Методическое пособие 406
.pdf
|
полной механической энергии: |
||||||||
|
(Ek Eп )2 (Ek Eп )1 A |
||||||||
|
Разность механических энергий в начальном и |
||||||||
|
конечном состояниях равна работе, которую |
||||||||
|
совершает двигатель. |
||||||||
|
m 22 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
mgh2 |
|
A , |
|||
|
|
||||||||
|
|
2 |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
m 2 |
mgh |
||
|
|
|
N |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения конечной |
скорости |
2 |
воспользуемся уравнениями |
кинематики для равноускоренного движения (см. задачу 1.7):
2th .
Окончательно:
|
h 2 |
gh) |
|
|
|
3 |
10002 |
3 |
|
||||
|
m(2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
3 |
10 |
|
(2 602 |
9,8 10 ) |
|||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
518 кВт. |
|
|
t |
|
|
|
|
60 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: N 518 кВт.
2.29. Найти среднюю полезную мощность при разбеге самолета массой
m 1000 кг , |
если длина разбега l 300 м , |
взлетная скорость 1 30 м / с , |
||
коэффициент сопротивления 0,03. |
|
|||
|
|
|
|
|
Дано: |
|
СИ: |
Решение: |
|
m 1000 кг |
|
|
При разбеге самолета необходимо совершить работу, |
|
1 30 м / с |
|
|
часть которой пойдет |
на увеличение кинетической |
|
|
энергии самолета, а другая часть – на преодоление сил |
||
l 300 м |
|
|
||
|
|
сопротивления. |
|
|
0,03 |
|
|
A A Ек А'сопрот |
|
N ? |
|
|
|
|
|
|
Работа, совершаемая силами сопротивления, равна: |
||
|
|
|
||
|
|
|
||
Асопрот (F |
r ) F r cos , |
|
||
где модуль перемещения совпадает с длиной разбега, угол между силой |
||||
сопротивления и вектором перемещения равен , сила сопротивления |
||||
равна: |
|
|
|
|
Fсопрот N mg . |
|
|||
Тогда работа, совершаемая силами сопротивления равна: |
||||
Aсопрот Fсопрот l cos mgl . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
29 |
|
Работа, совершаемая против сил сопротивления, равна:
A'сопрот Aсопрот mgl .
Т.о., полезная работа при разбеге равна:
A |
m 2 |
mgl . |
|
1 |
|||
2 |
|||
|
|
Средняя полезная мощность определится полезной работой и временем, затраченным на разбег:
N At .
Поскольку разбег самолета считаем равноускоренным (см. задачу 1.7), то уравнения кинематики запишем в виде:
|
|
at |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
s |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или a t , |
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
l s |
|
t2 |
|
t |
|||
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
2t |
|
|
t |
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
N ( |
m 2 |
|
mgl ) |
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
2l |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( |
1000 900 |
0,03 1000 9,8 300) |
30 |
|
26910Вт 26,91 кВт. |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
600 |
|
|||
Ответ: N 26,91 кВт. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.30. Парашютист массой |
|
m 80 кг |
совершает затяжной прыжок и через |
||||||||||||
t 14 с |
имеет |
скорость |
|
60 м / с . |
Считая движение парашютиста |
||||||||||
равноускоренным, найти работу по преодолению сопротивления воздуха. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дано: |
|
|
|
|
СИ: |
Решение: |
|
|
|
||||||
m 80 кг |
|
|
|
|
|
Работа силы сопротивления, при условии, что сила |
|||||||||
60 м / с |
|
|
|
|
|
постоянна, определяется выражением: |
|||||||||
|
|
|
|
|
Aсопр |
Fсопр s cos Fсопр s , |
|||||||||
t 14 с |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где угол - угол между направлениями действия |
||||||
Асопр ? |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
силы и |
перемещения, cos 1, |
т.к. сила сопротивления воздуха и |
|||||||||||||
перемещение направлены вдоль одной прямой противоположно друг другу. |
|||||||||||||||
Работа по преодолению сопротивления воздуха равна: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
A'сопр Aсопр Fсопр s . |
(1) |
|||||||
Для равноускоренного движения справедливы формулы: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
at |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
s |
|
t |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
at |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
откуда с учетом равенства нулю начальной скорости:
a t
|
s |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишем II закон Ньютона в векторной форме: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ma |
|
mg |
Fсопр , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в скалярной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
F mg ma mg m |
. |
|
(2) |
|||||||||
|
сопр |
|
|
|
|
|
t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставив (2) в формулу (1), получим: |
|||||||||||||
A m(g )s m t |
gt |
|
m |
(gt ) |
|||||||||
|
|
||||||||||||
сопр |
|
|
|
t |
2 |
|
t |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
80 60 |
(9,8 14 60) 185,3 кДж. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
Aсопр 185,3 кДж. |
|
|
|
|
|
|
2.31. С какой силой следует прижать тормозную колодку к колесу, делающему n 30 об / с , для его полной остановки в течение t 20 c ? Масса
колеса равна |
m 50 |
кг , диаметр колеса d 120 см , |
коэффициент трения |
||||
между колодкой и ободом колеса 0,5 . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
СИ: |
|
Решение: |
|
|
|
|
d 120 см |
1,2 м |
|
Момент сил, вызывающих торможение колеса равен: |
||||
n 30 об / с |
|
|
M Fт R |
|
|
|
|
t 20 c |
|
|
Сила трения определяется прижимающей силой и |
||||
m 50 кг |
|
|
коэффициентом трения: |
|
|
|
|
|
|
Fт F |
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
F ? |
|
|
|
F |
|
||
|
|
Т.о., прижимающая сила равна: |
|
. |
(1) |
||
|
|
R |
|||||
|
|
|
|
||||
Воспользуемся уравнением моментов в скалярном виде, где изменение |
|||||||
момента импульса во времени определяется изменением угловой скорости |
|||||||
|
|
|
31 |
|
|
|
|
M dL Jd dt dt
По условию задачи известно, что угловая скорость меняется от начального
значения до нуля за время t , т.е.
d 0 2 n0 dt t t
В первом приближении колесо можно считать диском, его момент инерции равен:
J mR 2 |
. |
||
|
2 |
||
|
Подставляя все найденные величины в формулу (1), получим:
F |
J |
0 |
|
mR 2 |
2 n |
0 |
|
mR n |
0 |
|
md n |
0 |
|
50 1,2 3,14 30 |
240 ,2 Н . |
R t |
2R t |
|
t |
|
2 t |
2 0,5 20 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: F 240 ,2 Н .
2.32. Масса вертолета m 3 103 кг . Диаметр винта, отбрасывающего вниз
цилиндрическую |
струю |
воздуха |
|
того |
же |
диаметра, равен d 8м . |
||||||||||||||
Определите мощность мотора, если вертолет неподвижен? |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дано: |
|
|
|
СИ: |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m 3 103 кг |
|
|
|
На вертолет, неподвижно висящий над землей, |
||||||||||||||||
d 8м |
|
|
|
действуют сала тяжести и подъемная сила: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
N ? |
|
|
|
|
|
|
|
ma F |
mg |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку ускорение вертолета равно нулю, получаем: |
||||||||||||
F mg . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|||||
Согласно III закону Ньютона, подъемная сила, действующая на вертолет |
||||||||||||||||||||
равна по модулю и противоположна по направлению силе, действующей на |
||||||||||||||||||||
воздух со стороны винта. Эта сила равна изменению импульса воздуха: |
||||||||||||||||||||
F |
d |
|
|
(M возд ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Масса перекачиваемого за время t |
винтом воздуха равна: |
|||||||||||||||||||
M возд |
воздV |
d |
2 |
возд |
t . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т.о., модуль подъемной силы равен: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
F |
d |
|
(M возд ) |
|
|
M |
возд |
|
|
d 2 |
|
2 t |
|
d 2 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
возд |
|
возд |
. |
||||||||||
dt |
|
|
|
|
t |
|
4 |
t |
|
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Плотность воздуха при нормальных условиях равна отношению молярной |
||||||||||||||||||||
массы воздуха к объему, занимаемому одним молем газа: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
29 |
1,3 кг / м3 . |
|
V1моля |
22,4 |
||||
|
|
|
Из условия равновесия следует:
mg |
d 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возд |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда возд |
|
|
|
4mg |
|||||
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
d |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мощность равна отношению работы к интервалу времени, за который эта работа совершена:
N At .
В данном случае совершается работа по перемещению массы воздуха, эта работа равна изменению кинетической энергии воздуха
|
|
M |
возд |
2 |
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
|
|
|
возд |
|
|
|
|
|
t |
возд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
4 |
возд |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2t 4mg |
|
|
|
4mg |
|
d 2t |
|
|
m3 g 3 |
|
t |
m3 g 3 |
. |
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
d 2 |
|
2 d 2 |
|
|
d 2 |
|
d 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о., мощность мотора равна:
N |
|
|
m3 g 3 |
|
|
|
|
|
33 109 |
9,83 |
|
312 103 |
Вт 312 кВт. |
|||
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
1,3 3,14 |
8 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: N 312 кВт. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.33. |
Несущий |
винт вертолета МИ-8 |
имеет диаметр d 21,3 м , массу |
|||||||||||||
m 705 кг |
|
и |
состоит |
из |
5 |
|
лопастей |
шириной b 0,4 м . Для подъема |
вертолета в воздух скорость вращения несущего винта должна превысить
значение n 3 об / с . Можно ли остановить вращение винта, если попасть в край лопасти из автомата Калашникова. Считать, что пуля застрянет в одной
из лопастей винта. Масса пули mпули 8 г , максимальная скорость ее полета
800 м / с .
Дано: |
|
СИ: |
Решение: |
|
|
|
||
m 705 кг |
|
Воспользуемся |
законом сохранения |
момента |
||||
d 21,3 |
м |
|
импульса: |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
b 0,4 |
м |
|
Lвинта Lпули |
0 . |
|
|||
n 3 об / с |
|
Для |
ответа |
на |
поставленный вопрос |
найдем |
||
|
максимальную скорость вращения винта, при |
|||||||
mпули 8 г |
0,008 кг |
|||||||
которой остановка осуществима. Будем считать, |
||||||||
|
|
|
|
33 |
|
|
|
800 м / с |
|
что пуля летела навстречу движению винта, в |
этом случае моменты импульса будут направлены противоположно друг другу:
J винта mпули пули l 0 ,
где l - плечо момента импульса пули, равное длине лопасти винта. Найдем момент инерции винта:
Каждую лопасть можно в первом приближении считать бруском, момент инерции относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс лопасти (ось 1-1’):
J1лопасти m5 121 (R2 b2 ) 60m (R2 b2 ) ,
где R , b и m - длина, ширина и масса лопасти соответственно.
Поскольку вращение лопастей происходит относительно вертикальной оси, проходящей через край лопасти (ось 0-0’), то для нахождения полного момента инерции винта необходимо воспользоваться теоремой Штейнера, а также учесть, что винт состоит из 5 лопастей:
|
лопасти |
лопасти |
|
m |
|
R |
2 |
(R2 b2 ) |
|
R2 |
||
J 5 J |
0 |
5 (J1 |
|
|
|
|
|
) m( |
|
|
|
) |
5 |
|
12 |
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
m( R2 b2 ) 26663,7кг м2 . 3 12
Угловая скорость винта при взлете равна:
2 n 2 3,14 3 18,84 рад/ с .
Винт остановится, если его скорость не превысит величину:
винта |
|
mпули |
пули |
R |
|
0,008 800 |
10,65 |
0,003 рад / с . |
J |
|
26663 |
,7 |
|||||
|
|
|
|
|
Ответ: Т.к. винта , то винт при попадании пули в одну из лопастей не остановится.
2.34. Гироскоп массой m = 0,36 кг прецессирует под действием силы тяжести, при этом ось гироскопа наклонена под углом α = 30º к вертикали. Момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии J = 3,0 г·м2, угловая
34
скорость вращения вокруг этой оси ω = 360 рад/с, расстояние от точки опоры до центра масс гироскопа l = 12 см. Найти скорость прецессии гироскопа.
Дано: |
|
|
СИ: |
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
J 3,0г м 2 |
|
|
3 10 3 кг м2 |
|
По |
|
определению |
угловая |
скорость |
||||||||||||
l 12cм |
|
|
0,12м |
|
|
|
определяется выражением: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|||||
m 0,36кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
dt . |
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||
360 рад / с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
На |
|
рисунке видно, |
что |
угловое |
|||||||||||||
30 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
приращение d равно: |
|
|
|||||||||||||
прецессии ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dL |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L sin |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где L J - момент импульса гироскопа. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рисунке красным показано начальное |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положение |
|
вектора |
L , |
его |
конечное |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положение выделено черным. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используем уравнение моментов: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dL M . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда модуль вектора dL - приращения |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
момента импульса за время dt равен: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dL Mdt mgl sin dt . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рисунке вектор dL обозначен зеленым цветом. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Подставляя найденные величины в (1), получим: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
прец |
d |
|
mgl sin dt |
|
mgl |
|
0,36 9,8 0,12 |
0,4 рад / с . |
|
||||||||||||
|
J sin dt |
J |
|
|
|||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
3 10 3 |
|
360 |
|
|
|
|
|||||||
Ответ: прец |
0,4 рад / с . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следует обратить внимание на разность |
между |
частотой прецессии и |
частотой собственного вращения гироскопа ( 360 рад / с ).
2.35. Ракета поднимается вертикально вверх с ускорением a = 9 м/с2. В конструкцию ракеты встроен гироскоп, в первом приближении представляющий собой однородный диск радиуса R = 5 см, установленный на конце стержня длины l = 10 см. Другой конец стержня укреплен в шарнире О. Гироскоп прецессирует с частотой n = 0,5 об/с. Найти собственную угловую скорость вращения гироскопа.
Дано: |
СИ: |
Решение: |
R 5см |
0,05м |
Воспользуемся формулой, полученной в |
l 10cм |
0,1м |
предыдущей задаче. При этом учтем, что на |
a 9м / с2 |
|
гироскоп действует не только сила тяжести, но |
|
|
35 |
nпрецесс 0,5 об / с |
|
|
|
|
и сила инерции, возникающая за счет |
|||||||||||||||||
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
движения ракеты с ускорением a . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
ma . |
|
|
|
|
|
||||
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
инерц |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому в расчетную формулу войдет |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эффективное ускорение aэфф g a . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m(g a)l |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J прецесс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Момент инерции гироскопа относительно оси |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
симметрии диска равен: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
J |
mR 2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2m(g a)l |
|
|
|
2(g a)l |
|
|
|
|
(g a)l |
|
|
(9,8 9) 0,1 |
|
479 рад / с. |
|||||||
|
R2 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
mR 2 |
прецесс |
|
|
|
|
|
R2 n |
0,052 3,14 0,5 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
прецесс |
|
|
|
прецесс |
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: 479 рад / с . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2.36. Гироскоп, |
масса которого m 0,9 кг |
|
и момент инерции относительно |
|||||||||||||||||||
собственной |
оси |
J 4,5 |
г м2 , |
вращается с |
частотой 400рад/ с . |
|||||||||||||||||
Расстояние между |
точкой |
опоры |
и центром |
масс |
l 10 cм . Гироскоп |
установлен в кабине самолета, который движется горизонтально с
ускорением a 2м / с2 . |
Найти модуль и |
направление |
вектора прецесс - |
||||
угловой скорости прецессии гироскопа. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
СИ: |
|
|
Решение: |
|
|
J 4,5 г м2 |
|
4,5 10 3 кг м2 |
|
|
|
|
|
l 10 cм |
|
0,1 м |
|
|
|
|
|
m 0,9 кг |
|
|
|
|
|
|
|
400рад/ с |
|
|
|
|
|
|
|
a 2м / с2 |
|
|
|
|
|
|
|
прецесс ? |
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Воспользуемся формулой, полученной в задаче 2.34. При этом учтем, что |
|||||||
на гироскоп |
действует |
не только сила |
тяжести, но |
и сила инерции, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
возникающая |
за счет движения ракеты |
с ускорением |
a . Эффективное |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ускорение в данном случае равно g |
a . |
|
|
||||
Модуль эффективного ускорения согласно геометрическому рисунку |
|||||||
равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
a |
эфф |
|
|
g 2 |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ml |
|
g 2 a2 |
|
|
0,9 0,1 |
9,82 22 |
|||
|
прецесс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 рад/ с |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
4,5 10 3 400 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол наклона оси прецессионного движения определяется по направлению
вектора эффективного ускорения . g a
tg Fинерц ma a mg mg g
arctg |
a |
arctg |
2 |
|
11,5 . |
|
g |
9,8 |
|||||
|
|
|
||||
|
|
|||||
Ответ: прецесс 0,5 |
рад/ с , 11,5 . |
2.37. Какую мощность должен развивать двигатель ракеты, приводящий в движение стабилизирующий гироскоп, который имеет форму диска радиусом
R 0,2 |
м и массой |
m 1200 г , |
если в течение t 6 c угловая скорость |
||||||||||||
доводится до 150 |
с 1 ? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
|
|
СИ: |
|
Решение: |
|
|
|
|
|
||||
m 1,2 |
кг |
|
|
|
|
При вращательном движении работа определяется |
|||||||||
t 6 c |
|
|
|
|
|
|
|
следующим образом: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R 0,2 |
м |
|
|
|
|
A M d M d M |
|
|
|
||||||
150 |
с 1 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Тогда мощность, развиваемая двигатель, может быть |
|||||||||||
N ? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
вычислена через совершенную им работу: |
||||||||
N |
A |
|
|
M |
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|||
t |
t |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Момент сил найдем с помощью основного уравнения динамики |
|||||||||||||||
вращательного движения: |
|
|
|
|
|
||||||||||
M J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Момент инерции гироскопа, имеющего форму диска, равен: |
J |
mR 2 |
. |
||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Тогда |
M |
mR 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Угловое ускорение найдем с помощью уравнения кинематики для |
|||||||||||||||
вращательного равноускоренного движения: |
|
|
|
||||||||||||
0 t , следовательно |
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
Поскольку движение неравномерное, угловое перемещение, совершенное |
|||||||||||||||
за указанное время, необходимо находить следующим образом: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
t |
t |
t |
t |
2 |
|
|
|
t |
2 |
|
t |
(t)dt ( 0 |
t)dt tdt |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
t |
|
|
2 |
|||||||
0 |
0 |
0 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя все найденное в формулу (1), получим:
N |
mR 2 |
|
|
|
t |
|
1 |
|
mR 2 2 |
|
|
1,2 0,22 150 |
2 |
45 Вт . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
t |
|
2 |
t |
|
|
4t |
|
|
|
4 6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответ: |
|
N 45 Вт . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.38. Найдите момент M гироскопических сил, действующих на вал со |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
стороны пропеллера, если самолет, имея скорость |
u 300 км / ч , |
делает |
|||||||||||||||||||||||||||||||
поворот радиуса |
|
R 100 |
м . Пропеллер с моментом инерции |
J 7 |
кг м2 |
||||||||||||||||||||||||||||
вращается с частотой n 1000 об / мин . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СИ: |
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
||||||||
u 300 км / ч |
|
|
|
|
|
|
83,3 |
м / с |
Гироскопическими |
силами |
называются |
||||||||||||||||||||||
R 100 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
силы, |
|
с |
которыми |
ось |
гироскопа |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
действует |
на |
подставку. Момент |
||||||||||||||
J 7 |
кг м2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гироскопических сил |
равен векторному |
|||||||||||||||||
n 1000 об / мин |
|
16,7 |
об / с |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
произведению |
угловой |
скорости |
||||||||||||||||||||||||||||||
M ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поворота тела и момента импульса, |
|
||||||||||
которым обладает тело в результате собственного вращения: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M [ ' L] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В скалярном виде получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
M ' L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Угловая скорость движения самолета по окружности радиусом R равна: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
' |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Т.о., |
|
|
|
M |
u |
J |
u |
J 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M |
2 n J u |
|
|
2 3,14 16,67 7 83,33 |
610,7 Н м |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
|
M 610 ,7 |
|
Н м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.39. Для создания искусственной тяжести на космическом корабле, обращающемся вокруг Земли по круговой орбите, было предложено ускорять корабль до скорости , превышающей первую космическую скорость. Для удержания корабля на круговой орбите при такой скорости включается двигатель, сообщающий кораблю ускорение, перпендикулярное к траектории корабля. При какой скорости космонавт на корабле будет испытывать такую же «тяжесть», что и на Земле? Подсчитать расход топлива, который требуется для выведения корабля на круговую орбиту и последующего (однократного) облета по ней вокруг земного шара в этих условиях. Скорость
38