Методическое пособие 582
.pdf1.4.Ряды с комплексными членами
Вкурсе математического анализа изучаются ряды, членами которых являются постоянные действительные числа или функции действительного переменного x. Точно так же можно рассматривать ряды с комплексными членами. Выражение вида
z1 + z2 + z3 + . . . + zn + . . ., |
(1.13) |
где z = x+iy – постоянные комплексные числа, называется числовым рядом с комплексными членами. Ряд (1.13) называется сходящимся,
если существует конечный предел lim sn |
s , |
где sn = z1 + z2 +...+ |
n |
|
|
zn– n-я частичная сумма ряда (1.13). |
|
|
Наряду с рядом (1.13) рассмотрим ряды |
|
|
x1 + x2 +...+ xn +..., |
|
(1.14) |
y1 + y2 +...+ yn +..., |
|
(1.15) |
z1 + z2 +...+ zn |
+.... |
(1.16) |
Справедливы следующие теоремы:
1)Ряд (1.13) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды (1.14) и (1.15).
2)Если сходится ряд (1.16), составленный из модулей членов ряда (1.13), то ряд (1.13) также сходится. В этом случае говорят, что ряд (1.13) сходится абсолютно. Если же ряд (1.13) сходится, а ряд (1.16) расходится, то ряд (1.13) называется условно сходящимся.
Из этих теорем следует, что для определения характера сходимости рядов с комплексными членами можно применять теоремы о сходимости рядов с действительными членами.
Рассмотрим теперь степенной ряд в комплексной области
20
c0 + c1z + c2z2 +...+ cn zn +..., |
(1.17) |
где c0, c1, c2,..., cn,...– постоянные комплексные числа, а
z = x+iy – комплексная переменная. Для рядов (1.17), как и для степенных рядов в действительной области, справедлива теорема.
|
|
Теорема Абеля. Если степенной ряд (1.17) сходится в точке |
z0 |
0, то этот ряд сходится абсолютно в любой точке z, для кото- |
|
рой |
|
z < z0 . Если же ряд (1.17) расходится в точке z1, то этот |
ряд расходится в любой точке z, для которой |
||
z |
> |
z1 . |
|
|
Из теоремы Абеля также следует, что для степенного ряда |
(1.17) |
в комплексной области существует число R такое, что ряд |
|
(1.17) |
сходится в точках z, для которых z <R, и расходится в |
точках, для которых z >R. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда (4.5), а круг z <R - кругом сходимости этого ряда. В частности может оказаться, что R = , или R = 0. В первом случае степенной ряд сходится во всех точках комплексной плоскости, а во втором - в единственной точке z=0.
1.5. Элементарные функции комплексного переменного
1.5.1. Показательная, тригонометрические и гиперболические функции комплексного переменного. Формулы Эйлера
Рассмотрим степенной ряд
1 z |
z2 |
... |
zn |
.... . |
|
2! |
n! |
||||
|
|
|
Если z = x - действительное число, то этот ряд сходится на всей числовой оси и определяет функцию ex. . В силу теоремы Абеля, рассматриваемый ряд сходится на всей комплексной плоскости и определяет некоторую функцию комплексного переменного. Эта функция обозначается ez . Таким образом, по определению
21
z |
|
z2 |
|
zn |
|
|
|
e = 1 |
z |
|
... |
|
.... . |
(1.18) |
|
2! |
n! |
||||||
|
|
|
|
|
Связь между функциями ez и ex такая же, как, например, между функциями z2 и x2: функция ez имеет более широкую область определения и совпадает с функцией ex при z=x. Говорят также, что функция ez является продолжением функции ex на комплексную плоскость, а функция ex - сужением функции ez на действительную ось.
Точно также определяются функции комплексного переменного cosz, sinz, сhz, shz как суммы соответствующих степенных рядов:
|
|
|
|
|
z2 |
z 4 |
|
|
|
|
|
|
n z |
2n |
|
|
||||||||||||
cos z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
( 1) |
|
|
|
|
|
... , |
|
(1.19) |
||||
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
sin z |
|
z |
|
|
|
z3 |
... ( |
1)n |
|
z 2n |
1 |
|
.... |
, |
(1.20) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n |
1)! |
|
|
|||||||||
ch z 1 |
|
|
z |
2 |
.... |
|
z 2n |
.... , |
|
(1.21) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2! |
|
(2n)! |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sh z |
|
|
z |
|
|
|
z3 |
|
|
|
.... |
z2n |
1 |
|
|
|
.... . |
|
(1.22) |
|||||||||
|
|
3! |
|
|
(2n |
1)! |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из этих определений видно, что функции cosz и chz - четные, а sinz и shz - нечетные функции переменного z.
Если в равенстве (1.18) z заменить на iz, то, учитывая, что в абсолютно сходящемся ряде допустима любая группировка членов, получим
e |
iz |
|
iz |
z2 |
i |
z3 |
z4 |
|
i |
z5 |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
... = |
|||||||
|
2! |
3! |
|
4! |
5! |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
z2 |
|
z4 |
|
|
|
|
|
|
z3 |
|
z5 |
||||
(1 |
|
|
|
|
....) i(z |
|
|
|
|
|
|
....) , |
|||||
2! |
4! |
|
|
|
3! |
|
5! |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или
22
eiz cos z i sin z .
Если в этой формуле z заменить на -z, то получим, что e iz cos z i sin z .
Из равенств (1.23) и (1.24) находим, что
cos z |
eiz |
e |
iz |
||
|
|
|
, |
||
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
eiz |
e |
iz |
||
sin z |
|
|
|
. |
|
|
2i |
|
|||
|
|
|
|
|
(1.23)
(1.24)
(1.25)
(1.26)
Равенства (1.23) - (1.26) называются формулами Эйлера. Они устанавливают связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией в комплексной области. Как известно, в действительной области эти функции не связаны между собой.
Точно так же устанавливается связь между гиперболическими функциями и показательной функцией:
ez |
ch z |
sh z , |
(1.27) |
||||
e z |
ch z |
sh z , |
(1.28) |
||||
ch z |
|
ez |
e |
z |
|
||
|
|
|
|
|
, |
(1.29) |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
sh z |
|
ez |
e |
z |
|
||
|
|
|
|
. |
(1.30) |
||
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (1.25), (1.26) и (1.29), (1.30) позволяют установить связь между тригонометрическими и гиперболическими функ-
циями: |
|
chiz = cosz, |
shiz = isinz, |
|
(1.31) |
cosiz = chz, |
siniz = ishz. |
Рассмотрим равенство |
ex1 ex2 ex1 x2 . С помощью рядов |
это равенство означает, что |
|
23
|
xk |
|
xk |
|
( x |
x |
2 |
)k |
|
1 |
|
2 |
= |
1 |
|
|
|
k 1 k! k 1 k! |
|
k! |
|
|
||||
k 1 |
|
|
|
Так как перемножение рядов с комплексными членами проводится по тем же правилам, что и рядов с действительными членами, то
|
z k |
|
z k |
|
(z |
z |
2 |
)k |
||
|
1 |
. |
|
2 |
= |
1 |
|
|
. |
|
k 1 k! |
k 1 k! |
k 1 |
|
k! |
|
|
|
Следовательно, формула
ez1 z2 ez1 ez2 |
(1.32) |
справедлива для любых комплексных чисел z1 и z2. В частности,
ez 2 i ez e2 i ez (cos2 |
i sin 2 ) ez . |
Отсюда следует, что функция ez периодична с периодом 2 i. Из формулы (1.32) следует также, что функция ez не обращается в 0 ни при каком комплексном z. В самом деле,
ez = ex+iy = ex(cosy+isiny) =ex cos2 y sin2 y = ex 0.
С помощью формул Эйлера также доказываются соотношения
cos(z1+z2) = cosz1 cosz2 - sinz1 sinz2,
sin(z1+z2) = sinz1 cosz2 + sinz2 cosz1,
ch(z1+z2) = chz1 chz2 + shz1 shz2,
sh(z1+z2) = shz1 chz2 + shz1 chz2.
С помощью этих формул получаем
24
cos2z = cos2z - sin2z , sin2z = 2sinz cosz,
ch2z = ch2z + sh2z , sh2z = 2shz chz,
cos2z + sin2z = 1, ch2z - sh2z = 1.
Основные соотношения для тригонометрических и гиперболических функций действительного переменного сохра-няются для соответствующих функций комплексного переменного. Однако неравенства
cosx 1, sinx 1
для функций cosz и sinz не сохраняются. Функции cosz и sinz могут принимать значения, сколь угодно большие по модулю. Например, при z = in имеем
cosin = (e-n + en)/2 > en/2.
1.5.2. Логарифмическая функция комплексного переменного. Показательная функция с любым комплексным основанием.
Комплексное число w называется логарифмом комплексного числа z, если ew = z. В этом случае пишут w = Lnz. Так как ew 0, то число z=0 не входит в область определения функции Lnz.
Если w = u+iv, z = r(cos +isin ), где r>0, то равенство ew = z принимает вид
eu+iv = r(cos +isin ), или eueiv = r(cos +isin ).
Отсюда следует, что
eu = r, eiv = cosv+isinv= cos +isin . |
(1.33) |
25
Из первого равенства находим, что u=lnr=ln z , где lnr означает логарифм натуральный для положительных чисел. Из второго
равенства (1.33) следует, что v = +2k |
= Argz. Таким образом, |
|
Lnz = ln z +iArgz = ln |
z +iargz+2k i, |
(1.34) |
где k - любое целое число. Для любого числа z 0, Lnz принимает бесконечно много значений.
То значение Lnz, которое соответствует главному значению аргумента числа z, называется главным и обозначается через lnz. Следовательно,
|
|
lnz = ln z |
+iargz, Lnz = lnz+2k i. |
(1.35) |
Пример: Найти Ln(-1). |
|
|
||
Так как |
-1 |
= 1, arg(-1) = , |
то ln(-1) = ln1+ i = |
i, |
Ln(-1) = |
i+2k |
i = (2k+1) i. |
|
|
Переходим к определению показательной функции с лю- |
||||
бым комплексным основанием c 0. Если c>0 |
|
|||
и x – действительные числа, |
то справедливо равенство |
cx = exlnc.
Это равенство принимается за определение показательной функции от комплексного переменного z с любым комплексным основанием c 0. Таким образом, по определению, для любых комплексных чисел c 0 и z полагаем
cz = ezLnc. |
(1.36) |
Так как функция Lnz принимает бесконечно много значений, то и функция cz, определяемая равенством (1.36), многозначна. Его
26
главным значением считается то, которое получается, если в правой части равенства (1.36) вместо Lnс использовать lnс. Только при целых действительных z формула (1.36) определяет единственное значение cz.
Пример: Найти ii.
Так как i = 1, argi = /2, то Lni = 2k i+ i/2 = =(4k+1) i/2, то
ii = eiLni = e-(4k+1) /2,
где k - любое целое число. Главное значение ii равно e- /2.
1.6. Производная от функции комплексного переменного. Условия Коши - Римана
Пусть функция f (z) = u(x,y)+iv(x,y) определена в окрестности точки z = x+iy. Если переменной z придать приращение
z= x+i y, то функция f (z) получит приращение
f (z) = f (z+ z)– f (z) =u(x+ x, y+ y)+
+ iv(x+ x, y+ y) - u(x,y) - iv(x,y) = [u(x+ x, y+ y) –
– u(x,y)] + i [v(x+ x, y+ y) - v(x,y)] =
= u(x,y) + i v(x,y).
Определение. Если существует предел
lim |
f (z) |
= lim |
f (z |
z) f (z) |
, |
z |
|
z |
|||
z 0 |
z 0 |
|
|||
|
|
|
27
то этот предел называется производной от функции f (z) |
в точ- |
|||||||||
ке z и обозначается через f (z) или |
df (z) |
. Таким образом, по оп- |
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
||
ределению, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df (z) |
= lim |
f (z) |
= lim |
f (z |
z) f (z) |
. |
(1.37) |
||
|
dz |
z 0 |
z |
z 0 |
z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Если функция f (z) имеет производную в точке z, то говорят, что функция f (z) дифференцируема в точке z. Очевидно, для дифференцируемости функции f (z) необходимо, чтобы функции u(x,y) и v(x,y) были дифференцируемы. Однако этого не достаточно для существования производной f (z). Например, для функции w= z =x–iy функции u(x,y)=x
и v(x,y)=–y дифференцируемы во всех точках M(x,y), но предел
отношения |
w |
|
|
x |
i y |
при x |
0, |
y |
0 не существует, так |
|
z |
x |
y |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
как, если |
y = 0, |
x |
|
0, то |
w/ |
z = 1, |
||||
если же x = 0, |
y |
0, |
то |
w/ |
z = -1. |
Единого предела не существует. Это означает, что функция
w= z не имеет производную ни в одной точке z. Для существования производной от функции комплексного переменного требуются дополнительные условия. Какие именно? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Пусть функции u(x,y) и v(x,y) дифферен-цируемы в точке M(x,y). Тогда для того, чтобы функция
f (z) = u(x,y) + iv(x,y)
имела производную в точке z = x+iy, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
u(x, y) |
|
v(x, y) |
, |
u(x, y) |
|
v(x, y) |
. |
(1.38) |
|
|
|
|
|
||||
x |
|
y |
|
y |
|
x |
|
Равенства (1.38) называются условиями Коши-Римана.
28
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть |
функция f (z) |
||||||||||||||||||||||
имеет производную в точке z, то есть существует предел |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
f ' (z) = lim |
|
f (z) |
= |
lim |
|
|
|
u(x, y) i v(x, y) |
.(1.39) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x i |
y |
|
|
|||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
z |
0 |
|
x |
0, y |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Предел, стоящий в правой части равенства (1.39) не зависит |
|||||||||||||||||||||||
от того, по какому пути точка |
z = |
x+i |
|
|
y стремится |
|
|
|
|||||||||||||||
к 0. В частности, если |
y = 0, |
x |
0 (рис. 1.10), то |
|
|
|
|
||||||||||||||||
f '(z) |
lim |
x u(x, y) i |
x v(x, y) |
|
|
|
u(x, y) |
|
i |
|
|
v(x, y) |
, |
(1.40) |
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|||||||||
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если же x = 0, |
y 0 |
(рис. 1.11), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f ' (z) |
lim |
|
y u(x, y) |
i |
y v(x, y) |
|
|
i |
u(x, y) |
|
|
|
v(x, y) |
(1.41) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
i |
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
||||||
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.10 Рис. 1.11
Левые части в равенствах (1.40) и (1.41) равны. Значит равны и правые части
|
u(x, y) |
i |
|
v(x, y) |
|
i |
u(x, y) |
|
|
v(x, y) |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
y |
|
|
y |
|||||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
u(x, y) |
|
|
v(x, y) |
, |
u(x, y) |
|
|
v(x, y) |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
y |
|
|
y |
|
|
x |
29