598

T Q r d dr Mr dMr r dr d Mt

dr

d

Mt dr

d

Mr r d 0.

2

2

После сокращения на d

и

отбрасывания

произведения

dMr dr (величина

второго

порядка

малости),

получим

Q r dr Mr dr dMr

r Mt

dr 0. При умножении

на

1

и

r dr

разделении слагаемых, имеем:

dMr

1

Mr Mt

Q.

r

dr

dM

r

d

2

d

С учетом (8) и (10), а также

D

,

2

2

dr

r

dr

r

dr

1 d

d2

окончательно принимаем: D

Q , или

2

2

dr

r

dr

r

d2

1

d

Q

,

(11)

dr2

r1

r dr

r2

D

qr 2 r1dr1

1

где Q

0

– погонная поперечная сила в круговом се-

2 r1

чении радиусом r1; qr1 – распределенная нагрузка на площади r12.

Выражение (11) определяет углы поворота нормалей в сечениях r к срединной поверхности пластины.

Считая dw, уравнение (11) представим выражением dr

d3w

1 d2w

1 dw

Q

.

(12)

dr3

r dr

2

r

2 dr

D

Уравнение (12) – дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности осесимметрично изогнутой пластины.

2.Примеры расчета круглых пластин

2.1.Осесимметричная пластина с распределенной загрузкой

исосредоточенной силой в центре

Вырежем из круглой пластины элемент радиусом r и загрузим распределенной нагрузкой qс дополнительной центральной силой

F (см. рис. 4).

Рис. 4

Произведемпреобразование левой части уравнения (11).

d2

1 d

d

d

d 1

d

r

dr2

r dr

r2

dr

dr

dr

r

dr r

d

1 d r

.

(2.1)

dr r dr

Погонная сила Q в радиусном сечении rсоставляет Q 2 r и является реакцией внешнего загружения в этом сечении F q r2 . Составим уравнение равновесия сил:

F

Q 2 r F q r2 0, или

Q

F

q r

.

(2.2)

z

2 r

2

В выражение (11) подставим (2.1) и (2.2), получим

d

1 d r

F

q r

/ D или

dr

2 r

2

dr r

1 d r

F dr

q r

d

dr.

(2.3)

dr

2 rD

2D

r

Дважды проинтегрируем (2.3) по dr, получим уравнение углов поворота нормалей к срединной изогнутой поверхности пластины для данной схемы.

1 d r

F dr

q r

1 d r

d

dr

dr

2 rD

r

dr

r

2D

F

lnr

q

r2

C .

(2.4)

2 D

4D

1

Умножим (2.4) на r dr

d r

F

r lnr dr

q

r3 dr C

r dr

. Интеграл данного

2 D

4D

1

выражения

F

q

d r

3

r lnr dr

r

dr

C1 r dr

r

2 D

4D

F

r2 2lnr 1

q

r4 C

r2

C

.

(2.5)

8 D

2

16D

1

2

Умножив (2.5) на 1/ r, имеем уравнение углов наклона нормали

к изогнутой поверхности пластины

F

r 2lnr 1

q

r3

C

r

C2

.

(2.6)

16D

8 D

dw

1

2

r

Произведем

замену

.

Умножим

обе части

(2.6)

на

( dr).

dr

F

q

r

C

r 2lnr

1

3

2

dw

r

C

dr.

Интеграл

от

8 D

16D

1

2 r

dw/ dr примет вид:

F

r 2lnr 1

q

3

r

C

2

F

2

lnr 1

w

r

C

dr

r

8

D

16D

1

2

r

8 D

q

r4

C

r2

C

lnr C

.

(2.7)

64D

1

4

2

3

Уравнение (2.7) определяет величину прогибов срединной по-

верхности пластины.

Примечание: Интегралы выражений:

2rlnr dr r

r

1

r2

rlnr dr

dr dr

2rlnr dr

2

2

2

r

dr r dr

2

1

r2 lnr dr

r2

1

r2 2lnr 1 , так как

d

r2 lnr 2rlnr

r2

.

4

dr

2

4

r

r 2lnr 1 dr 2 rlnr dr r dr

2r2 2lnr 1

r2

r2 lnr 1 .

4

2

2.2. Пластина, с распределенной загрузкой q

защемленная по контуру

Q	q
	h
	r
a
	Рис. 5

В соответствии с рис. 5 в уравнениях (2.6) и (2.7) примем F 0, получим значения углов поворота и прогибы, соответственно,

q

r3

C

r

C2

;

(2.8)

16D

1

2

r

w

q

r4

C

r2

C

lnr C

.

(2.9)

64D

1

4

2

3

Граничные условия:

1. r 0; 0;

2.r a; 0;

3.r a; w 0,

где a – радиус внешнего контура.

Согласно уравнению (2.8) по первому и второму граничным условиям, имеем:

qr3

r

C

2

С1

0;

(r 0)

r

16D

2

r 0

qa3

a

C

2

С1

0.

(r a)

a

16D

2

r a

Отсюда C2 0; C1 q a2 . Окончательно уравнение (2.8) при- 8D

мет вид:

dw

qr

a2 r2 .

(2.10)

dr

16D

Из преобразованного уравнения (2.9) вычислим С3, согласно

третьему условию:

w

qr4

q a2

r2

C

0; C

q a4

.

64D

32D

3

3

64D

Окончательно уравнение прогибов (2.9) запишем как

w

q r4

q a2 r2

q a4

q

a2

r2 2

. (2.11)

64D

64D

32D

64D

Максимальный прогиб при r 0 (в центре)							w			q a4	.
										64D
							max
Определение значений изгибающих моментов
d								d
Mr D				и Mt	D
dr			r		r				dr

Подставим в уравнения моментов выражение (2.10). При этом производная d / dr равна:

d d

q a2

3q r2

q

a

2

2

;

q

a

2

2

.

r

r

dr

dr

16D

16D

16D

16D

r

d

q a

2

3q r

2

q a2 r

q r

3

M

r

D

D

dr

r

16D r

16D

r

16D

16D

q

a2

3r2

a2 r2

q

a2 1 r2 3 ;

(2.12)

16

16

d

q a

2

q r2

q a

2

3q r2

M

t

D

D

r

dr

16D

16D

16D

16D

q

a2

r2

a2

3 r2

q

a2 1 r2 1 3 .

(2.13)

16

16

При r a найдем моменты в защемлении:

Mr r a

q a2

Mt r a

q a2

;

.

(2.14)

8

8

В центре пластинки, где r 0,

Mr Mt

q a2

1 .

(2.15)

16

Максимальное напряжение на контуре пластинки равно:

r max

6M

r

3 q a2

.

h2

4 h2

В соответствии с условием жесткости,

r max

6 Mr max

5%, производим корректировку толщи-

изг

h2

ны сечения h.

2.3. Пластина, с распределенной загрузкой q

свободно опертая по контуру

Рис. 6

Воспользуемся расчетами предшествующей схемы. Согласно рис. 6 запишем граничные условия:

1.r 0; 0;

2.r a; Mr 0;

3.r a; w 0.

По первому условию в уравнении (2.8) – C2 0. Следовательно,

q r3

C

r

. Уравнение (2.9) примет вид:

16D

1 2

q r4

r2

w

C

C

.

64D

4

1

3

d

3q r2

C

q r2

C

Производная

1

;

1

. Запишем второе

dr

16D

2

r

16D

2

условие в развернутом виде:

3q a2

C D

q a2

C D

q a2 3

M

r

1

1

0; C

.

16

2

2

16

1

8D 1

q a4

q a

4 3

По третьему условию w

C3 0.

64D

32D 1

C

q a4

5

.

3

64D 1

Окончательно, уравнения (2.8) и (2.9) запишем как:

q r3

q a

2 r 3

– уравнение углов поворота;

16D

16D

1

q

4

2

2

3

4

5

w

2a

r

a

r

– уравнение прогибов.

64D

1

1

Mr

q

3 a2

r2

– радиальный момент в произвольном

16

сечении.

a2 3 r2 1 2 – окружной момент.

Mt

q

16

Радиальные и окружные нормальные напряжения определим по

зависимостям r				6 Mr	и t			6 Mt		. В соответствии с условием
				h2
								h2
жесткости	r max		6 Mr max						5% производим корректиров-
				h2			изг

ку толщины сечения h.

2.4. Кольцевая пластинка, нагруженная распределенными

моментами по контурам

Пластинка, свободно опертая по внешнему радиусу и нагруженная погонными моментами по обоим контурам (см. рис. 7). Перерезающая сила Q при этом равна нулю.

Рис. 7

Общее уравнение равновесия изогнутой срединной поверхности пластины примет вид

d		1 d r				0.	(2.16)
				dr
dr r

Интегрируя по dr, получим угол поворота сечения пластинки

	C1	r	С2	;	(2.17)
2			r

	C r2			C r2
Прогиб w	1	С2 lnr С3	или w	1
4			4

Граничные условия для расчетной схемы, (рис. 7): 1. r b; Mr M1;

2. r a; Mr M2 ; 3. r a; w 0.

r

С2 ln a С3. (2.18)

d

Согласно выражению Mr D

,

определим значения

r

dr

слагаемых уравнения (2.17)

d

С1

С2

;

(2.19)

dr

2

r2

С1

С2

.

(2.20)

r

2

r2

Подставим граничные условия в уравнение радиального момен-

С

С

2

та, получим D

1

1

1

M1;

(2.21)

2

b2

С

С

2

D

1

1

1

M2.

(2.22)

2

a2

Совместное решение уравнений (2.21) и (2.22) определяет по-

2 M

2

a2 M b2

стоянные интегрирования С и С

: С

1

;

(2.23)

D 1 a2 b2

a2b2 M2 M1

1

2

1

С2

D 1 a2

b2 .

(2.24)

Для определения С3 (2.18), используем третье граничное условие. Тогда второе слагаемое превращается в нуль и

С

2

a2 M

2

a2 M b2

С

1

a

1

.

(2.25)

4

2D 1 a2 b2

3

Подставив постоянные С1, С2 , С3

в (2.18), получим уравнения

углов поворота и прогибов в общем виде

M2 a2 M1 b2 r

a2 b2 M2 M1 1

D 1 a2

b2

D 1 a2 b2

;

(2.26)

r

w

M2 a2 M1 b2 r2

a2 b2 M2 M1

ln

r

D 1 a2 b2

D 1 a2 b2

a

a2 M2 a2 M1 b2

M2 a2 M1 b2

2

2

2D 1 a2 b2

2D 1 a2 b2 a

2r

+

a2 b2 M2 M1

r

.

(2.27)

D 1 a2 b2

ln

a

Радиальный и окружной моменты с учетом (2.26) равны

d Mr D ;

dr r

d Mt D .

r dr

	Для определения постоянной C3									в уравнение (2.18) подставим
							C a2				a
С	и	С		при r a		w	1	С	2	ln		С	3	0. Таким образом,
							4				a
1			2
		C a2
C		1			.									(2.28)
3		4

(2.29)

(2.30)

Радиальные и окружные нормальные напряжения определим по

зависимостям r

6 Mr

и t

6 Mt

. В соответствии с условием

h2

h2

жесткости

r max

6 Mr max

5% производим корректиров-

h2

изг

ку толщины сечения h.

В частном случае, когда

M2 0,

С1, С2 , С3

соответственно

равны: С

2b2 M

1

;

С

a2b2 M

1

;

D 1 a2 b2

D 1 a2 b2

1

2

С3

a2b2 M1

.

2D 1 a2 b2

Уравнения углов поворота нормалей к срединной линии пластины и ее прогиб, в общем виде, имеют следующие выражения:

a2b2M1

1

1

r

;

(2.31)

D 1

a2

b2 r

1 a2

b2M1

2

2

a2b2M1

r

w

2D 1 a2 b2 a

r

D 1 a2

b2 ln

.

(2.32)

a

2.5.Кольцевая пластина, защемленная по внутреннему контуру

сраспределенной нагрузкой

Определим действие погонной силы Q 2 r в произвольном сечении пластины радиуса r (см. рис.8). С учетом неподвижности центрального стержня диаметром 2b усилия от внешнего воздействия равны: Q 2 r q a2 b2 q b2. Последнее слагаемое

показывает противодействие распределенной нагрузки на площади неподвижного стержня. Тогда

Q	q a2	b2 q b2		q a2
					.
		2 r
				2r

Рис. 8

Общее уравнение равновесия изогнутой срединной поверхности пластины примет вид

d 1 d r							q a2
								.	(2.33)
				dr
dr r							2rD

Произведем преобразования, аналогичные 2.6 (без учета первого слагаемого), получим уравнения углов поворота и прогибов пластины:

q a2

r

2lnr 1

C

С

2

1

r

;

(2.34)

8D

2

r

q a2

r2

lnr 1

C r2

w

1

С2 lnr С3.

(2.35)

8D

4

Граничные условия, (см. рис. 8):

1.r b; 0;

2.r a; Mr 0;

3.r b; w 0.

Определение постоянных интегрирования С1

и С2 по условиям

q a2

b

2lnb 1

C

С

2

1 и 2:

1

b

0

;

(2.36)

8D

d

q a3

2

b

С D

2lna 1 1

1

Mr D

1

2

С2D

dr

r

8

1 0,

(2.37)

a2

q a2

d

2lnr 1

C

С

2

где

1

;

(2.38)

dr

8D

2

r2