itnaVxICsm

Аналогично можно применять функцию BODEMAG – построение амплитудной характеристики.

[MAG,PHASE] = BODE(SYS,W) и [MAG,PHASE,W] = BODE(SYS) воз-

вращают матрицы значений амплитуд и фаз (в градусах) по вектору частот, заданному или автоматическому. График при таком формате записи не строится;

б) функция NYQUIST – диаграмма Найквиста (расположение корней передаточной функции H ( jω) = H (s) s = jω на комплексной плоскости при

изменении частоты). Форматы записи аналогичны функции BODE. Примечание: частотные и временные характеристики LTI-модели можно построить графически с помощью универсальной функции LTIVIEW.

Задания на лабораторную работу

Вариант 1. Объект управления – пассажирский самолет Боинг-747, который управляется в боковом движении с помощью руля направления и элеронов: их отклонения от нейтрального положения обозначены как δn и δe соответственно. В вектор состояния входят следующие компоненты: vz – скорость бокового сноса; ω y – угловая скорость по рысканию; ωx – угловая

скорость по крену; ϕ – угол рыскания; γ – угол крена; z – боковой снос. Система линейных дифференциальных уравнений, описывающих процесс стабилизации самолета в боковом движении при посадке, имеет следующий вид:

vɺz = −0.089vz − 2.19ω y + 0.328ωx + 0.319γ + 0.0327δn + 0.089F; ωɺ y = 0.076vz − 0.217ω y − 0.166ωx + 0.0264δe − 0.151δn − 0.076F;

ϕɺ = ω y ;

ωɺ x = −0.602vz + 0.327ω y − 0.975ωx + 0.227δe + 0.0636δn + 0.602F;

γɺ = 0.15ω y + ωx ; zɺ = 2.21ϕ + vz ,

где через F обозначена скорость ветра. Система уравнений записана в безразмерных величинах: для угловых координат в качестве единицы измерения принято 0.01 рад, а для линейной скорости – 0.305 м/с.

Содержание работы:

1. Сформировать ss-объект, соответствующий LTI-модели самолета со

входом u = (δ	δ	n	F ) т и выходом y .
e
			11

2. Замкнуть этот объект регулятором

	δ		− 1.947	− 3.59	− 1.421	− 1.672	− 7.29	− 0.859
		e	=						y .
				6.42	0.799	1.424	6.08	0.487
	δn		1.263

3. Найти передаточную функцию от входа F к выходной переменной γ . Построить диаграммы Боде и Найквиста.

Вариант 2. Объект управления – транспортный реактивный самолет, выполняющий полет на высоте 12 км с постоянной скоростью 180 м/с.

Процесс стабилизации самолета описывается LTI-моделью, представленной в tf-форме с помощью передаточной функции от входного сигнала δ – угла отклонения руля высоты – к выходному сигналу θ – углу тангажа, которая имеет следующий вид:

	Fδθ (s) =		1.39 (s + 0.306)			.
		s (s	2	+ 0.805s + 1.325)

Содержание работы:

1.Сформировать LTI-объект, соответствующий данной модели.

2.Построить диаграмму Боде для этого объекта и найти частоту, на которой ее амплитудная часть достигает локального максимума.

3.Замкнуть автоматом стабилизации с передаточной функцией

Fa (s) =	5	.
	s + 10

4. Построить LTI-объект, соответствующий замкнутой системе. Преобразовать его к ss-форме.

Вариант 3. Объект управления – транспортный реактивный самолет, выполняющий полет на высоте 12 км с постоянной скоростью 180 м/с.

Будем рассматривать процесс стабилизации самолета в горизонтальной плоскости по углу ϕ курса с помощью отклонения руля направления на угол δ .

Процесс стабилизации самолета в горизонтальной плоскости описывается LTI-моделью, представленной в tf-форме с помощью передаточной функ-

	ции от входного сигнала δ			– угла отклонения руля направления – к выход-
	ному сигналу ϕ – углу курса, которая имеет следующий вид:
	Fδϕ (s) =		1.38(s + 2.07) (s 2 + 0.05s + 0.066)				.
			2		(s + 2.09) (s − 0.004)
		s s		+ 0.380s +1.813

12

Содержание работы:

1.Сформировать LTI-объект, соответствующий данной модели.

2.Построить диаграмму Боде для этого объекта и найти частоту, на которой ее амплитудная часть достигает локального максимума.

3.Замкнуть автоматом стабилизации с передаточной функцией:

Fa (s) = 10 . s + 1

4. Построить LTI-объект, соответствующий замкнутой системе. Преобразовать его к ss-форме.

Вариант 4. Объект управления – катер, управляемый с помощью вертикальных рулей направления и специальных щитков – интерцепторов, выдвигающихся из днища судна и создающих управляющий момент по крену.

Рассматривается процесс стабилизации катера в боковом движении по рысканию и крену на постоянной скорости хода v = 20 м/с с помощью отклонения рулей направления на угол δv и с помощью разностного выдвига δ x внешних секций кормовых интерцепторов.

Процесс стабилизации описывается с помощью системы линейных дифференциальных уравнений:

βɺ = −0.366β + 0.767ω y + 0.143θ − 0.081δv + 0.0029Fz ,

ωɺ y = −1.77β − 0.678ω y − 0.0888θ + 0.404δv + 0.0011M y ,

ϕɺ = ω y ,

ωɺ x = 1.72β + 1.23ω y − 0.8ωx − 0.819θ − 0.773δv − 1.11δ x + 0.0102M x ,

θɺ = ωx ,

где β – угол дрейфа; ω y – угловая скорость по рысканию; ωx – угловая ско-

рость по крену; ϕ – угол рыскания; θ – угол крена; Fz , M y и M x – внешние возмущения.

Содержание работы:

1. Сформировать LTI-объект, соответствующий данной модели. Входом считать вектор u с компонентами δv , δ x , Fz , M y и M x . Выходом – вектор

yс компонентами ϕ и θ .

2.Найти передаточные функции от входа δv к выходу ϕ и от входа δ x

квыходу θ . Построить диаграммы Боде для этих функций и найти частоты, на которых их амплитудные части достигают локального максимума.

13

Вариант 5. Объект управления – корабль, движение которого рассматривается в горизонтальной плоскости. Управление обеспечивается с помощью вертикального руля направления с учетом инерционности привода рулей. В качестве математической модели процесса стабилизации на заданном курсе рассматривается система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений:

	βɺ = a11β + a12ω + b1δ,
	ω = a21β + a22ω + b2δ,
	ɺ
	ϕ = ω,
	ɺ
	δɺ = u,
где β – угол дрейфа;	ω y – угловая скорость по рысканию; ϕ –		угол рыска-
ния; δ - угол отклонения руля; u –		управляющий сигнал. Значения парамет-
ров: a11 = −0.159 ,	a12 = 0.267 ,	b1 = −0.0215 , a21 = 0.103 ,	a22 = −0.188 ,
b1 = −0.0213.

Содержание работы:

1.Сформировать управление в виде u = k1β + k2ω + k3 (ϕ − z) + k4δ .

2.Аналитически (формулой) найти такое значение постоянного команд-

ного сигнала	z , который обеспечит	для замкнутой системы равенство
lim ϕ(t) = ϕ0 , где ϕ0 – заданное число.
t →∞
3. Задать	коэффициенты закона	управления k1 = 10 , k2 = 20 , k3 = 5 ,

k4 = −1 и сформировать LTI-объект, соответствующий математической модели замкнутой системы, причем его входом считать переменную z , а выходом – переменную ϕ .

4. Найти передаточную функцию полученного объекта от входа к выходу. Вариант 6. Объект управления – вертолет, движущийся в вертикальной плоскости. Управление движением осуществляется с помощью наклона

плоскости несущего винта на угол δ .

Динамические параметры движения: θ – угол тангажа, x – перемещение в горизонтальном направлении. В качестве математической модели процесса стабилизации рассматривается СЛДУ:

d 2θ

= a

dθ

+ a

dx

+ b δ,

dt 2

1 dt

2 dt

1

d 2 x

= a θ + a

dθ

+ a

dx

+ b δ,

dt 2

5 dt

3

4 dt

2

14

где a1 = −0.415 , a2 = −0.0111, b1 = 6.27 , a3 = 9.80 ,	a4 = −1.43 , a5 = −0.0198 ,
b2 = 9.80 . При этом θ измеряется в радианах, а x –	в метрах.

Задача системы стабилизации – удержать машину в заданном положении при воздействии внешних возмущений.

Содержание работы:

1.Сформировать LTI-объект, соответствующий данной модели. Входом считать переменную δ , а выходом – вектор y с компонентами θ и x .

2.Найти передаточные функции от входа к выходным переменным. Построить диаграммы Боде для этих функций.

Содержание отчета

1.Исходные данные и постановка задачи.

2.Текст скрипта на языке MATLAB.

3.Полученные LTI-модели объектов управления и замкнутой системы.

4.Результаты моделирования, графики.

5.Выводы.

Лабораторная работа 3.

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ СРЕДСТВАМИ MATLAB

Цель работы: изучить методы оценки устойчивости линейных динамических систем, освоить машинные средства оценки устойчивости, провести исследование динамических объектов на устойчивость.

Общие положения

Рассмотрим линейную стационарную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

ɺ	n
x = Ax, x R ,

где A – матрица размером n × n с постоянными коэффициентами.

Известно, что необходимым и достаточным условием устойчивости нулевого положения равновесия такой системы (или, что то же самое, всей системы в целом) является нахождение всех собственных чисел матрицы A в открытой левой полуплоскости (ЛПП).

Для того, чтобы проверить, находятся ли все собственные значений матрицы A в ЛПП, используют два глобальных пути:

1) прямой поиск собственных значений матрицы.

15

2) косвенные признаки (критерии).

Первый путь в пакете MATLAB реализуется с использованием функции eig(А), аргументом которой служит квадратная матрица или LTI-объект.

Второй путь непосредственно реализуется в пакете MATLAB только на базе частотных методов в варианте критерия Найквиста.

Существует ряд современных косвенных признаков расположения собственных значений матриц в ЛПП, которые удобно реализовывать на базе стандартных средств пакета MATLAB. Далее приводятся алгоритмы анализа устойчивости линейных систем на базе этих признаков.

I. Алгоритм проверки устойчивости на базе второго метода Ляпунова.

1. Решить уравнение Ляпунова AтP + PA = −E относительно неизвестной матрицы P. Здесь E – единичная матрица размером n × n .

2.		Вычислить ведущие миноры найденной матрицы P Dk = det {pij },
i, j =		. Если Dk > 0 , k = 1, 2, ..., n , то система является асимптотически
	1, k

устойчивой. В противном случае хотя бы одно собственное значение матрицы A находится в замкнутой правой полуплоскости.

Для решения уравнения Ляпунова можно воспользоваться функцией lyap, входящей в состав пакета MATLAB. Вызов функции для решения уравнения Ляпунова осуществляется следующим образом: P=lyap(А,E). В качестве вспомогательного результата, связанного с данным методом, приведем алгоритм вычисления несобственных интегралов вида:

∞	∞	т(t, x0 ) Rx(t, x0 ) dt ,
J x = ∫ x	тRx dt = ∫ x
0	0
где R ³ 0 – знакоположительная симметричная матрица. Будем считать, что ин-

теграл задан при начальных условиях x(0) = x0 . Для его вычисления требуется: 1. Решить уравнение Ляпунова

AтP + PA = −R

относительно неизвестной матрицы P.

2. Вычислить искомый интеграл по формуле J x = x0тP x0 .

II. Алгоритм проверки устойчивости на базе метода В. И. Зубова.

1. Построить вспомогательную матрицу B по формуле:

B = E + 2(A − E )−1 ,

где E – единичная матрица размером n × n . 16

2. Построить конечную последовательность матриц:

B, B2 , ..., B K ,

где K –					достаточно большое число.
3.						Построить числовую последовательность {μ j } ( j =				), где
									1, K
μ j =				B j				= Sp B j . Если очевидно равенство lim {μ j }= 0 , то сделать вывод
								j →∞

об устойчивости системы.

Примечание. Операция Sp означает взятие следа матрицы – суммы элементов матрицы по главной диагонали. В литературе также встречается запись следа матрицы в виде операции Tr.

Основной задачей регулирования собственно неустойчивых объектов управления является как раз обеспечение устойчивости. В том случае, когда известен вид регулятора (регулятор состояния, передаточная функция известной структуры), устойчивость будет зависеть от некоторых коэффициентов обратной связи, характеризующих регулятор. Тогда возникает задача определения множества тех значений коэффициентов, при которых система будет устойчива. Эту область значений можно представить в виде графика, который показывает, как от коэффициентов будут зависеть собственные частоты замкнутой системы либо косвенные показатели устойчивости – ведущие миноры матрицы Ляпунова или следы матрицы Зубова.

Задания на лабораторную работу

Вариант 1. Исходная математическая модель – см. лаб. раб. 2, вариант 1.

Содержание работы:

1. Сформировать ss-объект, соответствующий LTI-модели самолета со

входом u = (δe			δn	F )т	и выходом y .
2. Замкнуть этот объект регулятором
	δ		− 1.947		− 3.59	− 1.421	− 1.672	− 7.29	− 0.859
		e	=							y .
				1.263	6.42	k3	1.424	6.08	0.487
	δn

3. При значении k3 = 0.799 проверить устойчивость с использованием второго метода Ляпунова.

4. Найти область устойчивости по параметру k3 .

17

Вариант 2. Исходная математическая модель – см. лаб. раб. 2, вариант 2.

Содержание работы:

1.Сформировать LTI-объект, соответствующий данной модели.

2.Замкнуть автоматом стабилизации с передаточной функцией

Fa (s) =	k
		.
	s + 10

3.Построить LTI-объект, соответствующий замкнутой системе. Преобразовать его к ss-форме.

4.При значении параметра k = 5 проанализировать устойчивость замкнутой системы прямым поиском собственных значений.

5.Построить область устойчивости по параметру k .

Вариант 3. Исходная математическая модель – см. лаб. раб. 2, вариант 3.

Содержание работы:

1.Сформировать LTI-объект, соответствующий данной модели.

2.Замкнуть автоматом стабилизации с передаточной функцией

Fa (s) =	k
		.
	s + 1

3.Построить LTI-объект, соответствующий замкнутой системе. Преобразовать его к ss-форме.

4.При k = 10 проанализировать устойчивость методом В. И. Зубова.

5.Найти область устойчивости по параметру k .

Вариант 4. Исходная математическая модель – см. лаб. раб. 2, вариант 4.

Содержание работы:

1.Сформировать LTI-объект, соответствующий данной модели. Входом считать отклонение рулей направления δv , выходом – вектор y = x .

2.С помощью критерия Найквиста проверить устойчивость данного объекта, замкнутого регулятором:

δv = 0.5963β + 2.5863ω y − 0.0187ϕ + 1.3617ωx − 0.9404θ .

3.Годограф Найквиста строить в диапазоне частот ω[0.1, 1000].

4.Построить область устойчивости по коэффициенту при ϕ в законе

управления.

Вариант 5. Исходная математическая модель – см. лаб. раб. 2, вариант 5.

Содержание работы:

1. Сформировать LTI-объект управления.

18

2. Сформировать регулятор в виде u = k1β + k2ω + k3ϕ + k4δ ,

где k1 = 10 , k2 = 20 , k3 = 5 , k4 = −1.

3. Провести анализ зависимости степени устойчивости замкнутой системы от величины коэффициента k2 . Сделать то же самое для запаса устойчивости по амплитуде и по фазе.

Вариант 6. Исходная математическая модель – см. лаб. раб. 2, вариант 6.

Содержание работы:

1. Сформировать LTI-объект, соответствующий данной модели. Входом считать переменную δ , а выходом – вектор y с компонентами θ и x .

2.Замкнуть систему регулятором δ = k1θɺ + k2θ + k3x .

3.С помощью любого метода анализа устойчивости подобрать коэффициенты k1, k2 , k3 так, чтобы замкнутая система была устойчивой.

Содержание отчета

1.Исходные данные и постановка задачи.

2.Тексты скриптов на языке MATLAB.

3.Полученные LTI-модели объектов управления и замкнутой системы.

4.Результаты анализа устойчивости, графики.

5.Выводы.

Лабораторная работа 4.

РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ В СРЕДЕ MATLAB

Цель работы: изучить основные принципы формирования алгоритмов управления, освоить средства моделирования систем управления в среде

MATLAB.

Общие положения

Рассмотрим объект управления, представленный в виде LTI-системы с математической моделью в пространстве состояний:

xɺ = Ax + Bu + Hd,

(4.1)

y = Cx,

где x Rn – вектор состояния; u Rm – вектор управления; d Rl – вектор внешних воздействий; y Rk – вектор контролируемых координат; A, B, C – матрицы с постоянными коэффициентами соответствующей размерности.

19

Наряду с уравнениями объекта введем в рассмотрение уравнение линейной обратной связи (регулятора) в виде LTI-системы с математической моделью в частотной области u = W (s)y , где W (s) – передаточная матрица регулятора.

На движениях замкнутой системы зададим некоторый функционал J = J (W ) , значения которого при прочих равных условиях однозначно определяются выбором матрицы W (s) .

Тогда задача оптимального синтеза состоит в том, чтобы найти такую матрицу W (s) , чтобы этот функционал достигал своего наименьшего значения по отношению ко всем другим передаточным матрицам регуляторов, обеспечивающих асимптотическую устойчивость замкнутой системы. В формализованном виде это может быть записано следующим образом:

J = J (W ) → min , W Ω

где Ω – множество передаточных матриц W (s) таких, что корни характеристического полинома (s) замкнутой системы расположены в открытой левой комплексной полуплоскости.

Зададим для замкнутой системы начальные условия и внешние воздействия, определив тем самым конкретный процесс управления. Введем в рас-

смотрение вектор h R p настраиваемых параметров регулятора, а также функ-

цию x(t, h) = y(t, h) = y т(t, h)Ry(t, h) , характеризующую процесс управления. В простейшем варианте вместо указанной функции может быть принята любая компонента вектора y(t ).

Для того чтобы качество рассматриваемого процесса соответствовало желаниям проектировщика, зададим две функции времени x1(t ) и x2 (t ), такие, что x2 (t ) < x1(t ) t [0, T ]. Поставим перед собой цель так выбрать век-

тор настраиваемых параметров h R p , чтобы выполнились неравенства: x2 (t ) ≤ x(t, h) ≤ x1(t ), t [0, T ].

Иными словами, настройка параметров должна обеспечить нахождение кривой x(t, h) в пределах заданного динамического «коридора» (рис. 4.1).

Существует эффективный способ достижения поставленной цели путем постановки и решения следующей задачи конечномерной оптимизации:

α(h) → min , h R p

20