Maloletov-diss
.pdf111
б) Силы сопротивления среды. В простейшем случае шарообразного однородного тела, уравнения сил и моментов сил для вязкого сопротивления среды имеют вид:
Fξ=−μi ξ˙i
Fη=−μi η˙ i
Fζ=−μi ζ˙ i
Mξ=0
Mη=0
Mζ=0
где μi — коэффициент вязкого сопротивления среды для i тела.
А для сопротивления среды, пропорционального квадрату скорости:
Fξ=−k i ξ˙ i √ξ˙ 2i +η˙ 2i +ζ˙ 2i
Fη=−ki η˙ i √ξ˙ 2i +η˙ 2i +ζ˙ 2i
Fζ=−ki ζ˙ i √ξ˙ 2i +η˙ 2i +ζ˙ 2i
Mξ=0
Mη=0
Mζ=0
где ki — коэффициент сопротивления среды для i тела.
(2.26)
(2.27)
Точкой приведения является центр сопротивления, в случае однородного тела, совпадающий с центром масс.
в) Следящий привод. При вращении тела вокруг одной из осей, например, вокруг оси η, приводной двигатель, работающий в следящем режиме создаёт соответствующий момент:
112
Fξ=0
Fη=0
F ζ=0 |
|
|
|
(2.28) |
|
M ξ=0 |
|
|
|
||
(ψ*(t)−ψ )+C |
(ψ˙ *(t)−q |
|
|||
M |
=С |
) |
|||
η |
ψ |
i q |
|
i |
|
M ζ=0 |
|
|
|
|
|
где Сψ , Cq — постоянные коэффициенты, |
ψ*(t ) — отслеживаемый закон |
изменения угла поворота вокруг оси η.
г) Точечный контакт с упруго-вязко-пластичной неудерживающей поверхностью. Для целей моделирования контакта стопы шагающей машины с опорной поверхностью вводится силовое взаимодействие, обладающее следующими свойствами. Силы взаимодействия отличны от нуля только при наличии контакта с поверхностью, сам контакт является односторонним, считается что тело контактирует с поверхностью со стороны положительного направления оси (рисунок 2.1).
ζ |
|
касательная |
|
плоскость |
|
|
τ |
n |
A10 |
ρ |
|
A01 |
|
|
ξ |
Рисунок 2.1 — Расчётная схема неудерживающей связи |
113
Опорная поверхность, связанная с j телом, задаётся в виде функции:
= f , , |
(2.29) |
где каждой паре значений ξ , η (ось η на рисунке 2.1 не показана) поставлено в соответствие только одно значение . Это гарантирует в частности, что нормаль к такой поверхности будет иметь ненулевую проекцию на ось ζ . Для определения нормали и касательной плоскости также требуется, чтобы функция (2.29) имела непрерывные частные производные f ' , , f ' , .
Уравнение связи, соответствующее функции (2.29) имеет вид:
D (ξ , η, ζ)= f (ξ , η)−ζ=0 . |
(2.30) |
|
Частные производные определяются в виде: |
|
|
D 'ξ (ξ , η , ζ)= f 'ξ (ξ , η) , |
|
|
D 'η(ξ , η , ζ)= f ' η(ξ , η), . |
(2.31) |
|
D 'ζ (ξ , η, ζ)=−1. |
|
|
Программная реализация теоретико-механической модели допускает как |
||
задание частных производных f ' , , |
f ' , |
в виде аналитических |
функций, так и автоматическое определение значений частных производных численными методами.
Абсолютные координаты и скорости точки Aij (ξij , ηij , ζij ) принадлежащей i телу, в которой оно контактирует с j телом:
114
ξij=ξi+xij αi11+ yij αi21+zij αi31 , ηij=ηi+xij αi12+ yij αi22+zij αi32 ,
ζij=ζi+xij αi13+yij αi23+zij αi33 , (2.32)
ξ˙ ij=ξ˙1+xij α˙ 11+yij α˙ 21+zij α˙ 31 , η˙ ij=η˙ 1+xij α˙ 12+ yij α˙ 22+zij α˙ 32 , ζ˙ij =ζ˙ 1+xij α˙ 13+yij α˙ 23+zij α˙ 33 .
Условие контакта тел определяется в виде:
ζij≤ f (ξij , ηij ) . |
(2.33) |
Если условие (2.33) не выполняется, то силы взаимодействия равны нулю. Если условие выполняется, то силы взаимодействия определяются согласно упруго-вязкой модели в направлении нормали к поверхности и упруго-вязко- пластичной модели в касательной плоскости.
Через Aji (ξ ji , ηji , ζ ji) обозначается точка первоначального контакта тел, принадлежащая поверхности (j телу). Координаты этой точки определяются приближённо при выполнении условия (2.33):
ξ ji=ξij , |
(2.34) |
ηji=ηij , |
ζji= f (ξij , ηij).
исохраняются до потери контакта тел.
Кривая поверхность в окрестности точки Aji аппроксимируется касательной плоскостью.
Координаты нормального вектора N к поверхности определяются выражениями:
115
N ξ=F 'ξ(ξ ji , ηji , ζ ji) , |
|
N η=F ' η(ξ ji , ηji , ζ ji) , . |
(2.35) |
Nζ=F 'ζ(ξ ji , ηji , ζ ji).
Сучётом того, что нормальный вектор гарантированно не лежит в плоскости
, два произвольных вектора, задающих касательную плоскость могут быть найдены в результате векторных произведений:
|
|
|
Τ=N × i , |
(2.36) |
|
|
|
|
B=T |
×N . |
|
Или в скалярном виде:
Τξ=0, |
|
|
Τη=N ζ , |
|
|
Τζ=−N η , |
2 |
(2.37) |
2 |
Bξ=N ζ+N η ,
Bη=−N ξ N η ,
Bζ=−N ξ N ζ .
Орты n , , b векторов N , T , B , представляют собой естественную систему координат, связанную с опорной поверхностью в точке контакта, а их координаты представляют собой направляющие косинусы этой системы относительно неподвижной системы отсчёта и определяются формулами:
116 |
|
N = N 2 N 2 N 2 , |
|
T = T 2 T 2 T 2 , |
|
B= B2 B2 B2 , |
|
n =N / N , |
|
n =N / N , |
|
n =N / N , |
(2.38) |
=T /T , |
|
=T /T ,=T /T , b =B / B ,
b =B / B , b =B / B ,
Радиус-вектор между точками Aji и Aij и его производная (скорость точки Aij относительно точки Aji, по сути — абсолютная скорость точки Aij, так как точка Aji неподвижна) в неподвижной системе отсчёта определяются выражениями:
ρξ=ξij−ξ ji , ρη=ηij−ηji ,
ρζ=ζij −ζ ji , (2.39)
ρ˙ξ=ξ˙ ij ,
ρ˙η=η˙ ij , ρ˙ ζ=ζ˙ ij ,
а в естественной системе отсчёта, связанной с поверхностью, выражениями:
ρn=ρξ nξ+ρηnη+ρζ nζ ,
ρτ=ρξ τξ+ρη τη+ρζ τζ ,
ρb=ρξ bξ+ρηbη+ρζ bζ , (2.40) ρ˙n=ρ˙ ξ nξ+ρ˙ η nη+ρ˙ ζ nζ ,
ρ˙τ=˙ρξ τξ+ρ˙η τη+ρ˙ζ τζ , ρ˙b=ρ˙ξ bξ+˙ρη bη+˙ρζ bζ .
117
Отдельно задаются коэффициенты жёсткости и вязкости поверхности в нормальном ( cn , n ) и касательном ( cτ , μτ ) направлениях, а также коэффициент сцепления λτ в касательном направлении. Тогда силы взаимодействия тела с поверхностью в естественной системе отсчёта определяются выражениями:
Fn=−cn ρn−μn ρ˙n ,
F*τ=−cτ ρτ ,
F*b=−cτ ρb ,
F**τ =λτ F n F*τ /√( F*τ)2 +( F*b )2 ,
F b**=λτ F n Fb* /√ |
|
, |
(2.41) |
|||
(F*τ )2+( Fb*)2 |
||||||
|
|
|
F τ* , при F τ*<F τ** |
|
||
F τ=−μτ ρ˙τ +{F τ** , при F*τ≥F**τ |
, |
|||||
F |
=−μ ρ |
+ |
F b* , при Fb*<Fb** . |
|||
b |
τ ˙ b |
|
{F b** , при F*b≥F b** |
|
А в проекциях на оси неподвижной системы отсчёта, соответственно:
F =F n n F F b b , |
|
F =F n n F Fb b , |
(2.42) |
F=Fn n F Fb b .
2.3.Стационарные связи
Отсутствие взаимного перемещения тел
Связь, ограничивающая взаимное перемещение i и j тел представляет собой условие равенства координат точек взаимодействия тел в абсолютной системе отсчёта. Соответствующие уравнения связи имеют вид:
118
Dξ=(ξi+xij αi11 |
+yij αi21 |
+zij αi31)−(ξ j+x ji αj11+ y ji αj21+z ji α j31)=0 |
|
Dη=(ηi+xij αi12 |
+yij αi22 |
+zij αi32)−(ηj+x ji α j12+y ji αj22+z ji α j32)=0 |
(2.43) |
Dζ =(ζi+xij αi13 |
+yij αi23+zij αi33)−(ζ j+x ji α j13+y ji α j23+z ji αj33)=0 |
|
где xij, yij, zij — координаты точки воздействия j тела на i тело в подвижной системе координат, связанной с i телом; xji, yji, zji — координаты точки воздействия i тела на j тело в подвижной системе координат, связанной с j телом.
Производные от выражений:
|
|
|
D˙ |
ξ |
=(V |
|
ix |
α +V |
iy |
α +V |
iz |
α |
i31 |
+x |
α |
+y |
α +z |
|
α |
|
)− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i11 |
|
|
|
|
|
i21 |
|
|
|
|
|
|
ij |
˙ i11 |
|
ij ˙ i21 |
|
|
ij ˙ i31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
−(V jx αj11+V jy α j21+V jz αj31+x ji α˙ j11+ y ji α˙ j21+z ji α˙ j31) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
+V |
|
|
α |
|
|
|
+V |
|
α |
|
|
|
+x |
α |
+ y α |
+z α |
|
|
)− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
D =(V |
ix |
i12 |
iy |
i22 |
iz |
i32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
˙ i12 |
|
ij ˙ i22 |
|
|
ij ˙ i32 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
(2.44) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−(V jx αj12+V jy α j22+V jz α j32+x ji α˙ j12+ y ji α˙ j22+z ji α˙ j32 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
=(V |
|
|
α |
|
|
+V |
|
|
α |
|
|
|
+V |
|
α |
|
|
+x |
α + y |
α |
+z |
|
α |
|
)− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
D |
ζ |
ix |
i13 |
iy |
i23 |
iz |
i33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
˙ i13 |
|
ij ˙ i23 |
|
|
ij ˙ i33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−(V jx αj13+V jy α j23+V jz αj33+x ji α˙ j13+ y ji α˙ j23+z ji α˙ j33) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D¨ =(V˙ |
|
ix |
α +V˙ |
iy |
α |
i21 |
+V˙ |
iz |
α |
i31 |
+V |
α |
|
|
+V |
α +V |
α +x |
α + y α +z α |
)− |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
i11 |
˙ |
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
|
ix ˙ i11 |
|
|
iy |
˙ i21 |
|
iz ˙ i31 ij |
¨ i11 |
|
|
|
ij |
|
¨ i21 |
|
|
ij ¨ i31 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
˙ |
α |
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
α +V |
|
α +V |
α |
+V |
α |
|
+x |
α + y |
|
α |
|
+z |
α |
|
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
−(V |
j11 |
+V |
|
|
j21 |
+V |
jz˙ |
|
|
|
|
j31 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¨ |
|
jx |
˙ |
|
|
|
|
|
jy˙ |
|
|
|
|
|
|
j31 |
|
|
|
jx |
˙ j11 |
|
|
|
jy |
˙ j21 |
+V |
jz ˙ j31 |
|
|
ji ¨ j11 |
|
|
ji ¨ |
j21 |
|
ji ¨ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
D =(V |
ix |
α |
i12 |
+V |
iy |
α |
i22 |
+V |
iz |
α |
i32 |
+V |
α +V |
α |
α |
+x α + y |
α |
+z α |
|
)− |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
η |
|
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
|
ix ˙ i12 |
|
iy |
˙ i22 |
|
iz ˙ i32 |
|
|
ij ¨ i12 |
|
|
ij |
|
¨ i22 |
|
ij ¨ i32 |
|
|
|
(2.45) |
|||||||||||||||||||||
|
˙ |
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
+V |
|
α |
|
+V |
α |
+V |
α |
|
+x |
α + y |
α |
|
|
+ z |
α |
|
) |
|||||||||||||||||||||
−(V |
jx |
j12 |
+V |
jy |
j22 |
+V |
jz |
j32 |
|
|
|
j22 |
j32 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¨ |
|
˙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jx |
˙ j12 |
|
|
|
jy |
˙ j22 |
|
jz ˙ j32 |
|
|
ji ¨ j12 |
|
|
ji ¨ |
|
ji ¨ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
˙ |
|
α |
|
|
|
|
˙ |
|
|
α |
|
|
|
+V |
α +V |
|
α |
+V |
α |
+x |
|
α |
+y |
α |
+z α |
)− |
|
|
|||||||||||||||||||||||
D =(V |
|
ix |
i13 |
+V |
iy |
i23 |
+V |
iz |
i33 |
iy |
ij |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ζ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ix ˙ i13 |
|
|
˙ i23 |
|
iz ˙ i33 |
|
|
¨ i13 |
|
|
|
ij |
|
¨ i23 |
|
|
ij ¨ i33 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
˙ |
|
α |
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
α |
|
|
|
|
˙ |
|
|
α +V |
|
α +V |
α +V |
α |
|
+x |
α + y |
|
α |
|
+z |
α |
|
) |
|
|||||||||||||||||||||||||
−(V |
jx |
j13 |
+V |
jy |
j23 |
+V |
jz |
|
|
|
|
j33 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j33 |
|
|
|
jx |
˙ j13 |
|
|
|
jy |
˙ j23 |
|
jz ˙ j33 |
|
|
ji ¨ j13 |
|
|
ji ¨ |
j23 |
|
ji ¨ |
|
|
|
|
где производные от направляющих косинусов:
α˙ i11=−qi αi31+ri αi21 α˙ i12=−qi αi32+ri αi22 α˙ i13=−qi αi33+ri αi23
α˙ i21=−ri αi11+ pi αi31
α˙ i22=−ri αi12+ pi αi32 , (2.46) α˙ i23=−ri αi13+ pi αi33
α˙ i31=− pi αi21+qi αi11 α˙ i32=− pi αi22+qi αi12 α˙ i33=− pi αi23+qi αi13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
119 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
=−q |
α |
i31 |
+r |
α −q α +r α |
|
|
|
|
||||||||||||||
¨ i11 |
˙ i |
|
|
|
˙i |
|
i21 |
i |
˙ |
i31 |
|
i |
˙ i21 |
|
|
|||||||||||
α |
i12 |
=−q |
α |
i32 |
+r |
α |
i22 |
−q α |
|
+r α |
|
|
|
|
||||||||||||
¨ |
|
˙ i |
|
|
|
˙i |
|
i |
˙ |
i32 |
|
i |
˙ i22 |
|
|
|||||||||||
α |
|
|
|
=−q |
α |
i33 |
+r |
α −q |
α˙ |
|
+r |
α˙ |
i23 |
|
|
|||||||||||
¨ i13 |
˙ i |
|
|
|
˙i |
|
i23 |
i |
|
i33 |
|
i |
|
|
|
|||||||||||
α |
i21 |
=−r |
α |
i11 |
+ p |
α −r α + p α |
i31 |
|
|
|||||||||||||||||
¨ |
|
˙i |
|
|
|
|
˙ i |
|
i31 |
i |
˙ i11 |
|
i ˙ |
|
, |
(2.47) |
||||||||||
α |
|
|
=−r |
α |
i12 |
+ p |
α |
i32 |
−r α |
|
+ p α |
|
||||||||||||||
¨ i22 |
|
|
˙i |
|
|
|
|
˙ i |
|
i |
˙ i12 |
|
i ˙ i32 |
|
|
|||||||||||
α |
i23 |
=−r |
α |
i13 |
+ p |
α −r α + p α |
i33 |
|
|
|||||||||||||||||
¨ |
|
˙i |
|
|
|
|
˙ i |
|
i33 |
i |
˙ i13 |
|
i ˙ |
|
|
|
||||||||||
α =−p |
|
α +q |
α − p α |
i21 |
+q α |
i11 |
|
|
||||||||||||||||||
¨ |
i31 |
|
|
˙ i |
|
|
i21 |
˙ i |
|
i11 |
i ˙ |
|
i ˙ |
|
|
|
||||||||||
α |
|
|
=− p |
|
α |
i22 |
+q |
α |
i12 |
− p α |
|
|
+q α |
|
|
|
||||||||||
¨ i32 |
|
|
˙ i |
|
|
|
˙ i |
|
i ˙ i22 |
|
i ˙ i12 |
|
|
|||||||||||||
α =− p |
|
α +q |
α − p α |
i23 |
+q α |
|
|
|
||||||||||||||||||
¨ |
i33 |
|
|
˙ i |
|
|
i23 |
˙ i |
|
i13 |
i ˙ |
|
i ˙ i13 |
|
|
Важным свойством первых производных от направляющих косинусов является то, что они не зависят от обобщённых ускорений и поэтому в дифференциальных формах уравнений связи они могут рассматриваться как известные на каждом шаге интегрирования величины.
Тогда дифференциальные уравнения, описывающие ограничения на взаимное перемещение тел примут вид:
˙ |
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V ix αi11+V iy αi21 |
+V iz |
αi31−V jx α j11−V jy αj21−V jz α j31+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
+p |
( y |
|
α −z |
α |
i21 |
)+q |
(z |
α |
i11 |
−x |
α |
i31 |
)+r |
( x |
α |
i21 |
−y |
|
α |
i11 |
)− |
|
|
|
||||||||||||||||||||
˙ i |
|
ij |
|
i31 |
ij |
|
|
|
|
˙ i |
|
ij |
|
|
|
|
ij |
|
|
˙i |
ij |
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
−p |
( y |
ji |
α |
j31 |
−z |
ji |
α |
j21 |
)−q |
( z |
ji |
α |
j11 |
−x |
ji |
α |
j31 |
)−r |
( x |
ji |
α |
j21 |
−y |
ji |
α |
j11 |
)= |
|
||||||||||||||||
˙ |
j |
|
|
|
|
|
|
˙ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˙ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
2 |
Dξ−Bξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
=−2 a Dξ−b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
˙ |
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V ix αi12+V iy αi22 |
+V iz |
αi32−V jx α j12−V jy α j22 |
−V jz α j32+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
+p |
( y |
|
α −z |
α |
i22 |
)+q |
(z |
α |
i12 |
−x |
α |
i32 |
)+r |
( x |
α |
i22 |
−y |
|
α |
i12 |
)− |
|
|
|||||||||||||||||||||
˙ i |
|
ij |
|
i32 |
ij |
|
|
|
|
˙i |
|
ij |
|
|
|
|
ij |
|
|
˙i |
ij |
|
|
ij |
|
|
|
|
|
(2.48) |
||||||||||||||
−p |
( y |
ji |
α |
j32 |
−z |
ji |
α |
j22 |
)−q |
(z |
ji |
α |
j12 |
−x |
ji |
α |
j32 |
)−r |
( x |
ji |
α − y |
ji |
α |
j12 |
)= |
|||||||||||||||||||
˙ |
j |
|
|
|
|
|
|
˙ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˙ j |
|
|
|
j22 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
2 |
Dη−Bη |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
=−2 a Dη−b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
˙ |
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V ix αi13+V iy αi23 |
+V iz |
αi33−V jx αj13−V jy αj23−V jz α j33+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
+p |
( y |
|
α −z |
α |
i23 |
)+q |
(z |
α |
i13 |
−x |
α |
i33 |
)+r |
( x |
α |
i23 |
−y |
|
α |
i13 |
)− |
|
|
|
||||||||||||||||||||
˙ i |
|
ij |
|
i33 |
ij |
|
|
|
|
˙ i |
|
ij |
|
|
|
|
ij |
|
|
˙i |
ij |
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
−p |
j |
( y |
ji |
α |
j33 |
−z |
ji |
α |
j23 |
)−q |
( z |
ji |
α |
j13 |
−x |
ji |
α |
j33 |
)−r |
( x |
ji |
α |
j23 |
−y |
ji |
α |
j13 |
)= |
|
|||||||||||||||
˙ |
|
|
|
|
|
|
˙ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˙ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
2 |
Dζ−Bζ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
=−2 a Dζ−b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
120
Bξ=V ix α˙ i11+V iy α˙ i21+V iz α˙ i31−V jx α˙ j11−V jy α˙ j21−V jz α˙ j31+
+xij (−qi α˙ i31+ri α˙ i21)+ yij (−ri α˙ i11+ pi α˙ i31)+zij (−pi α˙ i21+qi α˙ i11)−
−x ji (−q j α˙ j31+r j α˙ j21)− y ji (−r j α˙ j11+ p j α˙ j31)−z ji (−p j α˙ j21+q j α˙ j11)
Bη=V ix α˙ i12+V iy α˙ i22+V iz α˙ i32 |
−V jx α˙ j12−V jy α˙ j22−V jz α˙ j32+ |
i |
˙ |
i12 |
|
(2.49) |
|||||||||||||||||||
+x |
ij |
|
i ˙ i32 |
|
i |
˙ i22 |
|
ij |
|
|
i ˙ i12 |
|
|
i ˙ i32 |
|
ij |
|
|
i ˙ i22 |
)− |
|||||
|
(−q α |
+r α |
)+ y |
(−r α |
|
+ p α |
)+z |
(− p α +q α |
|
|
|||||||||||||||
−x |
ji |
(−q α |
|
+r |
α |
|
)−y |
ji |
(−r |
α |
j12 |
+ p α |
)−z |
ji |
(−p α |
j22 |
+q |
α |
) |
||||||
|
j ˙ j32 |
|
j ˙ j22 |
|
|
|
j ˙ |
|
j ˙ j32 |
|
|
j ˙ |
|
|
j ˙ j12 |
|
Bζ=V ix α˙ i13+V iy α˙ i23+V iz α˙ i33−V jx α˙ j13−V jy α˙ j23−V jz α˙ j33+
+xij (−qi α˙ i33+ri α˙ i23)+ yij (−ri α˙ i13+ pi α˙ i33)+zij (−pi α˙ i23+qi α˙ i13)−
−x ji (−q j α˙ j33+r j α˙ j23)− y ji(−r j α˙ j13+ p j α˙ j33 )−z ji (− p j α˙ j23+q j α˙ j13)
б) Отсутствие взаимного поворота тел.
Один из вариантов уравнений, задающих запрет на взаимный поворот тел, представляет собой равенство проекций угловых скоростей тел на оси неподвижной системы отсчёта:
Bξ=( pi αi11+qi αi21+ri αi31)−( p j α j11+q j α j21+r j αj31)=0 |
|
|||||||||||||||||||
B |
=( p |
α |
i12 |
+q |
α |
+r |
α |
i32 |
)−( p |
α |
j12 |
+q |
α |
j22 |
+r |
j |
α |
j32 |
)=0 . |
(2.50) |
η |
i |
|
i |
|
i22 i |
|
j |
|
j |
|
|
|
|
|
Bζ=( pi αi13+qi αi23+ri αi33)−( p j α j13+q j α j23+r j α j33)=0
Втаком виде ограничения на поворот удобно задавать в случае жёсткой связи между телами. Для включения этих уравнений в общую систему находятся их производные:
B˙ |
ξ |
=( p |
α |
i11 |
+q |
α |
i21 |
+r |
α |
i31 |
)−( p |
α |
j11 |
+q |
α |
j21 |
+r |
α |
j31 |
) |
|
|
|
˙ i |
|
˙ i |
|
˙i |
|
˙ j |
|
˙ j |
|
˙ j |
|
|
|
|
|||||||
+( pi α˙ i11+qi α˙ i21+ri α˙ i31)−( p j α˙ j11+q j α˙ j21+r j α˙ j31)=0 |
|
|
||||||||||||||||||||
˙ |
|
=( p α |
|
+q |
α |
|
+r |
α |
|
)−( p |
α |
|
+q |
α |
|
+r |
α |
|
) |
|
|
|
B |
|
i12 |
i22 |
i32 |
j12 |
j22 |
j32 |
. |
(2.51) |
|||||||||||||
|
η |
˙ i |
|
˙ i |
|
˙i |
|
˙ j |
|
˙ j |
|
˙ j |
|
|
||||||||
+( pi α˙ i12+qi α˙ i22+ri α˙ i32)−( p j α˙ j12+q j α˙ j22+r j α˙ j32)=0 |
|
|
||||||||||||||||||||
˙ |
|
=( p |
α |
|
+q |
α |
|
+r |
α |
|
)−( p |
α +q |
α +r |
α |
|
) |
|
|
||||
B |
ζ |
i13 |
i23 |
i33 |
j33 |
|
|
|||||||||||||||
|
˙ i |
|
˙ i |
|
˙i |
|
˙ j |
|
j13 |
˙ j |
|
j23 |
˙ j |
|
|
|
|
+( pi α˙ i13+qi α˙ i23+ri α˙ i33)−( p j α˙ j13+q j α˙ j23+r j α˙ j33)=0