kr_kriv_pov_int

соленоидальное поле имеет векторный потенциал. Доказательство этого

утверждения выходит за рамки данного пособия. Отметим только, что векторный потенциал ~

A соленоидального поля определяется, вообще говоря,

неоднозначно.

Для соленоидального поля из теоремы Гаусса-Остроградского следует, что для любой гладкой замкнутой поверхности Σ+, лежащей в Ω, выпол-

нено равенство	ZZ
	vndσ = 0,	(5.9)

Σ+

ãäå vn проекция вектора ~v на направление нормали ~n+.

Вообще, для векторного поля ~
	f и ориентированной поверхности Σ+ (íå
обязательно замкнутой) интеграл	RR
	vndσ называется потоком поля через

Σ+

поверхность Σ+. Равенство (5.9) означает тогда, что для соленоидального

поля поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

В качестве примера соленоидального поля можно привести поле скоростей движущейся жидкости. Соотношение (5.7) в этом случае является

условием несжимаемости жидкости. В случае, когда ~v является полем ско-

H

−→

ростей, интеграл (~v, )

d` называют циркуляцией1 поля вдоль замкнутого

`+

ориентированного пути `+. Åñëè `+ является краем поверхности Σ+, òî òåî- рема Стокса означает, что циркуляция поля вдоль `+ совпадает с потоком поля через Σ+.

Для соленоидальных полей представляет интерес рассмотрение так называемых трубок тока, но здесь мы останавливаться на этом не будем и рекомендуем читателям обратиться к соответствующей литературе по физике.

5.3. Представление градиента в криволинейных ортогональных координатах

Напомним (см., например, [6]), что для дифференцируемого скалярного поля f : R3 → R в том случае, когда положение точки в R3 описывается

декартовыми координатами, вектор grad f определяется равенством:

grad			∂f	~	∂f	~	∂f	~
	f =		∂xi +		∂y j +		∂z k.
Пусть теперь в R3 заданы		криволинейные					ортогональные координаты

(ξ, η, ζ). Как показано в разд. 2.3, в этом случае в каждой точке P опре-

1 А не работой, как в случае силовых полей.

87

делен координатный ортонормированный базис {~eξ,~eη,~eζ}, ãäå

~eξ = Hξ

∂ξ,

∂ξ,

∂ξ

; ~eη = Hη

∂η,

∂η,

∂η

; ~eζ =

Hζ

∂ζ

,

∂ζ,

∂ζ

1

∂x

∂y

∂z

T

1

∂x

∂y

∂z

T

1

∂x

∂y

∂z

T

представления базисных векторов в исходном базисе

~ ~

~

, à

Hξ

,

Hη,

{i, j, k}

Hζ коэффициенты Ламе, определенные равенствами (2.9) (2.11). Разложим вектор gradf по базису {~eξ,~eη,~eζ}:

gradf = aξ~eξ + aη~eη + aζ~eζ

и найдем выражения для aξ, aη, aζ. Для коэффициента aξ, например, по- лучим:

aξ = (gradf,~eξ) = Hξ

∂x ∂ξ

+ ∂y

∂ξ +

∂z

∂ξ

=

1

∂f ∂x

∂f

∂y

∂f

∂z

=

1 ∂

f x(ξ, η, ζ), y(ξ, η, ζ), z(ξ, η, ζ) .

Hξ ∂ξ

Аналогичные формулы справедливы и для aη, aζ. Таким образом,

gradf =

1 ∂f

~eξ +

1 ∂f

~eη +

1 ∂f

~eζ.

(5.10)

Hξ

∂ξ

Hη

∂η

Hζ

∂ζ

Полученное соотношение является представлением градиента в криволинейных ортогональных координатах 1.

В частности, для полярной системы координат

	∂f		1 ∂f
gradf =		~eρ +				~eϕ,
	∂ρ		ρ		∂ϕ

а для сферической системы координат

	∂f		1 ∂f				1 ∂f
gradf =		~eρ +				~eϕ +				~eϑ.
	∂ρ		ρ sin ϑ		∂ϕ		ρ ∂ϑ

5.4.Представление дивергенции в криволинейных ортогональных координатах

Для векторного поля ~	~		~		~		величина div ~ определена в
f = fxi + fyj + fzk									f
разд. 4.4 равенством:
div ~	∂fx			∂fy	∂fz
f =		+			+			.	(5.11)
	∂x			∂y			∂z

1 Еще раз напомним, что в отличие от декартовых координат, базис {~eξ, ~eη, ~eζ} зависит от положения точки P .

88

Пусть теперь в криволинейной ортогональной системе координат ~ задано разложением по базису { }:

(ξ, η, ζ) ïîëå f ~eξ,~eη,~eζ

~

f = fξ(ξ, η, ζ)~eξ + fη(ξ, η, ζ)~eη + fζ(ξ, η, ζ)~eζ.

В этом случае для вычисления div ~

f можно сначала найти функции fx, fy, fz, а потом использовать формулу (5.11). Однако такой способ оказывается очень громоздким. Проще использовать теорему Гаусса-Остроградского.

Рассмотрим ½криволинейный параллелепипед“ Π = P1 . . . P8 (ñì. ðèñ.

2.2) и запишем для него и функции	~
	f теорему Гаусса-Остроградского:
ZZZ divf~dV = ZZ fndσ,		(5.12)
Π	Σ

~

где Σ граница Π, а fn проекция вектора f на внешнюю нормаль. По теореме о среднем для тройного интеграла

ZZZ

div ~ ~

fdV = divf(P )Vêðèâ,

Π

где P Π некоторая точка, а Vкрив объем Π. Учитывая соотношение (2.16), получим равенство:

ZZZ

div ~ ~ | |

fdV = HξHηHζdivf(P ) ξ η ζ + o(Δξ η ζ). (5.13)

Π

Вычислим поверхностный интеграл, входящий в формулу (5.12). Этот интеграл равен сумме интегралов по всем шести ½граням “ Π. Рассмотрим

½грань“ P1P2P4P3, она является нижней гранью (по отношению к декарто-

вым координатам) в случае, когда ζ > 0 и ∂z(ξ0, η0, ζ0) > 0. Ограничим-

∂ζ

ся только этим случаем, остальные возможности рассматриваются анало- гично. Нормаль к грани P1P2P4P3 ортогональна к координатным линиям

ξ и η, лежащим в этой грани, т. е. к векторам ~eξ è ~eη. Поэтому эта нормаль

~	∂z
должна совпадать либо с ~eζ, ëèáî ñ −~eζ. Òàê êàê (~eξ, k) =	∂ζ	> 0, то вектор

~eζ направлен ½вверх“, а внешняя нормаль ~n+ грани P1P2P4P3 направлена

			~
½вниз“. Поэтому ~n+ = −~eζ íà P1P2P4P3 è fn = (f, ~n+) = −fζ(ξ, η, ζ). Ñëå-
довательно,	ZZ	fndσ = − ZZ	fζdσ.

P1P2P4P3 P1P2P3P4

Параметрические уравнения P1P2P4P3 в декартовых координатах можно выбрать в виде:

~r = ~r(ξ, η, ζ0) = [x(ξ, η, ζ0), y(ξ, η, ζ0), z(ξ, η, ζ0)]T , (ξ, η) Dξη,

89

уравнения

ãäå Dξη = (ξ, η) : ξ0 ≤ ξ ≤ ξ0 +

ξ,

η0 ≤ η ≤ η0 + η . Используя эти

для вычисления поверхностного интеграла, получим:

ZZ

fndσ = − ZZDξη F (ξ, η, ζ0)dξdη,

(5.14)

P1P2P4P3

ãäå

ξ0 (ξ, η, ζ), ~r η0 (ξ, η, ζ)]

F (ξ, η, ζ) = fζ(ξ, η, ζ)

[~r

.

(5.15)

Аналогично рассматривается

интеграл

ïî

“

грани

. Отличие от интеграла

½верхней

P5P6P8P7

ïî

P1P2P4P3 только в том, что теперь

ζ = ζ0 +

ζ и нормаль ~n+ на ½верхней“ грани совпадает с вектором ~eζ (à

не противоположна ему). Поэтому

ZZ

fndσ = ZZ F (ξ, η, ζ0 +

ζ)dξdη.

(5.16)

P5P6P8P7

Dξη

Обозначим Σ(1) объединение ½верхней“ и ½нижней“ граней. Тогда, складывая равенства (5.14) и (5.16), получим:

ZZ		ZZ
Σ	fndσ =	Dξη
				F (ξ, η, ζ0 + ζ) − F (ξ, η, ζ0) dξdη.
	(1)

По теореме о среднем для двойного интеграла:

	ZZ	F (ξ, η, ζ0 + ζ) − F (ζ, η, ζ0) dξdη =
	Dξη
	= F (ξ , η , ζ0 + ζ) − F (ξ , η , ζ0 + ζ) | ξ η|.
Будем			x(ξ, η, ζ)		y(ξ, η, ζ)		z(ξ, η, ζ)
	считать функции			,		è		дважды непрерывно

дифференцируемыми. Тогда, используя теорему Лагранжа, получим ра-

венство:	ZZ		∂F (ξ , η , ζ )
					ζ| ξ η|,
		fndσ =
	Σ		∂ζ
		(1)

ãäå ζ [ζ0, ζ0 + ζ]. Так как функция ∂F∂ζ непрерывна, то

∂F (ξ , η , ζ )		=	∂F (ξ0, η0, ζ0)		+ o(1),
∂ζ				∂ζ

и значит

ZZ

	∂F (ξ0, η0	, ζ0)
fndσ =			ζ| ξ η| + o(Δξ η ζ).
	∂ζ

Σ(1)

90

Осталось вычислить значение F (ξ0, η0, ζ0). В соответствии с формулой

(2.15)	[~r	ξ0 , ~r η0 ]		= HξHη.∂Таким образом, из (5.15) получаем:
			fndσ =			(HξHηfζ)Δζ	|	ξ η	|	+ o(Δξ η ζ).	(5.17)
		ZZ		∂ζ
		Σ	(1)

Аналогично вычисляются интегралы по двум другим парам ½граней “ Π. Обозначив Σ(2) объединение ½левой“ и ½правой“ граней, а Σ(3) ½перед-

ней“ и ½задней“ граней, получим:

ZZ		∂		(HηHζfξ)Δξ|		ζ| + o(Δξ
Σ	fndσ =	∂ξ			η		η	ζ);	(5.18)
	(2)
ZZ		∂		(HξHζfη)Δη|		η| + o(Δξ
Σ	fndσ =	∂η			ξ		η	ζ).	(5.19)
	(3)
В равенстве (5.18) предполагается, что					ξ > 0, а в равенстве (5.19) что

η > 0. Ограничиваясь ради краткости изложения только случаем, когда ξ > 0, η > 0 и ζ > 0, и складывая равенства (5.17) (5.19), найдем:

ZZ fndσ =	∂	(HηHζfξ) +	∂	(HξHζfη) +	∂	(HξHηfζ)	ξ η ζ+
	∂ξ		∂η		∂ζ
Σ
		+o(Δξ η ζ).
Теперь, используя соотношения (5.12) и (5.13), получим:
		divf(P )Δξ η ζ =

=

1

HξHηHζ

	∂	(HηHζfξ) +	∂	(HξHζfη) +	∂	(HξHηfζ)	ξ η ζ+
	∂ξ		∂η		∂ζ
		+o(Δξ η ζ).

Разделив это равенство на ξ η			ζ и перейдя к пределу, когда
η → 0, ζ → 0 (при этом точка P					переходит в точку P1),
равенство	∂ξ(HηHζfξ) +		∂η(HξHζfη) + ∂ζ(HξHηfζ)				,
divf~ = HξHηHζ
1		∂		∂		∂

ξ → 0,

получим

(5.20)

которое и является представлением дивергенции в криволинейных ортогональных координатах.

В частности, для цилиндрической системы координат (ρ, ϕ, z) полу-

÷èì:

divf~ = ρ

∂ρ(ρfρ) +

∂ϕ

+ ∂z (ρfz)

=

ρ ∂ρ(ρfρ) +

ρ

∂ϕ +

∂zz

,

1

∂

∂fϕ

∂

1 ∂

1 ∂fϕ

∂f

91

òàê êàê Hρ = Hz = 1, Hϕ = ρ.

Для сферической системы координат (ρ, ϕ, ϑ) :

divf~ = ρ2 sin ϑ

∂ρ(ρ2 sin ϑfρ) + ∂ϕ

(ρfϕ) + ∂ϑ(ρ sin ϑfϑ)

=

1

∂

∂

∂

= ρ2

∂ρ(ρ2fρ) +

ρ sin ϑ ∂ϕ +

ρ sin ϑ ∂ϑ(sin ϑfϑ)

,

1

∂

1 ∂fϕ

1

∂

òàê êàê Hρ = 1, Hϕ = ρ sin ϑ, Hϑ = ρ.

Отметим, что теорема Гаусса Остроградского позволяет дать опреде-

ление div ~

f не зависящее от системы координат (см., например, [1]).

5.5. Представление ротора в криволинейных ортогональных координатах

Для векторного поля ~

~

~

~

вектор rot ~ определен в

f = fxi + fyj + fzk

f

разд. 4.6 равенством:

∂zx −

∂xz

~j +

∂xy −

∂yx ~k.

rotf~ = ∂yz −

∂zy ~i +

(5.21)

∂f

∂f

∂f

∂f

∂f

∂f

Если же в криволинейной ортогональной системе координат

(ξ, η, ζ)

ïîëå ~

f задано соотношением

~

f = fξ(ξ, η, ζ)~eξ + fη(ξ, η, ζ)~eη + fζ(ξ, η, ζ)~eζ,

то вычисление rot ~

f непосредственно по формуле (5.21) оказывается весьма

громоздким, поэтому целесообразно использовать для этого теорему Стокса.

Найдем формулы для вычисления коэффициентов aξ, aη, aζ разложе- ния ротора

		rot ~
		f = aξ~eξ + aη~eη + aζ~eζ									(5.22)
по базису {~eξ,~eη,~eζ}.
Обозначим Σ−(1)		ориентированную ½грань“ P1P2P4P3 параллелепипеда
Π (см. рис. 2.2) с нормалью ~n					−	, внутренней по отношению к Π. Запишем
(1)		~
äëÿ Σ−	и функции f теорему Стокса:
		(		→− ) =			( f, −→)
		I	~				ZZ	rot	~	dσ .	(5.23)
			f, d`

`+	(1)
	Σ−

Направлением на `+, согласованным с ориентацией Σ(1)− , является направ- ление от P1 ê P2 и далее к P4, P3.

92

Как показано в разд. 5.4, на ½грани“ P1P2P4P3 выполнено равенство

			~
~n− = −~n+ = ~eζ и, значит, (rotf, ~n−) = aζ. Поэтому
( f,			−→) =		(		−) =			ζ
ZZ		~	ZZ			~		ZZ
	rot		dσ			rotf, ~n dσ				a dσ.
(1)			Σ	(1)				Σ	(1)
Σ−

По теореме о среднем для поверхностного интеграла получим:

ZZ

aζdσ = aζ(P )S1243,

Σ(1)

ãäå S1243 площадь ½грани“ P1P2P4P3, à P некоторая точка этой грани. В силу непрерывности функции aζ справедливо равенство

aζ(P ) = aζ(ξ0, η0, ζ0) + o(1).

Учитывая это равенство и формулу (2.16) для S1243, найдем:

( f, −→) =

ζ ξ η|

| + (Δ

)

ZZ

rot ~ dσ

a H H ξ

η o ξ

η .

(5.24)

(1)

Σ−

Вычислим теперь криволинейный интеграл, в равенстве (5.23), кото-

рый является суммой четырех интегралов по кривым

P1P2, P2P4, P4P3

è

P3P1

. Рассмотрим сначала интеграл по

3

1

P3RP1 (

~

−→) =

P

P

. ßñíî, ÷òî

f, d`

= −

R

(f,

→− )

~

d`

. В декартовых координатах параметрическими уравнени-

P1P3

ями кривой P1P3 являются:

~r = ~r(η) = [x(ξ0, η, ζ0), y(ξ0, η,

Поэтому

Z ~ −→

(f, d`)

ζ0), z(ξ0, η, ζ0)]T , η [η0, η0 + η].

η0+Δη

Z

~0

=(f, ~r η)dη.

P1P3 η0

Òàê êàê ~r η0 =	∂η,		∂η,	∂η	касательный вектор к координатной линии
		∂x	∂y	∂z	T

~ 0

η, то из определения вектора ~eη получим, что ~rη = Hη~eη. Значит, (f, ~r η) = = Hηfη и, следовательно,

Z

(f,

→− ) = −

η0+Δη

0,

,

0)Hη(

0,

,

0)d

.

ηZ

fη(

~

d`

ξ

η

ζ

ξ

η

ζ

η

(5.25)

P3P1

0

93

Аналогично интегралу по P1P3 вычисляется интеграл по P2P4; отличие от рассмотренного случая только в том, что здесь ξ = ξ0 + ξ. Таким образом,

Z

(f,

→− ) =

η0+Δη

0 +

,

,

0)Hη(

0

+

,

,

0)d

.

ηZ

fη(

~

d`

ξ

ξ

η

ζ

ξ

ξ

η

ζ

η

(5.26)

P2P4

0

Складывая равенства (5.25) и (5.26), получим:

Z

η0+Δη

(f, →− ) =

Z

G( 0 +

, , 0) − G( 0, , 0) d ,

P3P1 P2P4

η0

ξ

ξ η ζ

ξ

η ζ

η

~ d`

ãäå G(ξ, η, ζ) = fη(ξ, η, ζ)Hη(ξ, η, ζ). По теореме о среднем

Z

(f, →− ) =

(

0 +

, , 0) − G( 0, , 0) d ,

P3P1

P2P4

~ d`

G ξ

ξ η ζ

ξ η ζ

η

ãäå η [η0, η0 +

η]. Используя для функции G теорему Лагранжа, най-

äåì:

Z

∂G(ξ , η , ζ0)

~

d`

ξ η

.

(f,

→− ) =

∂ξ

P3P1 P2P4

Наконец, учитывая непрерывность функции G, получим равенство:

Z

(f,

→− ) =

∂ξ

+

(Δ

).

~

d`

∂(Hηfη)

ξ

η

o

ξ

η

(5.27)

P3P1 P2P4

Аналогично вычисляется интеграл по P1P2 P4P3:

Z

(f,

→− ) =

∂η

+

(Δ

).

~

d`

∂(Hξfξ)

ξ

η

o

ξ

η

(5.28)

P1P2 P4P3

Складывая равенства (5.27) и (5.28), находим:

+ o(Δ

).

I (f, →− ) = ∂ξ(Hηfη) − ∂η(Hξfξ)

~ d`

∂

∂

ξ

η

ξ

η

`+

Теперь из равенств (5.23) и (5.24) следует (при

ξ > 0, η > 0) соотноше-

íèå:

aζHξHη ξ η =

∂

(Hηfη) −

∂

(Hξfξ)

ξ η + o(Δξ η).

∂ξ

∂η

94

Разделив это равенство на ξ η и перейдя к пределу при

ξ → 0, η →

→ 0, получим выражение для коэффициента aζ:

aζ =

1

∂

(Hηfη) −

∂

(Hξfξ) .

(5.29)

HξHη

∂ξ

∂η

Аналогично формуле (5.29) устанавливаются равенства

aξ =

1

∂

(Hζfζ) −

∂

(Hηfη) ;

HηHζ

∂η

∂ζ

aη =

1

∂

(Hξfξ) −

∂

(Hζfζ) ,

HξHζ

∂ζ

∂ξ

которые вместе с (5.29) и разложением (5.22) и дают представление ротора

âкриволинейных ортогональных координатах.

Âчастности, для цилиндрической системы координат (ρ, ϕ, z)

rotf~ = ρ

∂ϕ − ρ ∂z ~eρ

+ ∂z −

∂ρ

~eϕ + ρ

∂ρ

−

∂ϕ

~ez,

1

∂fz

∂fϕ

∂fρ

∂fz

1

∂(ρfϕ)

∂fρ

а для сферической системы координат (ρ, ϕ, ϑ)

∂ϑ −

rotf~ = ρ sin ϑ

∂ϕ

−

∂ϑ

~eρ +

ρ

∂ρ

~eϕ+

1

∂fϑ

∂(sin ϑfϕ)

1

∂fρ

∂(ρfϑ)

+ρ sin ϑ

sin ϑ

∂ρ

−

∂ϕ

~eϑ.

1

∂(ρfϕ)

∂fρ

Как и дивергенция, вектор rot ~

может быть определен с помрщью

f

теоремы Стокса не зависящим от координат способом [1].

5.6. Оператор Лапласа

В физике очень важную роль играет выражение u = div(gradu), называемое оператором Лапласа функции u. Например, потенциал u элек-

тростатического поля в отсутствие источников удовлетворяет уравнению u = 0. Можно привести много других математических моделей важных

физических задач, в которых также используется оператор Лапласа. При изучении этих моделей часто необходимо иметь представление для оператора Лапласа в различных системах координат.

В декартовых координатах

gradu =	∂x,		∂y ,	∂z	;	div~v = ∂xx	+	∂yy	+	∂zz .
		∂u	∂u	∂u	T	∂v		∂v		∂v

95

Поэтому в таком случае:

	∂2u		∂2u			∂2u
u =		+			+		.
	∂x2			∂y2		∂z2

Для криволинейных ортогональных координат (ξ, η, ζ) из представлений (5.10) и (5.20) следует:

u = HξHηHζ

∂ξ

Hξ

∂ξ

+

∂η

Hη

∂η

+ ∂ζ

Hζ

∂ζ .

1

∂ HηHζ ∂u

∂ HξHζ ∂u

∂ HξHη

∂u

В частности, для цилиндрической системы координат (ρ, ϕ, z)

u = ρ

∂ρ

ρ∂ρ

+

∂ϕ ρ ∂ϕ

+ ∂z

ρ∂z

=

1

∂

∂u

∂

1

∂u

∂

∂u

1 ∂

∂u

1

∂2u

∂2u

=

ρ

+

+

,

ρ ∂ρ

∂ρ

ρ2

∂ϕ2

∂z2

а для сферической системы координат (ρ, ϑ, ϕ)

sin ϑ∂ϑ =

u = ρ2 sin ϑ

∂ρ ρ2 sin ϑ∂ρ

+

∂ϕ sin ϑ ∂ϕ

+ ∂ϑ

1

∂

∂u

∂

1

∂u

∂

∂u

1 ∂

∂u

1

∂2u

1

∂

∂u

=

ρ2

+

+

sin ϑ

.

ρ2

∂ρ

∂ρ

ρ2 sin2 ϑ

∂ϕ2

ρ2 sin ϑ

∂ϑ

∂ϑ

Аналогично могут быть получены представления оператора Лапласа и в других ортогональных системах координат.

Список литературы

1.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматлит, 2001. Т. 3.

2.Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974. Т. 2.

3.Будак Б. М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1965.

4.Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Дрофа, 2004.

5.Применение интегрального исчисления и дифференциальных уравнений к задачам эектроники и автоматики. Под ред. А. И. Кошелева. Л.: ЛЭТИ, 1984.

6.Математический анализ в эектронике и автоматику. Под ред. А. И. Кошелева. Л.: ЛЭТИ, 1983.

96