1 семестр / Контрольная работа 2 / Контрольная работа 2_Вариант_6
.docxКонтрольная работа по математике
Номер 2 вариант 6
Сергеев-Смирнов Сергей Николаевич
634057, Томск, пр. Мира 17/1 – 55
Задание 1
Запишите общее уравнение прямой, проходящей через точку M(2, 4) перпендикулярно прямой 3x + 4y + 5 = 0.
Решение:
Обозначим через V общее уравнение прямой, проходящую через точку M(2, 4) и перпендикулярную прямой 3x + 4y + 5 = 0. В качестве вектора нормали прямой V можно принять любой вектор, перпендикулярный N1(3, 4), так N2(4, -3). Записываем искомое уравнение 4x - 3y - (4 ∙ 2 – 3 ∙ 4) = 0 или 4x - 3y + 4 = 0.
Проверка:
A1 ∙ A2 + B1 ∙ B2 = 0 (условие перпендикулярности прямых)
3 ∙ 4 + 4 ∙ (-3) = 0; 0 = 0
Ответ: искомое уравнение 4x - 3y + 4 = 0.
Задание 2
Составьте уравнение прямых, проходящих через точку P(3, 5) на одинаковых расстояниях от точек A(-7, 3) и B(11, -15). В ответ ввести уравнение той прямой, которая отсекает от осей координат треугольник, расположенный в первой четверти.
Решение:
Так как прямая Ax + By + C = 0 проходит через точку P(3, 5), то 3A + 5B + C = 0, то, используя формулу
, где d - расстояние от точки до прямой
получим ,так как точки находятся
на равном расстоянии от прямой , или
|-7A + 3B + C| = |11A - 15B + C|, -7A + 3B + C = ± (11A - 15B + C)
-
-7A + 3B + C = 11A - 15B + C
-18A + 18B = 0
A - B = 0
-7A + 3B + C = -11A + 15B - C
4A - 12B + 2C = 0
2A - 6B + С = 0
Составляем две системы уравнений:
Общее уравнение искомых прямых можно записать:
Ответ: 3x - 5y - 8 = 0
Задание 3
Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через точки M1(4, 2, 1) и M2(3, 3, 2) параллельно вектору AB = (4, -3, -2).
Решение:
Данная плоскость параллельна векторам l1 = M1M2 = (-1, 1, 1) и l2 = AB = (4, -3, -2), поэтому ее вектор нормали
.
Запишем уравнение плоскости x + 2y – z + D = 0.
Так как плоскость проходит через точки M1 и M2, то находим D
4 + 2*2 - 1 = 7,
3 + 2*3 - 2 = 7.
Ответ: общее уравнение плоскости x + 2y - z + 7 = 0
Задание 4
Найдите координаты проекции начала координат на прямую
.
Решение:
Находим уравнение прямой (обозначим L).
2) Найдем точку P(x1, y1), являющуюся: а) проекцией точки O(0, 0) на прямую L, б) точкой пересечения L и перпендикуляра OP, проходящего через точку O. Так как угловой коэффициент заданной прямой k1 = -A/B = 3/4, то угловой коэффициент OP k2 = B/A = - 4/3 (из условия перпендикулярности прямых k1 = -1/k2). Уравнение примет вид .
3) Вычислим координаты точки P, решая систему уравнений
Ответ: P(33/25, -44/25).
Задание 5
При каком значении параметра С прямая параллельна плоскости .
Решение:
а) Так как , то неизвестное z системы (а) можно принять в качестве свободного и записать . Находим общее решение этой системы, выражая x и y через z . Примем z = t и запишем параметрические и канонические уравнения прямой.
б) Из условия задачи прямая и плоскость параллельны, значит угол φ между ними равен нулю и . В результате имеем .
Ответ: C = -2
Задание 6
Две грани куба лежат на плоскостях 3x – 6y + 2z – 5 = 0 и 3x – 6y + 2z + 30 = 0. Найти объем куба.
Решение:
Грани куба лежат на параллельных плоскостях, так как отношения коэффициентов при соответствующих переменных пропорциональны т. е. . Чтобы найти объем куба, нужно вычислить ребро, а это расстояние между плоскостями. Возьмем точку M(0; 0; 2,5) принадлежащей плоскости 3x - 6y + 2z – 5 = 0 и найдем расстояние d между точкой M и плоскостью 3x – 6y + 2z + 30 = 0
Ответ: Объем куба равен 125.
Задание 7
Докажите, что уравнение x2 + y2 + z2 - 4x + 6y - 8z - 35 = 0 определяет сферу. Найти координаты (x0, y0, z0) ее центра и радиус R. В ответе записать четверку чисел (x0, y0, z0, R).
Решение:
Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты:
.
Следовательно, данное уравнение определяет сферу с центром в точке C(2, -3, 4) и радиуса R = 8.
Ответ: (2, -3, 4, 8)
Задание 8
Дана кривая 25x2 + 16y2 – 350x + 825 = 0.
Докажите, что кривая – эллипс.
Найдите координаты центра его симметрии.
Найдите его большую и малую полуоси.
Запишите уравнение фокальной оси.
Постройте данную кривую.
Решение:
Преобразуем уравнение кривой, выделив полные квадраты:
Вводим новые переменные
или - каноническое уравнение эллипса.
2) Центр симметрии находится в точке (7, 0).
3) Большая полуось , малая полуось .
4) Фокальной осью является ось абсцисс, т. е. y = 0
5)
Задание 9
Дана кривая 14 y = ( x - 8 )2.
Докажите, что данная кривая – парабола.
Найдите координаты ее вершины.
Найдите значение ее параметра p.
Запишите уравнение ее оси симметрии.
Постройте данную параболу.
Решение:
Раскроем скобки: 14y = x2 - 16x + 64. Заменим x на (x1 + a) и y на (y1 +b), где a и b – координаты вершины параболы. Выбираем a и b так, чтобы коэффициенты при x1 и свободном члене были равны нулю.
14(y1 + b) = (x1 + a)2 - 16(x1 + a) + 64
14y1 – x12 – 2x1(a – 8) + (14b + 16a – 64 – a2) = 0
-
a – 8 = 0 и
14b + 16a – 64 – a2 = 0
a = 8
b = 0
14y1 – x12 = 0
x12 = 14y1 – каноническое уравнение параболы.
x0 = 8, y0 = 0 – координаты вершины параболы.
p = 7.
Осью симметрии является прямая, проходящая через точку (8, 0) и параллельная оси ординат, т. е. x = 8.
5)
Задание 10
Дана кривая x2 + y2 + 3xy + x + 4y = 0,5.
Докажите, что эта кривая – гипербола.
Найдите координаты ее центра симметрии.
Найдите квадраты ее действительной и мнимой полуосей.
Запишите общее уравнение фокальной оси.
Постройте данную гиперболу.
Решение:
Если кривая второго порядка задана уравнением Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey +F = 0, то, применив преобразование поворота осей координат на угол α, с использованием формул x = x'cos α - y'sin α, y = x'sin α - y'cos α, следует при надлежащем выборе α освободиться в уравнении от члена с произведением координат. Так как по условию задачи A = C = 1, то угол α находим из формулы:
, отсюда
и
, примем ,
получим - каноническое уравнение гиперболы, сопряженной с
Произведем преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало O' по формулам . Оси O'x'' и O'y'' направлены по прямым y = - x – 1 и y = x + 3.
Центром симметрии гиперболы является точка с координатами (-2, 1)
a2 = 1/5, b2 = 25
Уравнение фокальной оси y = - x - 1