Семинар 5 Механика
.pdfСеминар №5
Момент инерции. Момент импульса. Момент силы
Для описания вращения тела вокруг неподвижной оси используются следующие физические величины:
1.Момент инерции тела J относительно заданной оси, характеризующий инертность тела в отношении вращательного движения.
2.Момент импульса тела L=J относительно заданной оси, являющийся количественной мерой вращательного движения тела, – угловая скорость вращения тела вокруг оси.
3.Момент силы М относительно заданной оси, который действует на тело и определяет скорость изменения во времени его момента импульса относительно оси вращения
|
|
M |
dL |
. |
(5.0.1) |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dt |
|
||
Если при вращении момент инерции тела остается постоянным, то |
|||||||
уравнение вращательного движения преобразуется к виду: |
|
||||||
|
d (J) |
J |
d |
J M , |
(5.0.2) |
||
|
|
|
|||||
|
dt |
|
dt |
|
где ddt – угловое ускорение тела.
При описании вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки используется момент импульса относительно точки, который определяется с помощью векторного произведения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L |
[r |
p] |
x |
y |
z |
|
( ypz zpy )i |
(xpz zpx ) j |
(xp y ypx )k |
, |
(5.0.3) |
|
|
|
|
px py pz |
|
|
|
|
|
|
|
||
где r – |
радиус-вектор, |
проведенный |
из выбранной |
точки в |
ту |
точку, где |
находится начало вектора импульса |
|
|
|
|
|
||||||||
p (в точку нахождения частицы). |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично можно определить вектор момента M |
силы F |
относительно |
||||||||||
заданной точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
M [r |
F ] |
x |
y |
z |
|
( yFz zFy )i (xFz |
zFx ) j (xFy yFx )k |
. |
(5.0.4) |
|||
|
|
|
|
Fx |
Fy |
Fz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Момент импульса |
L или силы F |
относительно точки О обозначается как |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L0 |
или M 0 |
(см. рис. 5.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
0` |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.1. Точка О – начало координат, r |
– радиус-вектор точки О` , где |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
находится начало вектора |
P и точка приложения силы |
F . |
|
|
29
Рассмотрим проекцию вектора M 0 на ось z, проходящую через точку О. Из выражения (5.0.4) получим:
M z xFy |
yFx . |
|
(5.0.5) |
|
Величина Mz называется моментом |
силы |
относительно заданной оси z. |
||
F |
Важно отметить, что Mz не зависит от координаты z точки приложения силы и
определяется только той компонентой силы, которая |
лежит в плоскости, |
||
|
|
|
|
перпендикулярной оси z. Эта компонента обозначается |
F . Соответственно, |
F|| |
обозначает компоненту силы, параллельную оси z (см. рис. 5.2). Таким образом, полная сила
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
F F|| . |
|
(5.0.6) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Момент силы |
F относительно |
оси z |
есть |
проекция момента силы |
|||
относительно произвольной точки на эту ось: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M z |
d | F | . |
|
(5.0.7) |
||
Длина отрезка d r sin , |
перпендикулярного к |
его компоненте силы |
F , |
||||
называется плечом |
силы |
|
– |
угол |
между радиусом-вектором |
|
|
F , |
r и |
компонентой силы F .
Рис. 5.2. Точка О – |
точка пересечения плоскости, проходящей через |
|
точку O` приложения силы |
|
перпендикулярно оси z. |
F |
Задача №13
Сила F , имеющая проекции Fx=1Н, Fy=2H, Fz=3H, приложена в точке О
с координатами (x,y,z) = (4м,5м,6м). Определить момент силы M 0 относительно начала системы координат (x,y,z) = (0,0,0), момент силы M z относительно оси z и плечо силы d относительно оси z.
Решение Согласно определению момент силы относительно точки (0,0,0):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( yFz |
(xFz |
(xFy |
|
||||||
M [r |
F ] |
x |
y |
z |
|
zFy )i |
zFx ) j |
yFx )k . |
(5.1.1) |
||||
|
|
|
Fx |
Fy |
Fz |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя значения из условий задачи, получим
M 0 =(5 3–6 2) i –(4 3–6 1) j +(4 2–5 1) k =( 3i 6 j 3k ) Н м .
Момент силы относительно оси z:
M z xFy yFx 4 2 5 1 3H м .
(5.1.2)
(5.1.3)
30
Плечо d силы F относительно оси z находится с помощью формулы
d |
M z |
, |
(5.1.4) |
|
|||
|
F |
|
где величина F определяется по теореме Пифагора:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
F 2 F 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.1.5) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из (5.1.4) и (5.1.5) следует, что плечо силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
M z |
|
|
|
|
M z |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
1,34м . |
|
(5.1.6) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
F 2 F 2 |
1 |
4 |
2,24 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: M 0 |
= (3i |
6 j |
3k )Н м ; M z 3Н м ; d=1,34м. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Частица массой m=10г движется с постоянной скоростью =18км/ч в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
положительном направлении |
оси |
х |
по |
закону |
x t . |
Определить: момент |
||||||||||||||||||||||||||||||
импульса частицы |
|
относительно точки с координатами (x1, y1, z1) (0,1,0) м, и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
L |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
момент импульса частицы Ly относительно оси y для t>0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Момент |
импульса |
|
|
частицы |
|
|
|
относительно |
заданной |
точки |
1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|||||||||||||||||||||||||||||||
определяется формулой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
L |
[r |
p] |
|
|
x1 р |
y1 р z1 р |
( y1 р pz z1 p p y )i (x1 p pz |
z1 p px ) j |
(x1 p p y y1 p px )k |
, |
(5.2.1) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
px py pz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где согласно условиям x1 p xp x1 t , |
y1 p |
yp y1 1м , z1 p zp z1 0 , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
( t, 0, 0) - радиус-вектор частицы, проведенный из точки 1, px m , |
py 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
rp |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
pz |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
(0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.2.2) |
||||||||||||||||
|
|
L [r |
p] |
|
|
0i |
0 j |
m )k |
m k |
0,05k Дж с . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Момент импульса частицы Ly |
относительно оси y есть проекция на эту |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ось момента |
импульса |
|
частицы относительно |
произвольной |
точки |
О, |
||||||||||||||||||||||||||||||
L |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
принадлежащей данной оси. Согласно (5.2.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ly=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.2.3) |
|||||
|
Ответ: |
L =(0;0;0,05) Дж с , Ly=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №15
Вычислите момент инерции J однородноготонкого стержня массой m и длиной l относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей 1)через конец стержня, 2)через середину стержня.
Решение:
Выберем ось z перпендикулярную стержню и проходящую через конец стержня, при этом ось x направим вдоль стержня (рис. 5.3).
31
z |
|
|
dm |
О |
x |
l |
dx |
Рис. 5.3.
Согласно определению момента инерции
m |
m |
l |
l |
m |
|
m |
l |
m |
|
x |
3 |
|
l |
|
ml |
2 |
|
|
J r2dm x2dm x2 dx x2 |
dx |
x2dx |
|
|
|
|
|
|
. |
(5.3.1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
l |
|
l |
0 |
l 3 |
|
0 |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Во втором случае выберем ось z, проходящую через центр стержня. В результате момент инерции стержня определяется выражением:
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|||||
m |
m |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
J r 2dm x2dm x2 dx x2 |
m |
dx |
m |
x2dx |
m |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
ml |
|
. |
(5.3.2) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
l |
|
l 3 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|||||||||
0 |
0 |
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ответ: а) |
J |
ml2 |
, б) J |
|
ml2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32