Методическое пособие 388
.pdf3.Найти общий интеграл уравнения y tgxtgy.
4.Найти частное решение уравнения
(1 x2 )dy ydx 0 , |
y(1) 1. |
Решить уравнения:
5.ln cos ydx xtgydy 0.
6.yxy e y 0;.
7.y sin( x y) sin( x y)
|
dx |
dy |
|
0 ; y(1) 1. |
|
8. |
|
|
|
||
x( y 1) |
y( x 2) |
||||
9. (x2 y)dx (x2 y2 |
x) 0 . |
||||
10. x 1 y 2 dx y |
1 x 2 dy 0 . |
11.Найти общий интеграл уравнения
(x 2 2 xy )dx xydy 0.
12.Найти частное решение уравнения
y |
y |
sin |
y |
|
y(1) |
|
|
|
; |
2 . |
|||
x |
x |
Решить уравнения:
13.xy y2 (2x2 xy) y .
14.xyy y 2 2x2 .
15.xy y xtg( xy ).
16.(x2 y2 )dx xydy 0.
17. xy 2( y xy ).
18. Проинтегрировать уравнение
y cos 2 x y tgx, |
где y(0) 0. |
19. Решить задачу Коши: y 2xy xe x2 , y(0) 2.
(sin y cos x C) .
y e artg x .
4
( y arccoseCx ).
(y (1) = 0). |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2sin x ln |
tg |
|
|
|
C . |
||||||
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( x y ln |
x2 |
2 ). |
|||||||||
y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( x |
y |
|
y3 |
C ). |
|||||||
x |
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 1 x2 C .
ln |
|
x y |
|
|
x |
C . |
|
|
|||||
|
|
x y |
||||
|
|
|
|
|
|
y 2x arctgx .
|
2 |
Cxe |
|
y |
|
y |
|
|
x . |
||
|
|
|
|
|
|
( y2 4x2 ln Cx ). ( y xarcsin x ).
( y x2 ln Cx2 ). y x2 ln Cx2 (16 xy ( y 4x Cx2 )2
(y tgx 1 e tgx ) .
( y e x2 ( x2 2)). 2
91
Решить уравнения.
20.xy y x2 cos x.
21.(1 x2 ) y y arctgx.
22. y |
1 x2 |
y arcsin x, |
y(0) 0. |
23.y sin x y cos x 1 , y( 2 ) 0.
24.Решить уравнение
y xy x2 y4 .
25. Проинтегрировать уравнение
y |
2xy |
4 |
y |
arctgx. |
1 x2 |
1 x2 |
26. Найти общее решение уравнения xy y y 2 ln x.
( y x(sinx C))
( y arctgx 1 Ce arctgx) ( y e arcsinx arcsinx 1)
( y cosx)
1 |
|
|
y |
|
|
x3 3ln C |
||
|
x |
|
( y (1 x2 )(arctg 2 x C)2 .)
|
1 |
|
y |
|
. |
|
||
|
lnx 1 Cx |
Глава 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Основные понятия и определения Определение. Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид
|
|
|
F |
(x, y, y , y |
) 0 |
|
(7.1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
y |
|
f (x, y, y ). |
|
(7.2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим уравнение 2–го порядка y 2. Положим y p , тогда |
|||||||||
y |
|
|
dp |
2, |
p 2x С1, |
dy |
2x С1. |
||
|
p , |
dx |
|||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
y x2 С1x С2.
Следовательно, решение дифференциального уравнения 2-го порядка содержит две произвольные постоянные. Таким образом, решением ДУ второго порядка является любая дифференцируемая функция y (x,C1,C2 ) – это об-
щее решение или Ф(x, y,С1,С2 ) =0 – общий интеграл.
§ 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижения порядка
ОднимизметодовинтегрированияДУявляетсяметодпониженияпорядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстанов-
ки) данное ДУ второго порядка сводится к уравнению первого порядка.
92
1 Случай. y f (x) (правая часть уравнения содержит только независи-
мую переменнуюx ).
Введем новую переменную (сделаем замену переменной):
|
|
|
|
|
y p, |
|
p p(x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
dp |
f (x), |
|
|
p f (x)dx С1 |
(x) С1, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p , |
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y (x) С1 |
|
, y [ (x) С1] С2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Или проще: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
f |
(x)dx С1, |
|
|
y [ f (x)dx С1]dx С2 , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( y ) , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Решить уравнение y 2x3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y 2x3dx |
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
C , |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
dx |
|
|
|
C x C |
2 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
10 |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 Случай. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(уравнение не содер- |
||||||||||||||||||||
F(x, y , y ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
жит явно у). |
подстановкой: |
|
|
y |
|
p , y |
|
|
|
p , |
p p x . |
p |
|
f (x, p) |
получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решаем |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ДУ первого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 1. xy y 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|||||||||||||
Решение. Положим y |
|
p, тогда y |
|
|
|
|
|
|
|
|
xp |
|
p |
0, |
|
|
p, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p , |
|
|
|
x dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dp |
dx , |
dp dx |
, ln |
|
p |
|
ln |
|
x |
|
|
|
lnC1, |
|
p |
C1 , |
y C1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
x |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
C1 |
dx, |
|
|
|
|
y C ln |
|
x |
|
|
C |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(не входит явно переменная x ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 Случай. F( y, y , y ) |
|
|
f ( y, y ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решаем подстановкой: |
|
|
|
|
y py dp dy |
dp p, |
p dp f ( y, p) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y p, p p y , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
это уравнение первого порядка. |
|
|
|
|
dy dx |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Пример. Решить задачу Коши: |
y |
|
e |
, y(0) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, y (0) 1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Введем подстановку: |
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p p y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y |
p |
, |
|
|
y |
|
p dy , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
p dp |
e2 y , |
pdp e2 y dy, |
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
1e2 y |
C1 |
|
|
|
y |
2 |
1 e2 y |
C1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
93
Для определения с1 воспользуемся первым начальным условием:
1 1 e0 C , C |
0. |
|||
2 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
||
y 2 e2 y , |
y ey , |
|
||
dy |
ey , |
e y x |
C |
|
dx |
|
|
|
2 . |
Воспользовавшись вторым начальным условием, получим C2 1.
Следовательно, e y 1 x.
Примечание. В дальнейшем, для сокращения записи лекций, будем использовать следующую аббревиатуру: дифференциальное уравнение –ДУ, линейное однородное дифференциальное уравнение –ЛОДУ, линейное неоднородное дифференциальное уравнение – ЛНДУ.
§ 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)
В приложении к главе рассматриваются линейные дифференциальные уравнения второго порядка и основные свойства их решений. Частным случаем являются линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которые имеют вид
y py qy f (x), |
(7.3) |
где p и q некоторые действительные числа, f (x) некоторая функция. |
|
Если f (x) 0 , то уравнение называется однородным (ЛОДУ): |
|
y py qy 0, |
(7.4) |
в противном случае (7.3) – неоднородным (ЛНДУ).
Согласно свойствам решений (о структуре общего решения ЛОДУ), общее решение уравнения (7.4) есть линейная комбинация двух частных линейно независимых решений y1 и y2 , т. е.
y C1 y1 C 2y2 . |
(7.5) |
Для нахождения общего решения уравнения (7.4) достаточно найти два частных линейно независимых решения и составить линейную комбинацию этих частных решений.
Будем искать частные решения в виде y ekx , где k – некоторое посто-
янное число.
Продифференцируем это решение дважды и подставим полученные производные в уравнение (7.4):
y kekx , y k 2ekx , k 2ekx k p ekx q ekx 0 ,
ekx (k 2 pk q) 0 , |
или т. к. ekx 0 |
|
|
k 2 pk q 0 . |
(7.6) |
94
Уравнение (7.6) называется характеристическим уравнением ЛОДУ.
Этоуравнениеявляетсяквадратнымуравнениемотносительнонеизвестной k . Чтобы составить характеристическое уравнение, достаточно в уравнении
(7.4) заменить y , |
y , |
y соответственно на k2 , |
k |
, |
и |
1 . |
|
|||||||||||||||
При решении характеристического уравнения (7.6) возможны следующие |
||||||||||||||||||||||
три случая. |
|
|
|
|
характеристического уравнения действительные и |
|||||||||||||||||
Случай 1. |
Корни |
|||||||||||||||||||||
различные: k k |
2 |
(D |
p2 |
q 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В этом случае частными линейно независимыми решениями характери- |
||||||||||||||||||||||
стического уравнения являются функции y |
ek1x |
|
è |
y |
2 |
ek2x . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, общим решением (7.5) уравнения (7.4) будет |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y c ek1x c |
2 |
ek2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
(7.7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Решить уравнение y 6y 8y 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. Составим характеристическое уравнение: k 2 6k 8 0. |
||||||||||||||||||||||
Находим его корни: |
k1 2 , k2 |
4. |
Записываем общее решение этого |
|||||||||||||||||||
уравнения: y c e2x c |
2 |
e4x , где С , С |
произвольные постоянные. |
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения действи- |
|||
Случай 2. |
Корни |
k1 |
и k2 |
характеристического |
||||||||||||||||||
тельные и равные: k |
k |
2 |
(D |
p2 |
|
q 0 |
, k k |
2 |
k |
p |
). |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В этом случае имеем лишь одно частное решение y |
ekx . Другим частным |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
линейно независимым решением будет, например, функция y2 xekx , так как их
отношение y1 xekx x const . y2 ekx
Следовательно, в этом случае, общее решение ЛОДУ имеет вид
|
|
|
y ek1x (С |
С x) |
. |
|
|
|
|
(7.8) |
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Решить уравнение y 6y 9 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Составляем характеристическое уравнение: |
|
|
|||||||||||
k 2 6k 9 0 . Решаем его: k1 k2 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Записываем общее решение: y e3x (c |
c |
2 |
x). |
|
|
|
|
||||||
Случай 3. Корни k1 è k2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
характеристического уравнения комплексные: |
|||||||||||||
|
|
p2 |
|
|
|
p |
|
|
p2 |
|
|||
k i |
( D |
|
|
q 0 , |
|
|
|
, |
q |
|
0 ). |
||
|
|
|
|
|
|||||||||
1,2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае частными решениями уравнения (7.6) являются функции
y e i |
è y |
2 |
e i . |
1 |
|
|
95
По формуле Эйлера: eiz cos z isin z , y1 e x ei x e x cos x ie x sin x ,
y2 e x e i x e x cos x ie x sin x.
В теории дифференциальных уравнений известно, что если комплексная функция является его решением, то действительная и мнимая части этой функ-
ции являются решением данного уравнения. |
|
|
|
||||||||||
|
Выберем |
|
в |
качестве |
частных |
решений |
ЛОДУ |
функции |
|||||
y |
e x cos x |
, y |
2 |
e x sin x (действительная и мнимая части решений). Эти |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
частные решения линейно независимые, так как |
|
|
|
||||||||||
|
|
y |
2 |
|
e x |
sin |
x |
tg x c. |
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
e x |
cos x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Поэтому общее решение уравнения запишется в виде |
|
|
y e x (c cos x c |
2 |
sin x). |
(7.9) |
1 |
|
|
Пример. Решить уравнение y 6 y 25 0.
Решение. Составляем характеристическое уравнение: k 2 6k 25 0. Находим корни уравнения: k1,2 3 4i , где 3 , 4.
По формуле (7.9) получаем общее решение данного уравнения:
y e3x (С1 cos4x С2 sin 4x).
Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (7.4) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (7.6) и применению формул (7.7)-(7.9) общего решения уравнения (не прибегая к интегрированию).
§ 4. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами (ЛНДУ)
4.1. Метод вариации произвольных постоянных
Французскому математику Лагранжу принадлежит общий метод нахождения частных решений неоднородного линейного дифференциального уравне-
ния (ЛНДУ), называемый методом вариации произвольных постоянных.
Этот метод применим как к уравнениям с постоянными коэффициентами, так и к уравнениям, в которых коэффициенты являются функциями от x , и состоит в
следующем.
Пусть требуется решить ЛНДУ
y py qy f (x).
Сначала находится общее решение однородного уравнения (7.4): Затемнаходимобщеерешениенеоднородногоуравнения(7.10) ввиде
y C1(x) y1 C2 (x) y2 ,
(7.10) y C1 y1 C2y2 .
(7.11)
96
т. е. предполагаем, что постоянные C1 и С2 являются функциями независимой переменной x , при этом функции С1(х) и С2 (х) находятся из системы (см. прил.):
|
C (х) y C (x) y |
2 |
0, |
|
|||||
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|||
|
C1(x) y1 C2 (x) y2 f (x). |
|
|||||||
Пример. Решить уравнение y |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
4y cos 2x . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Решаем сначала однородное уравнение y |
4y 0. |
||||||||
Так |
как решением характеристического уравнения k 2 4 0 являются |
||||||||
корни k1,2 |
2i , то y C1 sin 2x C2 cos2x , где y1 sin 2x, |
y2 cos2x . |
Полагая теперь, что C1 C1(x) и C2 C2 (x) − функции переменной x , решение уравнения будем искать в виде
y C1(x)sin 2x C2 (x)cos2x . |
(7.12) |
Находим первые производные этих функций и частных решений y1, y2 и составляем систему:
|
|
C (x)sin 2x |
C (x) cos 2x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2C (x) cos 2x 2C (x)sin |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решая эту систему относительно C1(x) |
и |
C2 (x) , находим |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
C1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
sin 2x |
cos 2x |
|
|
2sin2 2x 2cos2 |
2x |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2cos 2x |
2sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогичным образом находим C2 (õ) |
1 tg2x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Интегрируя, получаем |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C |
(x) 1 x С |
, C |
2 |
(x) 1 ln |
|
cos2x |
|
С |
4 |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где С3 и С4 − некоторые произвольные постоянные.
Подставляя найденные функции в (7.12), окончательно получаем
|
y ( |
1 x C3 )sin 2x ( |
1 ln |
|
|
|
cos2x |
|
|
|
C4 )cos 2x |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
1 |
xsin 2x |
1 |
ln |
|
|
cos2x |
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
y (C3 sin 2x C4 cos 2x) |
2 |
4 |
|
|
cos2x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97
где первая круглая скобка является общим решением однородного уравнения, а вторая − частным решением данного неоднородного уравнения.
Это справедливо и для общего случая (свойство о структуре общего ре-
шения неоднородного уравнения), т. е. общее решение неоднородного уравне-
ния равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения y y y *, где y общее решение ЛОДУ (7.4), y * частное решение ЛНДУ (7.3).
4.2. Метод неопределенных коэффициентов
Следует отметить, что метод вариации произвольных постоянных достаточно сложен, так как связан с необходимостью интегрирования, поэтому в ряде случаев (если правая часть неоднородного уравнения имеет некоторый специальный вид) используют другой, более простой метод, основанный на структуре общего решения неоднородного уравнения.
Сначала находят общее решение однородного уравнения, а затем по виду правой части составляют частное решении неоднородного уравнения с неопределенными коэффициентами, и задача сводится к отысканию этих коэффициентов.
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение
y py qy f (x),
где p и q − некоторые действительные числа.
1. Пусть правая часть уравнения представляет собой произведение показательной функции (экспоненты) на многочлен степени n :
f (x) Pn (x) e x , |
(7.13) |
где Pn (x) a0 xn a1xn 1 ... an 1x an .
Возможны следующие частные случаи.
Случай 1. Число не является корнем характеристического уравнения: k2 pk q 0
В этом случае частное решение y * НЛДУ нужно искать в виде |
|
y* Qn (x) e x , |
(7.14) |
где Qn (x) A0 xn A1xn 1 ... An − многочлен степени n с неопределёнными
коэффициентами.
Случай 2. Число является простым корнем характеристического уравнения. В этом случае в равенстве частное решение искать в виде
y* x Qn (x)e x . |
(7.15) |
98
Cлучай 3. Число является кратным корнем характеристического уравнения. В этом случае частное решение искать в виде
y* x2 Qn (x)e x . |
(7.16) |
Замечание. Если степень n многочлена Pn небольшая, то удобно многочлены Qn с неопределенными коэффициентами записывать в виде
Q1(x) Ax B ,
Q2(x) Ax2 Bx C ,
Q3(x) Ax3 Bx2 Cx D
и. т. д.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
y 2 y 3y (2x 1)e2x .
Решение. Здесь f (x) (2x 1)e2x , где n 1 , 2 .
y y y *.
Будем искать сначала общее решение ЛОДУ. Составим характеристическое уравнение k 2 2k 3 0 , найдем его корни: k1 1 , k2 3.
y C1ex C2e 3x .
Так как 2 k1 k2 , т. е. ни один корень характеристического урав-
нения не совпадает с , а в правой части уравнения многочлен первой степени, то частное решение данного уравнения надо искать в виде (7.14) y* (Ax B)e2x .
Находим производные:
y * Ae2x 2(Ax B)e2x ,
y * 4Ae2x 4(Ax B)e2x .
Подставляя их в данное дифференциальное уравнение и сокращая на e2x 0 , получим
8 Ax (6 A 5B) 2x 1 .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , приходим к системе уравнений
8A 2,
6A 5B 1.
Находим: A 14 , 101 .
99
Таким образом, частное решение: y* (14 x 101 )e2x , а общее решение
данного уравнения:
y C1e x C2e 3x (14 x 101 )e2x .
Пример 2. Решить уравнение y 2 y 3y (x 2)e3x .
Решение. Здесь n 1 , 3. Составляем характеристическое уравнение и
находим его корни: k 2 2k 3 0 , k1 1 , k2 3. Общее решение ЛОДУ имеет вид
y C1e x C2e3x .
Так как один из корней характеристического уравнения совпадает с , то частное решение следует искать в виде
y* (Ax B)xe3x (Ax2 Bx)e3x .
Находим производные:
y* (2Ax B)e3x 3(Ax2 Bx)e3x ,
y* 2Ae3x 6(2Ax B)e3x 9(Ax2 Bx)e3x .
Подставляя последние три выражения в уравнение и сокращая на множитель e3x 0, получаем равенство
8Ax (2A 4B) x 2.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получаем систему уравнений, из которой находим коэффициенты А и В:
8A 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
7 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2A 4B |
2 , |
A |
|
, B |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8 |
16. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Получаем частное решение |
y |
|
|
|
|
|
x e |
и общее решение |
|||||||||||||||
8 |
16 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y y * y |
|
|
|
x |
|
e3x C e x C |
2 |
e3x . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Составить вид частного решения уравнения y 4y (2x2 1)e4x .
Решение. Здесь n 2 , 4 . Составляем и решаем характеристическое
k 2 4k 0 , k 0 , k |
2 |
4, |
||||
уравнение ЛОДУ: |
|
|
|
1 |
|
|
|
C |
C |
e4x . |
|
|
|
y |
|
|
||||
1 |
2 |
|
|
|
100