Методическое пособие 377
.pdf
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
E |
= |
|
λ |
|
= |
|
. |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
1 |
|
|
|
2√n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
λ √n + 2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Для удобства анализа, данные выражения сведены в табл. 8.
Таблица 8 Аналитические выражения риска и его параметров
(для распределения плотности вероятности наступления ущерба по закону Эрланга)
Аналитическое выражение риска наступления ущерба u
(λu)n
Risk(u) = (n − 1)! exp(−λu)
где: u – ущерб, λ, n – параметры распределения плотности вероятности наступления ущерба
Наименование параметра риска
Среднее значение ущерба |
M = |
n + 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
λ |
||||||||
Мода ущерба |
u0 = |
n |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|||||
Пик риска |
Rmax = |
|
|
|
|
|
nn |
|
||||
|
(n − 1)! en |
|||||||||||
|
|
|||||||||||
Среднеквадратическое отклонение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ = |
|
√n + 1 |
|
|||||||||
ущерба |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
λ |
|||||||
Среднеквадратическое отклонение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ0 = |
|
√n + 2 |
||||||||||
от моды |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
λ |
|
||||||
Островершинность риска |
E0 = |
|
|
|
|
|
n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2√n + 2 |
При распределении плотности вероятности наступления ущерба по закону Вейбулла параметры риска могут быть определены следующим образом:
1 Г (1 + 2) M = d ; λ Г (1 + 1d)
19
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Г (1 |
+ |
3) |
|
|
|
Г2 (1 + |
2) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
σ |
= |
|
|
|
√ |
|
|
|
d |
− |
|
|
|
d |
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
Г (1 |
+ |
|
|
|
Г2 (1 + |
1) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Г (1 + |
3) |
|
|
|
Г (1 + 2) |
|
|
|
|||||||||||
|
σ0 = |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
d |
|
− 2 |
|
|
d |
|
+ 1; |
|
|||||||||
|
|
λ |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г (1 + d) |
|
Г (1 + d) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
= |
λ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2σ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2√ |
Г (1 + d) |
− 2 |
Г (1 + d) |
+ 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г (1 + d) |
|
|
|
Г (1 + d) |
|
|
|
Для удобства эти и другие выражения сведены в табл. 9.
Таблица 9 Аналитические выражения риска и его параметров
(для распределения плотности вероятности наступления ущерба по закону Вейбула)
Аналитическое выражение риска наступления ущерба u
Risk(u) = d(λu)d exp[−(λu)d]
где: u – ущерб, λ, d – параметры распределения плотности вероятности наступления ущерба
Наименование параметра риска
Среднее значение ущерба
Мода ущерба
Пик риска
Среднеквадратическое отклонение ущерба
Продолжение табл. 9
Наименование параметра |
|
Аналитическое выражение |
|||||||||||||
риска |
|
|
|
|
|
параметра риска |
|
|
|
|
|||||
Среднеквадратическое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Г (1 + |
3) |
|
|
Г (1 + |
2) |
|
||||
отклонение от моды |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
σ0 |
= |
|
√ |
|
d |
− 2 |
|
d |
+ 1 |
|||||
|
|
|
1) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
λ |
|
|
Г (1 + |
|
|
Г (1 + |
1) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
d |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Островершинность риска |
E0 = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Г (1 + |
3) |
|
Г (1 + |
2) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2√ |
|
d |
|
− 2 |
|
d |
|
+ 1 |
|
|||
|
|
|
Г (1 + |
1 |
) |
Г (1 + |
1 |
) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
d |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применительно к логнормальному распределению плотности вероятности наступления ущерба могут быть получены следующие выражения параметров риска:
|
|
exp (2m + |
(2σ)2 |
|
σ2 |
|
|
|
||||||||||
M = |
|
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= exp |
(m + |
|
|
) ; |
|||
|
exp (m + |
|
σ2 |
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
exp (3m + |
(3σ)2 |
) |
|
|
|
σ2 |
|||||||||||
σ = √ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− exp2 |
(m + |
|
|
|
) = |
|||
|
exp (m + |
|
σ2 |
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ2
= √exp(2m + 4σ2) − exp (m + 2 ) =
σ2
= exp (m + 2 ) √exp(3σ2) − 1 ;
|
exp (3m + |
(3σ)2 |
) |
|
exp(2m + 2σ2) |
|
|
||||||
σ0 = √ |
|
2 |
− 2em |
+ (e)2m |
= |
||||||||
exp (m + |
σ2 |
|
|
exp (m + |
σ2 |
|
|||||||
|
|
) |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
21
= √exp(2m + 4σ2) − 2exp (2m |
|
|
|
3σ2 |
|||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
) + exp(2m) = |
|||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= em√exp(4σ2) − 2exp |
|
3σ2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
( |
|
|
|
|
) + 1; |
|
|||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E |
= |
em |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
σ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3σ2 |
||||||
|
|
|
|
|
√exp(4σ2) − 2exp |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
) + 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
Эти и другие выражения сведены в табл. 10.
Таблица 10 Аналитические выражения риска и его параметров
(для логнормального распределения плотности вероятности наступления ущерба)
Аналитическое выражение риска наступления ущерба u
Risk(u) = |
1 |
exp [− |
(ln u − m)2 |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
σ√2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где: u – ущерб, σ, m |
– параметры |
|
распределения |
плотности |
||||||||||||||||||||
вероятности наступления ущерба |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Наименование параметра |
|
Аналитическое выражение |
||||||||||||||||||||||
риска |
|
|
|
|
|
|
|
|
параметра риска |
|
|
|
|
|
||||||||||
Среднее значение ущерба |
|
|
|
|
|
|
|
|
M = exp (m |
+ |
σ2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Мода ущерба |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u0 = em |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пик риска |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rmax |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ√2π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Среднеквадратическое |
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= exp (m + |
) √exp(3σ2) − 1 |
|||||||||||||||||||
отклонение ущерба |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднеквадратическое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ0 = em√exp(4σ2) − 2exp |
|
3σ2 |
|
|
|
||||||||||||||||
отклонение от моды |
|
|
|
( |
) + 1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Островершинность риска |
|
|
|
|
E0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
√exp(4σ2) − 2exp ( |
3σ2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) + 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Представленные выше таблицы являются методической основой для проведения численных расчетов параметров рисков при различных законах распределения плотности вероятности наступления ущерба. Обобщенно такой алгоритм представлен на рис. 1.
Однако возможен и более упрощенный вариант, когда уместно ограничиться нахождением моды и среднего значения (назовем их mu), а также их среднеквадратических отклонений (назовем их σu). Табл. 3-10 позволяют это сделать, а сам упрощенный алгоритм изображен на рис. 2.
|
|
|
|
Начало |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данные статис- |
||
|
|
Определение |
|
закона |
|||||
|
|
распределения |
и |
его |
тики наступления |
||||
|
|
параметров |
|
|
|
ущербов |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Значения |
Расчет |
первых |
пяти |
Данные из Табл. |
|||||
начальных |
моментов |
||||||||
1 … 5 |
1,2 |
||||||||
распределения |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Значения |
|
Расчет моды и |
|
Данные из |
|||||
|
|
пика риска |
|
|
|||||
|
и |
|
|
|
|
Табл. 3 |
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Расчет |
|
|
|
||
Значение |
|
|
среднего |
|
|
Данные из |
|||
|
|
|
|
значения |
|
|
Табл. 3-10 |
||
|
|
|
|
ущерба |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А
Рис. 1. Блок-схема упрощенного алгоритма расчета параметров риска
23
А
|
|
Расчет |
|
|
|
Значение |
среднеквадра- |
Данные |
из |
||
тического |
|||||
Табл. 3-10 |
|
||||
|
|
отклонения |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
ущерба |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет |
|
|
|
Значения |
третьего и |
Данные |
из |
||
четвертого |
|||||
|
|
||||
|
и |
Табл. 3-10 |
|
||
центральных |
|
||||
3 |
4 |
|
|
||
|
|
моментов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет |
|
|
|
Значения |
ассиметрии и |
Данные |
из |
||
|
и |
эксцесса |
Табл. 3-10 |
|
|
|
|
риска |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Конец
Рис. 1. Блок-схема упрощенного алгоритма расчета параметров риска (продолжение)
Воспользовавшись данными алгоритмами, можно рассчитать риск-параметры компонент системы с последующим обобщением ее анализом с учетом вклада всех компонентов. На этапе оценки риска компонента системы возможны две статегии:
– экстремальная оценка
Risk(экс) = mu ± σu = u0 ± σ0
– средняя оценка
Risk(ср) = mu ± σu = M0 ± σ .
Данные таблицы приемлимы не только для рисков, но и для шансов системы.
24
Начало
Задание вида и параметров распределения плотности вероятности ущерба
Расчет первых трех начальных компонентов распределения
Ввод данных в выражения Табл. 3-10
Расчет среднего значения ущерба и среднеквадратического отклонения
Расчет моды риска и его среднеквадратического отклонения
Вывод расчитаных значений для анализа системы
Конец
Рис. 2. Блок-схема упрощенного алгоритма расчета параметров риска для компонентов систем
25
2. АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РИСКАНАЛИЗА СИСТЕМ В ДИАПАЗОНЕ УЩЕРБОВ
Рассмотрим экспоненциальное семейство распределений плотности вероятности φ(u) наступления ущерба с областью определения u>0. К таковым относятся логнормальное, экспоненциальное и гамма-распределения, распределения Релея, Вейбула и Эрланга. Соответствующие им аналитические выражения риска представлены в табл. 11.
Анализ аналитических выражений риска (табл. 11) позволяет для первых пяти видов распределения сделать следующее обобщение
Risk(x) = |
axb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
, |
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
exp(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
где: x = λu, (λu)2, (λu)d; b = |
1 |
, 1, n; a = 1,2, |
|
λс |
, |
1 |
|
|
|
, d. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
Г(с) |
(n−1)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 11 |
|||||||||
Анализ аналитических выражений риска |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вид распределения |
Аналитическое выражение для риска |
||||||||||||||||||||||||||||||
плотности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вероятности ущерба |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Экспоненциальный |
|
|
|
|
Risk(u) |
= |
|
|
|
|
|
λu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
exp(λu) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Релея |
|
|
|
|
Risk(u) |
= |
|
2(λu) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
exp(λu)2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Гамма |
|
|
|
|
Risk(u) = |
|
|
|
λс |
|
|
|
(λu)с |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Г(с) exp(λu) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Эрланга |
|
|
Risk(u) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(λu)n |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
(n − 1)! |
|
exp(λu) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Вейбулла |
|
|
|
|
Risk(u) = d |
|
|
|
|
(λu)d |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
exp[(λu)d] |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Логнормальный |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Risk(u) = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
exp [ |
(ln u − m)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
σ√2π |
] |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2σ2 |
|
|
|
|
26
С целью нахождения значений ущерба по заданному уровню риска для (1) составим следующее уравнение
Rmax k = |
axb |
, |
(2) |
|
exp(x) |
||||
|
|
|
где: Rmax – пиковое значение риска;
k– коэффициент (k<1) задающий уровень отсчета от Rmax. Для поиска решения уравнения (2) прологарифмируем его
ln a + bln x − x = ln Rmax + ln k.
Далее разложим натуральный логарифм в ряд
|
x − 1 |
|
1 |
|
x − 1 |
|
3 |
||
ln a + 2b [ |
|
|
+ |
|
( |
|
) |
+] − x = ln Rmax + ln k. |
|
x + 1 |
3 |
x + 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
Ограничимся первыми двумя членами ряда. Здесь погрешность составит для x=2 менее 1%, а для x=4 около 3%. Принимая данную погрешность допустимой, запишем уравнение
x − 1 1 x − 1 3
ln a + 2b [x + 1 + 3 (x + 1) ] − x = ln Rmax + ln k.
Произведем следующую замену переменных
y = |
x−1 |
, где область определения -1<y<1. |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Соответственно обратное преобразование будет иметь |
|||||||||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + y |
|
|||||
|
|
|
|
|
x = |
|
. |
|
|
|
(3) |
||||
|
|
1 − y |
|||||||||||||
В результате получим уравнение |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2b [y + |
1 |
y3] − |
1 + y |
= c, |
(4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
1 − y |
|
|||||||||||
где с = ln Rmax + ln k − ln a. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Приводя (4) к общему знаменателю, получаем |
|
||||||||||||||
2by(1 − y) + |
2b |
y3(1 − y) − (1 + y) = c(1 − y). |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Далее сгруппируем члены по степеням и в результате |
|||||||||||||||
получим уравнение четвертой степени |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y4 − y3 + 3y2 + 3 ( |
1 − с |
− 1) y + |
3 |
(1 + c) = 0, |
(5) |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2b |
|
|
2b |
|
27
которое, как известно может быть решено в аналитическом виде. Два корня этого уравнения будут комплексными числами, а два других, имеющими физический смысл, действительными. Для них следует произвести обратное преобразование (3) и получить значения x1 и x2. Графически это решение можно проиллюстрировать с помощью рис. 11. Соответствующий алгоритм представлен на рис. 4.
Risk
Rmax
Rmax k
x
Рис. 3. Границы ущербов по заданному уровню риска
Начало
Ввод значений параметров распределения (1)
Расчет промежуточных параметров (4)
Решение уравнения (5)
Выполнение обратного преобразования
Конец
Рис. 4. Блок-схема алгоритма поиска граничных значений ущерба по заданному уровню риска
28