Учебники / Физика конденсированных сред
.pdf§ 1. Характер движения броуновской частицы |
91 |
только со случайными флуктуациями числа соударений молекул жидкости с частицей. Иначе говоря, величина и направление этой силы f (t) является случайной величиной, зависящей от времени.
Поскольку среда изотропна, а частица сферически-симмет- рична, достаточно рассмотреть одномерное движение вдоль оси X . Оставаясь в рамках классической механики, запишем уравнение движения
m · x¨ + γ · x˙ = f (t). |
(2.1) |
При записи уравнения (2.1) мы учли, что сила сопротивления ориентирована в направлении, противоположном направлению скорости. Это уравнение называется уравнением Ланжевена с источником случайных сил в правой части.
Легко получить формальное решение уравнения Ланжевена. С точки зрения теории дифференциальных уравнений, уравнение (2.1) представляет собой линейное неоднородное уравнение первого порядка относительно скорости vx = x˙ и его решением является суперпозиция общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения
vx(t) = vx(0) e−γ/m t + |
1 |
t e−γ/m (t−t1) f (t1)dt1. |
(2.2) |
m |
|||
0 |
|
Естественно, что формальное решение (2.2) пока не дает каких-либо новых результатов, поскольку функция f (t) неизвестна. Чтобы продвинуться вперед в решении проблемы движения броуновской частицы, следует изучить свойства функции f (t) .
Ланжевеновский источник – это случайная функция времени. Поэтому если выбрать достаточно большой временной интервал T , то среднее значение этой силы будет равно нулю:
1 T
f (t) = T 0 f (t1)dt1 = 0.
92 |
Глава 2. Броуновское движение |
В этой задаче имеется по меньшей мере два временных масштаба. Один из них связан с временем взаимодействия отдельной молекулы с броуновской частицей. Это характерное время τ0 можно оценить как отношение радиуса действия межмолекулярных сил r0 10−8 см к тепловой скорости движения молекул vт 105 см/с :
τ0 |
|
r0 |
|
10−8 cм |
10−13 с. |
|
v |
105 |
/ |
||||
|
|
т |
|
см с |
|
Другое характерное время связано с релаксацией скорости броуновской частицы в жидкости. Из формулы (2.2) следует, что если нет случайных сил, то скорость частицы
vx(t) = vx(0) e−γ/m t
релаксирует с частотой релаксации 1/τ γ/m ; τ m/γ.
|
Если взять характерные значения величин, которые ре- |
||||||||
ализовались, |
например, |
в классических |
опытах Перрена: |
||||||
R |
|
10−7 м , |
m |
|
10−17 кг , вязкость воды |
η |
|
10−3 кг/м с , |
|
|
|
|
9 |
8 |
|
|
|||
γ |
= 6 π R η |
|
|
|
|
|
|||
|
2 10− кг/с , то получается величина, суще- |
||||||||
ственно большая, нежели |
τ0 : τ 10− c. Поэтому если нас |
интересует броуновское движение частицы на временах, больших, нежели время τ , то необходимо произвести усреднение уравнений движения (2.1) на временном интервале порядка τ . Тогда очевидно, что отдельные акты соударений можно будет не учитывать.
Рассмотрим поведение случайной силы при таком усреднении. Очевидно, что среднее значение этой силы f (t) на временном интервале τ будет равно нулю. Однако равенство нулю среднего значения еще не дает полной характеристики случайной величины. Не менее важной характеристикой является корреляция ее значений в разные моменты. Для характеристики взаимосвязи значений случайной силы, взятых в разные моменты времени, будем использовать парную корреляционную функцию Kf (t1, t2) , которую определим следующим образом:
Kf (t1, t2) = f (t1) f (t2) − f (t1) f (t2) ≡ |
|
≡ (f (t1) − f (t1) ) (f (t2) − f (t2) ) . |
(2.3) |
§ 1. Характер движения броуновской частицы |
93 |
Очевидно, что парная корреляционная функция (2.3), в силу однородности времени, зависит только от разности времен-
ных аргументов t1 − t2 : Kf (t1, t2) = Kf (t1 − t2) . Для рассматриваемого нами процесса средние значения случайной си-
лы f (t1) = f (t2) = 0 . Поэтому можно считать, что
Kf (t1, t2) = f (t) f (0) ,
где t = t1 − t2 . Основываясь на том, что в этой задаче есть два сильно различающихся временных масштаба, можно попытаться смоделировать поведение корреляционной функции Kf (t1, t2) = f (t1 − t2) f (0) . Поскольку длительность каждого акта столкновений порядка τ0 , то случайные силы f (t1) и f (t2) коррелированы только в том случае, когда t = t1 −t2 ≤ τ0 . Аппроксимируя временное поведение корреляционной функции самым грубым образом, будем считать, что корреляционная функция постоянна и равна некоторой величине C , если |t| ≤ τ0 , и равна нулю, если |t| ≥ τ0 :
f |
0 ||t|| |
≥ τ0. |
|
K (t, 0) = |
C t |
≤ τ0, |
(2.4) |
На рис. 16 а схематически изображено временное поведение случайной силы f (t) , а на рис. 16 b – график зависимости корреляционной функции Kf (t, 0) от времени, задаваемый уравнением (2.4).
Рис. 16. Временное поведение случайной функции f (t) (а) и корреляционной функции Kf (t, 0) (b)
94 |
Глава 2. Броуновское движение |
Поскольку в грубом временном масштабе τ величина временного интервала τ0 может считаться очень малой, то, упрощая формулу(2.4), можно принять, что случайные силы коррелируют только в том случае, если их аргументы совпадают:
Kf (t1 − t2) = C δ(t1 − t2). |
(2.5) |
Перейдем к Фурье-представлению Kf (ω) для корреляционной функции случайных сил:
|
∞ |
|
∞ |
|
|
Kf (ω) = |
|
Kf (t)eiωtdt = C |
|
δ(t)eiωtdt = C. |
(2.6) |
|
−∞ |
|
−∞ |
|
|
Величину Kf (ω) часто называют также с п е к т р а л ь - |
н о й п л о т н о с т ь ю корреляционной функции случайных сил. Из формулы (2.6) следует, что Kf (ω) = C и не зависит от частоты. Случайный процесс, для которого спектральная плотность парной корреляционной функции не зависит от частоты, называется б е л ы м ш у м о м (название получил от белого света, содержащего электромагнитные волны частот всего видимого диапазона электромагнитного излучения с равными интенсивностями).
Из формулы (2.6) следует, что константа C определяет спектральную интенсивность случайной силы. Выразим ее через средний квадрат флуктуаций скорости. Как уже указывалось, при t > τ среднее значение случайной силы равно нулю. Поэтому, усредняя уравнение (2.2) по временному интервалу t τ , получаем
vx(t) = vx(0) e−t/τ , |
1 |
= |
γ |
|
|
|
. |
||
τ |
m |
Отсюда следует, что флуктуация скорости полностью определяется случайной силой:
vx(t) |
− |
vx(t) |
|
= |
1 |
t e−γ/m (t−t1) f (t1)dt1. |
(2.7) |
|
|||||||
|
|
|
m 0 |
|
§ 1. Характер движения броуновской частицы |
95 |
Определим величину, которая будет иметь смысл среднего квадрата флуктуации скорости:
Dv (t) = (vx(t) − |
vx(t) |
)2 . |
(2.8) |
В этой формуле мы для упрощения записи использовали обозначение vx(t) ≡ vx(t) . Подставляя в формулу (2.8) выражение для флуктуации скорости (2.7), получаем
Dv (t) = |
1 |
t t e−(t−t1)/τ e−(t−t2)/τ Kf (t1 |
− |
t2)dt1dt2. (2.9) |
|
2 |
|||||
|
m |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что, согласно формуле (2.5), Kf (t1−t2) = Cδ(t1− t2) , произведем интегрирование по временному аргументу t2 в выражении (2.9):
Dv (t) = |
С |
t e−2(t−t1)/τ dt1 = |
C |
|
e−2t/τ |
t e2t1/τ dt1 = |
||
m2 |
m2 |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
. |
0 |
|
|
= |
C τ |
1 − e−2t/τ |
(2.10) |
|||
|
|
|
||||||
|
|
2m2 |
Выражение (2.10) определяет квадрат скорости хаотического движения броуновской частицы:
|
|
|
C τ |
1 − e−2t/τ . |
|
Dv (t) = Kv (t, t) = (vx(t) − vx(t) )2 = |
|||||
|
|||||
2m2 |
Этот факт можно использовать для определения константы C . Оценку величины спектральной интенсивности случайной силы C можно получить, если вспомнить теорему о равномерном распределении энергии хаотического движения по степеням свободы. На одну степень свободы должна приходиться энергия, равная kБT /2 , где kБ – постоянная Больцмана, T − абсолютная температура. Поэтому для времен t τ имеем
m |
|
|
2 |
|
C τ |
|
kБT |
|
|
|
|
||||||
|
(vx(t) − vx(t) ) |
= |
|
= |
|
. |
||
2 |
4m |
2 |
96 |
Глава 2. Броуновское движение |
Отсюда получается простая оценка для величины C :
C = 2 kБT m ≡ 2 kБT γ.
τ
Теперь можно записать выражение для парной корреляционной функции случайных сил в окончательной форме:
Kf (t1 − t2) = 2 kБT γ δ(t1 − t2), Kf (ω) = 2 kБT γ. (2.11)
Выражение (2.11) известно в литературе как одна из возможных формулировок флуктуационно-диссипационной теоремы, связывающей флуктуации случайных сил в равновесном состоянии с параметрами, характеризующими необратимые процессы (параметр γ определяет частоту релаксации импульса броуновской частицы в жидкости).
Найденная выше величина (2.8) по своему смыслу является парной корреляционной функцией флуктуаций скоростей броуновской частицы, взятых в один момент времени: Dv (t) = = Kv (t, t) . Можно обобщить этот результат и определить корреляционную функцию флуктуаций компонент скорости, взятых в разные моменты времени:
Kv (t1, t2) = (v(t1) − v(t1)) (v(t2) − v(t2) . |
(2.12) |
Задача 2.1
Используя выражение (2.12), определить временное поведение парной корреляционной функции компонент скорости броуновской частицы.
Решение
Воспользуемся выражением (2.7) для флуктуации скорости броуновской частицы и подставим его в определение (2.12). В результате этой операции удается выразить корреляционную функцию компонент скорости через коррелятор случайных сил Kf (t1, t2) :
|
1 |
t1 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
Kv (t1, t2) = |
dt |
dt e−(t1−t)/τ |
e−(t2 |
−t )/τ |
|
f (t) f (t ) |
. (2.13) |
||
2 |
|||||||||
|
m |
0 |
0 |
|
|
|
|
§ 2. Смещение броуновской частицы |
97 |
Воспользуемся флуктуационно-диссипационной теоремой (2.11),
согласно которой f (t) f (t ) = Kf (t−t ) = 2 kБT γ δ(t−t ) . Подставляя этот результат в выражение (2.13) и интегрируя по t , получаем
|
|
|
2 k |
T γ |
t1 |
|
|
Kv (t1, t2) = |
|
Б |
|
e−(t1+t2)/τ dt e2 t/τ = |
|
||
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
m |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
T τ γ |
|
|
|
||
= |
|
Б |
|
e−(t2−t1)/τ (1 − e−2 t1/τ ). |
(2.14) |
||
|
m2 |
|
Учитывая, что средний квадрат тепловой скорости броуновской частицы v2 = kБT /m , а обратное время релаксации скорости 1/τ = = γ/m , выражение (2.14) можно существенно упростить:
Kv (t1, t2) = |
v2 |
e−(t2−t1)/τ (1 − e−2 t1/τ ). |
(2.15) |
Легко видеть, что если t1 = t2 = t , то мы возвращаемся к результату (2.10).
§ 2. Смещение броуновской частицы
Смещение броуновской частицы легко определить, интегрируя выражение для скорости (2.2):
x(t) − x(0) = vx(0) |
t dt1 e−γ/m t1 + |
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
t |
t1 |
|
|
|
+ |
dt1 |
dt2 e−γ/m (t1−t2) f (t2). |
(2.16) |
|||
m |
||||||
0 |
0 |
|
|
Найдем среднее смещение броуновской частицы из начального положения к моменту времени t . Выполняя усреднение в левой и правой частях равенства (2.16) с учетом того, что
среднее значение случайной силы f (t2) = 0 , находим
|
|
m |
|
||
x(t) = x(0) + vx(0) τ (1 − e−t/τ ); τ = |
(2.17) |
||||
|
. |
||||
γ |
Из формулы (2.17) следует, что при t τ x(t) = x(0) + vx(0) t . Это означает, что смещение броуновской частицы при t τ все еще происходит по законам классической динамики.
98 |
Глава 2. Броуновское движение |
Найдем дисперсию смещения броуновской частицы Dx(t) = = (x(t) − x(t))2 . Для этих целей предварительно упростим двойной интеграл в правой части формулы (2.16), изменив порядок интегрирования по переменным t1 и t2 . В итоге с учетом (2.17) получаем
x(t) − x(0) = vx(0) τ (1 − e−t/τ ) + |
|
|||
+ |
1 |
t dt2 f (t2) t dt1 e−(t1−t2)/τ . |
(2.18) |
|
m |
||||
0 |
t2 |
|
Интеграл по переменной t1 в правой части формулы (2.18) легко вычисляется. В результате получаем простую формулу для флуктуации смещения
x(t) |
|
|
= |
τ |
t dt2 f (t2) (1 |
|
e−(t−t2)/τ ). |
(2.19) |
|
− |
x(t) |
− |
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
m 0 |
|
|
Подставляя последний результат в формулу дисперсии смещения броуновской частицы, получаем
|
|
|
|
Dx(t) = (x(t) − |
|
|
|
||||||
|
|
t |
t |
x(t))2 = |
|
||||||||
= |
τ 2 |
dt1 |
dt2Kf (t1 |
− |
t2)(1 |
− |
e−(t−t1)/τ )(1 |
− |
e−(t−t2)/τ ). (2.20) |
||||
m2 |
|||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Учитывая δ -образный характер источника случайных сил
Kf (t1 − t2) δ(t1 − t2),
можно выполнить интегрирование по переменным t1 и t2 . В итоге получаем легко интерпретируемую формулу для дисперсии смещения броуновской частицы:
|
|
Dx(t) = (x(t) − |
|
|
|
|
||
|
2kБT τ |
x(t))2 = |
− e2t/τ ) . |
|
||||
= |
t − 2τ (1 − e−t/τ ) + |
τ |
(1 |
(2.21) |
||||
m |
2 |
§ 2. Смещение броуновской частицы |
99 |
Из полученного выражения следует, что в пределе малых времен t/τ 1 с точностью до квадратичных членов по малому параметру Dx = 0 . При t τ из формулы (2.21) следует линейный рост дисперсии как функции времени
Dx(t) = 2kБT τ (t − 3 τ ). m 2
Экспериментально значительно проще проверить формулу для дисперсии смещения броуновской частицы, вычисленной относительно начальной координаты броуновской частицы x0 ,
а не среднего смещения x(t) . Поэтому следует преобразовать дисперсию (2.21) к формуле дисперсии, где отклонение исчисляется от начальной координаты x0 . Формулу такого пересчета легко получить самостоятельно:
(x(t) − x0)2 = (x(t) − x(t) )2 + (x(t) − x0)2.
Учитывая, что x(t) − x0 может быть найдено из выражения (2.17), получаем формулу Ланжевена для дисперсии смещения броуновской частицы
2
(x(t) − x0)2 = (x(t) − x(t) )2 + (v0τ )2 1 − e−t/τ . (2.22)
Рассмотрим поведение дисперсии смещения на временах, много меньших и много больших характерного времени релаксации импульса броуновской частицы τ . В пределе малых t τ Dx(t) = 0 с точностью до квадратичных членов по параметру t/τ . Поэтому, раскладывая второе слагаемое в правой части формулы (2.22) по малому параметру t/τ , имеем
(x(t) − x0)2 v02 t2, |
t |
1. |
(2.23) |
|
|||
τ |
В пределе t/τ 1 вторым слагаемым в правой части (2.22) можно пренебречь, и мы получаем формулу Эйнштейна для дисперсии смещения броуновской частицы относительно начального положения:
2 |
|
2kБT τ |
|
t |
1. |
|
(x(t) − x0) |
|
|
t, |
|
(2.24) |
|
m |
τ |
100 |
Глава 2. Броуновское движение |
Найденные выше результаты временного поведения дисперсии скорости и дисперсии смещения броуновской частицы относительно x0 приведены на рис. 17. Дисперсия скорости измерена в единицах kБT /m , а дисперсия смещения – в единицах kБT /m τ 2 . Рис. 17a демонстрирует релаксацию скорости броуновских частиц к максвелловскому распределению. Видно, что при переходе от механического описания к описанию в грубой временной шкале за время t τ /2 устанавливается максвелловское распределение по скоростям и частица забывает свою начальную скорость v0 . В то же время смещение броуновской частицы продолжает сохранять черты механического поведения, поскольку при t τ дисперсия смещения броуновской частицы, согласно формуле (2.23), пропорциональна t2 .
На рис. 17b пунктирной линией показано поведение дисперсии смещения на малых временах t τ . Прямая линия соответствует поведению дисперсии смещения при очень больших временах t τ . Нижняя кривая соответствует дисперсии смещения, вычисленной по формуле Ланжевена (2.22) в предположении, что v02 = kБT /m .
Рис. 17. Временное поведение дисперсии скорости (а) и дисперсии смещения (x(t) − x0)2 (b) броуновской частицы