь-

мем какую-нибудь точку М и проведем прямую АМ. Отложим на этой прямой от точки О отрезок ОМ1, равный ОМ, но по другую сторону от точки О (рис. 21). Точки М и М1 называют симметричными относительно точки О, которую называют центром симметрии.

М1

О

М

Рис. 21

Далее учитель сообщает учащимся о том, что понятие центральной симметрии позволяет найти выигрышную стратегию в этой игре (мотиви-

рует изучение этого понятия) и предлагает сделать это вначале самостоя-

тельно. При необходимости учитель помогает учащимся сформулировать выигрышную стратегию, которая состоит в следующем. Начинающий игру должен положить монету на центр бумажного листа. В дальнейшем он кладет свою монету каждый раз, как бы повторяя ходы второго игрока, но с противоположной стороны относительно монеты, с которой была начата игра. Это он всегда сможет сделать после каждого хода второго игрока.

Поэтому именно начинающий сделает последний ход в этой игре и, следо-

вательно, выиграет.

Таким образом, на языке геометрии стратегия начинающего игру за-

ключается в том, что первым ходом определяется центр симметрии.

В дальнейшем первый играющий кладет свою монету каждый раз симмет-

рично относительно центра стола монете, положенной вторым играющим.

203

Мотивом изучения учащимися нового понятия в данном случае является интерес к поиску выигрышной стратегии игры.

На примере следующей задачи покажем, как можно мотивировать изучение осевой симметрии.

 Закончите изображение древнегреческой амфоры, изображенной на рис. 22а, действуя следующим образом: перегните лист бумаги так,

чтобы на одной его половине осталось изображение части амфоры,

а другая половина оказалась чистой (линия сгиба показана пунктиром на рис. 22b). С помощью булавки, делая проколы по контуру рисунка, перене-

сите данное изображение на чистую половину листа бумаги. Развернув его в исходное положение и соединив линиями точки проколов, получите полное изображение амфоры, рис. 22с.

Рис. 22а Рис. 22b

Рис. 22c

Установите правило, пользуясь которым можно завершить данное изображение без перегибания листа бумаги.

При решении задачи учитель помогает учащимся сформулировать следующее правило: каждой точке М имеющегося изображения сопоста-

вить точку М1 так, чтобы прямая, по которой был перегнут лист бумаги,

проходила через середину отрезка ММ1 и была к нему перпендикулярна.

В этом примере мотивом для введения понятия осевой симметрии служит возможность объяснения произведенных учащимися действий с помощью геометрии.

204

Задача об измерении высоты столба предваряет введение понятия тангенса угла.

Как измерить высоту столба (вышки или мачты) по длине тени?

В процессе решения этой задачи учитель мотивирует необходимость введения нового понятия, опираясь на понятия, уже известные школьникам.

Учащиеся вместе с учителем проводят следующие рассуждения. Предполо-

жим, что угол, под которым виден предмет из точки на конце его тени, мо-

жет быть измерен (рис. 23). Получим такую геометрическую задачу:

Рис. 23

Найти катет ВС = а прямоугольного треугольника, зная его катет АС = b и угол А.

Решение подобных задач хорошо известно учащимся. Они знают,

что sinА =					a	и cosA =	b		. Поделив первое равенство на второе, получим
					c		c
	a		sin A	. Отсюда а = b				sin A		. В последнее равенство входит отношение
	b		cos A					cos A

двух функций угла А – синуса и косинуса. Учитель далее сообщает уча-

щимся, что это отношение очень часто встречается при решении самых разнообразных задач. Поэтому его рассматривают как ее одну функцию угла – тангенс. Далее учитель вместе со школьниками делает следующий вывод: тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.

205

II. Усвоение понятий

По мнению Я.И. Груденова, на этом этапе учащиеся должны уметь применять изученные на предыдущем этапе определения, аксиомы, теоремы [84, с 113]. Мы считаем, что для этого целесообразно использовать за-

дачи на распознавание и применение понятия. Эти задачи способствуют первичному закреплению введенного понятия, т.к. для их решения, как правило, учащимся достаточно использовать только что изученный материал, например, только определение понятия или его основные свойства. Такие задачи, как правило, не усложнены необходимостью применения других нововведенных фактов: определений, теорем, формул и т.д. Здесь целесообразно использовать задачи на приложения первого или второго уровня сложности. Проиллюстрируем рассмотренное положение примерами. Приведем пример задачи на распознавание понятия развернутого угла.

 Прежде чем пользоваться чертежным треугольником для проведения перпендикуляров, мы хотим убедиться, что он имеет прямой угол. Как это сделать?

Предположим, что учащимися только что изучено понятие развернутого угла. Для распознавания этого понятия и его первичного закрепления при решении задачи им необходимо воспользоваться хорошо известным им понятием прямого угла. Учитель проводит совместно с учащимися такие рассуждения. Развернутый угол равен 1800 или сумме двух прямых углов. Значит, для проверки правильности чертежных треугольников необходимо обвести прямой угол чертежного треугольника на листе бумаги дважды так, как показано на рис. 24. Если стороны прямых углов на полученном чертеже лежат на одной прямой АВ (являются дополнительными полупрямыми одной прямой АВ), т.е. получен развернутый угол, то чертежный треугольник правильный.

Приведем еще ряд задач на распознавание и применение понятий, которые разделены Л.М. Лоповком на две группы: 1) «на объяснение некоторого реального явления»; 2) «на применение понятий в различных областях практической деятельности человека» [191, с.193].

206

А

В

Рис. 24

1) Задачи на объяснение некоторого реального явления.

Почему мотоцикл с коляской стоит на дороге устойчиво, а для мотоцикла без коляски необходима дополнительная опора?

Почему бетонные плиты, которыми мостят дорогу, изготавли-

вают только в форме правильных шестиугольников или квадратов?

Почему в садовой калитке всегда прибивают диагональную планку?

Почему листы жести на крыше «сшивают» по направлениям,

перпендикулярным к гребню крыши?

2) Задачи на применение понятий в различных областях практиче-

ской деятельности человека.

 Как используется признак параллельности плоскостей при уст-

ройстве пола?

 Как используются аксиомы плоскости при разбивке котлована под фундамент дома?

III. Закрепление понятий

По утверждению Я.И. Груденова, закрепление понятий заключается в повторении их определений, теорем, связанных с этими понятиями и от-

работке навыков их применения к решению задач [84]. На этом этапе целе-

сообразно использовать задачи на включение нового понятия в систему из-

вестных. Эти задачи способствуют осмысленному применению и длитель-

ному сохранению в памяти учащихся содержания пройденного материала,

а также могут быть использованы для повторения отдельных глав или це-

лого курса. Уровень сложности задач на приложения в этом случае выби-

207

рается в зависимости от цели урока и подготовленности учащихся к реше-

нию таких задач. Проиллюстрируем примером.

Площадь круга и его частей

 Вычислите площадь окна, имеющего форму прямоугольника, за-

конченного вверху сегментом в 60°. Высота окна отсчитывается от се-

редины дуги сегмента до основания и равна 2,4 м, ширина его 1,6 м.

Условие задачи практически не требует перевода на математический язык, имеется прямое указание на математическую модель, которая изо-

бражена на рис. 25. Площадь искомой фигуры можно вычислить так:

SАЕDСВ = SАВСЕ + (SEOCD – S EOC) 3,7 м2.

Е	D	С
	О
А	М	В

Рис. 25

Для того чтобы решить эту задачу, учащимся нужно использовать ранее изученные факты: понятия дуги и радиуса окружности, равнобед-

ренного, равностороннего и прямоугольного треугольников, синуса остро-

го угла прямоугольного треугольника, формулы нахождения площадей че-

тырехугольника и треугольника, теоремы Пифагора, о сумме углов тре-

угольника и т.д. В то же время она не является задачей повышенной слож-

ности и доступна для решения большинству учащихся в классе.

Таким образом, мы показали, что задачи на приложения могут быть использованы на различных этапах изучения математических понятий,

теорем и т.п. На каждом из рассмотренных этапов (введение, усвоение, за-

208

крепление) задачи на приложения подбираются с учетом их уровня слож-

ности. Это позволяет утверждать, что включение таких задач в учебный процесс на уроке является целесообразным с двух точек зрения: с одной стороны с помощью таких задач происходит обучение математике через ее приложения, с другой – имеется возможность обучать приложениям мате-

матики. Такой подход отражает бинарное назначение практических при-

ложений школьного курса математики в обучении, который далее будет отражен в методической системе подготовки учителя к практико-

ориентированному обучению математике в школе.

2.3.3. Возможности использования задач, обеспечивающих практико-ориентированное обучение математике, во внеурочное время

Внеклассная работа одна из форм организации математической под-

готовки школьников. В теории и методике обучения математике выделяют

два вида внеклассной работы: работа с отстающими учащимися; работа с учащимися, проявляющими повышенный интерес к изучению математи-

ки [323].

Основными целями организации дополнительных занятий с учащи-

мися, которые испытывают трудности в освоении программного материа-

ла, является консультирование, ликвидация отставания в обучении и пре-

дупреждение неуспеваемости. Работа с отстающими учащимися не заклю-

чается только в повторном прохождении неусвоенного программного ма-

териала. Большинство таких школьников имеют низкую мотивацию к уче-

нию в целом и отсутствие интереса к изучению математике. Без устране-

ния первичных причин неуспеваемости такие дополнительные занятия бу-

дут малоэффективными. Поэтому положительным результатом внекласс-

ной работы с этой группой школьников считается не только ситуативная ликвидация пробелов в освоении учебной дисциплины, но и достижение устойчивых успехов в познавательной деятельности на уроке. Этому спо-

собствуют, как было показано выше (2.2 и др.), и задачи на приложения.

209

Внеклассная работа, ориентированная на учащихся, проявляющих повышенный интерес к изучению математике, как отмечает А.В. Фарков

[323], является естественным продолжением и дополнением урочной фор-

мы математической подготовки и ориентировано на расширение и углуб-

ление знаний школьников. Традиционными целями такой внеклассной ра-

боты являются: формирование интереса учащихся к математике и ее при-

ложениям; развитие математического мышления и математических спо-

собностей учащихся; знакомство с историей математики и ее ролью в раз-

витии мировой науки; профориентация [21], [127], [323].

Российской общеобразовательной школой накоплен богатый методи-

ческий опыт организации внеклассной работы с учащимися. Для получения представления о многообразии форм этой работы приведем их классифика-

цию по количественному признаку. К групповым формам, связанным с сис-

тематическими занятиями с учащимися, относят кружки и, пришедшие сравнительно недавно на смену факультативам, элективные курсы и курсы по выбору. Индивидуальная внеклассная работа направлена на руководство исследовательской, проектной деятельностью учащихся, написанием докла-

дов и рефератов по математике, а также на подготовку школьников к уча-

стию в олимпиадах разного уровня. К массовым формам внеклассной рабо-

ты относят недели математики, олимпиады, тематические вечера, конкурсы,

конференции и т.п. Очевидно, что все выделенные формы имеют тесную связь, которая проявляется в общности целей математической подготовки учащихся. Среди этих целей и обучение приложениям математики.

Раскроем подробнее отдельные формы внеклассной работы, в рамках которых возможно продолжить обучение практическим приложениям ма-

тематики в школе, начатое на уроках: элективные курсы, курсы по выбору,

учебные исследования, проектная деятельность учащихся.

Элективные курсы и курсы по выбору. В настоящее время учащимся предлагается после окончания девятого класса выбрать одно из следующих основных направлений профилизации: естественно-математическое, соци-

210