LS-Sb90434

Очевидно, что при рациональных оценках специалистов они должны оценить rik именно таким образом. Более того, если исходить из предположения о рациональности получаемых от специалистов оценок, можно ограничиться получением от них информации для заполнения только одной, например первой, строки табл. 5.1. Значения rjk в остальных строках можно получить на основе соотношения rjk = r1k r1j, взятых из первой строки, что значительно упростит процедуру получения информации от специалистов.

5.2.Порядок проведения занятия

1.В соответствии с содержанием предложенной задачи осуществить ее структуризацию, сформулировав варианты УР, показатели для их оценки.

2.Определите метод получения информации о значениях показателей.

3.Для выполнения задания использовать имеющееся в лаборатории программное обеспечение.

4.Оформить результаты и выводы в виде краткого резюме.

Занятие 6. КОЛЛЕКТИВНЫЙ ВЫБОР УР

Цель занятия: изучение правил группового выбора УР.

6.1. Общие сведения

Групповой выбор в процессе принятия УР осуществляется достаточно часто и в самых разнообразных случаях. Цель группового выбора состоит в нахождении варианта, в наибольшей степени соответствующего индивидуальному выбору каждого участника группы. Назовем участников группового

выбора группой, принимающей решение (ГПР). Пусть R = (r1, …, rj, …, rm) –

совокупность мнений членов ГПР, в которой rj – отношение j-го члена этой группы, его индивидуальный выбор. В общем виде rj можно представить в

виде упорядочения rj = (a1j, …, aij, …, anj), в котором aij – место i-й альтернативы в упорядочении j-го члена ГПР. В таких терминах групповой выбор (групповое упорядочение, групповое отношение) есть некоторое упорядоче-

ние rΣ, согласованное со всем набором R. Правило (или принцип) построения группового отношения rΣ на основе совокупности индивидуальных отноше-

ний R называют правилом или принципом согласования отношений. Фор-

21

мально этот принцип является некоторой функцией F(R), аргументами и значениями которой служат отношения. Различные отображения F(R) задают различные принципы согласования. Например, можно принять, что групповое

отношение rΣ должно совпадать с отношением rр R, являющимся мнением руководителя. В этом случае будет реализован принцип согласования, называемый «начальник всегда прав». Можно предложить достаточно много и других принципов согласования, однако речь прежде всего должна идти о таких принципах, которые признаются рациональными хотя бы на интуитивном уровне. К таким в первую очередь относятся различные модификации правила большинства.

Еще в 1793 г. маркиз де Кондорсе предложил принцип, получивший его имя: лучшим в групповом выборе считается вариант, признанный лучшим при попарном сравнении его с каждым из остальных. Однако сам же де Кондорсе выявил возникающий при использовании этого правила парадокс, также получивший его имя. Суть его в том, что при упорядочении альтернатив в соответствии с принципом де Кондорсе возможно нарушение свойства транзитивности для итогового упорядочения. Это служит существенным признаком нерациональности представления ГПР о порядке на множестве альтернатив.

В 1951 г. американский ученый К. Эрроу, впоследствии Нобелевский лауреат по экономике, попытался определить, каким требованиям должно отвечать правило группового выбора, обладающее свойствами равноправия, конструктивности и транзитивности. Первое означает равноправие членов ГПР (один человек – один голос), второе – возможность осуществить выбор, получить результат, третье является показателем рациональности. Результатом исследований стал набор из 5 аксиом К. Эрроу, определяющих требования к правилам группового выбора. Как и положено аксиомам, они достаточно просты и естественны.

Первое требование – универсальность – отражает необходимость осуществлять выбор в случаях, когда члены ГПР выражают свое отношение в любых терминах, т. е. в виде отношений эквивалентности, строгого и нестрогого порядков.

Второе – полноты – состоит в том, что в групповом выборе должны учитываться все парные отношения.

22

Третье – независимость от несвязанных альтернатив. Оно состоит в том, что отношение между парой альтернатив as и at не зависит ни от какой дру-

гой альтернативы ag.

Четвертое – единогласие – состоит в следующем: если все члены ГПР считают, что as ~ at, то это отношение должно присутствовать и в групповом выборе.

Пятое – отсутствие «диктатора».

К. Эрроу доказал теорему, получившую название «теорема о невозможности», утверждающую, что не существует правила группового выбора, одновременно отвечающего всем перечисленным требованиям. Этот «парадокс Эрроу» состоит в том, что осуществленный в соответствии с таким правилом групповой выбор будет совпадать с каким-нибудь индивидуальным выбором, выбором «диктатора».

6.2.Порядок проведения занятия

1.Для предложенной преподавателем ситуации принятия УР конкретизировать условия группового принятия УР, отвечающие аксиомам К. Эрроу.

2.Организовать процесс принятия УР при различных правилах коллективного выбора.

3.Выявить возможности манипулирования при принятии УР.

4.Проведите анализ выполнения условий «теоремы о невозможности» при известных вам случаях принятия коллективных решений (выборы различных должностных или общественных лиц, определение очередности крупных затрат из семейного бюджета, и т. п.).

5.Оформить результаты и сформулировать выводы в кратком резюме.

Занятие 7. ПРИНЯТИЕ УР В УСЛОВИЯХ РИСКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Цель занятия: изучение и освоение правил и методов принятия УР в условиях риска и неопределенности.

7.1. Общие сведения

Принятие УР в условиях риска и неопределенности предусматривает учет возможных воздействий случайных факторов при анализе последствий принимаемого УР. Учет действия случайных факторов на результаты принимаемых УР может быть осуществлен различными методами. Будем считать,

23

что совокупность случайных факторов проявляется в возможности реализации одной из нескольких возможных случайных ситуаций.

Условия, когда лицу, принимающему решение, известны достоверные значения вероятностей pj возникновения случайных ситуаций Sj, в теории принятия решений называют условиями риска.

Условия, когда лицу, принимающему решение, достоверные значения вероятностей pj возникновения случайных ситуаций Sj, неизвестны, в теории принятия решений называют условиями неопределенности.

Представим условия принятия УР в условиях риска в виде таблицы решений (табл. 7.1). Результаты реализации i-го варианта УР в случае j-й ситуа-

ции, возникающей с вероятностью pj, оцениваются его полезностью Uij.

Для выбора оптимального варианта УР в условиях риска основным критерием (правилом, методом) является критерий Байеса, в соответствии с которым выбирается вариант УР с максимальным значением математического ожидания по-

лезности M [Ui] = pjUij. Если исход УР оценивается в терминах потерь Lij, опти-

мальным является вариант с минимальным значением M [Li ] = pj Lij.

Таблица 7.1

				Ситуация
Вариант	S	1	…		S	j		…	S	m
	p1		…		pj			…	pm
1	U11				U1j				U1m
…
i					Uij
…
n	Un1				Unj				Unm

Рассмотрим пример. В табл. 7.2 приведены значения показателей четырех вариантов УР в четырех различных случайных ситуациях. Требуется определить лучший вариант в условиях риска, если показатели имеют смысл

доходов (Uij) или потерь (Lij).

Применив к вариантам табл. 7.2 отношение Парето, определим, что в случае доходов неэффективным является вариант 4, а в случае потерь – вариант 1. Для эффективных вариантов вычислим математическое ожидание по-

лезности M [Ui] = pjUij или потерь M [Li] = pj Lij соответственно.

По результатам расчетов, приведенных в правых столбцах табл. 7.2, видно, что в случае доходов оптимален вариант 3, в случае потерь – 4.

24

						Таблица 7.2
		Ситуации
Вариант	1	2	3	4	pjUij.		pjLij.
	P1= 0.3	P2=0.2	P3=0.1	P4=0.4
1	70	50	60	80	69		-
2	40	60	100	90	70		70
3	60	70	80	110	84		84
4	70	50	50	80	-		68

Критерий Бернулли–Лапласа, или критерий недостаточного обоснова-

ния, являющийся частным случаем критерия Байеса, исходит из предположения о равной вероятности ситуаций Sj. В соответствии с этим критерием оп-

тимален вариант ai, для которого среднее значение полезности Uij/m (для потерь – среднее значение Lij/m) имеет лучшее значение на множестве рассматриваемых вариантов. Для вариантов табл. 7.2 в случае полезности лучшим оказывается вариант 3, а в случае потерь – вариант 4.

Существенная черта критериев Байеса и Бернулли–Лапласа – их ориентация на поиск варианта, являющегося оптимальным в статистическом смысле, т. е. в среднем, на некоторой выборке решений.

В условиях неопределенности для принятия решения ЛПР может использовать разные философии, определяемые как характером проблемы, так и психологией лица, принимающего решение.

Критерий гарантированного результата, или критерий А. Вальда, ори-

ентирован на выбор лучшего варианта в наиболее трудной ситуации. Это выбор осторожного человека, хорошо иллюстрируемый высказыванием «лучше синица в руках, чем журавль в небе». Наиболее оправдан в условиях конкуренции, наличия активного противодействия, когда возможность возникновения той или иной ситуации определяется не только или не столько природой, сколько действиями людей. В соответствии с ним оптимальным признается вариант, исход которого является наилучшим из наихудших возможных, т. е. имеет значение максимина для максимизируемого критерия (полезности, дохода) или минимакса для минимизируемого (потерь, убытков).

Рассмотрим пример. В табл. 7.3 приведены значения показателей четырех вариантов УР в четырех различных случайных ситуациях. Требуется определить лучший вариант в условиях риска, если показатели имеют смысл

доходов (Uij) или потерь (Lij).

25

Применив к вариантам табл. 7.3 отношение Парето, определим, что в случае доходов неэффективным является вариант 4, а в случае потерь – вариант 1. Для эффективных вариантов найдем худшие значения полезности

(min Ui) или потерь (max Li) соответственно. Из данных в правых столбцах табл. 7.3, видно, что в случае доходов maxmin Ui достигается в варианте 3, который и является оптимальным. В случае потерь оптимален вариант 4, так как в нем достигается minmax Li.

						Таблица 7.3
Вариант		Ситуации			min Ui		max Li
	1	2	3	4
1	70	50	60	80	50		–
2	40	60	100	90	40		100
3	60	70	80	110	60		110
4	70	50	50	80	–		80

Критерий оптимизма-пессимизма, или критерий Л. Гурвица позволяет преодолеть некоторый пессимизм метода А. Вальда путем введения некоторого

коэффициента , позволяющего	использовать	оценку уровня оптимизма-
пессимизма лица, принимающего решение. При		= 1 критерий Гурвица пре-
вращается в критерий А. Вальда,	а при = 0 –	в критерий, характеризуемый

крайне оптимистическим (экстремальным) выбором «лучшего из лучших». При использовании этого критерия оптимальна альтернатива, у которой максимизи-

руемый показатель определяется выражением max [ min Uij + (1 –	) ×max Uij].
В случае потерь это выражение принимает вид min [(1 – ) min Lij +	max Lij].

Применим рассмотренный метод для выбора оптимального варианта по данным, приведенным в табл. 7.2. Как и в предыдущих примерах, исключим неэффективные альтернативы 4 или 1. Примем = 0.8. Для эффективных ва-

риантов посчитаем значения	min Uij + (1 – ) max Uij (в случае оценки по-
лезности), или (1 – ) min Lij +	max Lij в случае оценки потерь. Результаты

приведены в табл. 7.4. Оптимальной в случае полезности оказывается альтернатива 3, в случае потерь – 4.

Результат принимаемых решений часто оценивается не в терминах доходов или потерь, а учитывается сожаление ЛПР о недополученном доходе или излишних потерях. В таких случаях применяется критерий минимаксного сожаления (критерий Л. Сэвиджа). Сожаление для i-й альтернативы в j-й ситуаци рассматривается как разница между лучшим результатом среди всех альтерна-

26

тив в данной ситуации и результатом для i-й альтернативы в той же ситуации. Лучшей в смысле рассматриваемого критерия признается альтернатива с минимаксным сожалением, т. е. критерий Сэвиджа основан на той же философии, что и критерий Вальда, но использует при этом оценку сожаления.

								Таблица 7.4
			Ситуации			min Uij +	(1 –	) min Lij +
	Вариант	1	2	3	4
						+ (1 – ) max Uij	+	max Lij
	1	70	50	60	80	56		–
	2	40	60	100	90	52		88
	3	60	70	80	110	70		100
	4	70	50	50	80	–		74

Рассмотрим пример использования метода Сэвиджа для вариантов, описываемых табл. 7.3. Как и в предыдущих примерах, применив отношение Парето, определим, что в случае доходов неэффективным является вариант 4, а в случае потерь – вариант 1.

Составим таблицу сожаления rij для случая, когда исход УР оценивается в терминах полезности (табл. 7.5). Оптимальным в смысле критерия Сэвиджа является вариант 3, у которого максимальное значение функции сожаления принимает минимальное значение (minmax ri = 20).

					Таблица 7.5
Вариант	Значения функции сожаления				Максимальное значение
УР		в ситуации			функции сожаления
	1	2	3	4	max ri
1	0	20	40	30	40
2	30	10	0	20	30
3	10	0	20	0	20

Для случая, когда исход УР оценивается в терминах потерь, значения функции сожаления представлены в табл. 7.6. Оптимальными в смысле критерия Сэвиджа являются варианты 3 и 4, так как у них максимальное значение функции сожаления принимает минимальное значение на множестве рассматриваемых вариантов (minmax ri = 30).

						Таблица 7.6
	Вариант	Значения функции сожаления				Максимальное значение
			в ситуации			функции сожаления
	УР
		1	2	3	4	max ri
	2	0	10	50	10	50
	3	20	20	30	30	30
	4	30	0	0	0	30

27

Отметим еще раз, что при оценке исхода принимаемых решений и в терминах доходов, и в терминах потерь, оптимальным в смысле Сэвиджа является вариант, при выборе которого достигается минимаксное значение сожаления.

7.2.Порядок проведения занятия

1.Используя известные критерии принятия УР в условиях риска и неопределенности, найти оптимальные варианты УР для предложенных преподавателем ситуаций.

2.Оформить результаты и сформулировать выводы в виде резюме.

Занятие 8. АНАЛИЗ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ ВЫБОРА

Цель занятия: анализ свойств функции выбора в реальных ситуациях принятия УР.

8.1. Общие сведения

ЛПР осуществляет выбор на множестве вариантов на основе сформировавшейся у него системы отношений на этом множестве. Система отношений ЛПР непостоянна даже в одинаковых ситуациях, поэтому и результат выбора может быть разным, и по нему не всегда можно определить логику выбора, его причины.

Суть процесса выбора состоит в выделении из множества альтернатив A некоторой его части C(A). Отображение, сопоставляющее каждому A его подмножество C(A) A, называется функцией выбора C (от англ. choice – выбор). Функция выбора формализует взаимную зависимость выборов C(A) при взаимосвязанных ситуациях выбора и является внешним описанием процесса выбора. Функции выбора, характеризующие рациональное поведение ЛПР,

обладают некоторым набором свойств.
Условие наследования (Н) состоит в том,	что альтернативы, выбранные из
исходного множества A, будут выбраны и из	подмножества A′	A, в которое
вошли и выбранные альтернативы, т. е. если A′	A, то C(A′) C(A)	A′.

Условие строгого наследования, или константности остаточного выбора (К), как следует из названия, является несколько более строгим, а именно: из

A′ A и C(A) A′ следует C(A′) = C(A) A′.

Условие независимости от отвергнутых альтернатив (О) подразумева-

ет, что выбор из подмножества A′ A, содержащего все альтернативы, вы-

28

бранные из A, будет совпадать с выбором из исходного множества, т. е. если

C(A) A′ A, то C (A′) = C (A).

Условие согласия (С) требует, чтобы альтернативы, выбранные из каждого подмножества Ai, были бы выбраны и из объединения этих подмно-

жеств, т. е. C (Ai) C ( Ai).

Условие независимости выбора от пути (КС) выполняется в том случае, если выбор из объединения множеств совпадает с выбором из объединения

выборов, сделанных из каждого множества в отдельности, т. е. C(A1 A2) =

= C(C(A1) C(A2)).

Условие сумматорности (СМ) предполагает, что выбор из объединения множеств равен объединению выборов из каждого множества в отдельности,

т. е. C (A1 A2) = C(A1) C(A2).

Условие мультипликаторности (МП) предполагает, что выбор из пере-

сечения множеств совпадает с пересечением выборов, т. е. C(A1	A2) = C(A1)
C(A2). Наконец, условие монотонности (М) A1 A2 C(A1)	C(A2), т. е.

выбор из более широкого множества включает в себя выбор из его части, является более широким.

Следующие свойства функций выбора являются естественным обобщением рассмотренных в предыдущем разделе свойств отношений. Функцию

выбора называют: рефлексивной, если C(x)					= ; антирефлексивной,	если
C(x) = x; полной, если C(x)		для всех X		; транзитивной, если [C(X1		X2) =
= C(X1)	, C(X2 X3) = C(X2)		]	C(X1	X3) = C(X1); ацикличной, если
[C(Xk	Xk+1) = C(Xk)	, (k = 1, n 1)]		X1	Xn.

В реально используемых функциях выбора некоторые из рассмотренных свойств могут отсутствовать, в других имеются некоторые их комбинации. Чаще всего используемые функции выбора обладают свойствами наследования; наследования и согласия; наследования, согласия и независимости от отбрасываемых вариантов. Такие функции выбора называют классическими.

Функция выбора может быть наглядно представлена в виде хорошо известной турнирной таблицы (табл. 8.1).

Используя такую таблицу, легко выяснить, обладает ли описываемая ею функция выбора основными свойствами рациональности. Для этого исследуем, как влияют изменения в составе множества альтернатив на результаты

29

Таблица 8.1

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Очки

1

х

П

В

В

П

Н

В

В

В

В

20

2

В

х

Н

Н

Н

П

Н

П

В

Н

18

3

П

Н

Х

П

В

В

Н

Н

П

П

17

4

П

Н

В

х

П

В

Н

В

В

Н

17

5

В

Н

П

В

х

П

Н

В

П

П

16

6

Н

В

П

П

В

х

П

В

П

В

16

7

П

Н

Н

Н

Н

В

х

П

В

В

15

8

П

В

Н

П

П

П

В

х

Н

П

15

9

П

П

В

П

В

В

П

Н

х

В

15

10

П

Н

В

Н

В

П

П

В

П

х

14

выбора. Легко убедиться, что удаление из таблицы альтернатив, соответствующих строчкам (и столбцам) 3–5, приводит к изменению состава лучших альтернатив, занимающих первые два места. Это означает, что для данной функции выбора не выполняется условие наследования. Удаление из таблицы пяти последних альтернатив также приводит к изменению состава лучших, что свидетельствует о невыполнении условия независимости от отвергнутых альтернатив. Аналогично можно рассмотреть выполнимость и других свойств функции выбора и сделать вывод о рациональности ЛПР, работа которого описана данной таблицей.

8.2. Порядок выполнения занятия

1.На основе анализа предложенной преподавателем статистики, отражающей практику осуществления выбора некоторым ЛПР, определить, какие основные свойства функции выбора выполнены.

2.Определить, является ли поведение ЛПР рациональным; если нет, показать, в чем выражается нарушение рациональности.

3.Сформулировать результаты и обосновать выводы в кратком резюме.

30