Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Статистичний ряд - Мазур

..pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
06.06.2019
Размер:
269.52 Кб
Скачать

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ МОРСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра „Вища та прикладна математика”

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Методичні вказівки до практичних занять

Одеса – 2012

1

Методичні вказівки розроблені Семіренко Елеонорою Ігорівною –- старшим викладачем кафедри „Вища та прикладна математика” Одеського національного морського університету.

Методичні вказівки схвалено кафедрою „Вища та прикладна математика” ОНМУ 29.03.12 (протокол № 6).

Рецензент: ст. викл. каф. В та ПМ ОНМУ Мазур Н.А.

2

I. Вибірка. Статистичний ряд, полігон частот і гістограма. Функція розподілу.

Математична статистика досліджує висновки про випадкову величину, що вивчається, які можна зробити використовуючи дані випробувань.

Нехай вивчається випадкова величина з функцією розподілу F (x) (яка є невідомою). Набір значень 1, 2, , n випадкової величини ,

одержаних в результаті n випробувань, називається вибіркою об’єму n . Припускається, що випробування проводяться в однакових умовах і незалежно.

Тоді вибірку 1, 2, , n

можна розглядати як сукупність

n незалежних

випадкових величин

i (i 1,2, , n), кожна з яких розглядається також, як

випадкова величина

, тобто P( i x) F(x),

 

i 1,2, ,n.

 

 

Говорять, що вибірка

1, 2, , n взята з генеральної сукупності

випадкової величини з теоретичною функцією розподілу

F (x) . Якщо

вибірка об’єму n має r різних елементів (значень)

x1, x2, , xr і елемент xi

зустрічається mi

разів, то число mi називається частотою елемента xi , а

відношення w

mi

відносною частотою елемента x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

n

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mi

 

n і

wi

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Статистичним рядом називається послідовність пар

 

 

 

 

 

(xi ,mi ), i 1,2, ,r . Як правило статистичний ряд записують у

 

 

вигляді таблиці, розташовуючи значення xi в порядку зростання.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

x1

 

 

x2

 

x3

 

 

 

xr 1

 

xr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mi

 

m1

 

 

m2

 

m3

 

 

mr 1

 

mr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полігон частот вибірки – це ламана з вершинами в точках (xi , mi ). Полігон частот є графічним зображенням статистичного ряду.

3

Емпіричною функцією розподілу називається функція Fn (x) kn , де

k – число вибіркових значень, менших за x ( тобто Fn (x) є відносною частотою події x ). Функція Fn (x) служить оцінкою невідомої

(теоретичної) функції розподілу Fn (x), тобто Fn (x) ~ F(x).

Наведений запис вибірки у вигляді статистичного ряду і його зображення полігоном частот є зручним, якщо випадкова величина , яка

досліджується є дискретною, а число r різних вибіркових значень не дуже велике. В протилежному випадку таблиця стає не наглядною (трудно обозримой) ??? і використовується інтервальний статистичний ряд. При цьому весь діапазон вибіркових значень розбивають на інтервали (зазвичай однакової ширини) і в першому рядку таблиці вказують ці інтервали, а в другому – відповідні їм частоти, тобто кількість відповідних значень, які попали в ці інтервали. Для подальшої обробки вибіркових даних виявляється зручно завбачити рядок, в якому записуються середні значення інтервалів. Тоді цей рядок буде в таблиці другим, а рядок частот – третім. Якщо позначити кінці

i – того інтервалу відповідно xni і xbi , а середнє значення цього інтервалу

xi , то таблиця, що зображає (представляє? ) інтервальний статистичний ряд, матиме вигляд (кількість інтервалів позначено r ):

 

xn

; xb

xn

; xb

xn

; xb

xn

; xb

 

xn

; xb

 

xn

; xb

 

 

i

i

1

1

2

2

3

3

 

r 1

r 1

 

r

r

 

xi

 

x1

 

x2

 

x3

 

 

xr 1

 

 

xr

 

 

 

mi

 

m1

 

m2

 

m3

 

 

mr 1

 

 

mr

 

 

 

Питання про вибір числа

i ширини інтервалів вирішується в кожному

 

конкретному випадку, об’єм вибірки і т. д.

Для ориєнтаційної оцінки числа

 

інтервалів r

для об’єму вибірки n використовується формула Стерджера

 

r 1 3,32lg n

Якщо число інтервалів вибрано, то ширина кожного з них визначається за формулою

h

xmax xmin

, де

h – ширина інтервала,

r

 

 

 

4

xmax і xmin - найбільше і найменше вибіркові значення.

Знайдене значення h корегується (округляється) в бік збільшення і встановлюються границі інтервалів так, щоб одержати по можливості «зручні» значення границь і щоб всі вибіркові значення розташувались в межах цих інтервалів. Після цього записується (???????????????) інтервальний статистичний ряд.

Нехай – неперервна випадкова величина з невідомою щільністю

імовірності f (x). Тоді

f (x) ~

mi

(i 1,2, , r) є оцінкою щільності

nh

ймовірності в точці xi

( xi – середина i –того інтервалу, mi

частота,

тобто кількість вибіркових значень, які попали в i – тий інтервал,

h

ширина інтервала, n

об’єм вибірки). Побудуємо в прямокутній системі

координат прямокутники, основами яких є відрізки

5