Методическое пособие 519
.pdfТестовое задание 2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Разложение определителя |
|
|
|
2 |
1 |
−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 1 −7 |
|
|
|
|
= −3 |
|
1 |
−7 |
|
+ 2 |
|
|
|
|
2 −7 |
|
|
− |
|
|
2 1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
0 |
2 |
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
по третьей строке имеет вид … |
|
|
|
= −3 |
|
1 |
−7 |
|
−2 |
|
|
2 −7 |
|
|
− |
|
|
2 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
−7 |
|
=3 |
|
1 |
|
−7 |
|
+ 2 |
|
2 −7 |
|
+ |
|
2 1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
−7 |
|
=3 |
|
1 |
|
−7 |
|
−2 |
|
|
2 −7 |
|
|
+ |
|
2 1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Воспользуемся определением 2.4: определитель равен сумме произведений элементов третьей строки на их алгебраические дополнения (это и есть разложение определителя по третьей строке), т.е.
|
|
2 |
1 |
−7 |
|
=3 (−1)3+1 |
|
1 |
|
−7 |
|
+ 2 (−1)3+2 |
|
2 |
−7 |
|
+1 |
(−1)3+3 |
|
2 |
1 |
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
3 |
|
|
1 |
−7 |
|
−2 |
|
2 |
−7 |
|
+ |
|
2 |
1 |
|
(четвертый ответ). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь 3, 2, 1 – это элементы третьей строки, а алгебраические дополнения найдены по формуле (2.5) (воспользовались определениями 2.2 и 2.3).
Тестовое задание 2.3 |
|
|
|
||||
Формула вычисления |
определителя |
|
ykp |
||||
|
|||||||
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ymn |
|||
третьего порядка |
k |
l |
m |
|
содержит |
|
|
|
|
ykn |
|||||
|
n |
o |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
yzp |
|||
следующие произведения … |
|
|
|
Решение. В этом задании вспомним, что произведения, являющиеся слагаемыми в выражении определителя третьего порядка, не содержат элементов,
41
стоящих в одном и том же столбце или одной и той же строке. Поэтому нам не подходит произведение ykn ( k и n - элементы первого столбца) и произведе-
ние yzp ( y и z - элементы первой строки). Правильные ответы – первый и второй.
Тестовое задание 2.4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
равен 1,9 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если определитель |
|
|
|
|
38 |
||||||
|
−3 |
5 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5 |
0 |
b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
определитель |
|
19 |
20 |
21 |
|
равен … |
|
||||
|
|
−3 |
0 |
a |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Здесь нужно внимательно посмотреть на оба определителя в условии теста. Нетрудно видеть, что определитель третьего порядка удобно разложить по второму столбцу, т.к. в нем два элемента нули. Получаем:
5 |
0 |
b |
= 20 (−1)2+2 |
|
−53 |
ba |
|
= 20(5a −b(−3))= 20(5a +3b). |
|
|
|||||||
19 20 21 |
|
|
||||||
−3 |
0 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравним это выражение с известным нам определителем второго поряд-
ка. По условию |
a |
b |
=1,9 , т.е. 5a −b(−3)=1,9 , т.е. 5a +3b =1,9 . |
|
−3 |
5 |
|
Вернемся к определителю третьего порядка, в выражении которого в скобках стоит число 1,9. Получаем, что искомый определитель третьего порядка равен 20 1,9 =38 .
Тестовое задание 2.5
Установите соответствие между α и |
υ |
=11 |
|||||
значениями определителей |
υ232 |
||||||
υ212 |
= 7 |
||||||
= |
|
3 |
−4 |
|
. |
υ |
|
|
|
|
|||||
|
|
υ242 |
=15 |
||||
|
|
α |
1 |
|
|
υ |
|
|
|
|
|
υ2 υ2 |
=19 |
||
1.α =1 |
|
|
|
||||
|
|
|
υ222 |
= −13 |
|||
2. α = −4 |
|
|
υ |
|
|||
|
|
|
= −1 |
||||
3. α = 2 |
|
|
|
υ2 υ2 |
|||
4. α =3 |
|
|
|
|
|
Решение. В этой задаче нужно подставить по очереди значения α в определитель, вычислить его и сравнить с данными ответами. Итак:
42
1. |
α =1, |
= |
|
3 |
|
|
−4 |
|
|
|
|
= |
|
3 |
|
−4 |
|
|
|
=3 1 −1 (−4)= 7 (второй ответ). |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
α = −4 , |
= |
|
3 |
−4 |
|
= |
|
3 |
|
|
|
−4 |
|
=3 1 |
−(−4) (−4)= −13 |
|
(пятый ответ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
α = 2 , |
= |
|
|
|
|
3 |
|
−4 |
|
= |
|
|
|
|
3 |
−4 |
|
=3 1 −2 (−4)=11 (первый ответ). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
α =3 , |
= |
|
|
3 |
|
−4 |
|
|
= |
|
|
3 |
−4 |
|
|
=3 1 −3 (−4)=15 (третий ответ). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тестовое задание 2.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Определитель |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
равен 0, если |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
5α −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
α равно… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
2 |
|
|
Решение. Для отыскания α нужно решить уравнение |
|
|
= 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
5α −1 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
=3 (5α −1)−2 6 = 0 15α −15 = 0 α =1 (первый ответ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
5α −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.2. Матрицы: основные определения |
||||||||||||||||
|
Тестовое задание 2.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Алгебраическое дополнение элемента |
|
|
|
2 |
−4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
−2 0 1 |
|
|
A = |
|
|
|||||||||||
a |
матрицы A = |
4 |
−1 |
3 |
|
имеет |
|
32 |
|
−1 |
−3 |
|
|
||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
A32 |
= |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
||||||||
вид… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
A |
= − |
|
|
−2 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
3 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= − |
|
−2 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
4 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Чтобы найти A32 , алгебраическое дополнение к элементу a32 ,
43
вычеркнем из матрицы третью строку и второй столбец. Получим матрицу размера 2 ×2 , вычислим ее определитель – это дополнительный минор M32 к эле-
менту a . По формуле (2.5) |
A =(−1)3+2 |
M |
32 |
= −M |
32 |
, т.е. A = − |
|
−2 |
1 |
|
. Пра- |
|
|
||||||||||
32 |
32 |
|
|
32 |
|
4 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вильный ответ четвертый.
Тестовое задание 2.8
Установите соответствие между матрицами A и суммами элементов
a11 + a32 . |
−1 |
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
1 |
2 |
6 |
|
|
1. A = |
|
|
|||
|
4 |
−5 |
|
|
|
|
−1 |
|
|||
|
2 |
−2 |
−1 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
2. A = |
|
|
|||
|
3 |
4 |
−2 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
−3 |
−2 |
|
|
|
−1 |
0 |
1 |
|
|
3. A = |
|
||||
|
2 |
3 |
−3 |
|
|
|
|
||||
−9 |
−4 |
−3 |
|||
|
−2 |
−1 |
0 |
|
|
4. A = |
|
||||
|
1 |
2 |
−4 |
|
|
|
|
υ |
4 |
υ232 |
|
υ |
−2 |
υ212 |
|
υ2 υ2 |
7 |
υ2 υ2 |
2 |
υ |
6 |
υ222 |
|
υ |
−7 |
υ242 |
Решение. В этой задаче вычислим для каждой матрицы сумму элементов a11 + a32 и сравним с предложенными ответами:
|
|
3 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
A = |
1 |
2 |
6 |
|
; a |
=3, a |
= −5 , a |
+ a |
|
=3 −5 = −2 (второй ответ). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
32 |
|
|
11 |
32 |
|
|
|
|
4 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
−2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
A = |
0 |
1 |
2 |
|
; a |
= 2 , a |
|
= 4 , a |
+ a |
= 2 + 4 = 6 (пятый ответ). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
32 |
|
11 |
32 |
|
|
|
|
|
3 |
4 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
−3 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
A = |
−1 |
0 |
1 |
|
; a |
|
=1, a |
|
=3 , a |
+ a |
|
=1 +3 = 4 (первый ответ). |
||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
32 |
|
11 |
32 |
|
|
||
|
|
2 |
3 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
|
−9 |
−4 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. A = |
−2 |
−1 |
0 |
|
; a |
= −9 |
, a |
= 2, a |
+ a = −9 + 2 = −7 (шестой ответ). |
|||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
32 |
11 |
32 |
||
|
1 |
2 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тестовое задание 2.9. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
5 |
3 |
−8 |
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дана матрица A = |
|
|
−7 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
9 |
6 |
. |
|
|
|
6 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 |
|
|
|
|
10 |
3 |
8 |
|
|
|
|
||
Тогда сумма элементов, расположен- |
|
|
−5 |
|||||||||
ных на главной диагонали этой мат- |
|
|
|
|||||||||
рицы, равна… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Матрица A размера 3×3. Элементы главной диагонали матри-
цы A - это a11 =5 , |
a22 = −7 , a33 =8. Найдем сумму этих элементов: |
|||||
a11 + a22 + a33 =5 −7 +8 = 6 (второй ответ). |
|
|||||
Тестовое задание 2.10 |
|
|||||
|
4 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Матрица |
0 |
5 |
2 |
является вырож- |
|
10 |
|
0 |
α |
4 |
|
|
−22 |
|
|
|
||||
денной, если число |
α равно… |
|
−10 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Учитывая определение 2.10 вырожденной матрицы, подберем α так, чтобы определитель данной матрицы был равен нулю. Иными словами, решим уравнение
4 2 1
0 5 2 = 0 ,
0 α 4
которое после разложения определителя по первому столбцу примет вид
4 (−1)1+1 |
α5 |
42 |
= 0 . |
Сокращая левую и правую части равенства на 4 и раскрывая определитель второго порядка по формуле (2.3), имеем
5 4 −2 α = 0 ,
откуда α =10 . Правильный ответ второй.
45
2.2.3. Линейные операции над матрицами
Тестовое задание 2.11 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
−3 |
2 |
−1 |
, то |
|
|
−3 |
−1 |
|
|
|||||||||
|
|||||||||
Если A = |
и |
B = |
|
|
|||||
−2 0 |
1 3 |
|
|
|
−1 3 |
|
|||
|
|
|
|
||||||
матрица C = A −2B имеет вид… |
|
|
|
−1 −2 |
|
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Воспользуемся формулами (2.6) и (2.7) сложения матриц и умножения матриц на число:
|
|
|
|
|
1 |
C = A −2B = |
|
||||
|
|
|
|
−2 |
|
|
1 |
−3 |
|
|
4 |
= |
−2 |
0 |
|
− |
2 |
|
|
|
−3 |
−2 |
|
2 |
||
0 |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
||
−2 |
|
|
|
1 −4 |
|
6 |
= |
−2 |
−2 |
||
|
|
−1 |
|
1 −3 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
− |
|
= |
||||
|
= |
−2 0 |
|
− |
|
|
|
( 1) |
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
2 1 |
|
|
2 3 |
|
|
||||||
− |
|
− |
( |
− |
|
|
−3 |
|
−1 |
(четвертый ответ). |
||||||
3 |
|
|
2) = |
−4 |
|
−6 |
|
|||||||||
|
0 −6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тестовое задание 2.12 |
|
|
Если существует матрица A +(3A)T , |
|
является нулевой (размера m ×n , |
|
||
то матрица A …. |
|
где m ≠ n ) |
|
|
может быть единичной |
|
|
может быть произвольной |
|
|
является квадратной |
Решение. В этом задании нужно вспомнить, что складывать матрицы можно только одного размера. Если матрица A имеет размер m ×n , то 3A тоже
имеет размер m ×n , а транспонированная (3A)T имеет размер n ×m . Поэтому
сложить две матрицы размеров |
m ×n и n ×m можно лишь в случае, когда |
m = n . Иными словами, матрица |
A +(3A)T существует, когда A - квадратная |
матрица. Последнему условию всегда соответствуют только второй и четвертый варианты ответов – они и являются верными.
46
Тестовое задание 2.13 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычислите сумму элементов первого |
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
13 |
||||||||||||
столбца |
матрицы |
C = 2A −3B , если |
|
|
|
|||||||
|
||||||||||||
|
−7 3 |
6 |
−4 |
6 |
−2 |
|
|
|
|
|||
|
5 |
−5 −5 |
|
|
6 −8 6 |
|
|
|
|
|||
A = |
|
, B = |
|
|
|
|
||||||
|
3 |
4 |
9 |
|
|
−5 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Здесь при решении не обязательно находить всю матрицу C = 2A −3B , а достаточно лишь найти ее первый столбец. Обозначим его C1 ,
тогда C1 = 2A1 −3B1 , где A1 |
и B1 - это первые столбцы матриц A и B соответст- |
||||||||||||||||||
венно. Получаем, учитывая формулы (2.6) и (2.7), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
−7 |
−4 −14 −12 −2 |
|||||||||||||||
|
|
C = |
2 |
5 |
|
−3 |
6 |
= |
|
10 |
|
− |
18 |
|
= |
−8 |
. |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
−5 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
23 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−15 |
|
||||||||||
Остается сложить элементы столбца C1 : −2 +(−8)+ 23 =13 - это и есть |
|||||||||||||||||||
ответ к заданию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тестовое задание 2.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Даны |
матрицы |
A = |
5 |
|
−2 |
и |
|
|
|
|
5 |
−4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
−2 |
−3 |
|
|
|
|||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
−3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B = |
. Тогда решением матрич- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X + 2B = A |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ного уравнения |
является |
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
матрица… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Выразим сначала матрицу X из данного матричного уравнения: X = A −2B . Теперь, учитывая формулы (2.6) и (2.7), имеем
5 |
−2 |
−2 |
0 |
1 5 |
−2 0 |
2 |
5 −4 |
||||||||||||
X = |
4 |
1 |
|
|
3 |
2 |
|
= |
4 |
1 |
|
− |
6 |
4 |
|
= |
−2 −3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученный результат совпадает с первым ответом.
47
Тестовое задание 2.15 |
|
|
|
|
|||
|
1 2 |
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
||
Если A = |
−1 3 |
и B = |
|
−2 3 |
, то |
|
|
|
−11 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
значение |
определителя |
|
матрицы |
|
18 |
||
C = A + 2B равно… |
|
|
|
|
20 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. В этом задании сначала нужно найти матрицу C , а затем ее определитель. Используя формулы (2.6), (2.7) и (2.3), имеем
|
1 2 |
+ 2 |
|
0 1 |
1 2 |
0 2 |
1 4 |
, |
||||||||
C = |
−1 3 |
|
|
−2 3 |
|
= |
−1 3 |
|
+ |
−4 6 |
|
= |
−5 9 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = −15 94 =1 9 −4 (−5)= 29 , т.е. первый ответ верный.
|
|
|
|
2.2.4. Умножение матриц |
||||
Тестовое задание 2.16 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
−6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
||
Даны |
две |
|
матрицы: A = |
|
и |
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
16 |
|
2 |
−3 |
|
|
|
|
|
9 |
B = |
4 |
5 |
|
. Элемент первой строки |
|
18 |
||
|
|
|
AB ра- |
|
|
|||
|
|
|
||||||
второго столбца произведения |
|
|
||||||
вен… |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Воспользуемся формулой (2.8). Чтобы найти элемент c12 мат- |
рицы C = AB , возьмем первую строку (−6 1) матрицы A и второй столбец
−3
матрицы B . Элемент c12 равен сумме произведений их элементов:
5
c12 =(−6) (−3)+1 5 = 23 (первый ответ).
48
Тестовое задание 2.17 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Даны матрицы |
1 −1 |
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
||||||||
2 3 |
|
|
|
2 1 |
|
|
|||||
υ2 υ2 |
|
|
|
|
|||||||
A = |
|
, B = |
|
, C = |
. |
|
|
−3 1 |
|
||
−1 2 |
|
|
−1 1 |
|
3 4 |
|
13 14 |
|
|||
Установите соответствие между двумя |
υ |
||||||||||
υ222 |
|
4 |
7 |
|
|
||||||
множествами |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. A B |
|
|
|
|
|
υ |
−1 |
1 |
|
||
2. A C |
|
|
|
|
|
υ212 |
|
−3 |
3 |
|
|
3. B C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
υ2 υ2 |
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
υ232 |
−1 |
−3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
1 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. В этом задании придется найти указанные произведения, воспользовавшись формулой (2.8),
1. |
|
2 3 |
1 −1 |
|
|
2 1 +3 (−1) |
|
|
2 (−1)+3 1 |
|
−1 1 |
– |
|||||||||||
A B = |
|
|
= |
−1 1 + 2 (−1) |
|
|
−1 (−1)+ |
= |
|
||||||||||||||
|
|
−1 2 −1 1 |
|
|
|
|
2 1 |
|
−3 3 |
|
|||||||||||||
третий ответ. |
|
2 3 2 1 |
|
2 2 +3 3 2 1 +3 4 13 14 |
|
|
|||||||||||||||||
2. |
|
|
|
– второй |
|||||||||||||||||||
A C = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
4 7 |
|
|||||
ответ. |
|
−1 2 3 4 |
−1 2 + 2 3 −1 1 + 2 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 −1 |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 −3 |
|
|||
3. |
|
|
|
|
|
2 |
+ |
− |
|
3 1 |
|
1 |
+ |
− |
|
4 |
|
|
|||||
B C = |
|
|
= |
1 |
|
|
( 1) |
|
|
|
( 1) |
|
|
= |
|
– пя- |
|||||||
|
|
−1 1 |
3 4 |
|
|
−1 2 +1 3 |
−1 1 +1 4 |
|
1 3 |
|
тый ответ.
Тестовое задание 2.18 |
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
0 |
|
−1 |
, тогда |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|||||||||
Если A = |
и |
B = |
|
|
|||||
−1 1 |
2 |
|
|
|
−4 |
|
|||
|
|
|
|
||||||
матрица C = A B имеет вид… |
|
|
|
−4 |
|
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
( |
−4 |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
Решение. Здесь просто найдем C = A B , применяя формулу (2.8),
4 0 −1 4 (−1)+0 2 −4
C = A B = = ( ) = – второй ответ.−1 1 2 −1 −1 +1 2 3
Тестовое задание 2.19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
. Тогда мат- |
|
|
|
3 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Дана матрица A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
11 |
|
|
|
|
|
||||
рица A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
имеет вид… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
11 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Матрица A2 по определению равна |
|
A A . По формуле (2.8) |
||||||||||||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 = |
|
1 1 |
|
1 1 |
|
1 1+1 |
2 |
|
|
1 |
1 +1 (−3) |
|
|
3 −2 |
|||||||||
|
A A = |
|
|
|
|
|
|
= |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||
|
|
|
|
2 |
−3 |
2 −3 |
|
+(−3) 2 2 1 +(−3) (−3) |
|
−4 11 |
||||||||||||||
– первый ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тестовое задание 2.20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для |
|
матриц |
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
и |
|
|
AB |
T |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
A = |
3 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BA |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BT A |
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
1 |
|
и транспонированных |
к |
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
B = |
|
|
|
AT BT |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ним определены произведения… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. В этом и следующем заданиях нужно вспомнить, что произведение матриц A B существует только для матриц с согласованными размерами (см. определение 2.9). А именно: количество элементов в строке матрицы A должно совпадать с количеством элементов в столбце матрицы B (или, иначе, количество столбцов матрицы A должно совпадать с количеством строк матрицы B ).
В этом задании в ответах участвуют произведения матриц A , AT , B , BT .
50