1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach

пустых множеств (более сильных, чем B-равновесие), окажутся уже не пу-

стыми. Платежными функциями в этой новой, вспомогательной игре будут следующие

1

·

5

11·

4·

1

·

12

3·

10·

J1

(q1, q2) =

3·

··

·

12

, J2

(q1, q2) =

9·

··

·

6

.

10

6

5

11

·

·

·

·

Помечая множества равновесий в игре первой итерации индексами (1),

найдем предварительно множества A11, A12 è A1, а затем и все остальные ба- зовые симметричные равновесия:

1

·

·

+·

+·

1

·

+

·

+·

1

·

·

·

+·

A1

=

+·

··

·

+

, A2 =

+·

··

··

·

, A

=

+·

··

··

·

.

+ +

+ +

+ +

·

·

·

·

·

·

B11 = (a24, a31, a43), B21 = (a24, a31, a42, a43), B1 = B11;

C

1

= (a24, a31, a43), C1 = (a31, a42), C1 = (a31);

1

2

D11 = (a43), D21 = (a31), D1 = ,

01

¯ 1

01

¯ 1

= D

01

¯ 1

= (a43).

D1

= D1 = D2

= D2

= D

Как видим, ситуация a31, являвшаяся всего лишь B-равновесной на нулевой итерации, на первой итерации повысила свой статус, став C1-равновесной.

Однако, покольку в рамках одной и той же 1-й итерации ¯ 1-равновесная ñè-

D

туация сильнее, чем C1-равновесная ситуация (не достигшая даже статуса D1-равновесной), то ситуация a43 в рассматриваемой задаче сильнее ситуации a31. Но даже если бы ситуация a31 на этой итерации оказалась D1- равновесной, то и в этом случае относиться к ней как равноценной ситуации a43 следовало бы с большой осторожностью, вспомнив отмеченное во введении свойство равновесий по Нэшу оказываться иногда наихудшими ситуациями в игре, прич¼м одновременно для всех участников.

На этом примере демонстрируется тот факт, что если даже множество B

состоит всего из одной ситуации, то отсюда вовсе не следует, что именно эта ситуация должна быть наисильнейшей в конфликтной задаче.

Множество A1 допускает ещ¼ одну итерацию. Рассмотрим вспомогатель-

61

ную игру (на множестве A1) с плат¼жными функциями

2

·

·

·

+·

2

·

·

·

+·

J1

(q1, q2) =

+·

··

··

·

, J2

(q1, q2) =

+·

··

··

·

,

+ +

+ +

·

·

·

·

для которой получаем

2

·

·

·

+·

2

·

·

·

+·

2

A1

=

+·

··

··

·

, A2

=

+·

··

··

·

= A

.

+ +

+

·

·

·

·

·

B12 = B22 = B2 = C2 = (a24, a31, a43),

¯

2

¯ 2

= (a43).

D1

= D2

Так как непустые элементы матрицы A2 не допускают сравнения с какими- либо другими непустыми элементами этой матрицы, то Ak = A2 ïðè âñåõ k = 3, 4, . . ., т.е. матрица A2 оказывается предельной и дальнейшие итера-

ции бессмысленны. Итак, оказалось, что ситуация a43 наиболее сильное равновесие (которая, к тому же, ещ¼ и по величине выигрышей в ней предпочтительнее для обоих игроков по сравнению с немного более слабыми равновесиями a31 è a24).

Пример 2.2. Рассмотрим некооперативную игру с двумя участниками, аналогичную рассмотренной в примере 2.1, в которой каждый из игроков максимизирует свою (матричную) платежную функцию

		6	10	8	11				11	5	7	9
		1			3				3			1	.
J1(q1, q2) =		12 ··		··	5		, J2(q1, q2) =		10	··	··	12
		4	7 9		2				2	8	6	4

Найд¼м основные симметричные базовые равновесия:

+·

+ +

+·

+·

·

+

+·

+·

·

+

+·

A1

=

+ ··

··

·

, A2

=

+ ··

··

+

, A =

+ ··

··

·

.

+ +

+ +

+ +

·

·

·

·

·

·

B1 = (a13, a21, a31, a42), B2 = (a31, a42, a43, a24), B = (a31, a42); C1 = (a13, a21, a42), C2 = (a31, a21, a42), C = ;

¯	¯	¯
D1 = a13, D2 = a31, D = , D1	= D2	= D = a31.

62

На роль наисильнейшего равновесия в этой задаче явно претендует ситу- àöèÿ a31. Однако, интересно выяснить, имеются ли в этой задаче ещ¼ какиелибо сильные равновесия, которые в определ¼нной степени могли бы конкурировать с этой ситуацией. Сначала попробуем найти наисильнейшие несимметричные равновесия:

Jmin(D1) = 8, Jmin(D2) = 10;
1	2
D1n = , D2n = a31, Dn = D1n		D2n = a31,
D¯1n = D¯2n = D¯ n = a31.		S

Посмотрим, что может нам дать применение итерационной схемы генерирования новых равновесий с помощью теоремы 1.7. Построим плат¼жные

функции конфликтной задачи на множестве A:

		·	·	8	·
1	6		·	·	11
			7·	9·	·
J1 (q1, q2) =		12				,
		·			·

		·	·	7	·
1	11		·	·	9
			8·	6·	·
J2 (q1, q2) =		10				.
		·			·

Найдем основные симметричные базовые равновесия в этой вспомогательной игре 1-й итерации:

A11 = (a13, a24, a31, a42, a43), A12 = (a13, a21, a31, a42),

A1 = (a13, a31, a42);

B1	= (a13	, a24, a31, a42), B1				= (a13, a31, a42) = B1;
1					2
C1	= (a13	, a31, a42), C1			= (a31, a42) = C1;
1				2
1	1		1		¯ 1	¯ 1	¯ 1	= a31.
D1	= D2 = D			= a31, D1 = D2			= D

Снова приходим к ситуации a31, оказывающейся единственным наисильнейшим равновесием в исходной игре, прич¼м ситуация a42 существенно слабее å¼.

Следующий пример демонстрирует, что несимметричные равновесия могут быть весьма полезны в моделях рынков, позволяя определить оптимальное поведение продавцов на рынке.

Пример 2.3. Рассмотрим упрощенную, но вполне реалистичную модель рынка, на котором имеется два продавца-производителя одного и того же товара и любое (очень большое) число покупателей с большими натуральными запросами в данном товаре, но с ограниченными финансовыми возможностями, в связи с чем в первую очередь они покупают на рынке товар по самой низкой цене. В процессе решения этой рыночной игры устанавливается, что классического равновесия по Роусу Нэшу в ней не существует ни в

63

2)åñëè

каком классе стратегий, но всегда имеется решение, представляющее собой Dn-равновесие, устраивающее участников рынка.

Предполагается, что товар ( yi, i=1,2) выставляется на рынок обоими продавцами одновременно, причем по фиксированным, но не обязательно одинаковым ценам pi > 0, i=1,2. Поскольку же товар у продавцов одинаков, то естественно считать, что в первую очередь покупается товар того продавца, который продает его по меньшей цене. Продавцы знают о количестве товара, произведенного (поставленного) конкурентом на рынок. Заметим, что всякий непроданный на рынке остаток товаров i-го продавца это убыток для него.

Чистый доход i-го продавца в результате акций производства и продажи

определяется функцией fi: E+1 × E+1 → E1 (ãäå E+1 è E1 соответственно множества неотрицательных и всех вещественных чисел) вида

fi(ui) = fi(pi, yi) = piyi − ψi(yi), i = 1, 2,

ãäå ψi : E+ → E+ непрерывная вещественная функция, проходящая через нуль, определяющая затраты на производство товара yi.

Покупатели в состоянии выделить на приобретение данного товара общую сумму денег H, в связи с чем на рынке удовлетворяется следующее ограни- чение

p1y1 + p2y2 ≤ H.

(2.1)

Это ограничение вполне удовлетворительно отражает реальную ситуацию, так как в действительности на покупку любого заданного товара населением

обычно выделяется вполне определенная сумма денег ( H). Предположение

о больших натуральных запросах покупателей означает, что они желали бы приобрести на рынке как можно больше данного товара; ограничением к тому являются только их финансовые возможности и объемы поставок предпринимателями товара на рынок.

Множество G допустимых состояний продавцов на рынке определяется следующим образом:

G = {p1, y1; p2, y2 : 1)piyi ≥ 0, i = 1, 2; pi < pj, òî piyi − H ≤ 0,

причем pjyj ≤ H − piyi, j = 1, 2, j 6= i; 3)p1y1 + p2y2 − H ≤ 0, åñëè p1 = p2}.

В определении множества G, не являющегося выпуклым, замкнутым и ограниченным, учитывается, что если продавцы назначают разные цены на

64

свой товар, то покупатели сначала приобретают его по самой низкой цене; и только если количество товара, продаваемого по более низкой цене, недоста-

точно, чтобы поглотить всю выделенную на его покупку сумму H, ò.å. åñëè

равенство в (2.1) еще не достигается, то они начинают приобретать товар и по более высокой цене. Это взаимодействие на рынке отражено в определении

множества G.

Функции fi(ui), i=1,2, íà G, как легко видеть, ограничены сверху ( fi(ui) ≤ H), а следовательно, имеет смысл говорить о верхней грани доходов игроковпродавцов. Если товар продается ими по одной цене p1 = p2 = p, òî

max fi(p, yi) = fi(p, yi0(p)) = fi0(p)

yi E+

достигается при некотором yi0 = yi0(p). При некоторой цене p0 оба максиму- ìà (ïðè i=1,2) достигаются в точках y10, y20, удовлетворяющих условию (2.1). Обоим продавцам на рынке выгодно установить цену не менее p = p0, ïðè

которой в (2.1) достигается равенство p0(y10 + y20) = H; в противном случае (ïðè p < p0) они продадут весь свой товар, а у населения останется неисполь-

зованная сумма денег [H − p(y10 + y20)]. Но прежде чем рассматривать, как достигается на рынке эта цена и, возможно, даже большая, и анализировать поведение игроков, докажем сначала отсутствие равновесия по Роусу Нэшу в этой рыночной задаче.

¯N -

Прежде всего ясно, что в ситуации u = (u1, u2) = (p1, y1; p2, y2) C равновесия должно иметь место равенство

p1y1 + p2y2 = H;

(2.2)

в противном случае продавцы будут иметь возможность беспрепятственно увеличивать свои доходы посредством увеличения цены на товар, причем эта возможность будет исключена только при достижении равенства (2.2).

Согласно определению ¯N -равновесия, никакой участник, отклонившийся от

C

равновесной ситуации u , если другой сохраняет свое равновесное состояние, не сможет увеличить своего дохода. Однако в данном случае это утверждение не выполняется. В самом деле, если i-й игрок произведет товара в количе-

ñòâå yi и станет продавать его по цене pi , òî j-é игрок (j 6= i) имеет возможность увеличить свой доход по сравнению с доходом в состоянии (pj , yj ), если произведет товара в количестве yj < yj и запросит за него цену pj > pj , сохранив, однако, равенство pjyj = pj yj , т.е. не нарушив условие (2.1). Таким образом, его дополнительная прибыль реализуется за счет снижения затрат

65

δp(> 0)

ψ(yj) < ψ(yj ) на производство меньшего количества товара yj(< yj ). Èòàê,

в рассматриваемой рыночной игре не существует ¯N -равновесия ни в каком

C

классе стратегий (чистых и смешанных).

Покажем теперь, что в общем случае на подобном рынке реализуется Dn-

равновесие, устраивающее обоих продавцов. Чтобы построить это равновесие, воспользуемся следующими рассуждениями. Пусть 1-й игрок до начала

производства анализирует, что произойдет, если он запросит цену p1 и согла- сится с приоритетом продажи 2-го игрока по цене p2 < p1, например по цене p2 = p1 − δp, где сколь угодно малая величина. В пределе, ради простоты изложения, можно принять, что 2-й игрок будет иметь приоритет продажи при цене p2 = p1 −0, по которой он станет продавать свой товар без

конкуренции, оптимизируя его количество на множестве

y2 ≤ H/p2. Перво-

му игроку выгодно увеличивать цену p1 до такой цены p1

(причем возможно

äàæå, ÷òî p

> p0), при которой на множестве y

1

≤

[H

−

(p

1

−

0)y

]/p

1

îí

1

2

получит

f

f

(

u 1

) =

f

1(

p

, y

p

, y

sup

sup

f

1(

u

)

1 =

1

1 − 0

˜2;

1

1)=˙

p

1 y1≤[H−(p1−0)˜y2]/p1

(ãäå =˙ означает равенство с некоторой заданной точностью

δ > 0), à 2-é

игрок, оптимизируя свое производство (˜y2), обеспечит себе в этом случае при цене p˜2 = (p1 − 0) доход

f˜	f	u 1	) =	f	p	, y	p	, y	sup	f u	.
2 =	2(			2(	1	− 0 ˜2;	1	1) =		2( )
								y2≤H/(p1−0)
Нетрудно убедиться, что построена ситуация									u 1 = (p1 − 0, y˜2 < u1 >
; p1, y1), D1n-экстремальная для 1-го игрока с точностью										ε.

Аналогичным образом можно провести анализ рынка, поменяв игроков ролями. Результатом явятся следующие доходы игроков в ситуации u 2 â

прежних обозначениях:

f2 = f2(u 2)=˙ sup	sup	f2(u),
p2 y2≤[H−(p2−0)˜y1]/p2
f˜1 = f1(u 2)=˙	sup	f1(u).
	y1≤H/(p2−0)

Чтобы убедиться, что по крайней мере одна из ситуаций (u 1, u 2) åñòü ситуация Dn-равновесия, достаточно показать, что в рассматриваемой задаче невозможно одновременное выполнение неравенств

fj(u i) < fjmin(Dj), i = 1, 2, j 6= i,

66

указывающих на неравновесность обеих ситуаций. Эти неравенства эквивалентны неравенствам

f˜2 < f2 = f2min(D2), f˜1 < f1 = f1min(D1).

(2.3)

Допустим, что имеет место первое неравенство в (2.3), смысл которого со- стоит в том, что ситуация u 1, несмотря на то, что в ней 2-й игрок продает на

рынке свой товар без конкуренции, не устраивает его, поскольку обеспечивает ему меньший доход, чем он получил бы f2 в ситуации u 2, находясь в усло- виях дискриминации, т.е. продавая свой товар на оставшемся от 1-го игрока

рынке после реализации этим последним своего товара. Нетрудно убедиться, ÷òî ïðè f˜2 < f2 обязательно p2 > p1 и множество {u1 = (p1, y1) : p1y1 ≤ H, p1 ≥ 0, y1 ≥ 0}, на котором получено значение f˜1 = f1(u 2), оказывается

шире множества

{(p1, y1) : p1y1 ≤ H − p˜2y˜2, p˜2y˜2 ≤ H, p1 ≥ p˜2, yi ≥ 0},

на котором найдено f1 = f1(u 1). Отсюда следует невозможность второго неравенства в (2.3), т.е. доказана равновесность ситуации u 2, когда неравно-

весна ситуация u 1.

Итак, в рассмотренной модели торговли существует по крайней мере одна ситуация Dn-равновесия в ε-аппроксимации. Это означает, например, что в

ситуации u 2 1-é игрок получает f˜1, что больше, чем максимальный доход f1 , который он мог бы иметь, если бы попытался установить на рынке свою цену, а не отслеживал бы конкурента. Отсюда следует, что на рассмотренном рынке один из продавцов может выступить в роли законодателя цен (в данном случае это продавец с меньшими затратами на производство), а другой устанавливает чуть меньшие цены и пользуется приоритетом продажи, однако подобная ситуация выгодна для обоих.

3. Конфликтные задачи, учитывающие побочные интересы участников

Рассмотрим теперь задачи, в которых у участников конфликта, имеющих личные интересы на общем для них поле деятельности, имеются ещ¼ и другие интересы. Например, 1-й участник занимается бизнесом в области своей

деятельности G1, à 2-é в области G2, прич¼м эти области пересекаются, т.е. G1 ∩ G2 = G 6= , а следовательно, явный конфликт между ними возможен только на множестве G. Однако, если 1-й игрок знает, что 2-й имеет бизнес

67

свою стратегию (состояние) qi из проекции

также на множестве G2 \ G, на котором он сам бизнесом не занимается, то у него может иметься возможность влиять на выигрыш 2-го участника некоторым выбором своей стратегии. Подобные возможности каждого участника и степень их воздействия друг на друга через их побочные интересы в самом общем виде рассматриваются в этом разделе.

Т.е. в этом разделе мы строим теорию конфликтных равновесий для задач, в которых интересы каждого из участников определены на разных множествах, имеющих непустое пересечение, а изложенная в предыдущих разделах теория конфликтных равновесий получена для задач, в которых конфликтуюшие участники рассматриваются хотя и на произвольном, но все же общем для них множестве.

В реальных же условиях множества интересов различных сторон в чем-то могут явно сталкиваться, а в чем-то нет; иначе говоря, у каждого участника имеется свое (игровое) множество, имеющее какие-то пересечения с подобными множествами других. Изложенная в предыдущих разделах теория конфликтных равновесий разрабатывалась для задач, поставленных хотя и на совершенно произвольном (включающем любые запрещенные ситуации), но все же едином для всех участников игровом множестве. Покажем, что эта теория может быть распространена (с соответствующими естественными модификациями) и на задачи, в которых игровые множества у разных участников разные, но имеют непустое пересечение.

Допущение 3.1. Пусть Qi, i = 1, 2, метрические пространства и Q = Q1× Q2; Gi компактные множества в пространстве Q, причем

N

4 T

G = Gi 6= ; и пусть на множестве Gi определены непрерывные функции

1=1

(функционалы) Ji(q), i = 1, N, q = (q1, q2) Q.

Пусть i-й участник некоторого конфликтах имеет возможность выбирать P rQiG0 множества G0 на простран-

ñòâî	Qi	или из сечения	G0	(qk)	(ãäå	G0	4	2
							=	Gi) и стремится обеспечить мак-
симум своей платежной функции Ji(q).								iS
								=1

Исходным понятием для построения базовой системы конфликтных равновесий служит следующее обобщение понятия A-равновесия.

Определение 3.1. Точку (ситуацию) q Gi назовем Ai-экстремальной для i-го участника, если при заданной стратегии qk k-го участника (противника) допустимой для i-го укастника оказывается только одна стратегия qi = Gi(qk) или если любой стратегии qi Gi(qk) \ qi i-го участни-

68

ка можно поставить в соответствие по крайней мере одну допустимую

4

стратегию qˆk = qˆk < qi > Gi(qi) k-го участника так, чтобы имело место следующее отношение:

J

q

, q

i) ≤

J

i(

q

);

(3

.

1)

i(ˆk

для задачи 1-го типа;

удовлетворяется (3.1) или же значение

Ji(ˆqk, qi) íå

определено, но при этом значение

Jk(ˆqk, qi)

определено

(3.2)

в том смысле, что определено значение

плат¼жной функции Jk(ˆqk, q1), k 6= i;

для задачи 2-го типа;

удовлетворяется (3.2) или же оба значения Ji(ˆqk, qi) è

Jk(ˆqk, qi) не определены, т.е. в ситуации (ˆqk, qi)

значения

(3.3)

обеих плат¼жных функций Jk(ˆqk, qi), Ji(ˆqk, qi)

не определены.

для задачи 3-го типа.

Ситуацию q назовем ситуацией A-равновесия в задаче, соответственно, 1-го, 2-го или 3-го типа, если условия (3.1), (3.2) или (3.3) удовлетво-

ряются в точке	q	äëÿ	i = 1, 2	, ò.å. åñëè	4	.
					q A1 ∩ A2 = A

Из определения 3.1 следует, что задачи 1-го типа характеризуются наиболее слабыми угрозами (3.1), задачи 2-го типа более сильными (3.2), а задачи 3-го типа самыми сильными угрозами (3.3). Отличительной особенностью задач 1-го типа является то, что в них в качестве ситуаций-угроз (3.1) используются только такие, в которых платежная функция участника, которому угрожают, определена. А в задачах 2-го типа помимо угроз (3.1) допускаются еще и такие ситуации-угрозы, в которых платежная функция участника, которому угрожают, не определена, в то время как платежная функция угрожающего определена. Угрозы (3.3) допускают переходы из си- туаций множества G0 в любые ситуации из множества P rQ1 G0 × P rQ2 G0, что означает использование в качестве угроз ситуаций, в которых платежные функции обоих участников не определены. Заметим, что угрозы (3.3) естественны для задач, в которых у участников нет запрета на все доступные им стратегии из множеств P rQiG0.

Если задача рассматривается на множестве G общих интересов участников, то определение 3.1 переходит в определение A-равновесия, существующе-

69

го в любых задачах. Однако в случае G0 6= G A-равновесие может оказаться

пустым в задачах 1-го и 2-го типа, что демонстрирует следующий простой пример.

Пусть два участника располагают следующими матричными платежными функциями, которые они максимизируют:

J1	=	" ·	·	#, J2 = " ··	5 #
		3	1		2

.

Стратегия 1-го игрока выбор i-го столбца (этих матриц), а 2-го выбор

j-й строки, что определяет ситуацию aij; например, в ситуации a11 1-é игрок

получает 3, а для 2-ãî эта ситуация недопустима (не определена). В этой задаче G1 = (a11, a12), G2 = (a12, a22), G = a12, G0 = (a11, a12, a22). Используя

определение 1, получаем A1 = a11, A2 = a22, A = A1 ∩ A2 = .

Задачи 4-го типа это задачи с угрозами (3.1), рассматриваемые только на G, в которых учитываются лишь пересекающиеся интересы участников

(G). Решаются они как обычные задачи теории конфликтных равновесий.

Теорема 3.1. В задачах 3-го и 4-го типа существует A-равновесие с любой заданной точностью ε.

Доказательство почти не отличается от доказательства A-равновесия в

задаче на едином для всех участников множестве интересов.

В задачах с пересекающимися множествами интересов участников без всякого изменения применимы все определения из первого раздела, кроме определений 1.3 и 1.11 и определения равновесия по Нэшу, которые в данном случае несколько видоизменяются.

Определение 3.2. Ситуацию q назовем равновесной по Роусу Нэшу в задачах с несовпадающими множествами интересов участников (или,

короче, ¯N -равновесием), если

C

J

i(

q

) = qi

max

k)

J

i(

q , q

i)

, i

6=

k, i

= 1

, ,

(3.4)

Gi(q

k

2

т.е. отличие от классического определения равновесия по Нэшу только в том, что каждый i-й участник (i=1,2) ищет равновесную ситуацию q в сечении

своего собственного множества Gi(qk) при фиксированной стратегии противника qk.

Определение 3.3. Ситуацию q Ai назовем Ci-экстремальной, åñëè она удовлетворяет условию

max Jk(qi , qk) = Jk(q ).	(3.5)
qk Gi(qi )

70