Методическое пособие 434

Метод контурных токов. Вводят дополнительные формальные неизвестные – контурные токи. Выбирают условно положительные направления токов в ветвях и контурных токов. Как правило, направления всех контурных токов выбирают одинаковыми, например, по часовой стрелке. Систему линейных контурных уравнений удобно записать в матричной форме для расчета с помощью определителей:

E ZI

или

E

Z

Z

Z

I

1

11

12

1n

1

Z

Z

Z

E

2

21

22

2n

I

2

Z

Z

Z

E

I

n

n1

n2

nn

n

где Ek, Zkk, Ik – контурная ЭДС, собственное сопротивление и контурный ток k-го независимого контура соответственно; Zik – общее сопротивление k-го и i-го независимых контуров.

Если система определенная, то контурные токи можно

найти по формулам Крамера:

I				k
	k

, где – определитель

матрицы Z контурных сопротивлений, k – частный определитель матрицы контурных сопротивлений, который получается путем замены k-ro столбца сопротивлений столбцом контурных ЭДС. Ток в ветви, принадлежащей только одному k-му контуру (собственная ветвь контура), равен контурному току Iк. Ток в общей ветви k -го и i -го контуров равен разности контурных

токов

Ik

и

Ii

.

Метод узловых напряжений. Вводят дополнительные неизвестные – узловые напряжения, которые находятся из системы узловых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Далее по известным узловым напряжениям рассчитывают искомые токи в ветвях, а затем – искомые напряжения на элементах. Расчеты удобно производить в матричной форме, аналогично методу контурных токов:

J YU ,

19

где J, Y и U – матрицы узловых токов, узловых проводимостей и узловых напряжений соответственно.

Метод наложения. В соответствии с принципом наложения неизвестные токи в ветвях определяют как алгебраическую сумму частичных токов, обусловленных действием каждого источника отдельно.

Для расчета частичных токов исходную цепь с n источниками представляют в виде n частных схем. Каждая частная схема содержит только один источник. Все другие источники исключаются, остаются лишь их внутренние сопротивления. Идеальный источник напряжения заменяют коротким замыканием, Ri = 0. У идеального источника тока Ri =∞, поэтому ветвь, в которую он включен, разрывается. Искомые токи определяют как алгебраические суммы частичных токов в соответствующих ветвях.

Метод эквивалентного генератора. Всю электриче-

скую цепь, кроме одной ветви с неизвестным током, заменяют эквивалентным генератором с параметрами Еэ и Zi. Для входного контура составляют уравнение по второму закону Кирхгофа и рассчитывают Uxx. Теорема об эквивалентном ге-

нераторе [1-4] утверждает, что ЭДС эквивалентного генератора равна напряжению холостого хода активного двухполюсника, а его внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника: Еэ = Uxx; Zi = Zвx. Составляют схему пассивного двухполюсника (исключить в исходной цепи все источники, заменив их соответствующими внутренними сопротивлениями), считая входом зажимы эквивалентного генератора, и рассчитывают его входное сопротивление. По закону Ома рассчитывают искомый ток

		Eэ
I
				,
	Zi	Z
			Н

где ZН – сопротивление ветви, в которой определяется ток.

20

Задания

3.1. Составить по методу уравнений Кирхгофа систему уравнений для расчета токов в ветвях цепи (рис. 11, а).

а)	б)
Рис. 11. Схемы цепей к заданиям

3.2. Рассчитать токи в ветвях цепи (рис. 11, б) методом контурных токов. R1 = 10 кОм; R2 = 1 кОм; R3 = 3,З кОм;

С= 330 пФ; L = 5 мГн; f = 100 кГц; e1(t) = 10 sint В; e2(t) = 20sin(t + 30°)В; j(t) = 0,02 sin t А. Проверить досто-

верность произведенного расчета по балансу мощности.

3.3. Рассчитать токи в ветвях цепи (рис. 12, а) методом узловых напряжений. R1 = 10 кОм; R2 = 5,1 кОм; R3 = 3,3 кОм;

хс	=	6 кОм; xL = 10 кОм; е1(t) = 6,34				sin	t	В;
e2(t) =		7,07sin(t	+	30°) В;	e3(t) = 7,07sin(t	+	45°)	B;
j(t) = 2,82·10–3 sint А.
	3.4. Определить ток в сопротивлении Z4 электрической
цепи		(рис. 12,	б)	методом	эквивалентного	генератора.
Z1	= 20еj60° Ом; Z2 = 40 Ом; Z3 = 30еj30° Ом; Z4 = 10еj45° Ом;
Z5	= 10	Ом; Е = 220еj60° В.

а) б)

Рис. 12. Схемы цепей к заданиям

21

3.5. Рассчитать токи в ветвях цепи (рис. 13, а) методом наложения. J = 2,54·10–2е–j53,13° А; E= 70,5е–j45° В.

Z1 = (3 + j4) кОм; Z2 = Z5 = (4 + jЗ) кОм; Z3 = Z4 = (1 – j1) кОм.

	а)		б)
	Рис. 13. Схемы цепей к заданиям
3.6. Определить токи электрической цепи (рис. 13, б) и
записать их мгновенные значения. е1(t) =				6600 2 sinɷt		мВ;
e2(t) = 6300 2 sin(ɷt – 20°) мВ; R1 = 30				Ом;	хL1 = 40	Ом;
R2 = 40 Ом; х L2 = 30 Ом; хC = 80 Ом.
3.7. Определить токи в цепи (рис. 14, а).
е1(t) =	130sin(106	t + π/6)	В; е2(t) =		240sin106t В;
R1 = 0,8 Ом;	L1 = 2,6	мкГн; С1	= 0,5	мкФ;	R2 = 3	Ом;

L3 = 4 мкГн; R3 = 6 Ом; С2 = 0,125 мкФ.

	а)		б)	в)
	Рис. 14. Схемы цепей к заданиям
3.8.	Определить	ток	в	сопротивлении Z5	в	цепи
(рис. 14, б).
J = 10 мА; Z1 = 2 кОм; Z2 = 3 кОм; Z3 = –j10 кОм;
Z4 = (2 + j10) кОм; Z5 = 5 кОм.
3.9.	Определить	ток	в	сопротивлении	Z2	цепи

(рис. 14, в). Е = 220 В; Z1 = (10 – j20) кОм; Z2 = j20 кОм;

Z3 = 20 кОм; Z4 = (20 + j30) кОм; Z5 = (10 + j10) кОм.

22

3.10. Определить токи в ветвях цепи (рис. 3.5а). e1(t) = e2(t) = 141,2 sinɷt В, R = 3 Ом, хL1 = 5 Ом, хL2 = 20 Ом

а)	б)			в)
	Рис. 15. Схемы цепей к заданиям
3.11. Определить токи в цепи (рис. 15, б).
E1 = 100 мВ; E2 = 100еj30°		мВ;	E3	= 100е–j30°	мВ;
Z1 = Z2 = Z3 = Z4 = (6 + j8) Ом.
3.12.	Определить токи ̇,	̇,	̇	в ветвях	цепи
	1	2	3

(рис. 15, в). ̇= 24e–j53,13° А; Е̇= 110е–j10° мВ; Z1 = (3 + j4) Ом;

Z2 = (2 + j1,5) Ом; Z3 = 20 Ом.

Контрольные вопросы

1.Перечислите какие Вы знаете методы расчета сложных электрических цепей.

2.Объясните понятия: узел цепи, ветвь, контур.

3.Объясните понятия: контурный ток, контурная ЭДС, узловой ток, узловое напряжение.

4.Сформулируйте теорему об эквивалентном генераторе.

5.Что такое граф цепи?

6.Для каких схем удобно использовать метод наложения?

7.Сформулируйте теорему об эквивалентном источнике

тока.

23

Практическое занятие № 4 Трехфазные цепи

Цель практического занятия: научиться рассчитывать параметры трехфазных цепей.

Теоретические сведения

Трехфазная электрическая цепь [2-4] состоит из следующих основных элементов: источника электрической энергии (трехфазного генератора или трансформатора), линии электропередачи (воздушной или кабельной) и приемников. Фазы трехфазного генератора могут быть соединены по схеме «звезда» и по схеме «треугольник». При соединении фаз генератора «звездой» все их концы соединяют в общий узел 0 (или N), называемый нулевой или нейтральной точкой генератора

(рис. 16).

Рис. 16. Соединение фаз генератора «звездой»

К четырем зажимам генератора присоединяются провода. Провода, присоединенные к началам фаз трехфазного генератора (А, В, С), называются линейными. К нулевой точке генератора присоединяется провод, который называется нулевым или нейтральным. Напряжения между началом и концом фазы генератора называются фазными напряжениями генератора. Фазные напряжения генератора равны ЭДС соответ-

24

ствующих фаз и могут быть записаны:

	= = Ue	;	= = Ue	;		=	= Ue
̇	̇	j0° ̇	̇	–j120°	̇	̇	j120°

Напряжения между линейными проводами называются

линейными напряжениями ̇ , ̇ , ̇ . Они находятся со-

гласно второму закону Кирхгофа:

̇	= ̇ – ̇; ̇			= ̇ – ̇; ̇			= ̇ – ̇

На рис. 17 представлена векторная диаграмма фазных и линейных напряжений генератора при соединении его фаз «звездой». Из рисунка видно, что векторы линейных напряжений образуют замкнутый треугольник. Они сдвинуты друг относительно друга на угол 120° и опережают соответствующие фазные напряжения на 30°. По величине каждое линейное

напряжение в √3 раз больше фазного.

Рис. 17. Векторная диаграмма

При соединении фаз генератора треугольником (рис. 18) фазные напряжения равны соответствующим линейным напряжениям. На практике чаще всего обмотки фаз генератора соединяют звездой.

25

Рис. 18. Соединение фаз генератора «треугольником»

Соединение фаз нагрузки звездой

При соединении фаз генератора и нагрузки по схеме «звезда» существует четырехпроводная (с нулевым проводом) и трехпроводная (без нулевого провода) схемы.

При соединении фаз приемников по схеме «звезда» токи, протекающие по линейным проводам равны токам в фазах приемника, а линейные напряжения равны разности соответствующих фазных напряжений приемника:

̇	= ̇ – ̇; ̇			= ̇ – ̇; ̇			= ̇ – ̇.

Схема с нулевым проводом. Провод О'О, соединяющий нулевую точку трехфазного источника с нулевой точкой приемника (рис. 19, а), называется нулевым или нейтральным. Ток, протекающий по этому проводу, называется током нулевого провода и обозначается I0.

Фазные токи определяются по закону Ома:

̇= ̇/Zф.	(1)
ф ф

Ток нейтрального провода для четырехпроводных цепей определяется по первому закону Кирхгофа:

̇= ̇+ ̇+ ̇.
0
26

а) б)

Рис. 19. а) четырехпроводная схема; б) трехпроводная схема

Схема без нулевого провода. Разность потенциалов ну-

левой точки приемника и нулевой точки источника при отсутствии нулевого провода (рис. 19, б) называется напряжением смещения нейтрали U0'0.

Несимметричная нагрузка в цепи без нулевого провода вызывает появление напряжения между нейтральными точками приемника и генератора, которое определяется по методу двух узлов:

U0'0 U AYa UBYb UCYc .

Ya Yb Yc

В этом случае фазные напряжения приемников отличаются от соответствующих фазных напряжений генератора на величину напряжения смещения нейтрали и могут быть определены:

̇ = ̇ – ̇		; ̇ = ̇ – ̇		; ̇ = ̇ – ̇ .
	0′0		0′0		0′0

Линейные напряжения при любом распределении нагрузок между фазами сохраняют симметричный характер и остаются неизменными.

Фазные токи определяются по закону Ома:

ф̇= ̇фпр/Zф. 27

В частном случае при симметричной нагрузке фаз приемника, когда Za = Zb = Zc, напряжение смещения нейтрали будет равно нулю. В этом случае фазные напряжения приемников будут равны фазным напряжениям генератора, а линейное

напряжение будет связано с фазным соотношением Uл = √3Uф.

Соединение фаз нагрузки треугольником

При соединении фаз нагрузки по схеме «треугольник» (рис. 20) обеспечивается независимость работы фаз друг от друга.

Рис. 20. Соединение фаз нагрузки треугольником

Линейные напряжения генератора

̇	= ̇	= 220e j30° В;
̇	= ̇	= 220e–j90° В;
̇	= ̇	= 220e j150° В.

Фазные токи определяют по закону Ома (1).

Линейные токи определяют по первому закону Кирхго-

фа:

̇= ̇		– ̇	; ̇= ̇		– ̇	; ̇= ̇		– ̇.

При симметричной нагрузке, когда Zab = Zbc = Zca токи в фазах приемника (и линейные токи) получаются одинаковыми по модулю и сдвинутыми относительно друг друга по фазе на угол 120°. Линейные и фазные токи приемника при симмет-

ричной нагрузке связаны соотношением: Iл = √3Iф.

28