703

Лабораторная работа №33*

ДИФРАКЦИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Цель работы – изучить дифракцию Фраунгофера на одной щели, на двух щелях, на четырёх щелях, на одномерной и двумерной дифракционных решётках в монохроматическом свете от лазерного источника.

Приборы и принадлежности: модульный учебный комплекс МУК-О. Для выполнения лабораторной работы используется полупроводниковый лазерный источник излучения и объекты исследования (щель, две щели, четыре щели, одномерная и двумерная дифракционные решётки). В качестве экрана наблюдения используется лист белой бумаги, положенный на верхнюю крышку электронного блока учебного комплекса.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Дифракцией называют явление, связанное с отклонением света от прямолинейного распространения. Наиболее отчётливые дифракционные эффекты возникают при распространении света вблизи непрозрачных препятствий. Дифракция приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Дифракция, как и интерференция, служит доказательством волновой природы света. В большинстве случаев, имеющих практическое значение, дифракция достаточно точно и просто моделируется на основе принципа Гюйгенса-Френеля.

Различают два случая дифракции. Если источник света и точка наблюдения расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие и лучи, идущие в точку наблюдения, образуют практически параллельные пучки, говорят о дифракции Фраунгофера или о дифракции в параллельных пучках. В противном случае говорят о дифракции Френеля или о дифракции в сходящихся пучках. Дифракционную картину Френеля достаточно просто объяснить на основе метода зон Френеля.

На практике часто дифракционную картину Фраунгофера наблюдают на экране при помощи линзы, устанавливаемой перед экраном так, чтобы он находился в её фокальной плоскости.

Дифракция Фраунгофера на щели

При падении плоской монохроматической световой волны на щель (рис. 1) происходит дифракция света (огибание светом препятствия) в обе

13

стороны от щели. В результате на экране, расположенном на некотором фиксированном расстоянии L от щели, наблюдается дифракционная картина в виде светлой центральной полосы с максимальной освещённостью и симметрично расположенных относительно центральной полосы светлых полос меньшей освещённости, разделённых тёмными полосами (рис. 2).

Световая волна

Щель

а

Щель

1

I/I0

Световая

L

волна

L

0,047

x

x

0,017

Экран

-2 /а

- /а

0

/а

2 /а

sin

Рис. 1. Падение волны на щель

Рис. 2.

Распределение интенсивности дифра-

гированного света на экране

При дифракции в параллельных лучах (дифракции Фраунгофера) от одной щели (см. рис. 2) распределение интенсивности I дифрагированного света по углу дифракции выражается формулой

	I I0	sin			2
					,

где I0	– интенсивность центрального (φ=0) максимума;	a	sin ; а –

ширина щели; – длина световой волны.

Из этой формулы следует, что при значениях угла дифракции , удовлетворяющих условию

asin 2k		,	(1)
2

интенсивность на экране равна нулю, а максимальная интенсивность дифрагированного света наблюдается при выполнении условия

asin (2k 1)		,	(2)
2

14

где k= 1, 2, 3,… – целое число, определяющее номер минимума или максимума (не центрального). Самый яркий (центральный, k=0) максимум наблюдается при =0.

На рис. 2 показана качественная картина распределения интенсивности дифрагированного света на экране. Относительные интенсивности центрального (при =0) и следующих максимумов относятся как 1:0,047:0,017:0,008:…, т. е. основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме. Резких переходов между максимумами и минимумами нет.

Вид дифракционной картины зависит от ширины щели а и длины световой волны . Ширина максимумов (ширина полос) определяется положением минимумов света. Количество минимумов k по одну сторону от центрального максимума определяется из условия, что sin 1. Тогда из формулы (1) следует

k a .

Такое же число минимумов наблюдается и по другую сторону от центрального максимума.

Угловая ширина центрального максимума определяется положением первых минимумов (при k= 1):

0 2 1 2arcsin , a

что хорошо видно на рис. 2, причём при малых значениях угла 1

0 2 /а.

На экране, достаточно удалённом (на расстояние L) от щели, дифракцию Фраунгофера можно наблюдать и без собирающей линзы, для

этого необходимо, чтобы выполнялось условие L a2 .

Пучок света, сходящийся в точке x L tg L sin экрана (см. рис. 2), практически остаётся параллельным. Из формул (1) и (2) в этом случае следует, что координаты минимумов и максимумов определяются по формулам

xmink k		L; xmaxk		(2k 1)			L.
	a					2a
Тогда расстояния xmink			2xmink и	xmaxk	2xmaxk между минимумами

и максимумами k-го порядка (по обе стороны от центрального максимума) равны соответственно

xmink	2k		L;	(3)
		a

15

xmaxk	(2k 1)		L.	(4)
		a

При повороте щели на угол по отношению к первоначальному положению (рис. 3) величина прозрачного участка а’ на пути лучей становится меньше ширины щели a. Как видно из рис. 3, а’=acos .

a

a

a’

Рис. 3. Поворот щели на угол

Тогда формулы (1)–(4) с учётом поворота щели на угол принимают следующий вид:

acos sin 2k

;

(5)

2

acos sin (2k 1)

;

(6)

2

xmink

2k

L;

(7)

acos

xmaxk

(2k 1)

L.

(8)

acos

Дифракция Фраунгофера на нескольких щелях. Одномерная дифракционная решётка

При падении света на систему, состоящую из N щелей (N=2, 3, 4,…), кроме явления дифракции наблюдается и интерференция световых лучей, идущих от соседних щелей. Система из большого числа параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделённых равными по величине непрозрачными промежутками, называется одномерной (линейной) дифракционной решёткой, а расстояние d a b

– постоянной (или периодом) дифракционной решётки, где а – ширина одной щели; b – расстояние между щелями (рис. 4). В случае дифракции монохроматических лучей с длиной волны на дифракционной решётке интенсивность распределяется по углу дифракции следующим образом:

16

I I		sin			2 sinN			2
	0							,
						sin

где asin ; d sin .

Световая волна

a
	b		Дифракционная решётка

d

Рис. 4. Линейная дифракционная решётка

Те направления, для которых выполняются условия минимумов при дифракции света на одной щели, являются условиями минимумов и для системы щелей, так как по этим направлениям ни одна из щелей не посылает света. Таким образом, условие главных минимумов для системы щелей записывается так же, как и условие минимумов для одной щели (1):

asin k .

Условие главных максимумов в случае системы щелей имеет вид

dsin k . (9)

Кроме минимумов, в некоторых направлениях возникают так называемые добавочные минимумы (с нулевой интенсивностью), что является следствием взаимной интерференции волн, идущих от каждой щели. Эти направления соответствуют условию

d sin	k	,	(10)
	N

где k= 1, 2, 3,…, (N–1), (N+1),…, т. е. k может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N,…, т. е. кроме тех, при которых условие (10) переходит в условие (9). Таким образом, в случае N щелей между двумя соседними главными максимумами располагается (N–1) добавочных минимумов, разделённых добавочными максимумами, интенсивность которых очень мала (рис. 5) и которые наблюдаются в направлениях, удовлетворяющих условию

	d sin	(2k 1)			,	(11)
		N	2

17

где k= 1, 2, 3,…, (N–2), (N+1),…, кроме 0, N–1, N, 2N–1, 2N,…, т. е.

между двумя соседними главными максимумами располагается (N–2) слабых по интенсивности добавочных максимума.

Световая волна

I/I0		Дифракционная решётка
		N=5

L

x x

Экран

0

sin

Рис. 5. Распределение интенсивности света на экране

С ростом числа щелей N главные максимумы становятся более резкими и яркими, разделёнными практически тёмными промежутками, так как возрастает количество пропускаемой световой энергии и увеличивается количество добавочных максимумов и минимумов между главными максимумами.

Количество наблюдающихся главных максимумов по одну сторону от центрального максимума определяется выражением (при условии, что

sin 1) k d .

Общее число главных максимумов (с учётом центрального) равно

2d 1. Угловая ширина центрального максимума определяется

положением примыкающих к нему первых дополнительных минимумов

[в формуле (10) k= 1]:

0 2 1 2arcsin

Nd

или

0 2 при малых значениях угла 1.

Nd

При малых углах дифракции и при больших расстояниях L от решётки до экрана суперпозиция параллельных дифрагированных лучей

18

может осуществляться на экране без собирающей линзы в точке x L tg L sin , когда координаты главных и добавочных минимумов и максимумов соответствуют формулам

k

k

k,доб

k

k,доб

(2k 1)

xmin k

L; xmax k

L; xmin

L; xmax

L.

a

d

Nd

2

Nd

Тогда расстояния xmink

2xmink

и xmaxk

2xmaxk ;

xmink,доб

2xmink,доб и

xmaxk,доб 2xmaxk,доб между главными и добавочными минимумами и максимумами k-го порядка (по обе стороны от центрального максимума) равны соответственно

xmink		2k						L;
						a
xmaxk		2k							L;		(12)
							d
	k,доб				2k
x	min								L;		(13)
					Nd
	k,доб				(2k 1)
xmax										L.	(14)
							Nd

При повороте решётки на угол по отношению к первоначальному положению (рис. 6) величина периода решётки d’ на пути лучей становится меньше d. Как видно из рис. 6, d’=dcos .

d	d

d’

Рис. 6. Поворот решётки на угол

Тогда формулы (9)–(14) с учётом поворота решётки на угол принимают следующий вид:

d cos sin k ;										(15)
dcos sin				k	;					(16)
				N
d cos sin				(2k 1)					;	(17)
							2
					N
xmaxk	2k					L;				(18)
		d cos

19

x

x

k,доб min

k,доб max

		2k		L;	(19)
		Nd cos
		(2k 1)		L.	(20)
		Nd cos

Дифракция на двух и на четырёх щелях может рассматриваться как частный случай дифракции на решётке (N=2 и N=4 соответственно).

Важным свойством любой дифракционной решётки является её способность различать две очень близкие длины волн. Разрешающая способность дифракционной решётки определяется выражением

						R		kN ,
									1 2
где				2		– разность длин волн, а				. Чем больше число
		1						2

щелей имеет дифракционная решётка, тем выше её разрешающая способность, т. е. тем более близкие длины волн можно разрешить с помощью решётки. У современных дифракционных решёток число щелей достигает нескольких тысяч на один сантиметр.

Дифракция Фраунгофера на двумерной дифракционной решётке

Двумерная решётка представляет собой скрещенные перпендикулярно друг другу решётки с периодами dx и dy, причём часто dx=dy. Пусть ось X перпендикулярна щелям первой решётки, ось Y – щелям второй, а ось Z направлена перпендикулярно плоскости двумерной решётки. Углы между падающими и дифрагированными лучами и осями X, Y, Z обозначим соответственно через 0, 0, 0 и , , . Очевидно, что , , – углы, дополняющие углы дифракции до 90 (рис. 7, а). Пусть на двумерную

решётку нормально ( 0=		;	0=		;	0=0) падает плоская волна. Тогда
2			2

условия возникновения главных максимумов для излучения с длиной волны имеют вид

dx cos kx ;	(21)
dy cos ky
(kx, ky 0, 1, 2, 3,…).
Углы , , связаны между собой соотношением
cos2 cos2 cos2 1.	(22)

20

Выражения (21) и (22) позволяют при известных dx, dy, определить углы , , , характеризующие направление дифрагированного луча для максимумов того или иного порядка. Если в каждой решётке число щелей Nx и Ny достаточно велико, то максимумы будут очень острыми и в них сосредоточится практически вся световая энергия дифрагированных волн. В результате на экране, расположенном за двумерной решёткой, получится дифракционная картина в виде чётких, симметрично расположенных световых пятен, каждому из которых соответствуют два целочисленных индекса: kx и ky (рис. 7, б).

x

sin 1=cos

(-2;2)	(-1;2)	(0;2)	(1;2)	(2;2)
(-2;1)	(-1;1)	(0;1)	(1;1)	(2;1)
(-2;0)	(-1;0)	(0;0)	(1;0)	(2;0)
(-2;-1)	(-1;-1)	(0;-1)	(1;-1)	(2;-1)

z	(-2;-2) (-1;-2)	(0;-2) (1;-2) (2;-2)
	а	б
	Рис. 7. Дифракция на двумерной решётке

Если углы дифракции малы и расстояние L от решётки до экрана велико, то координаты главных максимумов вдоль осей X и Y определяются по формулам

xmaxk	kx			L	(kx 0, 1, 2, 3,…);	(23)
		dx
ymaxk	ky			L	(ky 0, 1, 2, 3,…).	(24)
		dy

Формулы (23) и (24) с учётом поворота пластинки с двумерной решёткой на угол принимают следующий вид:

	xmaxk kx		L (kx 0, 1, 2, 3,…).	(25)
		dx cos

21

ymaxk ky		L	(ky 0, 1, 2, 3,…).	(26)
	dy

Если решётки с периодами dx и dy взаимно не перпендикулярны, а составляют какой-либо угол между собой, то положение максимумов будет зависеть от угла между штрихами решёток. По расположению максимумов можно судить о величине периодов dx и dy и взаимной ориентации решёток [3]. Нарушение строгой периодичности щелей (хаотическое их распределение) приводит к существенному изменению общей картины: наблюдаются симметричные размытые интерференционные кольца.

Описание установки

В верхней части оптического блока находится устройство с полупроводниковым лазерным и белым источниками излучения.

Ниже расположена самая верхняя турель, на которой смонтированы объекты исследования для лабораторных работ по интерференции и дифракции света. Каждый из объектов закреплён на вращающейся втулке, горизонтальная ось которой совпадает с серединой объекта. Втулка снабжена стрелкой, а основание – угломерной шкалой и пиктограммой объекта исследования (щель, две щели и т. д.).

Поворотом верхней турели на пути лазерного луча устанавливается соответствующий объект исследования, при этом все турели, расположенные ниже, поворачиваются в сторону и выводятся из рабочей зоны (зоны лазерного излучения).

Рекомендуется вначале провести измерения с одной щелью (см. пиктограмму на турели), установив её под лазерным источником так, чтобы плоскость пластинки со щелью была перпендикулярна световому пучку. Затем, вращая верхнюю турель, перейти к двум, четырём щелям, одномерной и двумерной дифракционным решёткам, место расположения которых определяется также по соответствующим пиктограммам.

На верхнюю крышку электронного блока положите лист белой бумаги, который будет играть роль экрана наблюдения. На нём будут отмечаться положения дифракционных максимумов и минимумов от различных объектов исследования.

Внимание! Обратите особое внимание на недопустимость попадания в глаза прямого и отражённого лазерного излучения. Для этого не рекомендуется использовать в работе полностью или частично блестящие предметы (например, ручки, кончики которых имеют отражающее покрытие, так как при их внесении в зону лазерного излучения может произойти его отражение в глаза!).

22