1386
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФГБОУ ВПО «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»
(ТУСУР)
Кафедра механики и графики
УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой МиГ
______________ Люкшин Б.А.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению практических работ по основам механики сплошных сред
для студентов всех специальностей
Указания рассмотрены и одобрены на методическом семинаре кафедры МиГ, протокол № 77 от 18.06.2012 г.
2012
Методическая разработка содержит указания по проведению практических работ по дисциплине «Основы механики сплошных сред» и предназначена для студентов всех специальностей, изучающих данную дисциплину.
Разработчик: профессор кафедры МиГ |
Герасимов А.В. |
2
СОДЕРЖАНИЕ
1.Элементы тензорного исчисления………………………….…4
2.Понятие аффинного ортогонального тензора………………………6
3.Алгебраические операции над тензорами…………………………..8
4.Тензорная алгебра………………………………………...…………10
4.1.Сложение тензоров………………………………...……….…10
4.2.Умножение тензоров…………………………………………..11
4.3.Свертывание тензоров………………………………………...12
4.4.Свойство симметрии тензоров………………………………..13
5.Перестановка индексов, симметрирование и альтернирование….15
6.Единичный тензор…………………………………………………...16
7.Главные оси тензора. Приведение тензора к главным осям……...17
8.Инварианты тензора…………………………………………………19
9.Признак тензорности величин……………………………………...20
10. Линейное n -мерное пространство. Вектор и тензоры в n -мерном пространстве…………………………………………………………………..21 11. Примеры линейных пространств……………………………….…22 12. Задачи и решения…………………………………………………..25
Литература……………………………………………………………...29
3
Важнейшей компонентой математического инструментария механики сплошных сред является тензорное исчисление. Использование его позволило наиболее адекватно описывать процессы, протекающие в сплошных средах, особенно в твердых деформируемых, при различных внешних воздействиях. В работе приведено краткое изложение основ тензорного исчисления и представлены подходы к решению ряда задач с использованием этих основ. Рассматриваемый материал позволяет использовать его в дальнейшем изучении основ механики сплошных сред
ирешении наиболее важных задач МСС.
1.Элементы тензорного исчисления
Вестествознании и технике приходится иметь дело с физическими величинами различной математической природы. Это различие проявляется, в частности, в характере их аналитического выражения и в законах преобразования их аналитического выражения при переходе от одной системы координат в пространстве к другой.
Простейшими, с точки зрения математической природы,
физическими величинами являются скалярные величины, например масса тела, длина вектора, и т.п., инвариантные относительно преобразований координат. Каждая такая скалярная величина в любой системе координат выражается одним числом, причем это число не зависит от выбора системы координат.
Следующими по сложности математической природы являются величины векторные, например скорость, ускорение, сила и т.п. Векторная величина в трехмерном пространстве в каждом базисе определяется тройкой чисел – тройкой проекций вектора на оси координат, или, как говорят “тройкой координат вектора в данном базисе“, причем эти “ координаты вектора“ при переходе от одного базиса к другому преобразуются по определенному закону.
4
Следующими после векторов по сложности математической природы являются величины, называемые тензорами, играющие роль линейных операторов над векторами. Такого рода величиной описывается,
например проводимость в анизотропном теле. Линейным оператором или
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейной вектор - функцией |
называется такая функция |
|
|
y L(x) , |
которая |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
каждому вектору x |
ставит |
в соответствие вектор |
y и для |
которой |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
выполняется равенство L(c1 x1 c2 x2 ) c1L(x1) c2L(x2 ) при |
любых x1 и x2 и |
||||||||||||||||||||
любых константах c1 |
и c2 . А именно, в изотропном теле вектор плотности |
тока j и вектор напряженности электрического поля E коллинеарны, т.е.
связаны соотношением
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
j σ E , |
|
|
(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где σ - |
|
скалярный |
множитель (σ 0) , |
называемый |
проводимостью. |
В |
||||||||||||||||||||
анизотропном теле |
|
|
и |
|
|
|
уже, вообще говоря, |
не коллинеарны |
и |
|||||||||||||||||
j |
|
E |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
множитель σ является линейным оператором, преобразующим вектор E в |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
вектор |
j ; |
этот оператор |
|
называется |
“тензором“ проводимости. Если |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
выбрать |
|
в |
|
пространстве |
|
|
|
какой-либо |
определенный базис e1, e2 , e3 |
и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
разложить по этому базису |
j |
и E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j j1e1 j2 e2 j3e3 ,
E E1e1 E2 e2 E3e3 ,
то равенство (*) можно заменить эквивалентной системой трех
скалярных равенств
|
3 |
jk |
σki Ei , k 1,2,3. |
|
i 1 |
Т.о., тензор проводимости σ в каждом базисе определяется девятью |
|
числами |
σki , k,i 1,2,3, которые называются координатами тензора σ в |
данном базисе. В определение тензора входит описание преобразования его координат при переходе от одного базиса к другому.
5
2. Понятие аффинного ортогонального тензора
При аффинном преобразовании – плоскости прямые переходят в прямые, точки в точки, параллельные прямые переходят в параллельные.
Преобразование ортогональных нормированных базисов.
Рассмотрим два каких-либо ортогональных нормированных базиса e1, e2 , e3 и e1 , e2 , e3 в трехмерном евклидовом пространстве. Из ортогональности и нормированности базисов вытекают следующие соотношения для скалярных произведений:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e , e |
δ , |
|
|
e |
, |
|
e |
|
δ , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
i |
|
k |
|
ik |
i |
|
|
k |
ik |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
i k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
δik |
|
|
i k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и e , e |
, e |
|
|||||
Базисы e , e , e |
будем условно называть “старым“ и |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
“новым“. Разложив векторы нового базиса по старому, получим
e1 α11e1 α12 e2 α13 e3,
e2 α21e1 α22 e2 α23 e3,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α e α e α e , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
31 |
1 |
|
32 |
2 |
|
33 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α11α12α13 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
или |
|
короче |
|
ei αij |
e j |
, |
i 1,2,3 . |
Матрица |
|
|
αij |
|
|
α21α22α23 |
|
называется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α31α32α33 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
матрицей перехода |
|
|
от старого базиса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к новому базису |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e1, e2 , e3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
e , e |
, e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скалярное |
произведение вектора |
α |
e α |
e |
α |
e , на |
вектор |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i1 |
1 |
|
|
|
i2 |
|
2 |
i3 |
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
j i |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
α α |
|
δ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e |
|
e α |
|
e |
α |
|
e |
, имеет вид |
α α |
α |
j2 |
|
|
|
|
. (**) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
j1 1 |
|
j2 2 |
|
|
j3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
i1 j1 |
i2 |
|
|
|
i3 j3 |
|
|
|
ij |
|
|
|
j i |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Т.е. сумма квадратов элементов любой строки матрицы равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов любых двух
6
различных строк матрицы равняется нулю. Матрица αij , для которой выполнены соотношения (**), называется ортогональной. Т.о. матрица перехода от одного ортогонального нормированного базиса к другому
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножая скалярно ei αij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
является ортогональной. |
e j |
, |
|
i 1,2,3 на ek , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
αik . Очевидно, |
αik |
|
, |
|
cos |
|
, |
|
. Найдем аналогичное |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ei |
, |
ek |
ei |
ek |
ei |
ek |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выражение для элементов матрицы обратной матрице |
|
αij |
|
. Разложив |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторы старого базиса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по новому, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e1, e2 , e3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
e |
|
|
|
β |
e |
|
β |
e |
|
β |
e |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
11 |
|
1 |
|
12 |
|
|
2 |
|
|
13 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
β |
|
|
β |
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
e |
|
e |
e |
|
e |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
22 |
|
|
2 |
|
|
23 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
e |
|
β |
e |
|
β |
e |
β |
e |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
31 |
1 |
32 |
2 |
33 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
или, короче, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ek |
βkj |
e j |
, |
i 1,2,3 , |
(***) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β11 β12 β13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
βij |
|
|
|
β21 β22 β23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β31 β32 β33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является, очевидно, обратной матрице αij . Умножая (***) скалярно на ei ,
получим |
|
, |
|
βki , сравнивая это соотношение и соотношение |
|
|
, |
|
αik , |
|||||||||||||||
ei |
ek |
ei |
ek |
|||||||||||||||||||||
найдем следующую связь между элементами матриц |
|
|
и |
|
βij |
|
αik βki . |
|||||||||||||||||
αij |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Т.о., матрица |
|
βij |
|
, |
|
|
обратная матрице |
|
αij |
|
|
, |
|
получается |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
транспонированием матрицы |
|
αij |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение аффинного ортогонального тензора.
7
Пусть величина L определяется в каждом ортогональном
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нормированном |
базисе |
девяткой |
чисел: в базисе |
|
|
e1, e2 , e3 числами |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
L , i, j 1,2,3, в базисе |
e , e |
, e числами L , i, j 1,2,3 . Если при переходе от |
|||||||||||||||||||||||||
ij |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
к любому другому базису e , e , e , то величину |
|
|||||||||||||||||||
любого базиса e , e , e |
L |
||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
называют аффинным ортогональным тензором второго ранга и обозначают
символом Lij , т.е. L Lij . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Числа Lij , i, j 1,2,3 называют координатами тензора |
|
L в базисе |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
e1, e2 , e3 , а числа Lij , i, j 1,2,3 |
- его координатами в базисе e1 |
, e2 |
, e3 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
Скалярная величина |
L , инвариантная относительно |
переходов от |
одного ортогонального нормированного базиса к другому, называется аффинным ортогональным тензором нулевого ранга.
Вектор - аффинный ортогональный тензор первого ранга.
3. Алгебраические операции над тензорами
1. Сложение, вычитание и умножение тензоров.
Тензоры одинакового ранга можно складывать и вычитать;
например, суммой (разностью) тензоров второго ранга aij и bij называется тензор, координаты которого равны
cij aij bij |
(cij aij bij ) i, j 1,2,3 . |
|
|
Нетрудно убедиться, что величины |
cij при |
изменении системы |
|
координат преобразуются по тензорному |
закону. |
Перемножать можно |
тензоры любых рангов, Например, произведением тензора второго ранга aij на тензор третьего ранга bmnp называется тензор пятого ранга,
координаты которого равны cijmnp aijbmnp , i, j, m, n, p 1,2,3 . Умножение тензора на число можно рассматривать, как частный случай произведения
8
двух тензоров. Оно определяется так: произведение тензора aijk на число
C называется тензор с координатами bijk Caijk .
Свертка. Операцией – специфической для тензоров является
операция свертывания и свертки по какой-либо паре индексов. Так,
например, сверткой тензора четвертого ранга cijmn называется тензор второго ранга, координаты которого определяются равенствами
3
amn ciimn . i 1
Перестановка индексов.
Рассмотрим перестановку индексов для аффинного ортогонального тензора второго ранга Lij . Положим в каждом базисе
L* |
L |
ji |
, |
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
где |
Lij |
- координаты тензора |
Lij |
в этом базисе. Совокупность |
||
величин |
L* |
, |
также образует аффинный |
ортогональный тензор второго |
||
|
|
ij |
|
|
|
|
ранга. |
Этот |
тензор называется |
сопряженным с тензором Lij и |
|||
обозначается символом (L* ) . |
|
|
||||
|
|
|
|
ij |
|
|
Разложение тензора второго ранга на симметричный и
антисимметричный.
Тензор второго ранга называется симметричным, если его матрица
L11L12 L13
Lij L21L22 L23
L31L32 L33
в каждом базисе симметрична, т.е. если в каждом базисе выполнены
соотношения Lij Lji , i, j 1,2,3. Тензор второго ранга |
Lij называется |
|||
антисимметричным, если для |
|
элементов его матрицы |
|
в каждом базисе |
|
Lij |
|||
|
выполнены соотношения Lij Lji . Из этих соотношений следует, что для
антисимметричного тензора Lii Lii , т.е. |
2Lii 0 и |
Lii 0 . Т.о., |
|
|
9 |
симметричный тензор второго ранга определяется шестью своими координатами, а антисимметричный – только тремя недиагональными координатами. Заметим, что каждый тензор второго ранга может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров, что вытекает из равенства
Lij |
1 |
Lij Lji |
1 |
Lij Lji . |
|
|
|
2 |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
||
Тензор 2-го ранга - это величина, определяемая в любой системе |
||||||
координат |
девятью |
|
числами |
Aik , которые при |
изменении системы |
|
координат преобразуются в A' |
по закону |
|
||||
|
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
Aik i l k m Aim , |
|
|
|
|||
где i k cos(xi , xk ) - косинус угла между i-й новой осью и к-й старой |
||||||
осью. Величины Aik являются компонентами тензора 2-го ранга. |
||||||
Если |
компоненты Aik |
тензора заданы |
в одной декартовой |
прямоугольной системе координат, то по формуле (1) можно определить
компоненты A тензора в любой другой декартовой прямоугольной
ik
системе, оси которой составляют с осями первоначальной системы углы с косинусами i k .
Если все компоненты тензора обращаются в нуль в какой-либо системе координат, то они равны нулю в любой другой системе вследствие однородности закона преобразования (1).
Иногда удобно записывать тензор в виде таблицы (матрицы)
A11 A12 A13
Aik A21 A22 A23 .
A31 A32 A33
4. Тензорная алгебра
4.1. Сложение тензоров
10