Методическое пособие 398
.pdfВыясним, существует ли базис из собственных векторов. Оператор A имеет кратные собственные значения. Тогда его матрица приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда каждому кратному собственному значению соответствует столько собственных векторов, какова его кратность.
Рассмотрим сначала кратное собственное значение1,2 9 . Найдем соответствующую ему линейно независи-
мую систему собственных векторов - это фундаментальная система решений однородной системы уравнений
|
|
|
|
8 |
4 |
8 x1 |
|
|
0 |
|
||||||||
( A E) X O ( A 9E) X O |
|
4 |
2 |
4 |
x |
|
|
|
0 |
|
, |
|||||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
4 |
8 |
x |
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
откуда находим 2x x |
2x |
0 , |
или |
x |
|
1 |
x |
x |
, |
где |
||||||||
|
||||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
x2 , x3 - свободные неизвестные. Для построения фундамен-
тальной системы решений поочередно одно из свободных неизвестных полагаем равным единице, а остальные - нулю.
Пусть |
x |
1, |
x |
0 |
x |
|
1 |
. Тогда |
X |
|
( |
1 |
,1, 0) . |
|
1 |
|
|||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть |
x2 |
0 , |
x3 1 |
x1 |
1. Тогда X2 |
( 1,0,1) . |
|||||||
Таким образом, |
собственному значению 1,2 9 крат- |
ности 2 соответствует два линейно независимых собственных вектора X1 , X 2 .
Для собственного значения 3 9 находим один соб-
ственный вектор X3 (1, 12 ,1) .
Построенная система собственных векторов X1 , X 2 , X3 будет линейно независима. Кроме того, число собственных векторов (три) совпадает с размерностью пространства,
49
в котором действует оператор, соответствующий матрице A . Следовательно, собственные векторы X1 , X 2 , X3 образуют базис и матрица A приводима к диагональному виду:
9 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
9 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
9 |
|
|
|
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе данной матрицей.
1. |
7 |
|
2 |
|
2. |
6 |
|
3 |
|
3. |
2 |
3 |
|
|||||
|
15 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
1 |
|
|||||
|
1 |
0 |
|
2 |
|
5 |
0 |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
||||||
4. |
|
1 |
1 |
|
|
|
5. |
|
8 |
1 4 |
|
6. |
|
4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
0 0 |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
5 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
4 1 |
Приводима ли данная матрица к диагональному виду? В случае положительного ответа укажите базис из собственных векторов и выпишите вид матрицы в этом базисе:
|
|
3 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
|||
7. |
8. |
|
1 |
2 |
0 |
|
||||
|
8 |
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
8 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 3 |
1 |
|
6 |
5 |
3 |
|
|||||
9. |
|
3 |
5 |
|
|
10. |
|
3 |
2 |
2 |
|
; |
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
3 |
3 |
1 |
|
|
|
2 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
ОТВЕТЫ
Тема 1. |
1. 26 |
|
|
2. -38 |
3. 7 |
|
4. 0 |
|
5. |
|
2a |
|
6. 3x 1 |
7. -1 |
8. 3 |
|
9. -20 |
|
||||||||||||||||||||||||||
10. |
x(x2 a2 ) |
|
11. -36 |
12. 0 |
13. 87 |
|
|
14. -10 |
|
15. 2x |
|
16. -19 |
|
17. 189 |
||||||||||||||||||||||||||||||
18. 48 |
19. -27 |
|
21. 2; 3 |
|
22. 0; 2 |
|
|
23. (4; ) |
24. ( 6; 4) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
7 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
11 |
|
|||||||||||
Тема 2. |
3. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
; |
|
б) |
AB |
, |
||||||||||||||||
|
AB |
0 |
11 |
19 |
BA |
2 |
8 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
3 |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
21 |
7 |
35 |
|
|
|
|
|
15 |
|
6 |
|
|
9 |
BA 13 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
14 |
|||||||||||||||||||
BA |
|
1 |
|
|
|
; в) |
AB |
|
|
|
8 12 |
, |
г) AB BA |
|||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
20 |
20 |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
10 |
|||||
|
|
1 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
4 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
ac |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|||||||||||
д) AB |
0 |
|
|
, |
B |
|
0 |
|
. |
|
4. а) |
|
ABC |
|
|
4 |
|
|
|
; б) |
ABC |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
0 2 |
|
|
4 5 |
5 0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
21 |
23 |
15 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6. а) |
|
; б) |
13 34 |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
5. BA |
|
|
|
|
|
|
, |
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
2 6 |
6 0 |
|
|
|
|
|
16 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
22 |
25 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
96 |
12 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
11 |
100 |
||||||||||||
7. |
18 |
54 |
8 |
8. |
|
( AB)T |
|
|
, |
AT BT |
|
6 |
|
0 |
3 |
. 9. |
ABC |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
51 |
105 |
111 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
7 |
9 |
|
|
|
|
4 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10. а) |
; |
б) |
|
0 |
74 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 5 2 |
5 ; б) |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1/ 4 |
|
3 / 8 |
7 / 8 |
|
8 29 |
11 |
||||||||||||||||||||||
Тема 3. 1. а) |
|
|
; в) |
|
1/ 4 |
1/ 8 |
5 / 8 |
; |
г) |
5 |
|
18 |
7 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 5 |
1 5 |
|
5 2 |
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 1/ 4 |
3 / 4 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) 3 |
2 |
|
||||||||||
2. 0 |
и 5,5 . |
3. а) |
2 |
2 |
; б) |
|
1 |
1 |
|
1 |
; |
в) нет решений; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
7 7 |
|
|
|
5 |
1 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
4. а)да; б)нет; в)нет; г)да; д)да 5. |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
8 |
|
2 |
|
. 6. |
1 |
15 |
3 |
8 |
|
. 7. C . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
42 |
32 8 |
|
|
10 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 14 |
|
|
|
|
|
51
|
1 |
6 3 |
б) |
9 |
0 2 |
|
57 |
4 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. а) |
|
|
; |
|
|
|
; в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
4 0 |
|
|
|
|
39 |
4 10 |
|
|
48 |
4 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тема 4. 1. |
x 2, y 3 2. x 1, y 2 |
3. x1 |
16, x2 |
7 4. x1 2, x2 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5. |
x1 3, x2 2, x3 1 |
6. x1 1, x2 0, x3 2 |
7. x1 4, x2 1, x3 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
8. |
x 2, y 1, z 1 |
9. |
x1 2, x2 |
0, x3 |
1 |
10. |
x1 1, x2 |
1, x3 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
Тема 5. |
1. |
x1 2, x2 1, x3 1. |
2. Система несовместна |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3. |
x 7 9, x 5 5, x , x |
|
4. x |
1 |
2, x |
4 |
2, x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
1 |
5 |
|
2 |
5 |
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
x1 1 , x2 |
3 , x3 |
, x4 |
6. |
x1 10, x2 5, x3 |
7 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
7. Система несовместна |
8. |
x1 2 15 17, x2 3 3, x3 , x4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
9. |
x1 2 2, x2 |
5, x3 |
|
10. Система несовместна |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
11. x1 14 , x2 21 , x3 |
, x4 |
|
12. |
x1 2, x2 |
0, x3 |
1, x4 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Тема 7. |
1. (5, 3, -2) |
2. (0, 2, 1, 2) |
3. ( 2, 3 2, |
17 2) |
4. (7 4, |
6 4, |
7 4) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 3 |
|
|
|
1 4 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
x |
e |
e 3e |
, |
|
|||||||
|
TB B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 0 |
|
TB B |
1 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
3 |
|
2 |
|
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
31 |
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
e 11e |
|
e . |
6. (-4; -8; 8) 7. 0, 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тема 8. |
2. |
(2x1 2x2 6x3 , 3x1 2x3 , 4x2 2x3 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
3 |
|
85 |
59 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
4. |
|
|
|
|
|
25 |
5. а) (2;3) , |
б) ( 3;3) , |
в) |
(1;3; 4) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
121 |
84 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
13 |
9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Высшая математика для экономистов [Текст] : учебник для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : ЮНИТИ,
2004. – 471 с. – ISBN 5-238-00030-8.
2. Практикум по высшей математике для экономистов [Текст] : учеб. пособие для вузов / Н. Ш. Кремер, И. М. Тришин, Б. А. Путко и др.; под ред. Н. Ш. Кремера. –
М. : ЮНИТИ-ДАНА , 2002. – 423 с. – ISBN 5-238-00459-1.
3. Рябушко, А. П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике [Текст] : учеб. пособие. В 3 ч. Ч. 1. / А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть.
– Минск : Вышэйшая школа, 1990. – 271 с.
53
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Введение ………………………………………………..…. |
1 |
|
Тема 1. Вычисление определителей ……………………. |
2 |
|
Тема 2. Действия с матрицами …………………………. |
9 |
|
Тема 3. Обратная матрица. Матричные уравнения …… |
15 |
|
Тема 4. Правило Крамера и матричный метод решения |
|
|
|
систем линейных уравнений ……………….…. |
21 |
Тема 5. |
Метод Гаусса ……………………..……………. |
26 |
Тема 6. Системы линейных однородных уравнений …. |
34 |
|
Тема 7. |
Базис и размерность линейного пространства |
38 |
Тема 8. |
Линейные операторы ………………………..…. |
42 |
Тема 9. |
Собственные векторы и собственные значения |
|
|
линейного оператора ……………………………. |
46 |
Ответы …………………………………………………..…. 51
Библиографический список …………………………..…. 53
54
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическим занятиям по дисциплине «Линейная алгебра»
для студентов специальности 38.03.05 «Бизнес-информатика», профиль «Электронный бизнес» очной формы обучения
Составители: Майорова Светлана Павловна
Завгородний Михаил Григорьевич
В авторской редакции
Компьютерный набор С.П. Майоровой
Подписано к изданию 03.06.2015. Уч.- изд. л. 3,3.
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14