Лекции / Лекция 03 Физические процессы в трансформаторах
.pdfФизические процессы в трансформаторах
Принцип действия трансформатора. Принцип действия транс-
форматора основан на явлении взаимной индукции. Если одну из обмоток трансформатора подключить к источнику переменного напряжения, то по этой обмотке потечет переменный ток, который создаст в сердечнике переменный магнитный поток Ф. Этот поток сцеплен как с одной, так и с другой обмоткой и, изменяясь, будет индуцировать в них. Так как в общем случае обмотки могут иметь различное число витков, то индуцируемые в них будут отличаться по значению. В той обмотке, которая имеет большее число витков w , индуцируемая будет больше, чем в обмотке, имеющей меньшее число витков.
Индуцируемая в первичной обмотке примерно равна приложенному напряжению и будет почти полностью его уравновешивать. Ко вторичной обмотке подключаются различные потребители электроэнергии, которые будут являться нагрузкой для трансформатора. В этой обмотке под действием индуцированной в ней ЭДС возникнет ток I2 , а на ее выводах установится напряжение U2 , которые будут отли-
чаться от тока I1 и напряжения U1 первичной обмотки. Следователь-
но, в трансформаторе происходит изменение параметров энергии: подводимая к первичной обмотке от сети электрическая энергия с напряжением U1 и током I1 посредством магнитного поля передается во
вторичную обмотку с напряжением U2 и током I2 .
Трансформатор нельзя включать в сеть постоянного тока. В этом случае магнитный поток в нем будет неизменным во времени и, следовательно, не будет индуцировать ЭДС в обмотках. Вследствие этого в первичной обмотке будет протекать большой ток, так как при отсутствии ЭДС он будет ограничиваться только относительно небольшим активным сопротивлением обмотки.
Уравнения ЭДС и МДС трансформатора. Обмотки трансфор-
матора обычно располагаются на ферромагнитном сердечнике, что обеспечивает увеличение магнитной связи между обмотками. С этой же целью стремятся расположить обмотки как можно ближе друг к другу. Рассмотрим трансформатор с двумя электрически не соединенными обмотками, имеющими числа витков w1 и w2 .
Реальная картина магнитного |
|
|||
поля в трансформаторе достаточно |
|
|||
сложна. Некоторые магнитные ли- |
|
|||
нии замыкаются целиком по сер- |
|
|||
дечнику, охватывая все витки обе- |
|
|||
их обмоток, другие проходят час- |
|
|||
тично или целиком по воздуху, |
|
|||
охватывая то или иное число вит- |
|
|||
ков обмоток. Интересуясь только |
|
|||
напряжениями на зажимах обмоток |
|
|||
и не рассматривая распределение |
Рис.2.1.Упрощённая картина |
|||
напряжения между отдельными их |
||||
магнитного поля трансформатора |
||||
витками, |
можем |
действительную |
||
|
||||
сложную |
картину |
поля заменить |
|
эквивалентной ей упрощенной, изображенной на рис. 2.1. Линии потока 0 охватывают все витки обеих обмоток. Линии потока 1 охва-
тывают все витки только первой обмотки. Линии потока 2 охваты-
вают все витки только второй обмотки. Поток 0 называют основ-
ным, а потоки 1 и 2 – потоками рассеяния. Поток 0
нелинейно связан с магнитодвижущей силой i1w1 i2w2 , определяемой обоими токами. Поток 1 пропорционален току i1, а поток 2
пропорционален току i2 . Для потокосцеплений с первой и второй обмотками можем написать
1 1 01 L 1i1 w1 0;
2 2 01 L 2i2 w2 0.
Здесь L 1 и L 2 – индуктивности первичной и вторичной обмо-
ток, определяемые потоками рассеяния.
Пусть кзажимам первичной обмотки трансформатора приложено напряжение u1 , а кзажимам вторичной обмотки приключенприемник.
Напряжение u1 имеет составляющую ri1 1, равную падению напряжения
в сопротивлении первичной обмотки, и составляющую d 1 , индуци- dt
руемую потоком 1 :
|
|
u ri |
d 1 |
. |
|
|
(2.1) |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
1 1 |
|
dt |
|
|
|
|
|||
|
|
|
d 2 |
r i |
u |
2 |
. |
|
(2.2) |
||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dt |
2 2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЭДС e – |
d 2 |
,индуцируемая потоком |
2 |
во вторичной об- |
|||||||
|
|||||||||||
2 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мотке, преодолевает падение напряжения r2i2 в сопротивлении вто-
ричной обмотки и напряжение u2 на зажимах приемника:
Пользуясь разложением потоков на потоки рассеяния и основной, можем написать уравнения (2.1) и (2.2) в виде
u i r L |
|
|
di1 |
w |
d 0 |
i r L |
|
|
di1 |
e ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 1 1 |
1 dt |
|
1 dt |
1 1 |
|
1 dt 1 |
|||||||||||||
|
0 i r L |
di1 |
w |
d 0 |
u |
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 1 |
|
1 dt |
2 |
|
dt |
|
|
|
2 |
|
|
||||||
Обозначим через e |
w |
|
d 0 |
и |
e |
w |
|
d 0 |
, индуцируемые пото- |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
1 dt |
|
2 |
2 |
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||
ком 0 в первичной и вторичной обмотках. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
u1 i1r1 e 1 e1; |
|
|
|
|
(2.3) |
||||||||||
|
|
|
|
e2 i2r2 e 2 u2. |
|
|
(2.4) |
Из уравнения (2.3) следует, что напряжение, приложенное к первичной обмотке, должно преодолеть сопротивление первичной обмотки и уравновесить ЭДС индуцируемые в ней потоком рассеяния и основным потоком трансформатора. Из (2.4) вытекает, что ЭДС, индуцируемая во вторичной обмотке основным потоком, преодолевает активное сопротивление вторичной обмотки, уравновешивает ЭДС, индуцируемую потоком рассеяния этой обмотки и преодолевает напряжение на зажимах приемника.
Основной поток 0 является важнейшей величиной, характери-
зующей трансформатор. По его максимальному значению m , кото-
рое остается практически неизменным, определяют сечение стержня, а максимальная индукция определяет магнитные потери в магнитопроводе и намагничивающую мощность.
Если можно пренебречь потерями в стали (они обычно малы) и считать, что магнитопровод не насыщен, то потокосцепления 1 и
2 можно записать в виде:
1 L1i1 M12i2 и 2 L2i2 M21i1,
где L1 и L2 – полные индуктивности первичной и вторичной обмоток, соответствующие всему сцеплённому с данной обмоткой потоку, M12 M21 M – взаимоиндуктивности обмоток.
Подставляя значения 1 и 2 в правые части уравнений (2.1) и (2.2), получаем:
u |
i r L |
di1 |
M |
di2 |
, |
(2.5) |
|||||
|
|
|
|
||||||||
1 |
1 1 |
1 |
dt |
|
dt |
|
|||||
0 i r |
L |
di2 |
M |
di1 |
u. |
(2.6) |
|||||
|
|
||||||||||
|
2 2 |
2 |
dt |
dt |
|
Коэффициент трансформации трансформатора. Под коэффи-
циентом трансформации трансформатора понимают отношение ЭДС, наводимых в первичной и вторичной обмотках трансформатора основным магнитным потоком:
k e1 e2
d
w1 dt w1 .
w2 d w2 dt
Он имеет большое значение как в теории трансформаторов так и в экспуатационном отношении.
Уравнения ЭДС и МДС при синусоидальном изменении на-
пряжений и токов. При номинальной величине питающего напряжения магнитопровод трансформатора насыщен. Поэтому уравнения трансформатора нелинейны вследствие нелинейной связи между потоком 0 и МДС. Из-за этого периодические токи, потоки и напряжения
несинусоидальны. Заменяя их эквивалентными синусоидами, можем написать уравнения трансформатора в комплексной форме:
|
|
|
|
|
|
U |
E E |
|
I r , |
|
(2.7) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 E |
2 |
E |
|
I |
r U |
2 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
I w |
I |
w |
|
I w . |
|
(2.8) |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
1 |
1 |
|
|
||||
|
При синусоидальном изменении тока мгновенное значение ЭДС |
|||||||||||||||||
рассеяния первичной обмотки равно: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
e |
L |
di1 |
|
L |
d(I1m sinωt) |
I |
|
L |
|
ωcosωt I x cosωt. |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
1 dt |
|
1 |
dt |
|
|
|
|
|
1m 1 |
|
1m 1 |
||||||
|
Таким образом, ЭДС рассеяния e 1 |
|
отстаёт по фазе от создаю- |
|||||||||||||||
щего её тока i |
|
на 90 , и её действующее значение, выраженное в |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
комплексной форме, будет равно:
E 1 jI1x1.
Соответственно для вторичной обмотки будем иметь:
E 2 jI2x2.
Здесь x1 и x2 – индуктивные сопротивления рассеяния первичной и вторичной обмоток.
Подставив выражения для E 1 и E 2 в формулы (2.7), (2.8), имеем: для первичной обмотки
U |
1 |
E jI |
x |
I r E |
I |
(r |
jx ) E |
I |
z ; |
(2.9) |
||||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
для вторичной обмотки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 E |
E |
|
I r U |
E |
jI x |
2 |
I |
r U |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
2 2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 2 |
2 |
(2.10) |
|||
|
|
E |
I |
(r jx ) U |
|
E |
I z |
|
U |
. |
|
|
||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
В этих уравнениях z1 r1 jx1 и z2 r2 jx2 – полные сопротивления первичной и вторичной обмоток трансформатора; состав-
ляющие I1z1 и I2z2 обычно называют падениями напряжения в пер-
вичной и вторичной обмотках трансформатора.
Уравнения (2.9) и (2.10) широко используются в теории трансформаторов.
Аналогично могут быть написаны уравнения (2.5) и (2.6)
U1 jωL1I1 jωMI2 I1r1,
(2.11)
0 jωL2I2 jωMI1 I2r2 U2.
При анализе работы силовых трансформаторов уравнениями (2.11) пользуются сравнительно редко, так как самоиндуктивности и взаимоиндуктивности таких трансформаторов являются величинами, изменяющимися в относительно широких пределах.
Приведенный трансформатор. Так как в общем случае w1 w2 , то E1 E2 и I2 I1. Соответсвенно разным ЭДС и токам
различны и параметры обмоток, т. е. их активные и индуктивные сопротивления. Это затрудняет количественный учет процессов, происходящих в трансформаторе, и построение векторных диаграмм, особенно при больших коэффициентах трансформации. Чтобы избежать этих затруднений, пользуются способом, прикотором обе обмоткитрансформатора приводятся кодномучислувитков.
Обычно приводят вторичную обмотку к первичной. Для этого пересчитывают вторичную обмотку, имеющую число витков w2 , на эквивалентную ей приведенную обмотку, имеющую такое же число витков w1 как и первичная обмотка, с условием, чтобы эта операция
приведения вторичной обмотки к первичной не отразилась на энергетическом процессе трансформатора и, следовательно, на режиме работы первичной обмотки.
Все величины, относящиеся к приведенной вторичной обмотке, называются приведенными и обозначаются теми же символами, что и действительные величины, но со штрихом сверху E2, I2, r2 и т.д.
А. Приведенная вторичная ЭДС E2 . Чтобы получить E2 нуж-
но изменить E2 в отношении числа витков первичной и вторичной обмоток w1 и w2 , т. е. пропорционально коэффициенту трансформа-
ции k w1 . w2
Следовательно,
E2 w1 E2 kE2 E1. w2
В таком же отношении изменяется и ЭДС рассеяния вторичной обмотки трансформатора E 2 .
Б. Приведенный вторичный ток I2. При приведении вторич-
ной обмотки к первичной ее полная мощность должна остаться без изменения, т. е. E2I2 E2I2 . Отсюда
I2 E2 1 I2,
E2 k
т. е. чтобы получить I2 , нужно изменить ток I2 обратно пропорционально коэффициенту трансформации.
В.Приведенноеактивноесопротивлениевторичнойобмотки r2.
Так как при приведении вторичной обмотки к первичной мощности не изменяются, то потери в меди в действительной и приведенной обмотках должны быть равны.
Следовательно,
I |
2r |
I2r . |
||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|||
Откуда |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
I2 |
|
|
||
r2 |
|
|
|
r2 k2r2, |
||
|
I2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
т. е. чтобы получить r2 , нужно изменить сопротивление r2 пропор-
ционально квадрату коэффициента трансформации. Физически это можно представить себе так, что при изменении, например увеличении, числа витков вторичной обмотки в k раз, длина обмотки увеличивается в k раз, а ее сечение, если предполагать плотность тока постоянной, уменьшается в k раз, вследствие чего активное сопротивление
обмотки увеличивается в k2 раз.
Г. Приведенное индуктивное сопротивление рассеяния вто-
ричной обмотки x2 . Это сопротивление получается из условия со-
хранения того же соотношения между активным и индуктивным сопротивлением, что и в реальной обмотке, а именно:
x2 x2 , r2 r2
откуда x |
x |
r2 |
k |
2x . |
|
r |
|||||
2 |
2 |
|
2 |
||
|
|
2 |
|
|
Таким образом, чтобы получить x2 , нужно изменить x2 , так же как и r2 , пропорционально квадрату коэффициента трансформации.
Аналогичное соотношение получается и для приведенного полного сопротивления вторичной обмотки.
z2 k2z2.
Если zc – сопротивление сети, питаемой вторичной обмоткой трансформатора, то по аналогии с z2 имеем:
zc k2zc.
Уравнения МДС и ЭДС приведенного трансформатора. В
приведенном трансформаторе уравнение МДС приобретает вид:
I1w1 I w1 I0w1.
Сократив обе части этого равенства на w1 имеем
I |
I |
I . |
(2.12.) |
1 |
2 |
0 |
|
Уравнения ЭДС для приведённого трансформатора запишутся в
виде:
U |
E |
|
I |
z , |
|
(2.13) |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 E |
I z |
U |
. |
(2.14) |
|||
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
Схема замещения трансформатора. Аналитическое и графиче-
ское исследование работы трансформатора упрощается, если действительный трансформатор, в котором обмотки связаны между собой электромагнитно, заместить схемой, элементы которой связаны между собою только электрически. В общем случае эта задача может иметь
ряд решений, т. е. мы можем иметь несколько различных схем замещения трансформатора, но каждая из них должна удовлетворять основным уравнениям ЭДС и МДС трансформатора.
Втеории трансформаторов пользуются только так называемой „Т-образной" схемой замещения.
Всоответствии с уравнениями (2.12), (2.13) и (2.14) схема приведенного трансформатора имеет вид, показанный на рис. 2.2, a. Каждая обмотка такого эквивалентного трансформатора состоит из двух последовательно соединенных катушек, одна из которых – без рассеяния и без потерь в меди – наматывается на сердечник трансформатора, а другая представляет собою реактор без стального сердечника, имеющий активное и индуктивное сопротивление соответствующей обмотки.
|
|
|
|
Так как в приведенном трансфор- |
|||
|
|
|
|
маторе |
w1 w2 , то обе |
обмотки |
|
|
|
|
|
трансформатора можно совместить |
|||
|
|
|
|
в одну (рис. 2.2, б), по которой те- |
|||
|
|
|
|
чет |
намагничивающий |
ток |
|
|
|
|
|
I |
I |
I . В этом случае объеди- |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
ненная обмотка играет роль намаг- |
|||
|
|
|
|
ничивающего контура, |
который |
||
|
|
|
|
создает основной магнитный поток |
|||
|
|
|
|
, замыкающийся по сердечнику |
|||
|
|
|
|
трансформатора. Мощность, рас- |
|||
Рис.2.2.Схема приведённого |
|
|
ходуемая в этой обмотке, опреде- |
||||
|
|
ляется потерями в стали сердечни- |
|||||
трансформатора |
|
|
|
ка |
pc . |
|
|
Зависимость между E |
|
|
|
|
|||
на зажимах намагничивающего контура |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
и током в контуре I0 может быть выражена в виде: |
|
||||||
E |
I |
z |
m |
I |
(r jx ), |
|
|
1 |
0 |
|
0 |
m |
m |
|
где zm rm jxm – полное сопротивление намагничивающего контура;
rm p2c и xm ωM. I0
Если U2 – напряжение на зажимах сети, питаемой вторичной обмоткой трансформатора, и zc – полное сопротивление этой сети, то
U2 I2zc.
Тогда из уравнения (2.14) для вторичного контура трансформатора находим:
I2 |
|
E |
|
|
E |
|
|
2 |
|
|
1 |
. |
|
z |
z |
z |
z |
|||
2 |
c |
2 |
c |
Следовательно,
I |
I |
I |
|
E |
E |
|
E |
(z |
m |
z |
z ) |
||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
2 |
c |
, |
|||||
z2 zc |
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
0 |
|
zm |
|
|
(z2 zc)zm |
|
Откуда
E1 I1 (z2 zc)zm . zm z2 zc
Подставив это значение E1 в уравнение (2.13) первичной обмотки, получаем:
|
|
(z |
z )z |
m |
|
|
|
|
(z |
z )z |
m |
|
|
|||||
2 |
|
|
c |
|
|
|
|
|
2 |
c |
|
|
||||||
U1 |
I1 |
zm |
z2 zc |
I1z1 I1 |
|
|
|
z2 zc |
z1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
zm |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z |
z )z |
m |
|
|
|
|
|
||
Здесь |
|
|
z |
|
z |
|
|
2 |
c |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
zm z2 zc |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
э |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
представляет собою эквивалентное сопротивление Т-образной схемы замещения трансформатора на рис. 2.3. Мы видим, что трансформатор можно представить себе как совокупность трех ветвей: первичной – с сопротивлением z1 и током I1, намагничивающей – с сопротивлением
zm и током I0 , и параллельно приключенной к намагничивающей ветви – вторичной ветви с сопротивлением z2 zc и током I2 . Рас-
пределение токов I1, I0 и I2 должно соответствовать уравнению МДС
I1 I2 I0 .