ИЭ / 4 семестр / Теория и задачи / Криволинейные интегралы - задачи
.pdfКриволинейные интегралы
. Криволинейные интегралы 1 рода
а). Плоские кривые
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Вычислить криволинейный интеграл 1 рода вдоль заданной кривой (№ 2.1 ÷ 2.10): |
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2.1. ∫ |
( + ) , |
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- контур треугольника , где |
(0; 0), (1; 0), (0; 1). |
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2.2. ∫ |
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, |
- контур квадрата |
| | + | | = ( > 0). |
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2.3. ∫ |
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, - отрезок , |
где (0; 0), (1; 2). |
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√2+ 2+ 4 |
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2 |
2 |
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2.4. ∫ |
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, |
- четверть эллипса |
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+ |
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= 1, лежащая в первом квадранте. |
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2 |
2 |
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2.5. ∫ |
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2 |
, |
- первая арка циклоиды |
{ = ( − ) . |
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= (1 − ) |
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( |
2 |
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2) |
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= + ∙ |
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2.6. ∫ |
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+ |
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, - дуга развертки окружности: |
{ = − ∙ , 0 ≤ ≤ . |
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2.7. ∫ |
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, |
- дуга гиперболы: { = 2 , |
0 ≤ ≤ 3. |
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= 2 |
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2 |
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2 |
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2.8. ∫ |
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( |
3 |
+ |
3 |
) , |
- дуга астроиды: |
3 |
+ |
3 |
= 4. |
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- окружность: 2 |
+ 2 |
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2.9. ∫ |
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√2 + 2 |
, |
= . |
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2.10. ∫ |
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, |
- цепная линия: = . |
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2 |
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Найти длину дуги кривой (№ 2.11 ÷ 2.18): |
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2 |
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= ( ), |
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≤ ≤ |
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2.11. |
= |
√ , |
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1 ≤ ≤ 4 |
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2.12. |
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3 |
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3 |
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2 |
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2.13. |
= , |
√3 ≤ ≤ √8 |
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2.14. = , √3 |
≤ ≤ √8 |
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2.15. |
= 2 − |
1 |
, 1 ≤ ≤ 2 |
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2.16. |
= , 0 ≤ ≤ 1 |
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8 |
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2.17. |
= (−), 0 ≤ ≤ 2 |
2.18. |
= − (1 − 2), |
0 ≤ ≤ |
1 |
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2 |
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2.19. Найти площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра 2 + 2 = 2, ограниченной плоскостями = 0, = ∙ ( > 0).
2.20. Найти площадь боковой поверхности параболического цилиндра = 38 2, ограниченной плоскостями = 0, = 0, = , = 6.
б). Пространственные кривые
Вычислить криволинейный интеграл 1 рода вдоль заданной кривой (№ 2.21 ÷ 2.26):
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= |
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2.21. |
∫ |
( + ) , |
= |
3 |
t2 |
, 0 ≤ ≤ 1 |
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: { |
√2 |
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= t3 |
= |
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2.22. ∫ |
- первый виток винтовой линии: { = |
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, |
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2+ 2+ 2 |
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= |
||
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= ∙ |
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2.23. |
∫ |
, - коническая винтовая линия: { = ∙ , |
0 ≤ ≤ 4 |
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= |
|
2
|
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|
2 |
+ 2 + 2 = 2 |
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2.24. ∫ √2 2 |
+ 2 |
, - окружность: { |
. |
||||
|
= |
||||||
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Найти длину дуги кривой (№ 2.25 ÷ 2.26):
= 3
2.25. { = 3t2, 0 ≤ ≤ 3= 2t3
= − cos
2.26. { = − sin , 0 ≤ < +∞= −
|
. Криволинейные интегралы 2 рода |
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а). Плоские кривые |
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Вычислить криволинейный интеграл 2 рода вдоль плоской кривой (№ 2.27 ÷ 2.38): |
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2.27. |
∫ |
|
( 2 − 2 ) + ( 2 + 2 ) , - дуга параболы = 2 от точки (1; 1) |
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до точки (2; 4). |
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2.28. |
∫ |
|
− , - кривая, выходящая из точки (0; 0) и заканчивающаяся |
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в точке (1; 2): а) - отрезок прямой ; |
б) - парабола = 2 2; в) - ломаная |
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, где (1; 0). |
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2.29. |
∫ |
|
+ , - кривая, выходящая из точки (0; 0) и заканчивающаяся |
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в точке (1; 2): а) - отрезок прямой ; |
б) - парабола = 2 2; в) - ломаная |
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, где (1; 0). |
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2.30. |
∫ |
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2 − 2 , - кривая, выходящая из точки |
(0; 0) и заканчивающаяся |
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в точке (2; 1): а) - отрезок прямой ; |
б) – парабола = |
1 |
2; в) – парабола |
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4 |
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= 2 2; г) - ломаная , где (2; 0); |
д) - ломаная , где (0; 1). |
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2.31. |
∫ |
|
2 + 2 , - кривая, выходящая из точки |
(0; 0) и заканчивающаяся |
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в точке (2; 1): а) - прямая ; |
б) - парабола = |
|
1 |
2; в) – парабола = 2 2; |
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4 |
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||||
г) - ломаная , где (2; 0); |
д) - ломаная , где (0; 1). |
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2.32. |
∫ |
|
( 2 + 2) + ( 2 − 2) , |
- кривая |
|
= 1 − |1 − |, 0 ≤ ≤ 2. |
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2.33. |
∫ |
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(2 − |
) |
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= ( − ) |
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+ , - дуга первой арки циклоиды { = (1 − ), |
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пробегаемая в направлении возрастания параметра . |
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2.34. ∫ |
|
( + ) +( − ) |
, - окружность |
2 + 2 = 2, пробегаемая против хода |
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2+ 2 |
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часовой стрелки. |
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|||||||
2.35. ∫ |
|
2 + 2 , - верхняя половина эллипса |
2 |
+ |
|
|
2 |
= 1, пробегаемая |
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2 |
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2 |
||||||
по ходу часовой стрелки. |
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|
|
|
|
|||||||
2.36. ∫ |
( + ) + ( − ) , - эллипс |
|
2 |
|
+ |
2 |
= 1, пробегаемый против хода |
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|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
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|||||
часовой стрелки. |
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|||||
2.37. |
∫ |
|
− , |
- отрезок прямой |
= − |
|
|
от точки (2; −2) до точки |
|||||||||||||||||
(−2; 2). |
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||||
2.38. |
∫ |
|
+ , |
- отрезок прямой между точками (0; ) и ( ; 0). |
3
Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру на плоскости двумя способами: а) непосредственно и б) по формуле Грина – выбрав положительное направление обхода контура, образованного заданными линиями (№ 2.39 ÷ 2.44):
2.39. |
( 3 + 3 ) + ( − 2) , : = , = 2 |
|||
|
|
|
|
|
2.40. |
+ ( + 2) , |
: = 0, = 1 − 2 |
||
2.41. |
2 + 3 , : = 2, = 2 |
|||
|
|
|
|
|
2.42. |
2 2 + 2 , |
: = 1, = 3, = 0 |
||
|
|
|
|
|
2.43. |
3 + |
1 |
2 , |
: = − 1, = 1 − , = 0 |
|
||||
|
2 |
|
|
|
2.44. |
2 2 2 + 3 , |
: = 0, = 2, = 1 |
||
|
|
|
|
|
Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру на плоскости, образованному заданными линиями и пробегаемому в положительном направлении (№ 2.45 ÷ 2.48):
2.45. |
|
(3 2 2 |
− ) + (2 3 + 3 ) , |
: = , = 0, = |
|
|
||||||
2 |
||||||||||||
2.46. |
|
(5 + 2) + ( |
5 |
2 + ) , |
: = 1 − , = 0, = 0 |
|||||||
2 |
||||||||||||
2.47. |
|
(4 3 + ) + (2 − 3 2) , |
|
: = 0, = 0, = 1, = |
||||||||
2.48. ( 3 |
− 2 ) + (3 + 3) , |
: = 0, = 2, = 0, = 1 |
||||||||||
|
|
|
|
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|
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̆ |
||
Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги от полного дифференциала |
||||||||||||
(№ 2.49 ÷ 2.56): |
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|
2.49. |
∫ |
( 2 − ) + ( 2 − ) , |
(3; 2), (−1; 3) |
||||||||
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̆ |
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2.50. |
∫ |
( + 3 ) + (3 − 2 ) , |
(2; −1), (4; 2) |
||||||||
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̆ |
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|
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|
2.51. |
∫ |
( 2 + 2 ) + ( 2 + 2 ) , |
(3; 1), (−2; 3) |
||||||||
|
|
|
̆ |
|
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|
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|
2.52. |
∫̆ 2 + (2 − 2) , |
|
(1; −3), (−2; 3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.53. |
∫̆ (2 − 2) + ( 2 − 2 ) , |
(1; −2), (2; 3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.54. |
∫ |
( 2 + 2) + (2 − 3) , |
(3; 2), (−3; 0) |
||||||||
|
|
|
̆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
2.55. |
∫̆ (6 − 2) + (3 2 + 3 ) , |
(−3; 2), (3; 4) |
|||||||||
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|
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|
2.56. |
∫ |
( 2 − 2 ) + ( 2 − 2 ) , |
(0; 3), (−3; 6) |
||||||||
|
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̆ |
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б). Пространственные кривые
Вычислить криволинейный интеграл 2 рода вдоль пространственной кривой (№ 2.57 ÷ 2.60):
=
2.57. ∫ ( 2 − 2) + 2 − 2 , : { = 2 , 0 ≤ ≤ 1.= 3
|
= |
|
|
2.58. ∫ |
+ + , : { = , 0 ≤ ≤ 2 . |
||
|
= |
|
= |
|
|
|
|
2.59. ∫ |
( − ) + ( − ) + ( − ) , |
: |
{ = , 0 ≤ ≤ 2 . |
|
|
|
= |
4
2.60. ∫ |
( − ) + ( − ) + ( − ) , - окружность: { |
2 |
+ 2 + 2 = 1 |
|
|
= |
, |
||
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|
|
пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительных значений .
|
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̆ |
Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги от полного дифференциала |
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(№ 2.61 ÷ 2.64): |
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2.61. |
∫̆ |
+ − , |
(1; 0; −3), (6; 4; 8) |
||||||||||
|
|
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|
|
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|
|
||
2.62. |
∫ |
+ 2 − 3 , |
|
(4; 0; 2), (2; 3; −4) |
|||||||||
|
̆ |
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2.63. |
∫̆ |
+ + , |
(1; 2; 3), (6; 2; 1) |
||||||||||
|
|
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|
|
|
|
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||
2.64. |
∫ |
+ + |
, |
(1; 0; 0), (0; 3; 4) |
|||||||||
|
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|||||||||||
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|||||||||||||
|
√ |
2 |
+ |
2 |
+ |
2 |
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̆ |
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Приложения в механике
I. Криволинейные интегралы 1 рода.
|
Найти массу плоской кривой с известной линейной плотностью = | | |
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(№ 2.65 ÷ 2.66): |
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2.65. |
: |
2 |
|
+ 2 = 1 |
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|
2.66. |
: 2 = 2 , 0 ≤ ≤ |
|
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2 |
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|
2 |
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|||
|
Найти координаты центра тяжести (0, 0) однородной плоской кривой |
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(№ 2.67 ÷ 2.68): |
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2.67. : |
= , |
0 ≤ ≤ 3 |
|
|
2.68. |
: |
|
{ = ( − ) , |
0 ≤ ≤ |
||||||||||||||||||||||||||||
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= (1 − ) |
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2.69. Найти статические моменты |
и относительно координатных осей и |
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|||
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2 |
|
2 |
2 |
, ≥ 0, ≥ 0 ( > 0). |
||||||||||||||||||||||||||
однородной плоской кривой : |
3 |
+ |
3 |
|
= |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2.70. Найти момент инерции однородной окружности радиуса |
относительно ее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
диаметра. |
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2.71. Найти момент инерции 0 контура квадрата: | | ≤ , | | ≤ |
( > 0) относительно |
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начала координат. |
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|
Найти массу пространственной кривой, если известна линейная плотность |
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(№ 2.72 ÷ 2.79): |
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= cos |
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|
|
|
= cos |
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||||||
2.72. { = sin , 0 ≤ ≤ |
; = 2 + 3 − |
2.73. { |
= sin |
, 0 ≤ ≤ |
; = 12 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
= |
2 |
|
|
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|
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|
= 2 − 2 cos |
6 |
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|||||||||||
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|||||||
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||
|
= |
√2 |
cos |
|
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= |
|
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||||
|
2 |
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|||||||
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|
2.75. { = 2, 0 ≤ ≤ 1; = 2 + 9 |
|||||||||||||||
2.74. |
|
|
|
|
|
|
, 0 ≤ ≤ |
; = 12√2∙ |
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
√2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 sin |
2 |
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
= 3 |
|
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|||||||||||||
|
{ |
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|||||||||
|
= sin |
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|
|
= t ∙ cos |
|
|
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||||||
|
= 4 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.76. { = 4 , 0 ≤ ≤ |
; = + 2 + 8 |
2.77. { = t ∙ sin , 0 ≤ ≤ 2; = 3√2∙ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 1 + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
= |
|
|
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|
|||||||||||
|
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|
|
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||||||||
|
|
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|
|
|
= cos |
|
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|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2.78. { = sin , 0 ≤ ≤ |
; = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|
5
|
= |
|
|
|
|
2.79. { |
= |
, 0 ≤ ≤ |
; = 3(2 − 2) |
|
|
|
|
||||
= 1 − − |
4 |
|
|
||
|
|
|
|
||
Найти координаты центра тяжести (0, 0, 0) однородной пространственной |
|||||
кривой (№ 2.80 ÷ 2.81): |
|
|
|
|
|
2.80. - контур сферического треугольника: 2 + 2 + 2 = 2; ≥ 0, |
≥ 0, ≥ 0. |
||||
= ∙ cos |
|
|
|
|
|
2.81. : { = ∙ sin , |
−∞ < ≤ 0 |
|
|
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|
=
2.82. Найти моменты инерции , , относительно координатных осей одного витка
|
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|
= ∙ cos |
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|||||||||||||
однородной винтовой линии { = ∙ sin |
|
|
( , = ), 0 ≤ ≤ 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
= |
|
∙ |
|
|
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|||||
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|||||||
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|
2 |
|
|
|
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|
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||||
II. Криволинейные интегралы 2 рода. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить работу , производимую силой |
|
вдоль кривой на плоскости |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(№ 2.83 ÷ 2.88): |
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.83. |
= 3 |
√ , |
|
1 ≤ ≤ 4; |
|
|
= 9 |
∙ − 2∙ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.84. = ( ), 6 ≤ ≤ |
2; |
|
= |
|
∙ − 2 |
|
|
∙ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∙ + |
2 |
∙ |
|
|
|
|||||||
2.85. = , |
|
|
√3 ≤ ≤ √8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∙ |
|
|||||||||
2.86. = |
, √3 ≤ ≤ √8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= 48 2∙ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.87. = |
|
|
|
− |
8 |
, 1 ≤ ≤ 2; |
|
|
= 16 ∙ + 24∙ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.88. = , |
|
|
0 ≤ ≤ 1; |
= |
|
2∙ + 4 |
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить работу , производимую силой |
|
вдоль кривой в пространстве |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(№ 2.89 ÷ 2.94): |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
|
√2 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2.89. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
||||||||||||||
|
|
|
|
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 ≤ ≤ 2 ; |
= ∙ − ∙ |
|
∙ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
2 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{= sin
=
2.90. { = |
2 |
, 0 ≤ ≤ 1; |
|
+ ∙ |
|
|
= ∙ |
+ ∙ . |
= 3
= t ∙ cos
2.91. { = t ∙ sin , |
0 ≤ ≤ 2; |
|
|
|
|
|
|
|
− ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= ∙ |
+ ∙ . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= cos |
|
|
|
|
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|
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|
|
|||||||||||
2.92. { = |
|
sin , 0 ≤ ≤ |
4 |
; |
= |
|
2 ∙ |
+ 2 ∙ |
|
+ |
|
∙ . |
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
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|||
= |
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|||
= |
3 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∙ |
|
|
|
|
|
|
2 |
∙ |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
, 0 ≤ ≤ 1; |
|
= |
+ √2 |
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2.93. { |
√2 |
|
|
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∙ . |
||||||||||||||||||||||||
= t3 |
|
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|||
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|||||||||||||||
2.94. { = 4 , |
0 ≤ ≤ |
|
|
∙ + |
∙ |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||
2; |
|
= |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
4 |
|
∙ . |
||||||||||||||||||||
= 1 + |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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6
Ответы
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( 2+ + 2) |
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2 |
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4 |
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3+√5 |
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2.5. |
|
256 |
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.1. 1 + √2 |
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2.2. |
|
0 |
|
|
|
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2.3. |
2.4. |
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|
2.6. |
+ |
|
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2 |
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3( + ) |
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2 |
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4 |
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15 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
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2 2 |
|
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2 |
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|
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|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2.7. |
|
|
(41√41 − 27) |
|
|
|
|
2.8. 512 |
|
|
|
|
2.9. |
|
|
|
|
|
|
|
2.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.11. |
|
|
(5√5 − 2√2) |
|
|
|
|
|
2.12. |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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2.18. 3 − |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.13. 1 + |
|
|
|
|
2.14. |
1 + |
|
|
|
|
|
|
2.15. |
|
3 + |
|
2 |
|
|
|
|
|
2.16. |
|
|
|
1 |
2.17. |
|
(2 + √3) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.19. 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.22. |
√ |
2+ 2 |
∙ ( |
2 |
) |
|
2.23. |
52√2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2.20. |
|
(10√10 − 1) |
2.21. |
|
(56√7 − 1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
27 |
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2.24. 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; в) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2.25. 63 |
|
|
|
|
|
2.26. √3 |
2.27. |
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
2.28. а) |
0; |
|
|
|
б) |
|
|
|
|
2.29. а) |
2; б) |
2; |
в) |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
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|
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|||||||
2.30. а) |
4 |
; |
|
|
|
|
|
б) |
0; |
|
в) |
|
12 |
; г) −4; д) 4 |
|
|
|
2.31. |
|
4 (а, б, в, г) |
|
|
|
|
2.32 . |
4 |
|
|
|
|
2.33. −2 2 |
|
|
2.34. −2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||
2.35. |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
2.36. 0 |
|
|
|
|
|
2.37. −2 2 |
2.38. 0 |
|
|
|
|
|
2.39. |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
2.40. |
|
− |
4 |
|
|
|
|
2.41. |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2.42. − |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
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|
35 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2.43. |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.44. − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.45. 3 |
|
|
|
|
2.46. − |
|
|
|
|
|
2.47. |
|
− 1 |
|
|
2.48. 10 |
|
|
2.49. = |
|
|
|
|
|
|
− + |
|
|
|
|
|
; = 6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2.50. = |
|
|
2 |
|
+ 3 − 2; |
= 33 |
|
|
|
2.51. = |
|
3 |
+ 2 + |
3 |
; = −21 |
|
2.52. = 2 − |
3 |
; |
|
|
= −24 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2.53. = 2 − 2; |
|
|
|
= 0 |
|
2.54. = |
|
3 |
|
+ 2 − |
|
4 |
; = −26 |
2.55. |
= 3 2 − |
|
3 |
+ |
|
3 |
|
2; = 54 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
4 |
|
|
3 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.56. = |
|
|
3 |
|
|
− 2 + |
3 |
; = 90 |
2.57. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.58. − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2.59. −2 ∙( + ) |
|
|
|
2.60. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2.61. |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
= −2 |
2.62. |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
= −57 |
2.63. |
= ; = 6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
− 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 − |
1 |
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= √ 2 + 2 + 2; = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.64. |
|
|
|
|
|
|
2.65. |
|
2 + |
|
|
2.66. |
|
|
|
|
|
2(2√2 |
2.67. |
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5 |
+ |
3 |
3 |
|
|
|
2.68. |
|
|
|
|
|
= |
= |
4 |
|
|
2.69. |
|
|
|
|
|
= |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
2.70. |
|
= 3 |
2.71. |
|
|
|
|
= |
32 |
3 |
2.72. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
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8 |
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
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0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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0 |
|
3 |
|
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|||||||||||||||||||||||||
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(5 − |
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∙( 2 |
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+ 4 + 12) |
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√2 |
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2.73. 2√2 − 1 |
|
2.74. 3√3 |
|
− 1 |
|
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|
2.75. |
(14√14 − 1) |
2.76. √17 |
|
2.77. |
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|
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2.80. ( |
4 |
, |
4 |
, |
4 |
) |
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2.81. ( |
2 |
, − |
1 |
, |
1 |
) |
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4∙(3√3 − 1) |
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2.78. √3 |
2.79. |
|
|
2√2 − 1 |
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3 |
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3 3 |
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5 |
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5 2 |
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2 |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.82. |
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= |
|
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|
= ( |
+ |
|
)∙√4 2 2 + 2 |
, |
|
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|
|
= 2∙√4 2 2 + 2 |
2.83. |
|
−1 |
2.84. 1 |
|
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2 |
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|
3 |
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||||||
2.85. |
|
|
9∙ 22 − |
3 |
23 |
|
|
|
|
2.86. |
|
4∙ 3 − |
9 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2.87. |
|
|
133 − 22 |
|
|
|
|
2.88. |
|
|
|
3∙ 1 + 2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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8 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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|||||
2.89. |
|
1 |
|
|
− |
|
|
|
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|
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|
|
2.90. |
|
1 |
|
|
|
|
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|
|
2.91. − |
2 |
2.92. |
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
2.93. 2 |
1 |
|
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2.94. |
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3 |
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4 |
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4 |
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4 |
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2 |
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