твимс кр / Лекции 2-3

Формула из теоремы

( ) ≈

1

∙ ( ), где

√

При > 0,1

или > 9

Муавра-Лапласа

= −, ( ) = 1

∙ − 2

2

√

√2

Формула из теоремы

( ) ≈

∙ −,

!

≤ 0,1 и ≤ 9

Пуассона	где =

Пример. Вероятность брака на фабрике кожаных изделий составляет p=0,01. Найти вероятность того, что в произведенной партии из 100 изделий не более одного бракованного изделия.

►Вероятность того, что в партии не более одного бракованного изделия означает, что в партии нет бракованных изделий, либо только одно бракованное изделие. Соответственно, искомая вероятность равна: (0) +(1). По условию, = 100, = 0,01 = 1, т.е. ≤ 0,1 и ≤ 9.

Согласно таблице 1, применим приближенную формулу Пуассона: = =

100 ∙ 0,001 = 1,	(0) +	(1) =	(2) ≈	12	∙ −1 =	1	≈ 0,184. ◄
		100	2!			2∙

11

Пуассона.

Наконец, нам потребуется еще один способ вычисления вероятности того,

что в серии испытаний Бернулли число успехов попадет в интервал от 1 до

2 для случая когда велико и 2- 1 также значительно. При таких условиях

12

нам не особенно поможет формула (5), следующая из локальной теоремы Муавра-Лапласа. В этом случае используется следующая теорема

2.3.Интегральная теорема Муавра – Лапласа

Если вероятность наступления события A в серии независимых испытаний равна , постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность (1, 2)

того, что число m наступлений этого события A лежит в границах от 1 до 2,

при → ∞ имеет своим пределом

																						2
																	1					2
																						∫ − 2 ,
																		√2				1
где	=	1−			,			=			2−					.
1		√					2				√
Из этой теоремы следует, что при достаточно больших справедливо
приближенное равенство:
																	2
			(				,		)	≈				1			∫ 2 −					= ∫ 2 ( ) .
								2												2			(7)
			1										√2				1					1
К	сожалению,										первообразная функции ( ) не												выражается через

элементарные функции. Обозначим одну из этих первообразных Φ(t), а

именно: Φ(t)=∫0 ( ) . Эту функцию называют нормированной функцией Лапласа.

Выразим правую часть равенства (7) через функцию Лапласа:

13

Тогда
	(	,		) ≈ Φ(	) − Φ(	), где	=	1−			,		=	2−			.	(8)
	1		2	2	1	1		√				2		√

Функция Лапласа имеет важное значение в теории вероятностей и для нее также составлена таблица значений (приложение 2).

Свойства функции Лапласа:

1.Функция Лапласа Φ(t) нечетная, т.е. Φ(-t)=-Φ(t). Поэтому в таблице приведены значения функции только при положительных значениях аргумента.

2.При > 5 можно считать, что Φ( ) ≈ 0,5.

14

Пример. Вероятность того, что товар мясного комбината не прошел проверку на соответствие ГОСТ равна 0,2. Какова вероятность того, что в партии из 400 изделий мясокомбината, непроверенных изделий окажется от 70

до 100?

►По условию задачи известно, что = 0,2 = 1 − = 0,8; = 400,1 = 70, 2 = 100. Используем формулу (8), следующую из интегральной теоремы Лапласа, сделав предварительные вычисления:

=

1

−

=

70 − 400 ∙ 0,2

=

−10

= −1,25;

1

√ √400 ∙ 0,2 ∙ 0,8

8

2 − 100 − 400 ∙ 0,2

20

=

=

=

= 2,5.

2

√ √400 ∙ 0,2 ∙ 0,8

8

Таким образом, по формуле (8), имеем:

400(70,100) = Φ(2,5) − Φ(−1,25) = Φ(2,5) + Φ(1,25).

В приложении 2 определяем значения функции Лапласа: Φ(2,5) = 0,4938;

Φ(1,25) = 0,3944.

Итак, искомая вероятность равна:

400(70,100) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882. ◄

Применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа дает достаточно хорошее приближение, если достигает нескольких десятков. В случае,

когда не требуется большой точности, применение формулы, следующей из этой теоремы, возможно уже при ≥ 9. Отметим также, что эта формула дает наилучший результат, если пределы 1 и 2 лежат по разные стороны от

.

Но как найти вероятность того, что отклонение относительной частоты

от постоянной вероятности не превышает по абсолютной величине

некоторого положительного > 0? Иными словами, (| − | ≤ ) =?

15

Раскрывая модуль, положим 1 = −√ , 2 = √ .

Используя несложные преобразования и интегральную теорему Лапласа получим:

	(| − | ≤ ) 2 (√		).	(9)
	Итак, вероятность того, что отклонение относительной частоты					от

постоянной вероятности не превышает по абсолютной величине некоторого положительного > 0 равна значению удвоенной функции Лапласа при =

√ .

Пример. При проведении испытаний с лазерными импульсами,

вероятность ошибки составляет 0,1. Сколько испытаний нужно провести,

16

чтобы с вероятностью, равной 0,95 относительная частота появления ошибки отклонится от постоянной вероятности не более чем на 0,03 по модулю?

►По условию задачи известно, что = 0,1 = 1 − = 0,9; = 0,03,

а (| − 0,1| ≤ 0,03)=0,95. Чтобы найти количество испытаний

воспользуемся формулой (9) и в силу условий задачи:

2 (0,03√0,1∙0,9) = 2 (0,1 ∙ √ ) = 0,95 (0,1 ∙ √ ) = 0,475.

Из приложения 2 имеем: (1,96) = 0,475. Для определения количества испытаний , решим уравнение: 0,1 ∙ √ = 1,96 = 384.

Таким образом, если провести 384 испытания, то в 95% относительная частота появления ошибки будет заключена в границах от (0,1 − 0,03) = 0,07 до (0,1 + 0,03) = 0,13, т.е. число ошибок в 95% испытаний будет заключено между (7% от 384) до (13% от 384). ◄

Задачи для самостоятельного решения

1.В отделении банка 7 видеокамер. Вероятность того, что видеокамера включена равна 0,8 для каждой. Какова вероятность того, что в данный момент: а) включено 5 видеокамер; б) все камеры выключены?

2.В восьми независимых испытаниях вероятность появления успеха равна 0,2. Какова вероятность того, что успех наступит хотя бы 2 раза?

3.При стрельбе по мишени вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9. Вероятность поражения цели при 5 попаданиях равна

0,00001. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если сделано

два выстрела.

4.Вероятность поражения цели каждой из трех ракет, запускаемых независимо друг от друга, равна 0,8. Какова вероятность всех случаев попадания в цель?

5.В интернет-магазин поступили мобильные телефоны Samsung в

количестве 200 штук. Известно, что вероятность брака таких телефонов

17

составляет 0,02. Какова вероятность того, что в поступивших в магазин

телефонах не более одного бракованного?

6.В урне 99 черных и 1 белый шар. Производится 200 извлечений шара из урны, причем после каждого извлечения шар возвращается в урну, и шары перемешиваются. Найти вероятность появления не менее двух белых шаров.

7.Какова вероятность того, что в 300 испытаниях событие наступит ровно 87 раз, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2?

8.В тире у стрелка 100 попыток выстрелов по мишени. Вероятность поразить мишень при одном выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что при использовании всех попыток мишень будет поражена не менее 75 и не более 85 раз?

9.Событие A появляется в каждом из 5000 испытаний с вероятностью

0,75. Какова вероятность того, что относительная частота появления события

A отклонится от его вероятности по модулю не более чем на 0,002?

10.В магазине расфасовывают абрикосы по одному килограмму в упаковку. Всего поступило 10 000 килограммов абрикос. Вероятность попадания некачественного продукта в упаковку равна 0,2 Какое отклонение относительной частоты появления некачественных абрикос в упаковке от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9?

11.Сколько раз нужно подбрасывать монету, чтобы с вероятностью 0,7

отклонение относительной частоты появлений «решки» было по абсолютной

величине не более 0,001?

18