- •Методические указания
- •151900.68 «Конструкторско-технологическое
- •Лабораторная работа 1 статистическая оценка параметров распределения, гистограмма. Доверительный интервал
- •Лабораторная работа № 2 выравнивание статистических рядов
- •10. Практические задания
- •Лабораторная работа n3 сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов
- •Лабораторная работа № 4 однофакторный дисперсионный анализ
- •Библиографический список
- •2. Хрущева и.В. / и.В. Хрущева, в.И. Щербаков, д.С. Леванова Основы математической статистики и теории случайных процессов.- Лань, 2009.
- •Содержание
- •151900.68 «Конструкторско-технологическое
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический
университет»
Кафедра технологии машиностроения
- 2014
Методические указания
к выполнению лабораторных и практических работ
по дисциплине
“Планирование и методика экспериментальных исследований” для студентов направления подготовки магистров
151900.68 «Конструкторско-технологическое
обеспечение машиностроительных производств»
всех форм обучения
Воронеж 2014
Составитель канд. техн. наук А.В. Перова
УДК 519.242
Методические указания к выполнению лабораторных и практических работ по дисциплине "Планирование и методика экспериментальных исследований" для студентов направления подготовки магистров 151900.68 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» всех форм обучения / ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный технический университет"; сост. А.В. Перова. Воронеж, 2014. 25 с.
Методические указания включают краткие теоретические сведения по основам планирования эксперимента, методику и порядок выполнения лабораторных и практических работ, снабжены перечнем рекомендуемой литературы и конкретными примерами методов экспериментальных исследований в машиностроении.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word XP и содержится в файле ПиМЭИ.doc.
Табл. 14. Ил. 4. Библиогр.: 4 назв.
Рецензент д-р. техн. наук, проф. А.И. Болдырев
Ответственный за выпуск зав. кафедрой
канд. техн. наук И.Т. Коптев
© ФГБОУ ВПО
"Воронежский государственный
технический университет", 2014
Лабораторная работа 1 статистическая оценка параметров распределения, гистограмма. Доверительный интервал
Целью лабораторной работы является обучение наиболее эффективному овладению практикой вычислений и навыкам использования основных формул и алгоритмов математической статистики.
1. При конкретных практических исследованиях в распоряжении имеется ограниченное число реализации случайной величины X, образующих выборочную совокупность (выборку). По выборке можно вычислить оценки соответствующих статистических характеристик генеральной совокупности.
2. Выборка представляется простым статистическим рядом. Обычно такой ряд оформляют в виде таблицы с одним входом, в первой строке которой стоит номер опыта, а во второй - реализации случайной величины.
-
Таблица 1
i
1
2
3
...
n
xi
x1
x2
x3
...
xn
3. Состоятельные несмещенные оценки математического ожидания ( ) и дисперсии ( ) имеют следующий вид:
, (1)
. (2)
Эти формул могут быть использованы для непосредственного расчета по данным простого статистического ряда; расчет становится громоздким при большом объеме выборки (n - большое). В этом случае выборку удобнее оформлять в виде статистического (вариационного) ряда.
4. Выборка преобразуется в форму статистического (вариационного) ряда по следующему правилу:
4.1. Весь диапазон, изменения [xmin; xmax ] случайной величины делится на k интервалов, где k, приближенно можно выбрать по полуэмпирической формуле:
k = 1 + 3,2 lg n (3)
с округлением до ближайшего целого. Длины всех интервалов выбираются равными
= . (4)
4.2. Подсчитывается mi (1 i k) – число реализаций случайной величины, попавших в I-й интервал. Если значение xi попадает на границу внутри диапазона изменения Х между i - м и i + 1 - м интервалами, то рекомендуется к mi и mi+1 прибавить по 1/2. Определяется относительная частота, соответствующая каждому интервалу
= . (5)
4.3. Статистический (вариационный) ряд оформляется в виде таблицы
-
Таблица 2
X
x1; x2
x2; x3
…
xi; xi+1
…
xk; xk+1
mi
M1
m2
…
mi
…
mk
…
…
4.4. Статистический (вариационный) ряд может оформляться графически в виде гистограмм. Гистограмма изображается в виде прямоугольников, площадью, равной относительной частоте соответствующих интервалов, основанием которых служат длины интервалов , отложенные по оси абсцисс (рис. 1).
Рис.1
З а м е ч а н и е. Количество интервалов, их длины, а также масштаб могут изменяться в зависимости от решаемых задач.
5. По построенному статистическому (вариационному) ряду несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии вычисляются так
= , (6)
= , (7)
где = - координата середины i -го интервала.
6. Интервал I = ( - 1; + 2) называется доверительным интервалом с доверительной вероятностью , если выполняется соотношение
P( - 1 < a < + 2 ) = , (8)
где (a - точное значение некоторого параметра; - оценка параметра , 1 и 2 - искомые числа.
Величина q называется уровнем значимости критерия проверки
q = 100(1- )% (9)
7. Доверительный интервал для mx при неизвестной дисперсии :
7.1. Построение доверительного интервала основано на том, что величина
T = (10)
распределена по закону Стьюдента с = n - 1 степенями свободы.
7.2. По статистической таблице распределения Стьюдента для = n - 1 и уровня значимости q, можно найти такое tкр, что интервал
= ( - tкр ; + tкр ) (11)
будет доверительным интервалом, соответствующим доверительной вероятности .
8. Доверительный интервал ;
8.1. Построение доверительного интервала основано на том, что величина распределена по закону (хи - квадрат) с = n – 1 степенями свободы.
8.2. По статистической таблице для = n – 1 и вычисленным по данному значению q вероятностям
(12)
можно найти такие числа , , что интервал I = будет доверительным интервалом для , соответствующим доверительной вероятности .
9. Порядок выполнения работы:
9.1. Преобразовать простой статистический ряд в форму статистического (вариационного) ряда:
- вычислить k и ;
- определить mi и вычислить ;
- оформить ряд в виде таблицы;
- построить гистограмму.
9.2. Вычислить и .
9.3. Построить доверительный интервал для mx:
- найти и по заданному вычислить q;
- по статистической таблице найти tкр;
- построить I.
9.4. Построить доверительный интервал для ;
- по значению q вычислить Р1 и Р2;
- по статистической таблице найти , ;
- построить I.
9.5. Сделать выводы, оформить работу.
10. Пример. Произведено 10 независимых наблюдений над нормально распределенной случайной величиной, характеризующей отклонение в мм длины детали от требуемой по техническим условиям. Результаты опытов представлены в виде простого статистического ряда.
-
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
2,5
п
-0,2
-2,3
-1.25
-1.1
0.4
1.2
-2,5
0,5
-0.7
Построить статистический (вариационный) ряд и гистограмму, найти оценки для математического ожидания и дисперсии, построить соответствующие доверительные интервалу дяя = 0.95.
10.1. Преобразуем выборку в форму статистического (вариационного ряда).
Здесь:
k = 1 +3.2* lg10 = 1 +3.2 = 4;
= = = 1.25
Найдем mi. Для этого сформируем интервалы разбиения (mi - число попаданий в интервал). Результаты сведем в таблицу 3.
Таблица 3
X |
-2.5; -1.25 |
-1.25; 0 |
0; 1.25 |
1.25; 2.5 |
mi |
2.5 |
3.5 |
3 |
1 |
Вычислим и оформим таблицу 4.
Таблица 4
X |
-2.5; -1.25 |
-1.25; 0 |
0; 1.25 |
1.25; 2.5 |
mi |
2.5 |
3.5 |
3 |
1 |
|
0.25 |
0.35 |
0.3 |
0.1 |
Построим гистограмму
10.2. Вычислим и
= - 1. 875 * 0.25 + (- 0,625)*0.35 + 0.625*0.3 + 1.875*0.1 = - 0.469 – 0.219 + 0.188 + 0.188
- 0,312.
= [(-1/563)2*0.25 + (-0.313)2*0.35 + (0.313)2*0.3 + (1.563)2*0.1 ]
[0.611 + 0.034 + 0.029 + 0.244] = 1.02
Тогда
1.009
10.З. Построим доверительный интервал для
= n – 1 = 10 – 1 = 9; = 0.95;
q = 100*(1 – 0.95) % = 5 %
Используем статистическую таблицу, найдем:
tкр 2.26, тогда tкр = 2.26 0.72
тогда доверительный интервал для будет
I = (–0.312 – 0.72; –0.312 + 0.72 ) = (-1.032; 0.408)
10.4. Построим доверительный интервал для
Вычислим Р1 и Р2
Р1 = 1 - = 0.975,
Р2 = 0.025
По статистической таблице, зная Р1, Р2 и = 9, найдем
2.7; 19.02
Вычислим (n - 1) 91.02 9.18
Тогда
(0.48; 3.4)
Ответ: -0.312; 1.02;
I = (-1.032; 0.408); (0.48; 3.4).
Практические задания
Произведено n независимых наблюдений над нормально распределенной случайной величиной Х, характеризующей процент выхода бракованных изделий с технологической операции.
Результаты опыта сведены в таблицы (по вариантам получить у преподавателя).
Требуется: построить статистический ряд и гистограмму, найти оценки для математического ожидания и дисперсии, построить соответствующие доверительные интервалы с известным .