1674

б) обе стоянки содержат автогрейдеры; в) обе стоянки содержат уборочные машины.

1.1.4.6.В гараже (4N + 2) исправных и (2N - 1) неисправных автомобилей. Определить вероятность того, что из двух наудачу одновременно вызываемых машин окажутся:

а) обе неисправные; б) обе исправные;

в) одна исправная и одна неисправная, если стоянки автомобилей пронумерованы, а вызов осуществляется по селектору.

1.1.4.7.При условии задачи 1.1.4.6 оказалось в результате вызова, что обе машины исправны и не возвращены в гараж. Определить вероятность того, что в следующем вызове, состоящем также из двух машин, будет:

а) одна неисправна и одна исправна; б) две неисправны; в) не будет неисправных машин.

1.1.4.8.При условии задачи 1.1.4.6 в результате вызова обе машины оказались неисправными и возвращены в гараж. Определить вероятность того, что при вызове очередных двух машин возникнет следующая ситуация:

а) не будет исправных автомобилей; б) один исправный автомобиль; в) два исправных автомобиля.

1.1.4.9.При условии задачи 1.1.4.6 в результате вызова одна машина оказалась неисправной (которая не возвращена в гараж). Определить вероятность того, что при вызове следующих двух машин будет:

а) ни одной исправной; б) одна исправная; в) ни одной неисправной.

1.1.4.10.Известно, что из (14N – 3) землеройно-транспортных систем рассматриваемого предприятия (12N – 5) направляются для выполнения ответственного задания за рубеж. Определить вероятность того, что в загранкомандировку будет направлен бульдозерист рассматриваемого предприятия Ларионов, если в организации принята двухсменная работа, имеется штат для подмены численностью N и назначение в командировку любого из этих специалистов равновозможно (N – номер варианта).

1.1.4.11.В организации 12N скреперов, 16N бульдозеров и 20N автогрейдеров. Определить вероятность того, что новую машину получит:

а) водитель скрепера Ульзитуев; б) водитель автогрейдера Жидков; в) бульдозерист Семенов,

если организация получает 8 новых скреперов, 10 бульдозеров, 12 авто-

19

грейдеров, принята трехсменная работа на машинах, есть подменный штат N человек по каждой группе машин и получение новой машины для водителей машин одной марки равновозможно (N – номер варианта).

1.1.4.12.Каким образом следует изменить условие задачи 1.1.4.11, чтобы шансы на получение новых машин у водителей всех землеройнотранспортных систем:

а) стали одинаковыми; б) имели соотношение 1:2:3.

1.1.4.13.В вечной мерзлоте сооружается замаскированное помещение размером a·b·h (где a – длина; b – ширина и h – высота в метрах) путем послойного выпиливания брикетов с гранью 1 м. После того, как котлован будет готов, сооружают из посторонних материалов потолок, на котором размещают двухметровый слой мерзлого грунта путем укладки ранее вырезанных и выбираемых наудачу брикетов, причем верхний слой должен располагаться заподлицо с грунтом и иметь растительный покров. Определить вероятность удачного выбора при укладке:

а) первого брикета на потолке; б) последнего брикета в слое без растительного покрова;

в) первого брикета в слое с растительным покровом; г) последнего брикета в слое с растительным покровом, если известно,

что a =15N – 3; b = 10N; h =5 N,где N – номер варианта.

1.1.4.14.На дне котлована размером 5N·3N выполнен приямок радиусом N. Определить вероятность того, что шарик, брошенный в котлован, попадет в приямок. При этом размерами шарика можно пренебречь, а вероятность попадания шарика пропорциональна соответствующей площади (размеры заданы в метрах, N – номер варианта).

1.1.4.15.Для осушки заболоченной местности создана дренажная система в виде нормально ориентированных друг к другу каналов шириною 5 м, образующих квадраты со стороной 20N метров (N – номер варианта). На заданной местности в ночное время предусматривается приземление парашютиста, размерами которого при расчетах можно пренебречь. Определите вероятность того, что при приземлении парашютист окажется:

а) в канале; б) вне канала.

1.1.4.16.Водитель вездехода принял решение двигаться по заболоченной местности шириною 20N м, лежащей между двух сопок и покрытой снегом. При этом он не знал, что на нормали к линии его движения расположены две примерно одинаковые топи радиусом (3N – 2) м, которые делят расстояние 20N на три равные части. Определить вероятность аварии и благоприятного исхода операции, если ширина вездехода равна 3 м, а пересечение указанной нормали вездеходом равновозможно в любой его точке.

20

1.1.5.Условная вероятность. Теоремы сложения

иумножения вероятностей

Если через n(А) обозначить число событий, благоприятных событию А, а через n (А В) – число событий, благоприятных совместному наступлению событий А и В, то условная вероятность появления события В при условии, что событие А уже произошло, рассчитывается по формуле

P В А	n B A			n В А	.	(11)
	n A
				n A

Пример. В результате технического осмотра 50-ти землеройнотранспортных машин (ЗТМ) у 10-ти технических систем обнаружены неисправности, причем у трех машин неисправными оказались двигатели. Определить вероятность неисправных ЗТМ в гараже и вероятность машин с неисправными двигателями среди бракованных систем.

Решение. Согласно принятым обозначениям имеем

n = 50; n (A) = 10; n (A B) = 3.

n A 10

n B A

3

P(A) =

0,2; P(B/A) =

= 0,3.

n

50

n A

10

Условная вероятность обладает следующими свойствами:

1.

P[(B1 + B2 )/A] = P(B1/A) + P(B2/A);

(12)

2.

P(A/A) = 1 и P(B/A) = 1, если B = A;

(13)

3. P( /A) = 0;

(14)

4. P(B/A) + P(

/A) = 1, но P(B/A) + P(B/Ā) 1.

(15)

B

Рассмотрим конкретный пример. Допустим, в парке 40 скреперов и 50 бульдозеров расположены на нумерованных стоянках. По селектору путем указания номера стоянки вызывают ЗТМ. Определить вероятность того, что:

а) вторым по порядку будет вызван бульдозер, если до этого гараж уже покинул бульдозер;

б) четвертым будет вызван скрепер, если до этого из парка ушли два бульдозера и скрепер.

Решение. Введем следующие обозначения: Ai – появление бульдозера при вызове;

Bj – появление скрепера при вызове.

Примечание. Здесь индекс (i или j) соответствует количеству машин, покинувших парк.

Тогда

50 1 49 а) P(A/A1) = 90 1 89,

21

поскольку первым был вызван бульдозер и к моменту второго вызова этих машин стало на одну меньше, но и на одну меньше стало общее количество ЗТМ в гараже;

б) P(B/A2 B1) =	40 1			39	,
	90 3
			87

поскольку до этого из гаража ушли два бульдозера и скрепер.

Основными положениями теории вероятности являются теоремы сложения и умножения вероятностей. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий вытекает из формулы условной вероятности:

- для двух событий

P(A B) = P(A) ·P(B/A) = P(B) ·P(A/B),	(16)
-для произвольного числа событий
A1, A2,..., An;
n
P(A1 A2 A3 ... An ) P( Ai ) P(A1) P(A2 / A1) P(A3 / A1	A2 )
i 1
n 1
P(An / Ai)	(17)

i 1

Если события независимые, то

P(B) = P(A/B). (18)

Для независимых событий теорема умножения вероятностей означает,

что

	n	n
P(		Ai) = P(Ai),	(19)
	i 1	i 1

то есть вероятность совместного наступления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример. Какова вероятность одновременного отказа двигателя (событие Ā1), движителя (событие Ā2) и отвала (событие Ā3) бульдозера, если

Р(A1) = 0,7;

Р(A2) = 0,8;

Р(A3) = 0,9, а отказы их – независимые события?

Решение. P(A1) 1 P(A1) 1 0,7 0,3; P(A2) 1 P(A2) 1 0,8 0,2; P(A3) 1 P(A3) 1 0,9 0,1;P(Ā1 Ā2 Ā3)=Р(Ā1·Ā2·Ā3)=Р(Ā1) Р(Ā2)Р(Ā3)=0,8 · 0,2 · 0,1=0,006

Сущность теоремы сложения вероятностей состоит в следующем. Если события A1, A2, …, An попарно несовместны, то вероятность объединения их равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

n	n
P(	Ai) = P(Ai) = P(A1) + P(A2) + … + P(An). (20)
i 1	i 1
	22

Пример. В гараже семь нумерованных стоянок. Определить вероятность того, что при выборе наудачу стоянки будет назван нечетный номер.

Решение. Нечетных стоянок в гараже 4 (1, 3, 5, 7), отсюда

Р(1, 3, 5, 7) = Р(1) + Р(3) + Р(5) + Р(7) = 1/7 · 4 = 4/7.

Несколько иначе производится расчет вероятности суммы совместных событий. Так, для двух совместных событий имеем

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)·Р(В).

(21)

При произвольном числе совместных событий эта формула становится громоздкой и заменяется следующей:

Р(A1 + A2 + … + An) = 1 – Р(Ā1) Р(Ā2) ·… ·Р(Ān).

(22)

Пример. На отсыпке насыпи работают четыре бульдозера, каждый из которых имеет вероятность отказа 0,1. Определить вероятность того, что работа не будет остановлена из-за полного отказа техники.

Решение. Здесь возможны два противоположных события: В – работа не будет остановлена.

B – работа будет остановлена.

Обозначим через Аi - событие, состоящее в исправной работе i-го бульдозера.

Работа не будет остановлена, если исправным будет хотя бы один бульдозер, т.е. либо одна, либо две, либо три, либо все четыре машины, а это, со-

4

гласно определению, сумма событий. Отсюда Р(В) = Р( Аi ).

i 1

С другой стороны, Р(В) + Р(B) = 1, поскольку ничего другого произойти

не может. А для того, чтобы наступило событие B , необходимо, чтобы совпали, т.е. одновременно наступили следующие четыре события: Ā1, Ā2, Ā3, Ā4, а это, по определению, пересечение (произведение ) этих событий. Иначе,

Р(B) = P(Ā1) ·P(Ā2) ·P(Ā3) ·P(Ā4).

На этом основании имеем Р(В) = 1 – P(Ā1) ·P(Ā2) ·P(Ā3) ·P(Ā4), или Р(В) =

1 – (0,1)4 = 0,9999.

1.1.6.Задачи

1.1.6.1.В гараже 9 бульдозеров Б, 10 скреперов С, 14 автогрейдеров А и 12 экскаваторов Э, которые случайным образом расположены на номерных стоянках и после вызова наудачу (по номеру стоянки) покидают гараж. Определить вероятность следующего события:

Примечание. События Бi , Сj , Аk , Эq означают, что соответственно бульдозер, скрепер, автогрейдер и экскаватор покидают гараж, индексы i, j, k, q обозначают количество соответствующих машин, покинувших гараж

23

за предшествующие периоды, а последняя цифра вышеуказанного подпункта – номер варианта расчета. Например, 1.1.6.1.31 Р(А/Б6 С4 А8 Э3) означает: расчетный вариант № 31. Определить вероятность того, что при очередном испытании (вызове) гараж покинет автогрейдер, если до того из гаража ушли 6 бульдозеров, 4 скрепера, 8 автогрейдеров и 3 экскаватора.

1.1.6.1.1. Р(Б/А1

Б2 С3);

1.1.6.1.16. Р(А/А1 Б4 С1);

1.1.6.1.2. Р(А/Б1

С2 Э3);

1.1.6.1.17. Р(

/А2 С3 Э2);

С

1.1.6.1.3. Р(Ā/Б1

А2 А3);

1.1.6.1.18. Р(Б/А3 Б2 Э3);

1.1.6.1.4. Р(Э/Б2 С3 А4 Э5);

1.1.6.1.19. Р(

/А4 Б1 С2 Э4);

Э

1.1.6.1.5. Р(С/С4 Б2 А4);

1.1.6.1.20. Р(С/Б5 С5 Э5);

1.1.6.1.6. Р(

/Б4 С2 А4 Э5);

1.1.6.1.21. Р(

/А2 С1 Б4 Э6);

Б

Б

1.1.6.1.7. Р(

/С2 Э6 А4);

1.1.6.1.22. Р(Э/А6 Б2 Э6);

Э

1.1.6.1.8. Р(Ā/Б1

С2 Э3 А4);

1.1.6.1.23. Р(Ā/А10 Б2 С6 Э4);

1.1.6.1.9. Р(

/А2 Б3 С4 Э5);

1.1.6.1.24. Р(А/А6 Б4 С2);

С

1.1.6.1.10. Р(С/А4 Э3 Б3 С6);

1.1.6.1.25. Р(

/Б4 С4Э4);

С

1.1.6.1.11. Р(Б/А6 Б8 С2 Э1);

1.1.6.1.26. Р(Б/А6 С4 Б3);

1.1.6.1.12. Р(Э/А7 Б2 Э4);

1.1.6.1.27. Р(

/А2Б6 Э3);

Э

1.1.6.1.13. Р(

/Б4 С6 Э2 А1);

1.1.6.1.28. Р(

/Б3 А2 С6 Э1);

Э

Б

1.1.6.1.14. Р(

/А4 Б4 С3 Э4);

1.1.6.1.29. Р(Ā/А4 Б2С8);

Б

1.1.6.1.15. Р(Э/А5 Б6 С8 Э6);

1.1.6.1.30. Р(С/А1 Б6 С4 Э3);

1.1.6.1.31. Р (A/Б 6 С4 А8 Э3).

1.1.6.2.Решить задачу 1.1.6.1, если в гараже стоят (N + 8) бульдозеров (N – номер варианта), (2N + 9) скреперов, (3N + 10) автогрейдеров и (4N + 6) экскаваторов.

1.1.6.3.Решить задачу 1.1.6.2, если одновременно вызываются две машины и следует определить вероятность того, что среди вызванных машин окажутся:

а) хотя бы один автогрейдер; б) будут вызваны два бульдозера;

в) не будет ни одного бульдозера.

1.1.6.4.В условиях задачи 1.1.6.2 определить вероятность того, что из трех вызываемых машин будет:

а) хотя бы один автогрейдер; б) не более двух скреперов; в) не менее одного экскаватора.

1.1.6.5.В условиях задачи 1.1.6.2 определить вероятность того, что при вызове машины будет назван:

а) однозначный номер; б) четное число из интервала от 20 до 40; в) число, кратное 10.

1.1.6.6.В условиях задачи 1.1.6.2 определить вероятность того, что при

24

вызове будет назван номер стоянки: а) не менее, чем 40; б) не более, чем 40.

1.1.6.7.Для сигнализации перегрузки двигателя машины установлены два датчика, имеющие вероятность отказа, соответственно (N·10-2) для первого и (2N·10-2) для второго сигнализатора. Найти вероятность того, что при перегрузке сработает:

а) один датчик; б) два датчика;

в) хотя бы один датчик; г) ни один датчик.

1.1.6.8.Вероятность обнаружить неисправность при техническом осмотре скрепера равна (1 – N·10-2). Определить вероятность того, что при контроле технического состояния трех машин будет обнаружено следующее:

а) исправен один скрепер; б) неисправен хотя бы один скрепер;

в) исправных скреперов не менее трех.

1.1.6.9.На квадратной площадке со стороною 100·N метров и с котлованом радиусом 20·N метров работают 8 землеройно-транспортных систем (ЗТМ). Определить вероятность того, что:

а) все машины находятся в котловане; б) не менее половины машин находится в котловане;

в) хотя бы одна машина работает вне котлована.

Предполагается, что вероятность попадания машины зависит только от указанных площадей. Размерами землеройно-транспортных машин (ЗТМ) можно пренебречь.

1.1.6.10.Из условий задач 1.1.2.11 – 1.1.2.13 видно, что нет принципиальных трудностей на пути замены конкретной технической системы расчётной схемой, в которой элементы заменяются прямоугольниками, а их функциональная взаимосвязь отражается в схеме соединения этих прямоугольников. На рис.3 приведен 31 вариант расчетных схем, используя которые, необходимо определить для заданного варианта расчета, обозна-

ченного цифрой, вероятность безотказной работы и отказа системы, если pi

– вероятность отказа i-го элемента, а p1=..=pi = 0,2.

	1			2				4
	1											6
										2
				3				5
																	1
																			3		5
																	2		4		6

25

	3						1														4						5
														3
							2																		6
	5																		3
	1							2											4
																			5
																			6
					1												2

7

3

5

4 6

1

9

4 5 6

2 3

11

1 2 3 4

5 6

13

	2		3		4		5		6

1

15	2	3	16
1			6
	4	5
	1		2
17		3
		4

5 6

26

4			1															5
									3			4
			2															6
6								2
	1							3							5					5
								4
													1

8

2			3		4

5 6

			10												1											2
											3													4						5
																								6
			12														2								3
			1
14																	4							5						6
2
						3											4									5							6
																1
			1															3													5
			2															4													6
			18																1											2
																				3										4
																			5											6

19						20
3	4		5	6		2	3	4	5	6
	1		2			1			1
		1							2
				5
21		2					22		3
										7
									4
		3
				6					5
		4							6	4
				3			1
1					24
								3		5
23				4	6
							2
2
						26				6
				5
								1
				1		2	3	4	5	6
25
2		3	4	5	6
			1		28			3
			2		1	2			5	6
27			3					4
			4		29		2
								4	5	6
			5		1
							3
			6
			1						2
30									3
2			3		4		31
							1		4
			5						5
			6						6

Рис.3. Варианты расчетных схем

27

Рассмотрим решение задачи 1.1.6.10 на примере схемы по варианту № 31. Введем обозначение q i – вероятность безотказной работы i-го элемента. По условию задачи заданы вероятности отказов указанных элементов –

pi = 0,2. Поскольку отказ и безотказная работа – это два противоположных события, то сумма вероятностей этих событий должна быть равна единице, т.е. pi +qi = 1. Отсюда имеем qi 1 pi 1 0,2 0,8. Итак, q1 = q2 = …= q6 =0,8.

Здесь возможны два пути решения рассматриваемой задачи: можно вначале определить вероятность безотказной работы системы, а затем определить вероятность ее отказа по вышеприведенной формуле (сумма вероятностей безотказной работы и отказа системы равна единице) либо вначале определить вероятность отказа, а затем вычислить вероятность безотказной работы системы. Определим вероятность безотказной работы системы. Для этого последовательно упростим систему. Заменим элементы 2 и 3 блоком I. Блок I будет работать безотказно, если будет исправен либо элемент 2, либо элемент 3, либо оба (2 и 3). Таким образом, безотказная работа блока I представляет собой сумму вероятностей двух совместных событий. Тогда, используя формулу (21), имеем

q1 q2 q3 q2 q3 0,8 0,8 0,8 0,8 1,6 0,64 0,96.

Рассуждая аналогичным образом, заменим элементы 5 и 6 блоком II. Тогда имеем qI = qII = 0,96.

Заменяем блоки I и II блоком III:

qIII = qI + qII – qI qII = 0,96 +0,96 – 0,962 = 0,9984

Заменяя блок III и элемент 4 блоком IV , получим по формуле (21)

qVI qIII q4 qIII q4 0,9984 0,8 0,9984 0,8 0,997.

Система будет работать, если будет исправен и элемент 1, и блок IV, а это значит, что для определения вероятности безотказной работы рассматриваемой системы используется формула умножения вероятностей событий (19).

Тогда имеем, обозначив через А – событие, состоящее в безотказной работе рассматриваемой системы:

Р(А) q1 qIV 0,8 0,997 0,7976.

Зная вероятность безотказной работы, определяем вероятность отказа системы как события, противоположного отказу.

Окончательно получим

Р(А) 1 Р(А) 1 0,7976 0,2024;

Снезначительной погрешностью можно утверждать, что рассматри-

28