Теоретические основы теплотехники 2
.pdfусловиях стационарного температурного поля |
|
t |
|
|
|
||
|
|
|
ники теплоты отсутствуют (qv=0).
Уравнение теплопроводности цилиндрической риваемых условиях имеет вид
|
. Внутренние источ- |
0 |
|
|
|
стенки (14) в рассмат-
t |
|
2t |
|
1 t |
|
1 2t |
|
2t |
|
|
|
||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0. |
(36) |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|||||||
|
|
r |
|
r r |
|
r |
|
|
|
z |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Температуры на наружной и внутренней поверхности цилиндрической стенки неизменны и ось z совмещена с осью цилиндра
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
2 |
|
и
|
2 |
t |
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
0
.
(36а)
В данном случае температура изменяется только в радиальном направ-
лении
d |
2 |
t |
|
1 dt |
|
|
|
|
0 . |
||||
d |
2 |
r |
r dr |
|||
|
|
|||||
|
|
|
Граничные условия
(37)
при
при
r r1 r r2
t t
t |
с1 |
, |
|
|
t |
с2 |
. |
|
|
(38)
Для решения уравнения (37) введем новую переменную
уравнение (37) запишется в виде
dudr ur 0 .
u
dt dr
, тогда
(39)
Интегрируя (39), получим
21
ln u ln r
ln
C1
.
(40)
Потенцируя выражение (40) и переходя к первоначальным перемен-
ным, получаем
dt
После интегрирования имеем
t C1
C1
ln r
dr |
. |
|
r |
||
|
C2 .
(41)
(42)
Постоянные интегрирования С1 и С2 можно определить из граничных условий (38):
t |
c1 |
C |
ln r C |
; |
t |
c 2 |
C |
2 |
ln r |
C |
. |
|
1 |
1 2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
Решая уравнение (43) относительно С1 и С2, найдем:
С1 |
tc1 tc2 |
; |
С2 tc1 tc1 tc2 |
ln r1 |
. |
||||
|
|
||||||||
|
ln |
r1 |
|
|
|
ln |
r1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
r2 |
r2 |
|||||||
|
|
|
|
(43)
(43а)
Подставляя полученные значения С1 и С2 в уравнение (42), получаем
|
|
|
ln |
r |
|
|
|||
t tc1 |
tc1 |
tc2 |
r1 |
. |
(44) |
||||
|
|||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
ln |
r2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
r1 |
|
Выражение температурного поля (44) представляет собой уравнение логарифмической кривой. То, обстоятельство, что распределение температу-
ры в цилиндрической стенке является криволинейным, можно объяснить следующим.
22
В случае плоской стенки плотность теплового потока q остается одина-
ковой для всех изотермических поверхностей.
В случае цилиндрической стенки плотность теплового потока через любую изотермическую поверхность будет величиной переменой, так как ве-
личина поверхности зависит от радиуса.
Для определения теплового потока через цилиндрическую поверхность воспользуемся законом Фурье
|
Q |
t |
|
F . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(45) |
|||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя в уравнение Фурье значение градиента температуры (41) |
||||||||||||||||||||
получим (учитывая, что F 2 rl ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
2 l t |
c1 |
t |
c2 |
|
, |
|
|
|
|
|
(46) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
2 l t |
c1 |
t |
c2 |
|
|
l t |
с1 |
|
t |
с2 |
|
. |
(46а) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|||||
|
ln |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
d |
|
|
|
|
|
2 |
d |
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тепловой поток может быть отнесен либо к единице внутренней или внешней поверхности, либо к единице длины. При этом расчетные соотно-
шения для удельного теплового потока принимают вид
Q |
q1 |
|
tc1 tc2 |
|
, |
(47) |
|||
d l |
d1 |
1 |
ln |
d2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
d1 |
|
|
|
(q1 – тепловой поток через единицу внутренней поверхности);
Q |
q2 |
|
tc1 tc2 |
|
, |
(48) |
|||
d2l |
d2 |
1 |
ln |
d2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
d1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
23
(q2 – тепловой поток через единицу внешней поверхности);
Q |
ql |
t |
c1 |
t |
c2 |
|
, |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
l |
|
1 |
ln |
d2 |
|
|
|||
|
|
2 |
d |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(49)
(ql – тепловой поток через единицу длины поверхности).
Тепловой поток отнесенный к единице длины, имеет размерность Вm/м
и называется линейным тепловым потоком.
Рассуждая аналогично, как при получении расчетного соотношения теплового потока для многослойной плоской стенки, можно получить выра-
жение для определения линейного теплового потока в случае многослойной цилиндрической стенки
q |
l |
|
|
|
t |
c1 |
t |
c |
n 1 |
|
|||
|
|
|
|
|||||
i n |
1 |
ln |
d |
i 1 |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
i 1 |
2 |
i |
|
d |
i |
|
||
|
|
|
|
|
|
.
(50)
где знаменатель
i n |
1 |
|
|
d |
i 1 |
|
|
|
ln |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
i 1 |
2 |
i |
|
d |
i |
|
|
|
|
|
называется полным термическим сопро-
тивлением теплопроводности многослойной цилиндрической стенки.
Из уравнения (50) может быть определена температура на границе лю-
бых двух слоев
|
q |
l |
|
i |
1 |
|
d |
i 1 |
|
|
tc( i 1 ) tc1 |
|
|
|
|
ln |
|
|
. |
||
2 |
|
2 |
di |
|
||||||
|
i 1 |
i |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Теплопроводность криволинейной стенки
(51)
При передаче теплоты через произвольные криволинейные стенки теп-
ловой поток определяется по такому же уравнению, как и для плоской стен-
ки, только в выражение вводится расчетная поверхность теплопередачи
Q |
F |
t |
|
t |
|
. |
(52) |
|
m |
|
1 |
|
2 |
|
|
24
Расчетная поверхность теплопроводности принимается в зависимости от вида стенки, через которую происходит передача теплоты (для плоской стенки поверхности равны; для цилиндрической стенки средняя расчетная поверхность определяется как средняя логарифмическая; для сферической как средняя геометрическая) :
|
F |
F |
|
|
F |
для плоской стенки |
|
1 |
|||
m |
ma |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
Для цилиндрической стенки |
Fm FmL |
F |
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
F F |
ln F |
F ; |
||
|
2 |
1 |
2 |
1 |
Для сферической стенки
F |
F |
|
F F . |
m |
mG |
|
1 2 |
Тепловой поток через многослойные криволинейные стенки определя-
ется по уравнению
Q |
t |
с1 |
t |
с n 1 |
||
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
i |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
F |
|||
|
|
i |
mi |
,
(53)
где |
|
i |
, |
i |
,F |
– толщина, коэффициент теплопроводности и расчетная по- |
|
|
mi |
верхность рассматриваемого |
i |
слоя. |
|
Уравнения (52) и (53) называются обобщенными уравнениями стацио-
нарной теплопроводности.
Подставляя в уравнения (52) или (53) значения средних поверхностей можно получить уравнение теплопроводности для плоской, цилиндрической или сферической стенки.
3. Теплопроводность при нестационарном температурном поле
Решить задачу теплопроводности при нестационарном температурном поле – значить установить зависимость между температурой t, временем и
координатами тела x,y,z. Такая зависимость получается решением дифферен-
циального уравнения теплопроводности при определенных условиях одно-
значности.
25
При отсутствии внутренних источников тепла дифференциальное урав-
нение теплопроводности имеет вид
t
a |
t |
2 |
|
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
a |
|
|
2 |
|
x |
||
|
|
|
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|||
|
|
|
2tz 2
.
(54)
Уравнение (54) является линейным, однородным дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных. Решения такого урав-
нения обладают свойством наложения аналогично решениям обыкновенного
однородного дифференциального уравнения: если t1 и t2 — частные решения
уравнения, то выражение C1t1 C2t2 |
является также его решением при про- |
извольных значениях постоянных С1 |
и С2. Поскольку у постоянных С1, и С2 |
возможны различные значения, уравнение типа (54) может иметь бесконечно большое количество частных решений.
Для решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего задан-
ным условиям однозначности, берут сумму частных решений, в которых по-
стоянные Сi имеют определенные значения. Соответствующим подбором по-
стоянных Ci, удовлетворяют решение исходному дифференциальному уравнению и условиям однозначности.
К классическим методам решения уравнения теплопроводности отно-
сятся метод разделения переменных и метод источников.
Метод разделения переменных. По этому методу решается уравнение теплопроводности, а затем, исходя из начальных и граничных условий, опре-
деляются постоянные в общем решении. Частное решение t выражается про-
изведением двух функций, одна из которых U(τ) зависит только от времени τ,
а другая P(x,y,z) зависит только от координат |
|
t CU P x, y,z , |
(55) |
где С – произвольная постоянная.
Подставляя решение (55) в уравнение (54) получим
26
U P x, y,z aU |
P x, |
2 |
|
Уравнение (56) можно переписать так
y,z
.
(56)
U |
|
|
2 |
P x, y,z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
a |
P x, y,z |
. |
(57) |
||
|
|
|
||||
Левая часть уравнения(57) может зависеть только от |
или быть посто- |
янным числом; она не зависит от координат. Правая часть может зависеть от координат или быть постоянным числом; она не зависит от времени. По-
скольку уравнение (57) справедливо при любых значениях времени и коор-
динат, то правая и левая части его равны постоянной величине, которую обо-
значим через D.
Таким образом, мы получим два дифференциальных уравнения для определения вида функций U(τ) и P(x,y,z):
U |
|
|
U |
||
|
D
;
|
|
2 |
P x, y,z |
|
|
a |
|
|
|||
P x, y,z |
|||||
|
|
D
.
(58)
Решением уравнения (58) является
U CeD , |
(59) |
где С – постоянная интегрирования.
Постоянная величина D выбирается из физических соображений. В
большинстве случаев при нагревании или охлаждении тел по истечении дли-
тельного времени температура распределяется в теле определенным образом.
Для тепловых процессов, стремящихся к тепловому равновесию, величина D
не может быть положительной, потому что можно задать такой промежуток времени, при котором температура в теле будет стремиться к бесконечности,
что физически невозможно. Величина D не может равняться нулю, так как при D=0 функция U(τ) в уравнении (59) имела бы постоянное значение, а тем-
27
пература тела не зависела бы от времени, как это следует из уравнения (55),
что не реально.
Таким образом, из физических соображений следует, что величина D
может быть отрицательной или мнимой величиной. Последний случай будет при условии, что температура тела есть периодическая функция времени, то-
гда экспонента (59) будет периодической функцией времени.
Рассматривая случай, когда D < 0, предположим, что
D аm |
2 |
, |
(60) |
|
где а – коэффициент температуропроводности (величина положительная); m – некоторая постоянная величина, определяемая из граничных условий.
С учетом (60) имеем выражение для функции U
Уравнение (58) для
P x,
|
|
U Ce |
|
2 |
|
|
|
|
|
am |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||
y,z становится следующим: |
|||||||
|
2 |
P x, y,z m |
2 |
P x, y,z 0. |
|||
|
|
(61)
(62)
Методы решения уравнения (62) излагаются в курсах высшей математи-
ки.
Исходя из того, что при заданных уравнение (62) найдено, и вид функции уравнения (54) примет вид
t Ce |
am |
|
условиях однозначности решение
P x, y,z известен, частное решение
2 |
|
|
|
|
|
|
P x, y,z . |
(63) |
|
|
Для общего решения уравнения (54) по принципу наложения берут сум-
му частных решений. Постоянная m определяется из граничных условий, а по-
стоянная C – из начальных условий.
28
Метод источников. Метод источников заключается в замене процесса распространения теплоты в теле теплопроводностью совокупностью процес-
сов выравнивания температуры от большого количества элементарных источ-
ников теплоты, распределенных в пространстве и времени. Правильный выбор источников теплоты и их распределение во времени – необходимое условие получения надежного решения уравнения теплопроводности.
Сущность метода источников покажем на примере неограниченного те-
ла при одномерном потоке теплоты. В этом случае действие элементарного источника характеризуется функцией источника на бесконечной прямой
G x, ,
b |
|
|
4a |
exp |
|
|
||
|
x |
|
|
2 |
4a |
|
.
(64)
Функция G представляет температуру в точке x, если
мент времени в точке |
выделяется теплота в количестве |
|
||||||||||||||||
ство теплоты на бесконечной прямой равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
b |
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx |
|
bc |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q c |
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
||
|
4a |
|
2 |
|
a |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
u |
; |
|
e |
u |
du |
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в начальный мо-
Q bc . Количе-
u |
2 |
du bc , |
(65) |
|
|||
|
|
(65а)
Таким образом, количество теплоты Q не зависит от времени. Оно рав-
но произведению площади, ограниченной кривой G и осью абсцисс x, на объ-
емную теплоемкость cp.
Функцию G называют фундаментальным решением уравнения тепло-
проводности, поскольку она удовлетворяет этому уравнению. В самом деле,
для неограниченного тела при одномерном потоке теплоты уравнение (54)
имеет вид
29
t |
|
2 |
t |
|
a |
x |
. |
(66) |
|
|
2 |
|
|
Если функция G является решением уравнения (66), его можно запи-
сать так
G |
|
G |
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(67) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
2 |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь уравнением (64), найдем выражения для |
|
и |
x |
: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
G |
|
b |
|
x |
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 a |
|
4a |
|
|
2 |
exp |
|
4a |
|
; |
|
|
(68) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
G |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
4 a |
||
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
4a |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
exp |
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
4a |
|
.
(69)
Сопоставление последних двух выражений показывает, что действи-
тельно справедливо уравнение (67).
Преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа приводит к опера-
ционному методу решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. В этом методе краевые условия используются в начальной стадии решения, что во многих случаях исключает необходимость определения про-
извольных постоянных. |
|
|
|
|
|
Преобразование Лапласа функции f x , |
обозначаемое символом L u , |
||||
называется операцией умножения |
f x на |
e |
ux |
с последующим интегрирова- |
|
|
|||||
|
|
||||
нием по в интервале от 0 до |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L u e ux f |
x dx . |
(70) |
||
|
0 |
|
|
|
|
30