kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti
.pdfПример 7. Решим кубичное уравнение
x3 3 x2 6 x 8 0 |
a 3, b 6, c 8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x t |
a |
|
t 1 |
|
t 1 3 3 t 1 2 6 t 1 8 0 |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t3 3 3 t2 3 6 6 t 1 3 6 8 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
t3 9t 0 |
|
|
p 9, q 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t t 3 t 3 0, t1 3, t2 0, t3 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x1 4, |
x2 1, |
x3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 8. Решим кубичное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x3 3 x2 9 x 5 0 |
a 3, b 9, c 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x t |
a |
|
t 1 |
|
t 1 3 3 t 1 2 9 t 1 5 0 |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t3 3 3 t2 3 6 9 t 1 3 9 5 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
t3 6t 2 0 |
|
p 6, q 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
p 3 |
q |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Q |
|
|
|
|
|
|
, |
A 3 |
|
|
Q , B 3 |
|
|
Q |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Q 9, |
|
|
A 3 |
|
, |
|
|
B 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
t A B , t |
|
|
|
|
|
A B |
|
i |
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2, 3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
t 3 4 3 2 , t |
2, 3 |
|
i |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x 3 |
4 3 2 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение уравнений четвертой степени методом Ферари x4 a x3 b x2 c x d 0
Рассматривается соответствующее кубичное уравнение: t3 bt2 a c 4d t a2d 4bd c2 0
Если t t1 ‒ произвольный корень этого уравнения, тогда четыре корня
первоначального уравнения четвертой степени находятся как корни двух квадратных уравнений
|
2 |
|
a |
t1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
a |
|
|||||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
t |
2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||
b t |
|
|
t c x |
1 |
d |
|||
|
|
|||||||
1 |
|
2 |
1 |
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
71
Примечание. Подкоренное выражение в правой части квадратных уравнений является полным квадратом.
Пример 9. Решим уравнение четвертой степени
x4 5 x3 5 x2 5 x 6 0 |
|
|
a 5, b 5, c 5, d 6 |
|||||||||||||||||||||||||
t3 5t |
2 t 5 0 t |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
5 |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
25 |
|
||||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
5 |
5 |
x |
|
|
|
5 |
5 |
x |
|
|
6 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 |
|
5 |
x |
5 |
|
|
5 x 7 2 |
|
|
x2 |
5 |
|
|
5 |
|
5 x 7 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
x2 5 x 6 0 x2 1 x1 3, x2 2, x3, 4 1
4.3. Разложение многочленов на множители. Деление многочленов. Элементарные дроби
Разложение многочленов на множители |
|
||
Если многочлен |
F x может быть |
представлен в виде |
произведения |
многочленов f1 x , f2 |
x ,..., fs x , то |
эти многочлены |
называются |
множителями (делителями) многочлена F x . Каждый многочлен степени n |
относительно x может быть единственным способом представлен в виде |
|||||||||||||||||
произведения постоянной и n линейных множителей x xi , где xi |
i |
|
‒ |
||||||||||||||
1,n |
|||||||||||||||||
корни многочлена, а именно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
F x a0xn a1xn 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
a0 0 , |
|
|
|
|||||
|
... an 1x an a0 x xi , |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
x xi . |
|
|
|
|
где корню xi |
кратности mi |
соответствует mi |
множителей |
|
|
|
|||||||||||
Деление многочленов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Частное от деления многочлена F x степени n |
на многочлен G x |
||||||||||||||||
степени m (в случае, когда n m ) может быть представлено в виде |
|
|
|
||||||||||||||
|
F x |
|
a xn a xn 1 |
... a |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
1 |
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
G x |
|
|
b xm b xm 1 |
... b |
|
x b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
m 1 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
c |
xn m c xn m 1 ... c |
x c |
|
Q x |
, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
n m 1 |
n m |
|
G x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где остаток Q x есть многочлен степени, меньшей, чем m.
72
|
Примечания. |
k |
|
|
|
и Q x определяются однозначно. |
|||
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Коэффициенты ck |
0, n m |
|||||||
2. |
Остаток Q x отсутствует |
в том и только в том случае, когда G x |
|||||||
|
является делителем многочлена F x . |
||||||||
3. |
Если многочлен |
V x |
является общим делителем (множителем) |
||||||
|
многочленов F x |
и G x , |
то его корни являются общими корнями этих |
||||||
|
многочленов. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
F x |
|
|
|
|
|
|
4. |
Отношение |
|
|
, |
как и числовую дробь можно сократить на любой |
||||
|
G x |
||||||||
|
общий множитель числителя и знаменателя. |
||||||||
5. |
Согласно теореме Безу |
|
|
|
|
||||
|
F x x c Q x F c . |
|
|
|
|
||||
|
Многочлены |
|
|
|
|
|
|||
|
F x a xn |
a xn 1 ... a |
x a |
||||||
|
0 |
1 |
|
|
n 1 |
|
n |
||
|
G x b xm |
b xm 1 ... b |
|
x b |
|||||
|
0 |
1 |
|
|
m 1 |
|
m |
имеют хотя бы один общий корень (и, таким образом, общий делитель ненулевой степени) в том и только в том случае, если результант многочленов R F , G равен нулю. Результант многочленов ‒ определитель n m порядка
,
где на свободных местах стоят нули; коэффициенты a0, a1,..., an 1, an занимают m строк, а коэффициенты b0,b1,...,bm 1,bm занимают n строк.
Пример 10. Установим наличие общих корней у многочленов
F x x3 x2 x 1 G x x3 x2 x 1
Вычислим результант данных многочленов. Многочлены F x и G x имеют хотя бы один общий корень, так как R F , G 0 .
73
R F , G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 1 |
1 0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 0 0 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|||||||||||||
|
0 0 1 |
1 1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|||||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
2 |
0 |
2 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
||||||||||||
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 11. Установим отсутствие общих корней у многочленов
F x x3 x2 4x 4 G x x3 x2 x 1
Вычислим результант данных многочленов. У многочленов нет общих |
|||||||||||||||||||||||
корней, так как R F , G 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R F , G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
4 |
4 0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
4 4 0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
4 |
4 |
0 |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
1 |
4 4 0 |
|
|
0 |
1 |
1 4 |
4 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
4 |
4 |
|
|||||||||||||
|
0 |
0 |
1 |
1 4 |
4 |
|
|
0 |
0 |
1 1 4 |
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
3 8 |
0 |
|
||||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
2 |
3 5 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
3 |
8 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
2 3 5 |
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
3 |
5 |
|
||||||||||||
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 2 3 5 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
4 |
4 |
|
|
8 |
0 |
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
4 |
12 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
3 |
8 |
180 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
1 |
3 8 |
|
|
3 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
2 |
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Элементарные дроби |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отношение |
Q x |
|
многочлена Q x степени k и |
многочлена G x степени |
|||||||||||||||||||
G x |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m без общих корней может быть представлено в виде суммы m элементарных дробей, соответствующих корням xi (кратности mi ) многочлена G x
Q x |
mi |
dij |
||
|
||||
|
|
|
||
G x |
x xi j |
|||
i j 1 |
Примечание. Коэффициенты dij элементарных дробей можно найти,
умножая обе части данного равенства на многочлен G x и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях полученного равенства.
74
F x
Каждая рациональная функция G x , частное от деления многочлена
F x степени n на многочлен G x степени m, может быть представлена в виде
суммы многочлена и конечного числа элементарных дробей.
Пример 12. |
|
|
F x |
|
x3 x2 4x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
G x |
|
|
x3 x2 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Получим представление рациональной функции в виде суммы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
многочлена и конечного числа элементарных дробей |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
F x |
|
x3 x2 x 1 2x2 3x 5 |
1 |
2x2 3x 5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
G x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 x2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 x2 x 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Ранее, |
в |
одном |
|
|
|
из |
|
примеров, |
|
|
было |
|
|
|
показано, |
что |
у многочленов |
|||||||||||||||||||||||||||||||
F x x3 x2 4x 4 |
и |
|
|
G x x3 x2 x 1 |
|
нет общих |
корней, так |
как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R F , G 0 . |
|
|
Очевидно, |
|
|
что |
и |
|
у |
|
многочленов |
|
Q x 2x2 3x 5 |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
G x x3 x2 x 1 также не будет общих корней. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
G x x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1 x 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
G x x i x i x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Q x |
|
2x2 3x 5 |
|
|
|
|
d |
|
d |
2 |
|
|
|
|
d |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
G x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x3 x2 x 1 |
x i |
|
x i |
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2x2 3x 5 d |
x i x 1 |
d |
2 |
|
x i |
x 1 d |
3 |
x i x i |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
d1 |
d2 d3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
d |
1 i |
d |
2 |
1 i 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d i d |
2 |
i d |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
d1 d2 d3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d1 d2 d1 d2 i 3 2d3 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
d1 |
d2 i d3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
d1 d2 3 |
|
|
d1 |
d2 1.5, d3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
d1 d2 i |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
F x |
|
x3 x2 4x 4 |
|
|
|
Q x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
G x |
|
x3 x2 x 1 |
G x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1.5 |
|
1.5 |
|
|
|
5 |
1 |
|
3x |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x i |
|
x i |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
75
4.4.Задания для самостоятельной работы
Задача 1. Даны комплексные числа z1 и z2 . Найти комплексные числа а) z1 z2 , б) z1 z2 , в) z1z2 и г) z1 / z2
1. |
z1 15 8i , z2 4 3i |
2. |
|
z1 3 7i , z2 6 8i |
|
|
||||
3. |
z1 5 12i , z2 7 i |
4. |
|
z1 3 2i , z2 5 10i |
|
|
||||
Задача 2. Найти комплексные числа а) |
z z |
|
, б) z |
/ z |
|
, в) z n и г) m |
|
|
, |
|
2 |
2 |
z |
2 |
|||||||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|||
используя тригонометрическую форму комплексных чисел z1 |
и z2 |
|
|
1.z1 3 i , z2 1 i , n 6, m 3
2.z1 1/ 2 3 / 2 i , z2 1, n 20, m 4
3.z1 1 3 , z2 9i , n 9, m 2
4.z1 1 i , z2 8 83 i , n 4, m 4
Задача 3. Найти комплексные числа
|
|
|
|
i 50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|||
1. |
z |
3 |
|
|
2. |
cos |
i sin |
|||||||||||||||
1 |
i 100 |
|
|
z 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
i |
24 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
12 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
z |
i sin |
|
i cos |
|
4. |
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 4. Решить уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
x2 25 0 |
|
|
2. |
x2 6x 18 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
x3 2x2 x 2 0 |
|
4. |
x3 2x2 x 2 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
x3 3x2 7x 5 0 |
6. |
x3 x2 3x 5 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
x4 3x2 4 0 |
|
8. |
x4 10x2 169 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
9. |
x4 3x3 3x2 3x 2 0 |
10. |
x4 2x3 |
6x2 |
2x 3 0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5. Установить наличие (отсутствие) общих корней у многочленов
F x x3 |
2x2 x 2 |
F x x3 |
2x2 x 2 |
1. |
|
2. |
|
G x x3 3x2 7x 5 |
G x x4 2x3 6x2 2x 5 |
||
F x x3 |
3x2 7x 5 |
F x x3 |
2x2 x 2 |
3. |
|
4. |
|
G x x3 2x2 x 2 |
G x x4 2x3 6x2 2x 5 |
||
F x x3 |
2x2 x 2 |
F x x3 |
2x2 x 2 |
5. |
|
6. |
|
G x x3 x2 3x 5 |
G x x4 3x3 3x2 3x 2 |
||
F x x3 |
x2 3x 5 |
F x x3 |
2x2 x 2 |
7. |
|
8. |
|
G x x3 2x2 x 2 |
G x x4 3x3 3x2 3x 2 |
||
F x x3 |
2x2 x 2 |
F x x4 |
3x3 3x2 3x 2 |
9. |
|
10. |
|
G x x3 2x2 x 2 |
G x x4 2x3 6x2 2x 5 |
Задача 6. Представить рациональную функцию в виде суммы многочлена и конечного числа элементарных дробей
1. |
f x |
x2 25 |
|
2. |
f x |
x2 6x 18 |
|
|
|
||||||||||
x2 6x 18 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 25 |
|||||||
3. |
f x |
|
|
x3 2x2 x 2 |
|
|
4. |
f x |
|
|
x3 2x2 x 2 |
|
|||||||
|
|
|
x3 2x2 x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 2x2 x 2 |
||||||||
5. |
f x |
|
|
|
x2 25 |
|
6. |
f x |
x3 x2 3x 5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
x3 3x2 7x 5 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 6x 18 |
||||||||
7. |
f x |
|
|
x3 4x |
|
8. |
f x |
x4 |
10x2 169 |
|
|||||||||
|
|
x4 3x2 4 |
|
x3 9x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
f x |
|
x2 16 |
10. |
f x |
x4 |
2x3 6x2 2x 5 |
||||||||||||
|
x4 3x3 3x2 3x 2 |
|
x2 36 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77
Глава 5. Элементы аналитической геометрии
5.1.Уравнение прямой линии на плоскости. Полуплоскости
Уравнение ax by c 0 называется общим уравнением прямой. Вектор
|
|
|
|
|
|
|
|
n a,b называется нормальным вектором прямой. |
x0 , y0 и |
||||||
Уравнение прямой l |
на плоскости, проходящей через точку M 0 |
||||||
|
|
|
a x x0 b y y0 0 . |
||||
перпендикулярной вектору |
n a,b , имеет вид |
||||||
Уравнение прямой l |
на плоскости, проходящей через точку M 0 x0 , y0 и |
||||||
|
m, n , имеет вид: |
x x0 |
|
|
y y0 |
|
|
параллельной вектору q |
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение называется каноническим уравнением прямой, вектор |
q m, n |
||||||
‒ направляющим вектором прямой. Соответствующая система уравнений |
|||||||
x mt x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y nt y0 |
|
|
|
|
|
|
|
называется параметрическим |
уравнением прямой |
на плоскости, |
t |
|||||||||||
‒ параметром. |
проходящей через две заданные точки M1 x1, y1 и |
|||||||||||||
|
|
|
Уравнение прямой, |
|||||||||||
M |
2 |
x |
2 |
, y |
2 |
, записывается в виде |
|
x x1 |
|
y y1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 x1 |
y2 y1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Уравнение прямой |
с угловым коэффициентом |
k tg имеет |
вид |
y kx b0 , здесь b0 - ордината точки пересечения прямой с осью Oy , - угол
наклона прямой с положительным направлением оси Ox . |
|
|
Уравнение прямой, проходящей через точку |
M 0 x0 , y0 |
в заданном |
направлении, имеет вид y y0 k x x0 . Если k |
- произвольное число, |
|
уравнение определяет пучок прямых линий, проходящих через |
точку M 0 , |
|
кроме прямой параллельной оси Oy . |
|
|
Пример 1. Составим общее уравнение прямой, проходящей через точку M 0 1, 23 и образующей с осью Ox угол 600 .
|
|
|
|
|
k tg600 |
|
|
|
||
Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом |
3 и |
|||||||||
проходящей через точку M 0 1, 2 |
|
имеет вид y 2 |
|
|
|
|
х 1 . |
|
||
3 |
3 |
3 |
Отсюда |
y 3x 33. Общее уравнение прямой имеет вид 3x y 33 0 .
78
Уравнение прямой в отрезках имеет вид |
x |
|
y |
1, где |
a |
|
и |
b |
|
|
0 |
||||||
|
a0 |
b0 |
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
соответственно отрезки, отсекаемые прямой на осях Ox и Oy .
Пример 2. Составим общее уравнение прямой линии, проходящей через точку A 1, 2 , если эта прямая отсекает от положительной полуоси Ox отрезок
в полтора раза больше, чем от положительной полуоси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Уравнение прямой в отрезках имеет вид |
|
x |
|
|
y |
|
1, так как |
a |
|
|
1,5b . |
||||
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||
|
1,5b0 |
|
b0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Точка A 1, 2 принадлежит прямой. Отсюда |
|
1 |
|
|
2 |
1, |
b |
4 |
. |
Тогда |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1,5b0 |
|
b0 |
0 |
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
общее уравнения прямой имеет вид 2x 3y 4 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Точка пересечения двух непараллельных прямых l1 и l2 |
на плоскости |
определяется в результате решения системы линейных алгебраических уравнений, которые задают данные прямые. Например,
a1x b1 y c1 0
a2 x b2 y c2 0
|
Угол между двумя прямыми l1 |
|
и l2 |
определяется по формулам |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a a |
2 |
|
b b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a2 b2 |
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
n2 |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
cos |
|
|
q 1 q2 |
|
|
|
|
|
|
m1 m2 n1 n2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
m2 |
n2 |
|
|
|
|
m2 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1 |
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
tg |
|
k2 k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 k k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Здесь |
n1 |
|
|
a1,b1 , n2 |
|
|
a2 ,b2 |
- |
|
нормальные |
векторы, |
q 1 m1,n1 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
m2 ,n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
q 2 |
- |
|
направляющие векторы |
и |
|
k1, k2 - |
угловые |
коэффициенты |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямых линий на плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Необходимые и достаточные условия параллельности двух прямых |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a1 |
|
b1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
n1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
k k |
2 |
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
a2 b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимые и достаточные условия перпендикулярности двух прямых
a1a2 b1b2 0 ; |
m1m2 n1n2 0 ; k1k2 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Расстояние от точки M 0 x0 , y0 |
до прямой линии |
ax by c 0 на |
||||||||||||||||||||||||||
плоскости определяется по формуле |
|
|
|
s |
|
ax0 by0 c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
a2 b2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 3. Найдем расстояние от точки M0 x0, y0 , |
делящей отрезок |
|||||||||||||||||||||||||||
между точками A 2, 2 и B 3, 2 в отношении 3: 2 , |
до прямой линии l : |
|||||||||||||||||||||||||||
3x 4 y 5 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем координаты точки |
M |
|
|
: |
x |
2 (3/ 2)3 1 |
, |
y |
|
|
2 (3/ 2)2 |
2 , |
||||||||||||||||
0 |
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 3/ 2 |
|
|
|
1 3/ 2 |
|||||||||||
т.е. M0 1, 2 . |
Расстояние от |
точки |
|
M0 1, 2 |
|
до данной |
прямой |
линии l : |
||||||||||||||||||||
3x 4 y 5 0 |
равно s |
|
|
3 1 4 2 5 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
32 4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Каждая |
прямая |
линия |
l |
разбивает |
плоскость |
на |
|
два |
множества, |
называемых полуплоскостями. Если прямая задана уравнением ax by c 0 , то точки одной полуплоскости являются решением неравенства ax by c 0 ,
аточки другой полуплоскости решением неравенства ax by c 0 .
5.2.Уравнение плоскости. Полупространства
|
Уравнение плоскости , перпендикулярной вектору |
|
a,b,c и |
||||||||
|
n |
||||||||||
проходящей |
через |
точку |
M 0 x0 , y0 , z0 , |
имеет |
вид |
||||||
a x x0 b y y0 c z z0 0 . Уравнение |
ax by cz d 0 |
называется |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a,b,c называется нормальным |
||||
общим уравнением плоскости. |
Вектор n |
||||||||||
вектором плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 4. Даны две точки |
A 3,0,1 |
и |
B 2,2, 3 . Составим уравнение |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости , проходящей через точку A перпендикулярно вектору AB . |
|
||||||||||
|
Нормальный |
|
вектор |
|
|
искомой |
|
плоскости |
|||
|
|
|
3 1 5, 2, 4 . |
|
|
|
|
|
|
||
n |
AB 2 3, 2 0, |
Тогда |
уравнение |
плоскости |
, |
||||||
|
|
|
|
A 3,0,1 , |
|
|
|
|
|
||
проходящей |
через |
точку |
перпендикулярно вектору n имеет |
вид |
5 x 3 2 y 0 4 z 1 0 . Отсюда : 5x 2 y 4z 19 0 .
80