Методическое пособие 504
.pdf
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
¢2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
¢ |
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3x |
|
- 6 y + |
3y |
|
- 2x -8y + |
|
|
|
|
|
|
= |
|
3x |
|
|
|
cos |
|
a - |
6x y |
cos a sin a + |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+3y¢2 sin2 - 6 (x¢2 cosa sin a + x¢y¢cos2 a - x¢y¢sin2 a - y¢2 cos2 a sin a )+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+3x |
¢2 |
sin |
2 |
a + |
|
|
|
¢ |
¢ |
cosa sin a + 3y |
¢2 |
cos |
2 |
a - 2x |
¢ |
cosa + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+2 y¢sin a -8x¢sin a -8 y¢cosa + |
23 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Подберем |
|
|
|
угол |
|
|
|
|
, |
такчтобы |
|
|
|
|
коэффициент |
p |
при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¢ |
|
¢ |
обратился |
|
|
в |
|
|
нуль: cos |
2 |
a -sin |
2 |
a = 0 , |
|
откуда |
a = |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x , y |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Уравнение кривой в этом случае примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3y¢2 (sin2 a + 2sin a cosa + cos2 a )- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2x |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
cosa + |
23 |
= 0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosa + 2 y |
|
sina -8x sin a -8 y |
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
¢2 |
|
|
|
|
|
¢ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Или 6 y |
|
|
|
- 6 y |
|
|
|
|
|
-5 |
|
2x |
+ |
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Дальнейшее |
|
|
упрощение |
|
|
|
уравнения |
|
проводится при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
помощи |
|
параллельного перенесения осейOx |
¢ |
|
|
|
¢ |
|
Выделим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
и Oy . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
y |
¢ |
- |
|
1 |
ö2 |
|
= |
|
|
|
æ |
|
|
¢ |
- |
|
|
|
2 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
полный |
|
|
квадрат 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷. |
|
|
Введем |
новые |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
координаты |
|
|
|
|
|
x |
¢ |
|
¢¢ |
+ |
|
|
|
2 |
|
, y |
¢ |
|
= y |
¢¢ |
+ |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
что |
|
|
|
|
|
соответствует |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= x |
|
2 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
параллельному |
|
перемещению |
осей |
на |
|
|
величину 2 |
|
по |
оси |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
Ox¢ |
|
|
|
|
|
и |
|
|
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по |
|
|
|
осиOy¢. |
В |
|
|
|
координатах |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величину |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
¢¢ |
|
¢¢ |
уравнение |
|
|
|
кривой |
|
|
|
|
|
|
примет |
|
|
|
|
¢¢2 |
|
5 |
|
2 |
¢¢ |
|
- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yвид= |
|
|
6 |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
каноническое |
|
|
|
|
уравнение |
|
|
|
|
|
параболы. Ветви |
|
|
|
параболы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
расположены симметрично относительно оси |
|
¢¢ |
и совпадают с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
положительным направлением этой оси (рис. 3.53).
151
|
|
|
|
Рис. 3.53 |
|
|
|
|
Вершина параболы находится |
|
в начале |
координат |
|||||
|
¢¢ |
¢¢ |
; параметр параболы p = |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
системы x , y |
|
12 |
|
|
||||
3.8. Полярная система координат. |
|
|
|
|||||
Уравнения кривых |
|
|
|
|
||||
1°. |
Полярными |
координатами |
точкиМ (рис. 3. |
54) |
||||
являются |
полярный |
радиусr и |
полярный уголj , |
для |
||||
которых |
|
|
приняты |
следующие |
|
интервалы |
изменен |
r Î[0, ¥[иj Î[0, 2p [ или j Î[-p ,p [ .
|
|
|
Рис. 3.54 |
|
|
|
|
|
Если |
начала |
координат |
прямоугольной |
и |
полярной |
|||
системы |
совпадают, а |
полярная |
ось |
совмещена |
|
|||
положительным направлением осиOx , то прямоугольные |
|
|||||||
координаты |
точки М |
выражаются |
через |
полярные |
по |
|||
формулам |
x = r cosj, y = r sin j. |
|
|
|
(1) |
|
||
|
|
|
|
|
152
Полярные |
координаты |
|
|
|
выражаются |
|||
прямоугольные по формулам |
|
|
y |
|
|
|
||
r = |
x2 + y2 , j = arctg |
. |
|
(2) |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
Вторую из формул (2) иногда удобнее заменить двумя |
||||||||
следующими формулами |
|
|
|
|
|
|
||
sinj = |
y |
|
cosj = |
|
|
x |
. |
(3) |
x2 + y2 |
|
x2 + y2 |
||||||
|
|
|
|
|
Проекции произвольного отрезка на координатные оси
выражаются через его длину и полярный угол формулами: |
|
|
x2 - x1 = d cosj, y2 - y1 = d sin j. |
(4) |
|
Полярный угол |
отрезка по координатам его конца и |
|
начала определяется по |
формуле |
|
tgj = y2 - y1 . x2 - x1
2°. Если за полюс принять один из фокусов линии второго порядка (рис. 3.55), то уравнение линии в полярной системе координат примет вид
|
|
r = |
p |
|
. |
|
(5) |
|
|
|
1-e cosj |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
где e = |
r |
- эксцентриситет, d - расстояние точки M (r,j ) до |
|
|||||
d |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
директрис, r - параметр линии второго порядка, равный |
|
|||||||
половине |
длины |
хорды, проходящей |
через |
фокус |
и |
|||
перпендикулярной фокальной оси. |
|
|
|
|
Рис. 3.55
153
Если e = 0 , то |
уравнению (5) |
соответствует |
окружность, если e < 1 - эллипс, если e >1 - |
гипербола, если |
|
e =1 - парабола. |
|
|
Если полярную ось ориентировать в противоположную сторону, то уравнение линии второго порядка в полярной системе координат имеет вид
r = |
p |
(6) |
|
1+ e cosj |
|||
|
|
3°. Рассмотрим некоторые линии, уравнения которых заданы в полярной системе координат.
1. j = a (а - радиан) - геометрическое место точек, полярный угол которых имеет постоянную величину, есть луч, выходящий из полюса полярной системы координат(рис. 3.56).
|
Рис. 3.56 |
2. r = a - окружность с центром в полюсе и с радиусом, |
|
равным а. |
|
3. r = 2a cosj |
- окружность, центр которой находится |
на полярной оси в |
точкеC (a, 0) и радиус которой равен |
(рис. 3.57). |
|
Рис. 3.57
154
4. r = aj (a - const ) - спираль Архимеда (рис. 3.58).
|
|
a |
|
Рис. 3.58 |
|
|
||
5. |
r = |
(const ) - |
гиперболическая |
спираль j ¹ 0 |
||||
|
||||||||
|
j |
|
|
|
|
|
||
(рис. 3.59). Здесь r ¹ 0 |
и |
полюс |
называют |
поэтому |
асимптотической точкой кривой, т. е. такой точкой, к которой точки кривой неограниченно приближаются, но никогда ее не достигают.
Рис. 3.59
6. r = aj (a > 0) - логарифмическая спираль (рис. 3.60)
|
Рис. 3.60 |
|
|
|
Логарифмическая |
спираль |
с |
любой , |
пря |
проведенной через полюс |
образует |
один и |
тот же уголq . |
|
155
Изменению j от 0 до |
-¥ |
соответствует |
часть |
графика |
спирали, которая изображена пунктиром (рис. 3.60). |
|
|||
7. r = 2a (1+ cosj) |
- |
кардиоида (рис. |
3.61). |
Это |
траектория, которую опишет точка окружности, катящееся без скольжения по окружности равного радиуса, касаясь ее внешним образом.
Рис. 3.61
8. Лемниската Бернулли r2 = 2a2 cos 2j (рис. 3.62).
Характеристическое свойство |
F M |
× |
F M |
= a 2 |
- const , где |
|
1 |
|
2 |
|
|
F1 (-a;0), F2 (a;0).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.62 |
|
|
|
|
|
8.1. |
|
|
Найти |
декартовы |
координаты |
точек |
||||||
æ |
|
2p ö |
æ |
|
p ö |
|
|
|
|
|
||||
Aç |
2; |
|
÷, B ç |
3; - |
|
÷. |
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
è |
|
ø |
|
è |
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Решение. |
|
|
Применяя |
формулы(1), находим |
|
|||||||
xA |
= 2 cos |
2p |
= -1, |
yA |
= 2sin |
2p |
= 3. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
В декартовой системе получим A (1; 3 ).
156
|
Декартовы |
|
координаты |
точкиВ |
будут: |
|||||||||||
xB |
= 3cos |
æ |
- |
p ö |
= 0, |
yB |
= 3sin |
æ |
- |
p ö |
= -3, то есть B (0; |
-3). |
||||
ç |
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
è |
|
2 ø |
|
|
|
è |
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
8.2. |
|
|
|
Найти |
|
|
|
|
|
|
|
полярные |
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты |
|
|
то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
A (-2; 0), B (1; -1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
Применяя |
формулы(2), |
|
|
(3), |
|
|
|
|
находим |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
координаты точки А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
rA = |
(-2 2) |
+ 02 = 2, sin jA |
= |
|
= 0, cosjA |
= |
|
= -1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
По |
|
|
численным |
значениям |
синуса |
и |
косинуса |
находим, что |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d = |
|
(4 -3)2 + ( |
3 - 2 3 )2 |
= 2. jA = p . |
|
|
Таким |
|
|
|
образом, |
|
|
в |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полярной системе |
A (2;p ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Полярные |
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты |
|
|
|
|
|
|
|
точкиB |
будут |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r |
|
= |
|
1 |
2 |
|
+ -1 2 |
= |
|
|
2, sin j |
|
= |
-1 |
-1 |
= - |
|
2 |
|
, cosj |
|
|
= |
|
|
1 |
= |
|
|
2 |
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
B |
|
) |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
B |
æ |
|
|
|
p ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
jB = - |
|
|
, естьто |
ç |
2; - |
|
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
4 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
8.3. Найти полярные координаты вершин квадрата со |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стороной а, равной единице, изображенного на рис. 3.63. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Решение. |
AB = BC = CD = DA =1. |
Полярные |
радиусы |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 1 ö2 |
|
|
æ 1 ö2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
всех |
|
|
|
|
вершин |
|
|
|
квадрата |
|
|
|
|
равныr = |
ç |
|
|
÷ |
+ ç |
|
|
|
÷ |
= |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 2 ø |
|
|
è |
|
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Полярные |
|
|
|
|
|
|
|
:углы |
|
jC |
= |
|
p |
, jD = |
3p |
, jA = |
5p |
, jB = |
7p |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
æ 2 |
|
|
5p ö |
æ 2 |
|
7p ö |
|
æ 2 |
|
|
p ö |
æ 2 |
|
|
3p ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Aç |
|
|
|
|
; |
|
|
÷, B ç |
|
|
; |
|
|
|
÷, C ç |
|
|
; |
|
|
|
|
÷, D ç |
|
|
; |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ç |
2 4 |
÷ |
ç |
|
2 4 |
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
2 4 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
è |
ø |
è |
|
ø |
|
è 2 4 |
|
ø |
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
157
Рис. 3.63
8.4. Найти проекции отрезка на координатные оси, зная
его длину d = 6 и полярный угол j =120o. |
|
|
||||||
Решение. По формулам (4) находим |
|
|
||||||
X = 6cos120o = 6 |
æ |
- |
1 |
ö |
= -3, Y = 6sin120o = 6 |
3 |
= 3 3. |
|
ç |
|
÷ |
|
|||||
2 |
2 |
|||||||
|
è |
|
ø |
|
|
8.5. Найти полярный угол отрезка, направленного из
точки M1 (3; 2 3 ) в точку M 2 (4; |
3 ). |
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
|
|
Длина |
|
|
отрезка M1M 2 |
равна |
||||||||
d = (4 -3)2 + ( 3 - 2 3 )2 |
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Применяя формулы (4), находим: |
|
|
|
||||||||||||
cosj = |
4 -3 |
= |
1 |
, sinj = |
|
3 - 2 |
3 |
= - |
3 |
. |
Отсюда |
следует, |
|||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
что главное значение j = 300o. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8.6. Даны точки M1 (1;0) и M 2 (3;5). |
Найти проекцию |
||||||||||||||
отрезка M1M 2 |
|
|
на ось, |
проходящую |
через |
точки |
|||||||||
A(-1;2) и B(3;5) |
и направленную от А к В. |
|
|
|
|||||||||||
Решение. Обозначим |
через l данную |
ось(рис. 3.64), |
|||||||||||||
через j иj1 - полярные углы отрезков AB и M1M 2 . Из простых |
|||||||||||||||
геометрических |
|
|
|
|
|
соображений |
|
, |
находимчто |
Пр.l M1M 2 = M1M 2 cos (j1 -j ) = M1M 2 (cos j1 cos j +sin j1 sin j ).
Отсюда, пользуясь формулами (4) |
и обозначая |
через |
X , Y - проекции на координатные оси |
отрезкаAB , а |
через |
158
X1Y1 |
- |
проекции |
|
|
|
|
отрезка M1M 2 , |
|
получим: |
||||
Пр.l |
M1M 2 |
= M1M 2 cos(j1 -j ) |
= |
X1 X +Y1Y |
, где d |
- |
длина |
||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
отрезка AB , равная d = X 2 |
+Y 2 = = (3 +1)2 + 5( - 2)2 |
= 5. |
|||||||||||
|
Таким образом, Пр. M |
M |
|
|
= |
(3 -1)4 + (5 - 0)3 |
= |
23 |
. |
|
|||
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
l |
1 |
|
5 |
|
5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.64
8.7. |
Линия |
задана |
уравнениемr = |
1 |
. |
|
2 + 2cosj |
||||||
|
|
|
|
|
Требуется: |
а) построить линию по точкам, начиная от j = 0 |
||
до j = 2p , |
придавая j значения через промежуток |
p |
; |
|
|||
|
4 |
|
б) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной ;осьюв) по полученному уравнению определить, какая это линия.
Решение. а) Составим таблицу и строим линию по точкам
(рис. 3.65)
Рис. 3.65
159
|
j |
|
0 |
|
p |
|
p |
|
p |
p |
|
5p |
|
3p |
|
|
|
7p |
|
2p |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
cosj |
|
1 |
|
0,707 |
0 |
-0,707 |
-1 |
|
-0,707 |
0 |
|
|
0,707 |
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
0,25 |
0,29 |
0,5 |
|
1,7 |
¥ |
|
1,7 |
0,5 |
|
0,29 |
0,25 |
|
||||||||||||||||||||
|
2 + 2 cosj |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) Между декартовыми и полярными координатами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
существует |
|
|
|
зависимость y = r sinj, x = r cosj, |
|
откуда |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
r = x2 + y2 , cosj = |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Подставляя эти значения в данное уравнение, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x2 + y2 = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, 2 ( x2 + y2 + x )= 1, x2 |
+ y2 = |
1 -2 x |
, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4x2 + 4 y2 =1- 4x + 4x2 , 4x =1- 4 y2 , x = |
1 |
- y2. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
в) Полученное |
|
уравнение x = |
- y2 - |
есть |
|
|
уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
параболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3.9. Параметрические уравнения плоских кривых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Уравнения x = j (t ), |
y =y (t ) , |
где |
t - |
|
|
параметр, |
называются параметрическими уравнениями кривой. Для того чтобы получить уравнение кривой в прямоугольн координатах, из двух параметрических уравнений нужно исключить параметр.
1.Параметрические уравнения окружности:
x= a cos t, y = a sin t, t Î[0, 2p ].
2.Параметрические уравнения эллипса:
x= a cos t, y = b sin t, t Î[0, 2p ] .
160