Термодинамика и теплопередача в технологических процессах нефтяной и газовой промылшенности
.pdfТермодинамика в технологических процессах… |
71 |
Важной характеристикой потока является его массовая скорость, численно равная секундному расходу жидкости через единицу площади поперечного сечения потока u , кг/(м2с)
u = |
G |
. |
(1.230) |
|
|||
|
f |
|
Связь между массовой и линейной скоростью потока определяется соотношением
u2 = c2 ρ2 . |
(1.231) |
В соответствии с принципом неразрывности потока, массовый расход вещества в любом поперечном сечении канала одинаков
G = c ρ f = u f = idem . |
(1.232) |
Истечение несжимаемых жидкостей
Несжимаемая жидкость имеет практически неизменную плотность при любых давлениях и температурах (ρ = idem ). Соотношения для определения
удельной потенциальной работы несжимаемой жидкости в обратимых процессах истечения (1-2, 0-2) имеют следующий вид:
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
p − p |
|
p |
− p |
|
|
|
|
w = − |
∫ |
vdp = |
ρ |
|
∫ |
dp = |
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 2 |
; |
w = |
0 |
|
2 |
. |
(1.233) |
||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом соотношений (1.233), теоретическая линейная скорость истечения несжимаемой жидкости в выходном сечении сопла может быть определена из следующих соотношений:
с = |
|
с2 |
+ 2 |
p1 − p2 |
|
; |
(1.234) |
|||
|
|
|
||||||||
2 |
1 |
|
|
ρ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с |
= |
2 |
p0 − p2 |
. |
|
|
(1.235) |
|||
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Массовая скорость потока несжимаемой жидкости на выходе из сопла, в соответствии с уравнением (1.231), находится по формуле
u2 = |
|
. |
|
2ρ (p0 − p2 ) |
(1.236) |
Из соотношения (1.246) видно, что с увеличением по длине канала (x) разности давления (р0 – рx), повышается массовая скорость потока.
72 |
Часть 1 |
При этом, исходя из принципа неразрывности потока G = idem, площадь
проходного сечения канала f = G , должна непрерывно уменьшаться. Следова- u
тельно, при истечении несжимаемой жидкости следует применять суживающиеся сопла.
Истечение сжимаемых жидкостей
К классу сжимаемых жидкостей относятся вещества, плотность которых изменяется в зависимости от давления и температуры.
Газы (идеальные и реальные) рассчитываются как сжимаемые жидкости. Потенциальная работа обратимого адиабатного процесса истечения газа от
нулевого до конечного состояния (0-2) находится из соотношения
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
k −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
k |
|
|
k |
|
|||||
w0,2 |
= |
|
|
p0v0 |
1 |
− |
|
|
|
. |
(1.237) |
k −1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
p0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После подстановки выражения (1.237) в соотношение (1.229) получаем формулу для расчета скорости истечения газа в выходном сечении сопла
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
k −1 |
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
k |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
c2 = |
2w0,2 |
= |
|
|
p0v0 |
1 |
− |
|
|
|
. |
(1.238) |
k −1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
p0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления массовой скорости газа по уравнению (1.231) необходимо знать плотность газа в выходном сечении сопла ρ2 , значение которой определя-
ется из уравнения адиабаты p0v0k = p2v2k
ρ2 = 1 v0
|
|
|
1 |
|
p |
2 |
k |
|
|
|
|
. |
(1.239) |
|
|
|
|||
|
p0 |
|
|
После ряда несложных преобразований получим соотношение для расчета массовой скорости газа в выходном сечении сопла
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k −1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
2k |
|
p0 |
|
|
− |
p2 |
k |
|
p2 |
k |
. |
(1.240) |
||||||
u2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k −1 |
v |
p |
|
|
p |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем в уравнение (1.240) коэффициент расхода λ
Термодинамика в технологических процессах… |
73 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k −1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
k |
p2 |
k |
|
||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||
λ = |
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
(1.241) |
|||
k −1 |
p |
p |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и получим следующее соотношение для определения массовой скорости газа на выходе из сопла
u2 |
= λ 2 |
p0 |
. |
(1.242) |
|
||||
|
|
v0 |
|
Анализ уравнения (1.240) для массовой скорости потока показывает, что скорость газа изменяясь в зависимости от соотношения давлений в процессе истечения β = p2 / p0 , дважды обращается в нуль – при p2 / p0 =1 (нет движения),
а также при p2 / p0 = 0 (истечение в вакуум, р2 = 0).
Следовательно, значение массовой скорости проходит через экстремум (рисунок 1.23).
Соотношение давлений, при котором массовая скорость истечения становится максимальной umax , называется критическим (β = p2 / p0 = βкр ), а режим истечения при этом условии называется критическим режимом истечения.
Рис. 1.23. Зависимость линейной и массовой скоростей истечения газа от соотношения давлений в процессе истечения β
74 |
Часть 1 |
Для определения характеристик критического режима истечения обозначим
через ψ члены уравнения (1.240), зависящие от величины β = p2 (остальные p0
члены зависят лишь от параметров исходного состояния и природы газа)
|
|
|
|
|
k−1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
p2 |
k |
|
p2 |
k |
|
|||
ψ = |
1 |
− |
|
|
|
|
|
. |
(1.243) |
|
|
|
|||||||||
|
|
p0 |
|
|
p0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем в уравнение (1.243) дополнительно характеристику адиабатного расширения газа
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
k −1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
p v |
|
|
2 |
|
k |
|
||||||||||
|
|
|
|
τ = |
|
2 2 |
|
= |
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
p0v0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ = (1− τ) τ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
k −1 |
, |
|
|
|||||||||||||||
так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
k −1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
k −1 |
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
p2 |
k |
= |
|
p2 |
k |
|
|
|
|
|
|
= τ |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
k −1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
p0 |
|
|
p0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.244)
(1.245)
(1.246)
Очевидно, что массовая скорость достигнет максимального значения при таком же значении βкр, что и функция ψ .
Условием максимума функции ψ (которая зависит от соотношения давлений и показателя адиабаты) является
dψ |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
|
|
τ |
|
−1 |
− |
|
|
|
+1 |
τ |
|
k−1 |
= 0. |
(1.247) |
||
dτ |
|
k −1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
k −1 |
|
|
|
|
|
|
|
Исходя из соотношения (1.247), после преобразования, находим критическое значение характеристики адиабатного расширения сжимаемых жидкостей при
истечении τкр и критическое соотношение давлений βкр :
τкр = k 2+1;
|
k |
|
2 |
k |
||
|
|
|
|
|||
βкр = τкр |
k −1= |
|
k −1 . |
|||
|
||||||
|
|
k +1 |
|
|
(1.248)
(1.249)
Термодинамика в технологических процессах… |
75 |
Подставив выражение (1.248) в соотношение (1.238), получим выражение для расчета критической линейной скорости истечения
c = |
2 |
k |
p v 1− τ |
|
= |
2 |
k |
p v . |
(1.250) |
|||
|
|
|||||||||||
кр |
|
k −1 |
0 0 |
|
кр |
|
|
k +1 |
0 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом того, что справедливо следующее выражение
p |
v |
|
= |
( pv)кр |
, |
(1.251) |
0 |
|
|||||
0 |
|
|
τкр |
|
||
|
|
|
|
|
получаем следующие соотношения для расчета критической линейной скорости истечения:
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c = |
|
2k |
|
( pv)кр (k +1) |
|
||||
|
|
|
|
; |
(1.252) |
||||
|
|
|
|
||||||
кр |
|
k +1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
cкр = |
|
|
|
|
|
|||
|
|
k ( pv)кр |
, |
|
(1.253) |
где (pv)кр – потенциальная функция сжимаемой жидкости в сечении сопла, где
наблюдается критическая скорость истечения (1.248), (1.251).
Для обратимого адиабатного истечения любой сжимаемой жидкости критическая линейная скорость равна местной скорости звука в данной среде
a = |
k ( pv)кр |
. |
(1.254) |
Значение массовой критической скорости истечения определяется из соотношения
uкр = λкр 2 |
p0 |
. |
(1.255) |
|
|||
|
v0 |
|
Коэффициент расхода λкр при критическом режиме истечения находится при подстановке выражений (1.248) и (1.249) в соотношение (1.241)
λкр = |
k |
|
(1− τкр ) βкр |
2/ k = βкр |
k |
|
(1− τкр ) βкр2/ k −2] . |
(1.256) |
|
k −1 |
k −1 |
||||||||
|
|
|
|
|
Итоговое выражение для определения коэффициента расхода в критическом режиме истечения λкр имеет следующий вид:
|
кр |
|
βкр |
|
|
( |
) |
|
|
λ |
|
= |
|
k |
|
k +1 . |
(1.257) |
||
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76 |
Часть 1 |
Характеристики критического режима истечения сжимаемых жидкостей приведены в таблице 1.3.
Таблица 1.3
Характеристики критического режима истечения сжимаемых жидкостей
Показатель
адиабаты k 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
Соотношение давлений
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
0,5847 |
0,5645 |
0,5457 |
0,5283 |
0,5120 |
|
|
pкр |
|
|
2 k−1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
βкр = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
р |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характеристика расхода |
|
|
|
|
|
||||||||||
λкр = |
|
βкр |
|
|
|
|
|
|
|
0,4443 |
0,4586 |
0,4718 |
0,4842 |
0,4957 |
|
|
k (k +1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для природных газов значения критических параметров истечения изменяются в диапазонах: τкр=0,85 – 0,90; βкр=0,53 – 0,56; λкр=0,48 – 0,46.
Процессы истечения газа и паров в суживающихся соплах или через отверстия в тонких стенках имеют целый ряд особенностей. Одной из особенностей процессов истечения газа и паров в суживающихся соплах или через отверстия в тонких является невозможность реализации закритического режима истечения.
На рисунке 1.23 приведены графические зависимости изменения линейной с и массовой u скоростей истечения газов от соотношения давлений в процессе истечения β = p2 / p0 .
Область диаграммы, в которой βкр < β < 1 называется областью докри-
тического режима истечения. В этой области давление потока в выходном сечении сопла p2 равно давлению среды pср , в которую происходит истечение
( p2 = pср ), а при снижении давления среды pср наблюдается увеличение массо-
вого расхода через сопло G , а также линейной c2 и массовой u2 скорости по-
тока в выходном сечении сопла (рисунок 1.23).
После достижения критического соотношения давлений β = βкр наступает
критический режим истечения, при котором на выходе из сопла устанавливается критическое давление режима p2 = pкр = p0 βкр . Этот режим характеризуется
критическими значениями массового расхода Gкр , линейной c2 = cкр и массовой u2 = uкр скорости истечения в выходном сечении сопла.
Дальнейшее снижение давления среды pср , в которую происходит ис-течение
вещества, не приводит к снижению давления на выходе из сопла, которое остается неизменным и равным критическому давлению p2 = pкр . Это явление называется
Термодинамика в технологических процессах… |
77 |
«кризисом течения». В критическом режиме истечения скорость потока в выходном сечении сопла устанавливается равной местной скорости звука в данной среде c2 = cкр = a . С этой же скоростью (скоростью звука) в среде распространяется
любое возмущение.
Установившаяся в выходном сечении сопла критическая скорость истечения cкр препятствует подходу волны разряжения к этому сечению сопла, что и пре-
допределяет стабилизацию линейной скорости истечения на уровне критического значения даже при дальнейшем снижении давления среды. При данных условиях истечения ( pср < p2 = pкр ) для увеличения кинетической энергии потока
используется не весь располагаемый перепад давления ( p0 − pср ), а только часть
его ( p0 − p2 ).
Таким образом, при истечении через суживающиеся сопла и отверстия в тонких стенках возможны только два режима истечения – докритический
и критический. Процесс истечения через суживающиеся сопла |
и отверстия |
в тонких стенках возможен только при выполнении следующего условия: |
|
βкр ≤ β < 1 . |
(1.258) |
Для обеспечения закритического режима истечения, характеризующегося условием (c2 > cкр = a ), необходимо дополнить суживающееся сопло расши-
ряющейся частью, в выходном сечении которой возможно достичь значения давления ниже критического ( p2 < pкр ). Такое комбинированное сопло называ-
ется соплом Лаваля.
В комбинированных соплах для увеличения кинетической энергии потока может использоваться весь располагаемый перепад давления ( p0 − pср ).
Переход от выражений теоретических скоростей истечения с2, u2 к реальным их значениям c2д , u2д осуществляется с помощью коэффициентов скорости φ и расхода µ, определяемых опытным путем (значения φ и µ меньше единицы)
c2д = ϕ c2 ; u2д = µ u2 . |
(1.259) |
Процессы истечения паров и, в частности, водяного пара в ряде случаев рассчитываются с использованием h-s диаграмм (рисунок 1.24).
В обратимом адиабатном процессе из первого начала термодинамики при δq = 0 следует, что δw = −dh .
Используя уравнения первого начала термодинамики и распределения потенциальной работы (1.223) и учитывая, что для коротких насадок dz 0 , получим следующие соотношения:
если рассматривать процесс истечения 1–2 (рисунок 1.24)
78 |
Часть 1 |
c |
2 |
− c2 |
|
|
||
|
2 |
|
1 |
= h − h , |
(1.260) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.24. Процесс истечения водяного пара в h-s диаграмме
если же рассматривать истечение в процессе 0–1
с2 |
− с2 |
|
|
||
1 |
|
0 |
= h |
− h . |
(1.261) |
|
|
|
|||
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда энтальпия адиабатно заторможенного потока
|
= h + |
c2 |
|
|
h |
1 |
. |
(1.262) |
|
|
||||
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
В обратимом адиабатном процессе истечения 0–2 скорость в выходном сечении сопла может быть определена из соотношения
с2 = |
|
. |
|
2(h0 − h2 ) |
(1.263) |
Разность энтальпий между сечениями 0 и 2 ( h0 = h0 − h2 ) называется
раcполагаемым теплоперепадом.
В реальных процессах истечения при наличии необратимых потерь работы, действительная скорость истечения c2д будет несколько меньше и может быть определена из соотношения (1.259) или найдена с использованием внутреннего КПД сопла η0i .
Термодинамика в технологических процессах… |
79 |
Для определения внутреннего КПД сопла η0i следует оценить величину
работы необратимых потерь в действительных процессах истечения.
Работа необратимых потерь, обусловленная трением и завихрениями в реальном процессе истечения, может быть выражена соотношением
w** |
= (1− ϕ2 ) |
c |
2 |
, |
(1.264) |
|
2 |
||||
|
|
||||
0,2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
где ξ = (1− ϕ2 ) – коэффициент потери энергии.
Работа необратимых потерь превращается в теплоту внутреннего теплообмена
w0,2** = q0,2** = ξ (h0 − h2 ), |
(1.265) |
что приводит к увеличению значения энтальпии пара |
или газа на выходе |
из сопла в действительном процессе истечения по сравнению с обратимым адиабатным процессом
h2д = h2 + ξ (h0 − h2 ) |
(1.266) |
и снижению действительной скорости истечения по сравнению с теоретической
с2д = |
|
. |
|
2(h0 − h2д ) |
(1.267) |
Таким образом, работа необратимых потерь, обусловленная трением и завихрениями в реальном процессе истечения, обуславливает отклонение реального процесса истечения от обратимого адиабатного процесса в сторону возрастания энтропии (рисунок 1.24).
Разность энтальпий в реальном процессе истечения ( hi = h0 − h2д ) называ-
ется действительным теплоперепадом.
Степень совершенства действительного процесса истечения пара характеризуется внутренним КПД сопла
η |
= |
h − h |
|
||
0 |
2д |
. |
(1.268) |
||
|
|
||||
0i |
|
h0 |
− h2 |
|
|
|
|
|
Внутренний КПД сопла η0i используется для определения действительной скорости истечения паров на выходе из сопла
с2д = |
|
. |
|
2η0i (h0 − h2 ) |
(1.269) |
При магистральном транспорте газа потери газа достигают 1% от количества транспортируемого газа. Определенная часть потерь связана с утечками газа.
80 |
Часть 1 |
«Скрытые» утечки газа через неплотности
Под понятием «скрытых» утечек газа понимают утечки в замкнутой системе обвязок компрессорных станций при перетекании газа из области повышенного давления в область пониженного без выхода его в окружающую среду (атмосферу). При работе газоперекачивающих агрегатов утечки наблюдаются через краны, разделяющие обвязку трубопроводов на «высокую» и «низкую» стороны [13].
В этом случаи, при наличии неплотностей в данных кранах, газ перетекает из области нагнетания в область всасывания, т.е. практически постоянно циркулируя в этой системе и вызывая дополнительные затраты энергии на перекачку газа по компрессорной станции.
Учет возможных режимов работы компрессорной станции показывает, что «скрытые» утечки газа, приводящие к рециркуляции его в обвязке КС, могут иметь место в условиях только докритического режима истечения. Так как соотношение граничных давлений для нагнетателей практически не превышает
π ≤1,45.
Поэтому соотношение давлений для метана до и после крана даже для полнонапорных центробежных нагнетателей
p2 |
= |
1 |
= |
|
1 |
≈ 0,69 |
> βкр ≈ 0,54 . |
(1.270) |
|
p0 |
π |
1,45 |
|||||||
|
|
|
|
|
Рассмотрим режим перетекания газа из области с параметрами р1 , Т1 в область с параметрами р2 , Т2 (р1 > р2 , T1 > T2). При этом будем считать, что система трубопроводов до и после «худых» кранов относительно внешней среды полностью герметична, т.е. истечение газа в атмосферу не происходит.
При этом условии, в силу постоянства объемов обвязки трубопроводов газоперекачивающих агрегатов, можно записать
d(V) = d(G v) = v dG + G dv, |
(1.271) |
||||
что равнозначно |
|
|
|
|
|
|
dG |
= − |
dv |
. |
(1.272) |
|
|
|
|||
|
G |
|
v |
|
Соответственно, для трубопровода с большим и меньшим давлением газа около «худого» крана справедливы и следующие соотношения:
dG1 |
= − |
dv1 |
; |
dG2 |
= − |
dv2 |
. |
(1.273) |
G1 |
|
v1 |
G2 |
|
v2 |
|
Принимаем процесс истечения газа через неплотности крана адиабатным, а само изменение состояния газа в каждом из трубопроводов по обе стороны крана подчиняется уравнению политропы с постоянным показателем (1.101).