Dzhalmuhambetov A.Ju., Fisenko M.A

лена. Такую же картину разбегания должен видеть наблюдатель из любой галактики. Если себе представить, как поднимается комок дрожжевого теста перемешанного с изюмом, то взаимное удаление отдельных изюмин будет напоминать «разбегание» галактик во Вселенной.

Из пропорциональности скорости галактик v и расстояний R в законе Хаббла вытекает вывод относительно существования «начала мира»: когдато в прошлом был момент, в который все галактики были бесконечно близки друг к другу. Из-за такого сближения плотность вещества во Вселенной в «начальный момент» становится бесконечной. Оценить «возраст Вселенной» t0 можно очень просто, если предположить, что постоянная Хаббла H в процессе расширения остается неизменной: тогда t0 = 1/H 20 миллиардов лет. Однако, предположение о неизменности H неправильно, поэтому более точную оценку можно получить с помощью космологической модели Фридмана. В этой модели для возраста Вселенной получается величина t0 = 2H/3 14 15 миллиардов лет.

Задачи с решениями

1.4.1. Оцените гравитационное давление внутри массивного шарообразного тела массой M и радиусом R на расстоянии r1 от его центра. Плотность предполагается одинаковой во всем объеме.

Решение. Выделим внутри шара концентрический сферический элемент радиусом r и толщиной dr. Давление, производимое этим элементом на нижние слои вещества, равно:

dP g r dr.

(1)

Здесь ускорение силы тяжести на границе сферической области радиуса r выражается через ускорение g0 на поверхности шара:

g r

Gm r GM m

R 2

r

g0

.

(2)

r

2

R

2

M

r

R

Искомое давление на расстоянии r1

от центра шара находим, интегрируя

(1) с учетом формулы (2):

g

0

R

1

r

2

P

rdr

g0R 1

1

.

(3)

R

2

R

r

1

В частности давление

в

центре

Земли

можно оценить,

полагая

= 5,5 103 кг/м3, g0 = 9,8 м/с2, R = 6,4 106 м. Получаем P0 2 1011 Па.

Если учесть, что к центру планеты плотность вещества возрастает, то полученную оценку следует увеличить. Поэтому давление в центре Земли считаем ~1012 Па.

31

1.4.2. Оцените температуру вещества в центре Солнца, где давление составляет примерно P ~ 1016 Па, а плотность – = 158 г/см3.

Решение. Для оценки применим для солнечной плазмы уравнение состояния идеального газа:

P RT ,

где газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль К), а молярная масса с учетом состава солнечного вещества (без электронного газа) равна 1,2 10–3 кг/моль. Отсюданаходим:

TP 0,9 107 К.

R

Эта оценка для температуры в центре Солнца близка к приведенному выше значению 1,5 · 107 К.

1.4.3. Оцените температуру водородной плазмы, при которой возможно протекание термоядерной реакции синтеза.

Решение. Реакция синтеза становится возможной, когда ядра сближаются на расстояния, на которых действуют ядерные силы, то есть на расстояния сравнимые с размерами ядра. Этому сближению противодействуют кулоновские силы отталкивания, поэтому оно возможно, когда энергия теплового движения ядер сравнима с энергией отталкивания ядер:

kT ~ e2 . 4 0rя

Отсюда находим порядок величины температуры, при которой может начаться термоядерная реакция синтеза водорода:

T ~	e2	10
		~10 К.

4 0krя

Такая температура является чрезвычайно большой даже для звезд. В реальности термоядерная реакция может протекать в недрах звезд при температуре меньшей на два-три порядка (~107 K), так как, во-первых, имеет место туннелирование частиц через кулоновский барьер, а во-вторых, частицы «хвоста» максвелловского распределения имеют энергию достаточную для синтеза. Это объясняет относительно невысокую скорость энерговыделения Солнца.

1.4.4. Оцените радиус R нейтронной звезды массой М, предполагая ее шаром с одинаковой во всем объеме плотностью.

Решение. Выделяем тонкий сферический элемент радиусом r и массой

dm 4 r2dr. Учитываем его гравитационное взаимодействие с шаром массой m(r) (4/3) r3 , находящимся внутри элемента, так как по теоре-

32

ме Остроградского напряженность поля внешних слоев равна нулю. Так как плотность вещества однородного шара равна 3M /(4 R3), находим суммарную гравитационную энергию звезды:

	R m(r)			3GM2
W G	0		dm				(1)
гр		r		5 R

Увеличение радиуса звезды R при постоянной массе ведет к увеличению ее гравитационной энергии. Гравитационные силы стремятся к уменьшению гравитационной энергии, то есть к уменьшению радиуса. Этому противостоит увеличение кинетической энергии частиц, пропорциональной давлению вырожденного нейтронного газа. Найдем «кинетическую» энергию вырожденного нейтронного газа, применяя к нему распределение Ферми-Дирака при T = 0:

W

3

N

,

кин

5

F

где N – число нейтронов, а F – энергия Ферми, равная:

F

h2

3N 2/3

h2

9M

2/3

8mnR

2

4

2

8mn

V

mn

где mn – масса нейтрона. Число частиц равно N Mmn . Поэтому:

Wкин

9h2

3 1/3

M 5/3

1

.

R

2

80 mn

2

mn

Полная энергия системы равна:

W Wгр Wкин

3GM2

A

1

,

5

R

2

R

где

1/3 M 5/3

A

9h2

3

5

3GM

2

80 mn

2

mn

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

– постоянная, которая определяется массой звезды M. Условия равновесия можно записать как условие минимума энергии системы:

W		3GM2 R 2A					0.	(7)
R		5		R	3

Отсюда находим радиус звезды:

		3 4/3		h2
R0	2A						(8)
				5GM	1/3	8/3
		2				mn

Полагая массу звезды равной массе Солнца M = 2 1030 кг, получаем:

R0 03 .13 1015 10 103 м = 10 км.

M

33

Эта оценка основана на однородности нейтронного газа. Учет радиального распределения плотности приводит к незначительному изменению этой оценки – менее чем на один порядок.

1.4.5. Найти минимальную классическую скорость, которой должна обладать частица, чтобы она могла преодолеть поле тяготения сферического тела массой M и радиусом R. Найти гравитационный радиус Шварцшильда для тела с массой равной массе Солнца.

Решение. Частица может покинуть тело, если ее механическая энергия положительна (E > 0). Минимальной скорости отвечает энергия E = 0:

mv2 GMm 0.

2 R

Отсюда находим выражение минимально необходимой для преодоления поля тяготения скорости частицы:

v 2GM .

R

Из этого равенства можно получить формулу гравитационного радиуса, если заменить скорость частицы v, необходимую для преодоления тяготения, максимальной достижимой скоростью, равной скорости света:

RШ 2GM 2,96 103 м. c2

Эта величина оказалось всего лишь на один порядок меньше радиуса нейтронной звезды такой же массы. Поэтому предположение о существовании черных дыр является не беспочвенным.

1.4.6. Оцените критическую величину средней плотности материи, ниже которой расширение Вселенной будет неограниченным.

Решение. Выделим во Вселенной сферический объем радиуса R настолько большой, что внутри него среду можно считать однородной. Пусть в этом объеме заключена масса M, а скорость расширения его границы v. Для тела массы m на границе этого объема полная механическая энергия:

	E	mv2		GMm
					= const	(1)
		2		R

сохраняется в процессе расширения. По закону Хаббла скорость на границе шара по отношению к центру равна:

v HR, (2)

где H – постоянная Хаббла. Подставив (2) в (1) и выражая массу вещества через плотность:

M	4	R3 ,	(3)
3

34

получаем:

	4 Gm		3		2		2
E				H		R		.	(4)
	3		8 G

Знак полной механической энергии тела массы m определяется знаком разности выражения в скобках и не зависит от размеров шара. Если его плотность превышает критическое значение:

	к		3	H2 ,	(5)
			8 G

то E < 0 и расширение должно в будущем смениться сжатием (замкнутая модель Вселенной). Если же плотность к, то процесс расширения продолжается неограниченно (открытая модель).

Используя значения постоянной Хаббла H = (50 55) км/(с Мпс), по-

лучаем интервал значений для критической плотности Вселенной:

к (4,5 5,5) 10–27 кг/м3,

что довольно близко к средней плотности ~ 10–26 кг/м3, получаемой при очень грубой оценке. Поэтому ответ на вопрос об открытости или замкнутости Вселенной зависит от точности определения постоянной Хаббла и плотности материи во Вселенной. Следует также учесть, что около 90 % материи во Вселенной является невидимой (темной материей). Большинство исследователей сегодня склоняются к открытости Вселенной.

Вопросы для самоконтроля

1.Приведите примеры систем, относящихся к уровню микромира.

2.К какому уровню структурной организации материи (микромиру, макромиру или мегамиру) можно отнести: бактерии, планеты, галактики?

3.Какие фундаментальные взаимодействия преобладают в каждой из групп физических систем: а) атомных ядрах; б) планетах земной группы (Меркурий, Венера, Земля, Марс); в) звездах, подобных Солнцу.

1.5.Пространство, время, симметрия.

Фундаментальные принципы природы

Любые явления и процессы, происходящие с взаимодействующими объектами, происходят в пространстве и времени. Каждое событие характеризуется местоположением относительно тех или иных объектов и моментом времени.

Реальное пространство в физике обычно моделируют геометрическим пространством (непрерывным множеством точек), каждой точке которого ставятся в соответствие числа, называемые координатами. Способов такого сопоставления, называемых системами координат, может быть бесконечно много, но во всех случаях необходимо измерение расстояний.

35

Опыт показывает, что пространство трехмерно, то есть для определения положения точки необходимы три координаты. В некоторых гипотетических теориях рассматривается большее число измерений, причем по «лишним» измерениям пространство считается свернутым.

Время в физике принято моделировать одномерным однонаправленным непрерывным множеством. Для арифметизации времени необходимо выбрать какой-либо способ измерения интервала времени, то есть часы.

Для количественного описания движения любых объектов необходимо задать систему отсчета. Под системой отсчета понимают систему координат и часы, связанные с телом, относительно которого рассматриваются положения точек в пространстве, то есть с телом отсчета.

Если тело отсчета является свободным от взаимодействия с другими объектами, то систему отсчета называют инерциальной. Конечно, инерциальная система отсчета является идеализированной. Можно ли ту или иную реальную систему отсчета считать инерциальной, зависит от того, можно ли пренебречь взаимодействиями тела отсчета с окружением. В настоящее время наиболее инерциальным считается система отсчета, связанная с реликтовым излучением. Всякая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной равномерно и прямолинейно, является инерциальной.

В любых инерциальных системах отсчета объекты, свободные от воздействия, движутся равномерно и прямолинейно. Поэтому они эквивалентны. Принцип относительности Галилея утверждает, что законы механики должны быть инвариантны относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Принципу относительности Галилея удовлетворяет нерелятивистская механика, описывающая движение объектов со скоростями много меньшими скорости света (v << c). В нерелятивистской механике пространство можно считать евклидовым и не связанным со временем. Это означает, что при переходе от одной системы отсчета к другой расстояния и интервалы времени остаются неизменными (инвариантными):

l	x2 y2 z2	inv,	(5.1)
	t inv.		(5.2)

Из принципа относительности Галилея следует, классический закон сложения скоростей. Из него также следует, что ускорение материальной точки одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

Принцип относительности Эйнштейна включает эквивалентность относительно инерциальных систем отсчета всех законов физики: все законы физики должны быть инвариантны относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой. Применение этого принципа к электродинамике потребовало дополнительно постулировать максимальную скорость распространения взаимодействия – скорость света в вакууме. В результате

36

переходим к релятивистской физике, которая применима и для скоростей сравнимых со скоростью света. В случае же малых скоростей (v << c) результаты релятивисткой физики совпадают с нерелятивистскими результатами.

В релятивистской физике пространство и время образуют единое четырехмерное псевдоевклидово пространство, именуемое пространствовремя. В этом случае инвариантом при переходе от одной системы отсчета к другой является величина, называемая интервалом:

	s	c2 t2 l2 inv		(5.3)
или
	c2 t2 ( x2 y2 z2) inv.			(5.4)

Псевдоевклидовость пространства-времени состоит в том, что квадрат интервала временной координаты входит в эти соотношения со знаком «плюс», а квадраты расстояний – со знаком «минус». В евклидовом пространстве квадраты интервалов координат имеют один и тот же знак «+».

В четырехмерном пространстве-времени два мировых события, характеризующиеся в некоторой системе отсчета координатами t1, x1, y1, z1 и t2, x2, y2, z2, называются времениподобными, если интервал между ними:

s12 c2 (t2 t1)2 (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2

отвечает условию:

s2	c2 (t	2	t )2	(x	2	x )2	(y	2	y )2	(z	2	z )2	0.	(5.5)
12			1			1			1			1

Если же s122 0, то интервал называют пространственноподобным. Два события могут быть причинно связаны друг с другом только в том случае, если интервал между ними времениподобный. Это следует из того, что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, большей скорости света.Только длятаких событий имеют смысл понятия «раньше»и «позже».

С созданием общей теории относительности, физика пришла к пониманию того, что не только пространство и время связаны между собой, но и сама материя взаимосвязана с пространством и временем. Общая теория относительности – современная теория гравитации – рассматривает искривление пространства-времени тяготеющими массами вещества. Она основана на том, что неинерциальность системы отсчета, обусловленная действием сил тяготения эквивалентна искривлению пространства-времени. Здесь уместно вспомнить, как мы «проводим» отрезок прямой линии между двумя точками в пространстве. Для этого используется распространение луча света в однородной среде, так как ничего лучшего для этой цели в природе нет. Гравитация же искривляет траекторию фотона, и он движется вдоль линии именуемой «геодезической».

Не только специальная и общая теории относительности привели к изменению классических (ньютоновских) представлений о свойствах пространства и времени. Квантовая физика приводит к дополнительным ограничениям, связанным с квантованием материи и называемым планковски-

37

ми пределами. Фундаментальные положения современной физики позволяют установить нижние границы расстояний и интервалов времени, о которых вообще может идти речь в рамках существующих теорий. Наименьший масштаб расстояний определяется планковской длиной равной lP 10–35 м, а наименьшие возможные длительности процессов – планковским периодом равным P 10–43 с. Выражения для планковских пределов и их числовые значения были получены выше в параграфе 1.3.

Планковские масштабы длины и времени показывают ограниченность континуальной модели пространства-времени. С другой стороны современные космологические представления о расширяющейся Вселенной ограничивают сверху модель пространства-времени горизонтом Вселенной. Поэтому можно констатировать, что свойства пространства и времени бо-

лее или менее хорошо охватываются современными физическими теориями в пределах: 10–35 1026 м и 10–43 1017 с.

Принцип относительности связан с симметрией физических законов по отношению к выбору инерциальных систем отсчета. Требования указанной симметрии выражаются в инвариантности интервала, из чего вытекают преобразованияЛоренца и другие соотношения релятивистской физики.

Вообще, принцип симметрии является одним из наиболее глубоких принципов современной физики. Симметрия позволяет в калейдоскопе физических явлений выявить основные структуры, свести все разнообразие физического мира к нескольким десяткам фундаментальных соотношений.

Система обладает определенной симметрией, если определенным преобразованием координат (или иных переменных) можно ее совместить с собой. Другими словами, наличие той или иной симметрии подразумевает существование преобразований симметрии, относительно которых система инвариантна. Например: симметрия сферы, симметрия куба, трансляционная симметрия идеальной решетки и другие. Преобразования симметрии различают непрерывные и дискретные. Сферическая симметрия является непрерывной, так как сколь угодно малый поворот вокруг оси, проходящей через центр, приводит к той же сфере. Кубическая симметрия и симметрия пространственной решетки являются дискретными.

Согласно теореме Э. Нетер каждому виду симметрии природы соответствует определенный закон сохранения. Пространство однородно, то есть его свойства одинаковы во всех точках. Любая замкнутая система инвариантна относительно произвольного параллельного сдвига. Следствием симметрии пространства по отношению к параллельным сдвигам является закон сохранения импульса замкнутой системы. Вывод можно найти в любом курсе теоретической физики. Еще одно важное свойство симметрии присущее пространству – изотропность, означает эквивалентность его свойств во всех направлениях. Свойства замкнутой системы инвариантны относительно поворотов. Из этой симметрии пространства следует закон сохранения момента импульса. Данные опыта свидетельствуют об одно-

38

родности времени, то есть эквивалентности различных моментов времени. Следствием инвариантности замкнутых систем относительно сдвига времени является закон сохранения энергии.

Законы сохранения, вытекающие из рассмотренных непрерывных симметрий пространства-времени, являются строгими. С симметрией пространства относительно преобразования инверсии связан закон сохранения пространственной четности – собственного значения оператора P пространственной инверсии. Как установили в 1956 г. Ли Цзун-дао и Янг Чжень-нин, этот закон может нарушаться, если в замкнутой системе имеет место слабое взаимодействие.

К безусловным законам сохранения относится закон сохранения электрического заряда. Симметрия, которой обусловлен этот закон сохранения, получила название калибровочной симметрии. Она связана с преобразованием фазы волновой функции, а не пространственно-временными преобразованиями. Известен целый ряд законов сохранения, которые могут нарушаться слабыми взаимодействиями. К таким относятся законы сохранения странности, барионного и лептонного зарядов.

Так называемая CPT-теорема (теорема Людерса-Паули) утверждает, что законы природы должны быть инвариантны относительно комбинации трех последовательно выполненных преобразований: зарядового сопряжения C, пространственной инверсии P и обращения времени T. Открытое в 1964 г. Дж. Крониным и В. Фитчем несохранение CP-четности (комбинированной четности) приводит к нарушению инвариантности относительно обращения времени T, если CPT-инвариантность является строгой. На микроскопическом уровне это явление может быть связано с необратимостью времени.

Наиболее симметричной системой является вакуум, который симметричен относительно любых преобразований. Состояние вакуума имеет наименьшую энергию и инвариантно относительно любых преобразований симметрии (синглетно). Появление частицы нарушает симметрию вакуума.

Вопросы для самоконтроля

1.Как изменились представления о свойствах пространства и времени

ссозданием специальной теории относительности?

2.Чем обусловлено искривление пространства-времени в общей теории относительности?

3.Перечислите законы сохранения, связанные с симметрией про- странства-времени.

39

1.6. Основные законы движения и развития

Движение – это неотъемлемое свойство материи. В широком смысле понятие движения включает в себя всякие изменения, происходящие в объектах природы. Более узкое понятие механического движения соответствует изменению с течением времени положения объектов относительно других.

Принцип причинности и динамические уравнения

Опыт позволяет утверждать, что начальное состояние системы и ее внешние и внутренние взаимодействия однозначно предопределяют последующие состояния. Это утверждение выражает принцип причинности, который накладывает определенные ограничения на движение системы, связывая состояния системы в различные моменты времени. Помимо закономерной связи состояний в различные моменты времени принцип причинности содержит в себе также утверждение об однонаправленности времени, то есть его необратимости. Чаще всего принцип причинности в физике выражают динамическими законами или уравнениями, которые определяют развитие с течением времени состояний системы. Однако динамические законы, описывающие идеализированные системы, вырванные из всей совокупности взаимодействий с остальным миром, оказываются обратимыми во времени. Поэтомуих дополняют заданиемнаправленияпроцессов во времени.

Первыми динамическими уравнениями стали уравнения второго закона Ньютона. Дифференциальное уравнение движения для материальной

точки в векторной форме может быть записано так:
mr F(r,r,t).	(6.1)

При известной силовой функции F(r,r,t), характеризующей взаимодейст-

вия частицы, и шести начальных условиях r(0) r0 , r(0) v0 решение этого уравнения позволяет однозначно определить в момент времени t (детерминировать) координаты r(t) и скорости r(t) частицы.

Для системы N частиц получаем систему N векторных уравнений, решая которые определяем координаты и скорости частиц. Создается впечатление, что трудности здесь могут возникнуть только математического характера, связанные с решением дифференциальных уравнений. Это послужило основой классического или так называемого лапласовского детерминизма, с точки зрения которого задание начальных координат и скоростей всех материальных частиц Вселенной однозначно предопределяет все последующие их состояния и таким образом все последующие состояния Вселенной. Столь широкая экстраполяция применимости классических уравнений движения находится в явном противоречии с явлениями живой природы и, прежде всего с человеческим сознанием и волей. Изменения состояний живых систем далеки от однозначной предопределенности. Как показывают современные исследования, неоднозначное поведение может иметь место даже для систем, подчиняющихся законам классиче-

40