LS-Sb87070

Уравнения граней A1A2 A4 , A1A3A4 ,	A2 A3A4 найдите самостоятельно.
Ответ: A1A2 A3 : 2x y 7z 13 0;	A1A2 A4 : x 5 y 2z 1 0;
A1A3A4 : 5x 3y z 6 0;	A2 A3A4 : 8x 7 y 6z 19 0 .

Задача 1.11. Найти расстояние от точки							M0( 2, 4, 3) до плоскости
2x y 2z 3 0.
Решение. Используем формулу (1.5):
d			Ax0 By0 Cz0 D			| 2 ( 2) 1 ( 4) 2 3 3 |		3.
			A2 B2 C2				4 1 4

Ответ: d 3.

Задача 1.12. Найти расстояние между параллельными плоскостями

P1 : x 2 y 2z 6 0; P2 : x 2 y 2z 12 0 .

Решение.

Первый способ. Выберем произвольно точку M0 на плоскости P2 . Пусть,

например, x0 y0 0. Тогда

z0 6.

Следовательно,

M0(0, 0, 6). Найдем

расстояние d отточки M

0

доплоскости P , поформуле(1.5):

1

d

A1x0 B1y0 C1z0 D1

12 6

2.

1 4 4

2

2

2

A1

B1 C1

Второй способ. Очевидно, что плоскости P

1

и P2 лежат по одну сторону относительно нача-

P2

ла координат O(0, 0, 0).

Обозначим через p1					расстояние						от начала
координат до плоскости P					, через		p		2	– до плоско-
				1
сти P2 (рис. 1.12).
p1			| D1 |				6	2			,
		2	2		2		3
		A1	B1	C1

p2			| D2 |			12	4.
		2	2	2		3
		A2	B2	C2

Расстояние между плоскостями равно d p2 p1. Отсюда находим

d 4 2 2.

Ответ: d 2.

p	p2	P
1		1

O

Рис. 1.12

P2

p2

O

p1

P

1

Рис. 1.13

11

Замечание. Если бы плоскости находились по разные стороны от начала координат (рис. 1.13), то расстояние между ними было бы равно d p1 p2.

Задача 1.13. Составить уравнение плоскости, проходящей через задан-

ную прямую	2x y 2z 3		0,	и точку	M0(1, 1, 1), не лежащую на этой
		x 2y z 1 0

прямой.

Решение. Уравнение произвольной плоскости P , проходящей через заданную прямую, имеет вид (см. формулу (1.6))

(2x y 2z 3) (x 2 y z 1) 0.

Отсюда

P : x(2 ) y( 2 ) z(2 ) ( 3 ) 0.

Подставляя в это уравнение координаты точки M0 , получим

2 2 2 3 0 2 3 0, 3 2.

Положим, например, 2.

Тогда 3. Остается подставить эти коэффици-

енты в уравнение плоскости. Получим P : 8x y 4z 11 0.

Ответ: 8x y 4z 11 0.

Задача 1.14. Написать уравнение биссектрисы

P острого двугранного

угла между плоскостями 2x 3y 4z 3 0

и 4x 3y 2z 3 0.

Решение. Нормальные векторы первой и второй плоскостей соответственно

равны N (2, 3, 4)

и N

(4, 3, 2). Ониобразуютострыйугол , таккак

1

2

N1 N2

2 4 3 ( 3) 4 ( 2)

25

cos

N1

N

29 0.

2

4 9 16

16 9 4

(Нормальные векторы N1

Очевидно, что

N1

N2

29.

и N2

всегда можно

взять равными по длине, например, единичными.) Так как

N1

N2

, то парал-

лелограмм, построенный на векторах N1 и N2 как на сторонах, является ром-

бом,

а диагональ N N1 N

2

биссектрисой его угла. Следовательно, вектор

N (6,

6, 6) может быть выбран в качестве нормального вектора искомой

биссектрисы P. Далее следуем рассуждениям задачи 1.13. Уравнение биссектрисы P ищем в виде

(2x 3y 4z 3) (4x 3y 2z 3) 0.

Отсюда

P : (2 )x (3 ) y (4 )z 3 3 0.

12

Учитывая, что 2 4 6, 3 3 6, 4 2 6, получаем систему уравнений

2 3,

2, 1, 1.

2 3

Подставляя эти значения в уравнение биссектрисы P , имеем

6x 6 y 6z 6 0.

Окончательно: x y z 1 0.

Чертеж к этой задаче предлагаем сделать самостоятельно.

Ответ: x y z 1 0.

2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

2.1. Основные сведения из теории

Прямая L в пространстве может быть задана уравнением одного из следующих видов.

1. Общие уравнения прямой:

A1x B1y C1z D1 0,
L : A x B y C		2	z D	0,	(2.1)
2	2		2

где коэффициенты A1, B1, C1 не пропорциональны коэффициентам A2, B2, C2 . Это равносильно заданию прямой как линии пересечения двух плоскостей.

2. Параметрические уравнения прямой:
x x0		lt,
		mt,	(2.2)
y y0
z z	0	nt.

Здесь (x0, y0, z0 ) – координаты какой-либо точки M0, принадлежащей

прямой L; (l, m, n) – координаты				вектора s , параллельного прямой. Век-
тор s	называется направляющим вектором прямой. Переменная t								– пара-
метр, t .
3.	Канонические уравнения прямой:
		x x0			y y0		z z0	.	(2.3)
		l			m
							n

13

4.Уравненияпрямой, проходящейчерездвезаданныеточки M1(x1, y1, z1)

иM2 (x2, y2, z2 ) :

x x1			y y1				z z1			.	(2.4)
x	x		y	2	y		z	2	z
2	1				1				1

Кроме того, при решении задач будут использоваться следующие формулы, доказательство которых можно найти в теоретическом курсе.

5. Угол между двумя прямыми

L :

x x1

y y1

z z1

; L :

x x2

y y2

z z2

1

l1

m1

n1

2

l2

m2

n2

равен углу между направляющими векторами s1(l1, m1, n1) и s2 (l2, m2, n2 ) :

s1

l1l2 m1m2 n1n2

cos

s2

;

cos

.

(2.5)

s1

s2

l12 m12 n12

l22 m22

n22

Прямые L

и L

параллельны тогда и только тогда, когда векторы s

и

1

2

1

s2

коллинеарны ( s1 || s2 ):

l1 l2 m1 m2 n1 n2 .

Прямые L

и L

перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы s

и

1

2

1

s2

ортогональны ( s1

s2 ):

l1l2 m1m2 n1n2 0.

2.2. Решение типовых задач Задача 2.1. Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия

пересечения двух плоскостей: x y z 2 0,

x y 3z 6 0.

Решение. Прямая задана общими уравнениями (2.1). Найдем какую-нибудь точку M0 на прямой. Выберем, например, z0 0 . Другие координаты получим

x y 2,	Очевидно, что x0 2,		y0 4 . Следова-
из системы уравнений
x y 6.
тельно, M0 ( 2, 4, 0) . Затем находим направляющий вектор s прямой. Так как
прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то вектор s ортогонален
нормальным векторам этих плоскостей, т. е.		s N1(1, 1, 1),	s N2(1, 1, 3)
(рис. 2.1). Поэтомузанаправляющийвектор s		можнопринять

14

s N1 N2										i			j				k			2i							P2	P
										1		1 1											4 j 2k .					1
										1		1				3												s
Подставляя координаты направляющего вектора s и точки M0
в уравнения прямой (2.3), получим																											N2
	x 2			y 4								z						x 2					y 4 z					N1
																										.
	2			4							2										1		2		1			Рис. 2.1
Ответ:		x 2				y 4								z	.
1							2					1

Полезная формула. Если прямая задана как линия пересечения двух плоскостей:

A1x B1y C1z D1 0,
A x B y C				2	z D		0,
2	2				2
то ее направляющий вектор s	можно выбрать в виде
		i	j		k
	s	A1	B1		C1	.	(2.6)
		A2	B2		C2

Задача 2.2. Найти параметрические и канонические уравнения прямой,

проходящей через точку M0 ( 4,

2,

2) и параллельной вектору s(3, 1, 1) .

Решение. Известны точка M0 и направляющий вектор s прямой.

Согласно формуле (2.2) параметрические уравнения прямой имеют вид

x 4 3t,

y 2 t,

z 2 t.

Канонические уравнения получаем, используя формулу (2.3):

x 4

y 2

z 2

.

3

1

1

x 4 3t,

x

4

y 2

z 2

Ответ: y 2 t,

.

3

z 2 t.

1

1

15

	z		Задача2.3. Найтинаправляющий векторпрямой
								L : x 2,
	s								y 4.
	y		Решение.			Прямая			L проходит через точку
	O	M0	(2, 4) на плоскости						xOy и параллельна оси Oz
	M0
	x	(рис. 2.2). Очевидно, что ее направляющий вектор
	Рис. 2.2
		можно выбрать в виде s (0, 0, 1).
	Ответ: s (0, 0, 1).
	Задача 2.4. Найти косинусы углов, которые образует с осями координат
	прямая
		L	:	x 3	2 y 5			z 1	.
			3			2	2
	Решение. Обозначим через cos , cos ,						cos		косинусы углов прямой L с

осями Ox , Oy и Oz соответственно. Они, очевидно, равны направляющим ко-

синусам вектора s прямой. Из уравнений прямой находим

s(3, 2,

2) .

Следовательно,

cos 3

9 4 4 3

17 ; cos 2

9 4 4 2 17 ;

cos 2

9 4 4 2

17 .

(Напомним, что cos2 cos2 cos2 1.)

Ответ: cos 3

17 ; cos 2

17 ; cos 2 17 .

Задача 2.5. Найти косинус острого угла между прямыми

L :

x 4

2 y 1

z 3

;

L : 4x 1

y 2

z 5

.

1

2

3

2

2

16

3

4

Решение. Из уравнений прямых вытекает, что направляющий вектор

прямой L1 равен

2, 3 2, 2 ,

направляющий вектор

прямой

L2 равен

s2 (4, 3, 4) . Для удобства вычислений направляющий вектор прямой L1 вы-

берем в виде s1(4, 3, 4) . Он коллинеарен исходному. Используя форму-

лу (2.5), получаем cos

s1

s2

4 4 ( 3) 3 ( 4) 4

9

.

16 9 16

16 9 16

s1

s2

41

Ответ: cos 941.

16

x 2t,

Задача 2.6. Показать, что прямая y 3t, перпендикулярна прямой

z t

y z 8 0,x z 4 0.

Решение. Направляющий вектор первой прямой, очевидно, равен s1(2, 3, 1) , направляющий вектор второй прямой s2 найдем с помощью фор-

мулы (2.6):			j
s2		i		k		i	j k .
		0	1	1
		1	0	1

Вычислим скалярное произведение векторов s1 и s2 :

s1 s2 l1l2 m1m2 n1n2 2 ( 1) 3 1 1 ( 1) 0.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Задача 2.7. Проверить, лежат ли три данные точки M1( 3, 5, 4) ,

M 2 (2, 4, 6) и M3(8, 3, 4) на одной прямой.

Решение. Напишем уравнения прямой, проходящей через две заданные точки M1( 3, 5, 4) и M 2 (2, 4, 6) , согласно формуле (2.4). Получим

x 3

y 5

z 4

x 3

y 5

z 4

.

2 3

4 5

6 4

5

1

2

Проверим, удовлетворяют ли координаты точки M3(8, 3, 4) этим уравнени-

ям. После подстановки x3 8, y3 3

получаем: (8 3) 5 (3 5)

( 1). Следо-

вательно, точка M3 не лежит на прямой.

z

Ответ: не лежат.

Задача 2.8. Найти канонические уравнения прямых

L3

L1, L2, L3 , проходящих через точку M0 (2, 0, 3) парал-

s3

O

y

лельно: 1) оси Ox ; 2) оси Oy ; 3) оси Oz .

Решение. Найдемуравненияпрямой L3 , проходящей

M0

через точку M0 параллельно оси Oz

. Ее направляющий

x

вектор s3 можновыбратьввиде s3(0,

0, 1) (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Используя формулу (2.3), получим

L :

x 2

y

z 3

.

3

0

0

1

17

Таким же образом находим L1 и L2 .

														L :						x 2										y								z 3								,					s (1, 0, 0) ;
														1						1							0													0										1
												L :					x 2											y									z 3								,					s		2		(0, 1,						0) .
														2						0							1													0
Ответ:		L			:		x 2								y						z 3							;						L :							x 2												y					z 3			;		L :		x 2					y			z 3		.
		1						1						0						0														2						0												1					0					3				0		0					1
Задача 2.9. Найти точки пересечения прямой																																																												L :			x 3				y 2					z 5		с
																																																															1
																																																																		2							5
плоскостями координат.
Решение. Для того чтобы найти точку пересечения прямой L с плоско-
стью xOy , в канонических уравнениях прямой L следует положить																																																																z 0 .
Получим	x 3					y 2								1, откуда																						x 4,												y 4 . Таким образом, прямая L
	1
								2
пересекает плоскость xOy в точке (4, 4,																																															0) . Аналогично находим точки пе-
ресечения с плоскостями xOz и yOz .
Ответ: (4, 4, 0) ; (2, 0, 10) ; (0, 4, 20) .
																				Задача 2.10. Известны координаты вершин тетра-
A4														эдра: A (3, 2, 3);																																	A (0, 1, 2);														A (5, 5, 4);							A (4, 3, 5) .
																				1																												2														3						4
														Составить канонические уравнения его ребер и найти
									A					их длины.
									3											Решение. Условие такое же, как и в задаче 1.10
A1
					A2									(рис. 2.4). Найдем уравнения ребра																																																				A1A2 . Для этого
Рис. 2.4														подставим координаты вершин A																																																	и A			в формулу (2.4).
																													x 3															y 2											z 3					1		2
														Получим																																													. Теперь можно опреде-
																																		3
																																															1										1
лить длину ребра A1A2 :
A A						(x			2	x )2										( y						2	y )2 (z																					2		z )2 9 1 1 11 .
1		2												1																				1																				1
Уравнения и длины остальных ребер найдите самостоятельно.
Ответ: 1)					A A					:		x 3											y 2													z 3								,								A A								11 ;
					1			2						3						1														1																				1			2
		2) A A							:		x 3											y 2													z 3								,										A A 14 ;
					1			3						2						3														1																				1			3

18

3)	A A :					x 3											y 2											z 3			,			A A 6 ;
	1	4		1																1									2					1		4
4)	A A :						x					y 1											z 2						,					A A 3 5 ;
				5
	2	3												4						2														2		3
5)	A A :						x					y 1											z 2							,				A A 29 ;
				4
	2	4												2						3														2		4
6)	A A :					x 5												y 5										z 4				,		A A 6 .
	3	4							1											2									1					3		4
Задача 2.11. Найти точку пересечения двух прямых
	L	:	x 2												y						z 1					;				L :			x 3		y 1			z 7		.
	1			2											3					4									2				3			4			2

Решение. Перепишем уравнения прямых в параметрическом виде

	x 2 2t1,			x 3 3t2,
L1			L2
	: y 3t1,			: y 1 4t2,
	z 1 4t ;			z 7 2t	2	.
		1

Для нахождения точки пересечения этих прямых нужно решить систему уравнений:

2 2t 3 3t			,		3t		2t 5,
	1	2				2	1
3t1	1 4t2,				4t2 3t1 1,
						2t1 3.
1 4t1 7 2t2					t2

Очевидно, она имеет единственное решение t1 1, t2 1. Подставляя значение параметра t1 в параметрические уравнения прямой L1 (или t2 в урав-

нения прямой L2 ),		получим x0 2 2 0, y0 3, z0																							1 4 5.
	Ответ: M0 (0, 3, 5) .
	Задача 2.12. Найти биссектрису L острого угла между прямыми
	L :	x 2									y				z 1	;	L :	x 3		y 1							z 7		.
	1	2									3				4		2	3			4				2
	Решение. Точка пересечения этих прямых M0 (0, 3, 5) найдена в ходе ре-
шения задачи 2.11. Убедимся теперь, что направляющие векторы s1(2, 3, 4) и
s	(3, 4, 2) прямых	L и L									образуютострыйугол. Действительно,
2		1					2								2 3 ( 3) 4 4 2											2
	cos				s1					s2																		0.
															4 9 16			4 9 16							29
					s1					s2

19

Очевидно, что

s1

s2

29 . (Направляющие векторы

s1 и s2 всегда мож-

но взять равными по длине, например единичными.)

Так как

s1

s2

, то

параллелограмм, построенный на векторах s1 и s2 как на сторонах, является ромбом, а диагональ s s1 s2 биссектрисой его угла. Следовательно, вектор s(5, 1, 6) может быть выбран в качестве направляющего вектора биссектрисы L .

Таким образом, известно, что искомая прямая проходит через точку

M0(0, 3, 5)	и ее направляющий вектор равен s(5, 1, 6) . Запишем канониче-
ские уравнения L согласно формуле (2.3):
							x		y 3		z 5	.
				5
								1		6
Чертеж к этой задаче предлагаем сделать самостоятельно.
Ответ:	x		y 3		z 5	.
	5
		1		6

3. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3.1. Основные сведения из теории

Пусть прямая задана каноническими уравнениями

L :

x x0

y y0

z z0

,

l

m

n

а плоскость – общим уравнением

P : Ax By Cz D 0.

1. Угол между прямой и плоскостью равен углу между направляющим

вектором s(l, m, n) прямой и нормальным вектором N ( A, B, C)

плоскости и

вычисляется по формуле

sin

Al Bm Cn

.

(3.1)

2

2

C

2

l

2

m

2

n

2

A B

2. Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид

Al Bm Cn 0 .

(N s).

Оно равносильно условию ортогональности векторов N и s

20