Методическое пособие 177
.pdfx |
|
x |
|
|
~ e t |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
t |
0 |
t |
|
|
|
2 |
Рис.1.7 Рис.1.8
График затухающих колебаний показан на рис.1.7.
С ростом коэффициента затухания период затухающих колебаний увеличивается, стремясь к бесконечности при
критическом коэффициенте |
затухания |
кр 0 . |
При |
|||||||||||||||||
|
кр процесс носит апериодический характер. Выведен- |
|||||||||||||||||||
ная из положения равновесия |
система возвращается к нему, |
|||||||||||||||||||
не совершая колебаний (кривая 1 или 2 рис. 1.8). |
|
|
||||||||||||||||||
|
Основные характеристики затухающих колебаний: |
|||||||||||||||||||
|
1) время релаксации |
|
- время, в течение которого ам- |
|||||||||||||||||
плитуда колебаний уменьшается в е раз |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
A0 |
|
e |
|
1, |
|
|
1 |
|
, |
(1.27) |
||||||||
|
|
A0 е |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2) логарифмический декремент затухания, представля- |
|||||||||||||||||||
ющий логарифм отношения двух соседних амплитуд, т.е. |
||||||||||||||||||||
|
|
ln |
A(t) |
|
T |
T |
|
|
1 |
, |
|
|
|
(1.28) |
||||||
|
|
|
|
|
|
Ne |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
A(t T) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где |
Nе - число колебаний, совершаемых за время уменьшения |
|||||||||||||||||||
амплитуды в e раз; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3) добротность колебательной системы |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Q 2 |
|
E |
|
|
, |
|
|
|
|
|
(1.29) |
||||
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где E - энергия системы в момент времени t; E - убыль энергии за один последующий период колебаний.
9
1.5. Вынужденные колебания. Резонанс
Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием всякой внешней периодически изменяющейся силы. С учётом вынуждающей силы F F0 cos tзакон движения пружинного маят-
ника запишется в виде
m |
d2x |
kx r |
dx |
F cos t . |
(1.30) |
|
dt |
|
dt |
||||
|
2 |
|
0 |
|
После преобразования получим неоднородное дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания:
d 2 x |
2 |
dx |
0 x |
f0 cos t , |
|
|
|
|
|
(1.31) |
|||
dt 2 |
|
|||||
|
dt |
|
|
|
где f0 F0 /m.
Общее решение данного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
|
Общее решение однородного уравнения имеет вид |
|
|||||||||||
|
|
|
|
x A e t |
cos( |
t ), |
(1.32) |
||||||
|
|
|
0 |
|
з |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
- частота затухающих колебаний, A0 |
|||||||
где |
з |
02 |
2 |
||||||||||
и - произвольные постоянные. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ет вид |
Частное решение неоднородного уравнения (1.31) име- |
||||||||||||
|
|
x A cos( t ) , |
(1.33) |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
где |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
0 |
|
|
|
, |
(1.34) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
( 2 2 )2 4 2 2 |
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
arctg |
|
2 |
|
. |
|
|
(1.35) |
||
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Уравнение (1.33) в сумме с (1.32) даёт общее решение уравнения (1.31), описывающее поведение системы при вы-
10
нужденных |
колебаниях. |
x |
|
||
Слагаемое (1.32) играет зна- |
|
||||
чительную роль в начальной |
|
|
|||
стадии процесса при уста- |
|
|
|||
новлении колебаний. С те- |
0 |
t |
|||
чением |
времени |
его роль |
|||
из-за |
экспоненциального |
|
|||
|
|
||||
множителя |
всё |
больше |
|
Рис. 1.9 |
|
уменьшается, и им можно |
|
||||
пренебречь |
|
|
|
|
|
Процесс установления |
вынужденных колебаний пред- |
||||
ставлен на рис. 1.9. |
|
|
В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы и являются гармоническими, амплитуда и отставание фазы которых определя-
ются выражениями (1.34) и (1.35). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Амплитуда |
вынуж- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
денных колебаний зависит от |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
частоты вынуждающей силы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При некоторой частоте ам- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
плитуда |
достигает |
максиму- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ма. Это |
явление называется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
резонансом, а |
соответству- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ющая частота - |
резонансной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
частотой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Резонансные |
кривые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
при различных значениях ко- |
|
|
|
|
|
|
Рис.1.10 |
|
|
||||||||
эффициента затухания пред- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ставлены на рис.1.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из условия максимума функции (1.34) найдём |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
рез |
02 |
2 2 |
. |
|
|
|
|
(1.36) |
||||||
Амплитуда колебаний при резонансе равна |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Aрез |
|
|
|
f0 |
|
|
|
. |
|
|
(1.37) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
02 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
11
Чем меньше , тем выше и правее лежит резонансный максимум. Если 0, то все кривые приходят к одному и тому же значению f0 02 , так называемому статическому от-
клонению.
Резонансная амплитуда связана с добротностью колебательной системы следующим соотношением:
Aрез |
Q |
f0 |
. |
(1.38) |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Таким образом, добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем острее и выше резонанс.
1.6. Распространение волн в упругих средах. Уравнение бегущей волны
Процесс распространения колебаний в упругой среде, периодический во времени и в пространстве, называется механической волной. Распространение волн не связано с переносом вещества. Частицы среды, в которой распространяется волна, лишь совершают колебания около своих положений равновесия. От одних участков среды к другим переносятся только энергия и импульс.
Различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей упругостью формы, т.е. способной сопротивляться деформации сдвига. Поэтому поперечные волны могут существовать лишь в твёрдых телах. Продольные волны связаны с объёмной деформацией среды, поэтому они могут распространяться как в твёрдых телах, так и в жидкостях и в газах. Скорости распро-
12
странения поперечных и продольных || механических волн в твёрдых телах определяются выражениями
|
|
G |
|
E |
(1.39) |
|
|
|
|
; || |
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
где G – модуль сдвига; Е – модуль Юнга.
В газообразных средах распространяется только про-
дольная волна со скоростью |
|
|
|
||
|
RT |
, |
(1.40) |
||
|
|||||
|
|
|
|
где R – универсальная газовая постоянная; T – абсолютная температура, μ- молярная масса газа.
|
|
|
Волна |
называется |
|
(x,t) |
|
синусоидальной, если со- |
|||
|
ответствующие ей колеба- |
||||
|
|
ния частиц среды являют- |
|||
0 |
|
ся |
гармоническими. |
Гра- |
|
x |
фик |
зависимости смеще- |
|||
|
|
ния |
частиц |
среды |
, |
|
участвующих в волновом |
||||
Рис.1.11 |
|
||||
|
процессе, от расстояния x |
этих частиц до источника колебаний для какого-то фиксированного момента времени представлен на рис.1.11.
Расстояние между ближайшими частицами в направлении распространения волны, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны равна такому расстоянию, на которое распространяется определённая фаза
волны за период, т.е. |
|
||
T |
|
. |
(1.41) |
|
|||
|
|
Зависимость смещения колеблющейся частицы среды от координат и времени называется уравнением волны.
13
В случае плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси Ox в отсутствии полощения, уравнение имеет вид
|
x |
|
|
|
|
(x,t) Acos (t |
|
) |
0 |
, |
(1.42) |
|
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
или в стандартной форме
|
|
(x,t) Acos( t kx 0 ), |
(1.43) |
где |
k 2 |
- волновое число. |
|
|
|
|
|
Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания x, отличается только знаком члена kx.
Уравнение любой волны является решением некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. В общем случае волновое уравнение имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
, |
(1.44) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
где |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
- оператор Лапласа. |
|
||||
x2 |
y2 |
z2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. Стоячие волны
Стоячие волны образуются при наложении двух бегущих волн с одинаковыми амплитудами и частотой, распространяющихся навстречу друг другу. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград.
Пусть уравнения бегущей и отражённой волн имеют
вид
1 |
|
A cos( t kx); |
2 |
|
A cos( t kx). |
Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей
волны
2Acos( |
2 x |
)cos t . |
(1.45) |
|
|||
|
|
|
14
Из (1.45) следует, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания с частотой и амплитудой
Aст |
2 A cos |
2 x |
|
, |
(1.46) |
|
|
||||||
|
|
|
|
которая является периодической функцией координаты x. Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны до-
стигает максимального значения, называются пучностями стоячей волны. Значения координат пучностей
xпучн |
2m |
|
, (m=1,2,3...). |
(1.47) |
|
||||
|
4 |
|
|
Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны обращается в ноль, называются узлами стоячей волны. Координаты узлов определяются соотношением
xузл |
(2m 1) |
|
. |
(1.48) |
|
||||
|
4 |
|
|
Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно
ст |
|
|
, |
(1.44) |
2 |
иназывается длиной стоячей волны.
Вотличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, все точки стоячей волны между двумя узлами
колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами (синфазно). Точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Графическое изображение стоячей волны для разных моментов времени представлено на рис.1.12.
В стоячей волне отсутствует перенос энергии, так как образующие эту волну встречные волны переносят энергию в равных количествах в противоположных направлениях. Полная энергия колебаний каждого элемента объёма среды, ограниченного соседними узлом и пучностью, не зависит от времени: она лишь периодически переходит из кинетической энергии, сосредоточенной вблизи пучностей, в потенциаль-
15
ную - вблизи узлов волны, где деформация среды достигает максимальных значений.
(x,t) t 0
0 |
x |
(x,t)
t T 4
0 |
x |
(x,t)
t T 2
0 |
x |
cт
Рис. 1.12
16
2. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ |
|
||||
ПО МЕХАНИЧЕСКИМ КОЛЕБАНИЯМ И ВОЛНАМ |
|||||
2.1. Исследование законов колебательного движения |
|||||
физического маятника и определение ускорения |
|
||||
|
свободного падения |
|
|
||
Лабораторная работа № 1.11 |
|
|
|||
Цель работы: измерение зависимости периода колеба- |
|||||
ний физического маятника от расстояния c |
между точкой |
||||
опоры и центром масс; определение ускорения свободного па- |
|||||
дения. |
|
|
|
|
|
Оборудование: универсальная установка FRM-04, |
фи- |
||||
зический маятник, фотоэлектрический датчик, электронный |
|||||
секундомер и метрическая линейка. |
|
|
|
||
Описание установки и методика измерений |
|
||||
Общий вид универсального маятника |
представлен на |
||||
рис.2.1. На основании 1 прибора закреплены: стойка 2 и элек- |
|||||
тронный миллисекундомер 3. На стойке зафиксированы: верх- |
|||||
ний кронштейн 4 и нижний кронштейн 5 с фотоэлектрическим |
|||||
|
датчиком 6. Физический маятник вы- |
||||
|
полнен в виде стального стержня 7, на |
||||
|
котором закреплена опорная призма 8, |
||||
|
острое ребро |
которой |
является |
осью |
|
c |
качания маятника. На стержне |
для |
|||
|
определения размеров маятника через |
||||
|
каждые 10 мм |
выполнены кольцевые |
|||
|
канавки, которые позволяют четко |
||||
|
фиксировать положение ножей |
на |
|||
|
стержне. |
|
|
|
|
|
На лицевой панели миллисекун- |
||||
|
домера находятся следующие функци- |
||||
1 |
ональные элементы: СЕТЬ – включе- |
||||
|
ние, выключение сети; СБРОС – уста- |
||||
Рис.2.1 |
новка нуля и начало отсчета; СТОП – |
||||
окончание процесса отсчета. На элек- |
|||||
|
|||||
|
17 |
|
|
|
тронном табло высвечивается количество полных колебаний и время. Фотоэлектрический датчик смонтирован на кронштейне 5. Он содержит электрическую лампочку и фотоэлемент, включенный на вход универсального миллисекундомера. Нижний кронштейн можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в произвольном положении.
Период колебаний физического маятника практически не зависит от фазы и амплитуды только в случае малых колебаний, т.е. когда sin m . При больших углах отклонения ма-
ятника наблюдается так называемая ангармоничность колебаний, т.е. зависимость частоты ω и, следовательно, периода T от амплитуды колебаний. Поэтому при измерениях необходимо соблюдать условие 5 .
Период колебания физического маятника определяется
выражением |
|
|
|
|
|
T 2 |
I |
, |
(2.1) |
||
|
|||||
|
|
mg c |
|
где c – расстояние между точкой подвеса и центром масс ма-
ятника; I – момент инерции маятника относительно оси качания.
В случае однородного стержня момент инерции маятника согласно теореме Штейнера равен
|
|
|
I |
1 |
|
m 2 |
m 2c , |
(2.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
где – длина стержня. |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом (2.2) уравнение (2.1) преобразуется к виду |
|||||||||||||||||||
T2 |
|
|
4 2 |
( |
2 |
|
2 ) , |
(2.3) |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
или |
|
c |
|
|
|
g |
|
|
12 |
|
|
|
|
c |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( |
|
g |
|
)T |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
. |
(2.4) |
|||||||
4 2 |
|
|
12 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18