Методическое пособие 657
.pdfПорядок расчета переходного процесса такой же как и для цепи первого порядка, однако, существуют свои особенности. Так как последовательная RLC цепь содержит два независимо включенных реактивных элемента, то процессы в ней описываются дифференциальным уравнением второго порядка, а для определения двух постоянных интегрирования Ai необходимо
задать два независимых начальных условия вместо одного. Для такой цепи независимыми начальными условиями будут:
iL (0 ) i 0 |
0, uc 0 |
|
|
uc 0 |
0. |
|
||||||
Далее поступаем следующим образом. |
|
|||||||||||
Используя второй закон Кирхгофа uL |
uR uC e t и компо- |
|||||||||||
нентные уравнения uL |
L |
di |
, uC |
|
1 t |
idt, составим уравнение |
||||||
|
|
|
c |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
электрического равновесия в виде |
|
|
|
|
||||||||
|
L |
di |
Ri |
|
1 |
t idt |
E. |
(1.10) |
||||
|
|
|
||||||||||
|
|
dt |
|
|
c |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Дифференцируя правую и левую части (1.10), получаем уравнение процессов в цепи после коммутации
L |
d 2i |
R |
di |
1 |
i 0. |
(1.11), |
|
dt 2 |
dt |
|
c |
||||
|
|
|
|
|
Характеристическое уравнение в соответствии с (1.11) записанное в виде
Lp 2 |
Rp |
|
1/ C |
0, или |
p2 |
R |
p |
|
1 |
|
0 имеет два корня, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
LC |
|
|
|
|
|
|
||||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
, |
|
(1.12) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||
1,2 |
|
|
2L |
|
2L |
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где |
|
R |
|
- коэффициент затухания, |
|
|
|
|
1 |
|
- резонансная |
|||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частота цепи.
21
Полученные корни p1 и p2 |
уравнения (1.11) могут быть веще- |
|||||
ственными |
различными |
2 |
02 , комплексно-сопря- |
|||
женными |
2 |
2 |
или |
вещественными одинаковыми |
||
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
02 , что следует из их определения (1.12). Каждому ви- |
ду корней будет соответствовать свой переходной процесс. Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1. Вещественные различные корни. Это может произойти, ко-
гда в подкоренном выражении (1.12) |
|
|
|
, или |
R |
1 |
|
, |
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2L |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
LC |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R 2 |
|
L |
|
, R 2 , |
R |
2, |
|
|
1 |
, Q |
|
1 |
, |
что соответствует |
||||||||
|
|
|
|
R |
2 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
низкой величине добротности |
Q |
|
1 |
|
и это имеет место при |
|||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 .
Вэтом случае в соответствии с (1.5) ток ищется в виде
i i |
св |
A e p1t |
A e p2t . |
(1.13) |
|
1 |
2 |
|
Для определения i необходимо, прежде всего, найти постоянные интегрирования A1 и A2 . Для этого следует сперва опре-
делить начальные значения тока i в цепи и его первой производной по времени, т.к. дифференциальное уравнение цепи
L |
di |
Ri |
1 t |
idt E содержит первую производную от i |
и |
||
dt |
c |
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
ток i.
Начальное значение тока цепи совпадает с начальным значе-
нием тока индуктивности, т.е. i 0 |
i 0 |
0. |
Начальное значение первой производной тока цепи может быть найдено из уравнения
22
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
di |
R i |
1 |
t idt |
E |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
c |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
с |
использованием независимого |
начального условия |
||||||||||||||||
i 0 |
|
i |
0 |
|
|
0 , и соответствующей его подстановки в него, |
||||||||||||
т.е. |
L |
di |
|
R |
0 |
|
1 |
t 0dt |
E , что приводит к результату |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di |
|
|
E |
|
(1.14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
L |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
при t |
0 |
, т.е. в момент времени сразу после коммутации. |
||||||||||||||||
Постоянные |
интегрирования найдем |
из |
уравнения (1.13) |
|||||||||||||||
i |
A e p1t |
A e p2t , приравняв левую его часть нулю и приняв |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0.При этих условиях получим, что |
A1 |
A2 0 и это будет |
первым уравнением для их определения. Второе уравнение
получим взяв первую производную от тока i |
(1.13) и прирав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
няв ее значение к величине |
|
E |
из (1.14), т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p A e p1t |
|
|
p |
|
|
A e p2t |
|
|
|
E |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При t |
0 второе уравнение приводится к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p A |
|
|
p |
|
|
A |
|
E |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Осуществляя преобразования полученных двух уравнений |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
A2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
p A |
p |
|
A |
|
|
E |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
определяем значения A и |
|
A |
, т.е. A |
|
|
|
|
|
A , |
p A |
p |
|
A |
|
E |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
1 |
|
L |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
A , |
A p p |
|
|
E |
, |
A |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
, A |
|
|
|
|
E |
|
. |
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
L p1 |
|
|
2 |
|
L p1 |
p2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
23
Подставляя |
|
|
значения |
|
|
p1 |
|
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p |
2 |
2 |
2 |
|
в |
A |
и |
A |
, получим, что |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
A1 |
|
|
|
E |
|
|
|
, |
A2 |
|
E |
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2L |
|
2 |
|
2 |
|
2L |
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и
(1.15)
После подстановки значений (1.15) в выражение для тока
(1.13)
i A e p1t |
A e p2t |
1 |
2 |
имеем, что |
|
|
|
E |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
e p1t |
|
|
|
e p2t i |
i |
2 |
. |
(1.16) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2L |
2 |
2 |
|
|
2L |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходя из (1.16) график тока (рис.1.10) состоит из разности двух экспоненциальных токов i1 и i2 , но так как p1 p2
(см.(1.12)), то результирующий ток на графике идет вверх. Переходной процесс в этом случае называется апериодическим и возникает при условии R 2 .
Рис.1.10. График тока при апериодическом процессе ( R 2 )
24
2. Комплексно-сопряженные корни. Такие корни получаются
из уравнения (1.12) |
p |
2 |
2 |
, когда |
0 |
. После |
|
1,2 |
|
0 |
|
|
подстановки значений |
|
и |
|
получаем, |
|
|
что |
|
|
R |
|
|
1 |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
LC |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
R 2 |
|
|
|
|
L |
|
|
, |
|
R |
2 |
|
, т.е. выражение |
R |
|
2 |
|
|
|
является услови- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ем |
|
|
|
получения |
|
|
|
|
двух |
|
|
корней |
|
|
|
|
p1,2 |
|
|
|
|
j |
|
|
св , |
|
|
где |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
св |
|
2 |
|
|
|
|
2 - частота свободных колебаний (см.1.12). Ток в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
этом случае определяется уравнением i |
|
|
A e p1t |
|
A e p2t |
, как и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в предыдущем примере и соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
L p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L p1 |
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Подставляя новые значения корней, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
L p1 |
|
|
|
p2 |
|
|
L |
|
|
|
|
j св |
|
|
|
j св |
|
|
|
|
jL 2 |
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
E |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
L p1 |
|
p2 |
|
|
|
|
|
jL2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Значение тока определяется из выражения |
i |
A e p1t |
|
|
A e p2t , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
после подстановки в него величин A1 , |
|
|
A2 , p1 |
и p2 , т.е. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
e p1t |
|
|
|
|
E |
e p2t = |
|
E |
|
|
e p1t |
|
e p2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
jL2 |
св |
|
|
|
|
jL2 св |
jL2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
j св t |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
t e |
j |
свt |
|
e |
|
j |
|
свt |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
e |
|
св |
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
jL2 |
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св L |
|
|
|
|
|
|
|
j2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
j свt |
e |
|
j |
свt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
sin |
св t , т.к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
св t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
св L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
Таким образом, получаем, что
i |
E |
e t sin |
св t |
I 0m e |
t sin |
св t |
I m |
t cos св t |
|
, так |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
св L |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
t |
|
|
||
что I m t |
|
|
|
t / |
|
|
|
t |
|
|
|
|
(1.17) |
|||||||
|
Ee |
св L |
|
e |
I0m e |
, |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
св L |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
1 |
|
|
|
2L |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно из (1.17), ток представляет собой затухающую гармоническую функцию времени (рис.1.11).
|
E |
|
i |
|
I0m |
|
I |
||
|
|
|||
|
||||
|
свL |
|
1m |
|
|
|
|
I2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
t |
|
E |
|
|
|
|
|
|
t1+T0 |
I0m |
|
|
T0 |
|
|
|||
|
|
|||||||
свL |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Рис.1.11. График тока при комплексно-сопряженных корнях
( R 2 )
Амплитуда огибающей тока i |
равна |
|
|
t |
|
I m t I 0m e |
(1.18) |
t
и убывает по закону e .
26
Скорость убывания амплитуды колебаний тем больше, чем меньше постоянная времени . Если в (1.18) вместо t подставить , то получим, что
I m |
I0m |
|
I0m |
|
0,37I0m . |
(1.19) |
|
e |
2,718 |
||||||
|
|
|
Следовательно, из (1.19) можно сделать вывод, что постоянная времени контура численно равна времени, в течение которого амплитуда свободных колебаний уменьшается на 63 % от своего начального значения.
Для характеристики скорости процесса затухания свободных
колебаний кроме постоянной времени |
|
используют еще ло- |
||||||||||||||||||||
гарифмический декремент затухания |
|
, |
который определяет- |
|||||||||||||||||||
ся как натуральный логарифм отношения тока I1m |
в какой-то |
|||||||||||||||||||||
момент времени t1 |
к амплитуде тока I 2m |
через период свобод- |
||||||||||||||||||||
ных колебаний T0 , |
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
t1 |
t1 |
To |
|
t |
t |
T |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
I1m |
|
|
|
I0m e |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|||||
ln |
ln |
|
|
ln e |
|
|
ln e |
|
|
|
||||||||||||
I 2m |
|
|
|
t1 T0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
I0m e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
T0 |
|
T0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ln e |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.20) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножив числитель и знаменатель дроби (1.20) на 2I m2 |
с уче- |
||||||||||||||||||||
том значения |
2L / R получим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
T 2I 2 |
T R |
|
2I 2 |
|
I 2 |
R T |
2 |
W |
1 |
|
W |
R , |
||||||||
|
0 |
|
1m |
|
0 |
|
1m |
|
1m |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2I12m |
|
2L |
|
2I12m |
|
2 |
|
|
2 LI12m |
|
R WL |
WL |
т.е. логарифмический декремент затухания показывает, какая
часть энергии, имеющаяся |
в контуре в данный момент време- |
ни t1 WL расходуется в |
течение ближайшего полупериода |
свободных колебаний T0 / 2 на активном сопротивлении потерь контура R , на котором выделяется энергия WR .
27
Через параметры колебательного контура величина |
опреде- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ляется, если учесть, что T0 |
2 |
|
|
|
LC и |
|
2L R , т.е. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
T0 2 LC |
R |
|
R |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Случай кратных корней. |
Такие корни возникают, когда в |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражении (1.12) |
p1,2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
и |
p1,2 |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||
что возможно, когда |
R |
|
|
|
1 |
|
|
, |
R |
2 |
|
|
L |
, R |
2 |
. Отсюда |
|||||||||||
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
LC |
|
LC |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
общее решение берется по выражению из п.1.2, т.е. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
св |
A A t A t 2 |
A t n 1 |
ePкt |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
и может быть записано при наличии двух кратных корней как
|
|
|
i |
i |
св |
A |
A t |
e t . |
(1.21) |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
||
Порядок определения i |
такой же как и при двух действитель- |
||||||||||
ных |
разных |
корнях. |
Начальные |
условия |
те же, т.е. |
||||||
iL 0 |
iL 0 |
0, а |
di |
|
E |
. |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
Постоянные интегрирования находятся аналогично. Для этого
в выражении (1.21), |
|
исходя из начальных условий, берется |
|||||||||||||||
i |
|
0, t |
0 и тогда 0 |
|
|
A1 |
A2 0 |
1 и далее A1 0. |
|||||||||
Из условия |
di |
|
|
E |
находим |
A , |
используя выражение (1.21) |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
L |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для i, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A e t |
A te |
t |
|
|
E |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A e t |
A t e t |
|
|
e t |
t |
|
E |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ввиду того, что A1 |
|
0 , получаем |
|
||||||||||||||
A |
|
t e t |
A e |
t |
t |
|
|
E |
, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
A e t |
A e t t |
|
E |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Далее принимаем во внимание, |
что t |
0 и тогда A |
E |
. С |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
L |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
учетом (1.21) и значений A1 |
и A2 , ток i |
определяется выраже- |
|||||||||
нием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i i |
|
|
|
A |
A t |
e t |
E |
te t . |
(1.22) |
|
|
св |
|
|||||||||
|
|
1 |
2 |
|
L |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходя из (1.22) видно, что при одинаковых (кратных) корнях переходный процесс в цепи имеет апериодический характер, как и при различных вещественных корнях. График переходного процесса показан на рис.1.12, при R 2 .
|
i |
R<2ρ |
|
|
|
|
|
|
|
R=2ρ |
|
|
|
R >2ρ |
|
|
0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.12. Графики тока при разных корнях |
|
Режим |
|
работы цепи для кратных корней при |
условии |
R 2 |
является критическим. Протекание тока в цепи осуще- |
||
ствляется на границе между колебательным R 2 |
и апе- |
||
риодическим R 2 режимами. |
|
1.4.Операторный метод анализа переходных процессов
1.4.1.Сущность операторного метода и его преимущества
Классический метод анализа переходных процессов применяют в основном тогда, когда исследуемая цепь имеет невысо-
29
кий порядок сложности. Это связано, прежде всего, с тем, что в цепях с высоким порядком сложности требуется многократное решение систем алгебраических уравнений для определения постоянных интегрирования Ai по начальным условиям,
что и представляет собой основную трудность расчета классическим методом.
Сущность операторного метода заключается в том, что некоторой функции времени t , называемой оригиналом, сопоставляется другая функция комплексного переменного S j 0 , называемая изображением. При этом производ-
ные и интегралы от оригинала выражаются алгебраическими функциями от изображения и начальных значений самой функции, ее производных и интегралов. В связи с этим система интегродифференциальных уравнений классического метода относительно оригиналов заменяется системой алгебраических уравнений относительно их изображений. При решении полученной системы алгебраических уравнений определяются изображения искомых функций и затем, с использованием обратного преобразования, находятся оригиналы, т.е. искомые функции времени.
Необходимость вычисления постоянных интегрирования по начальным условиям отпадает, поскольку все начальные условия учитываются при переходе от системы интегродифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений, составленных относительно их изображений.
1.4.2. Прямое и обратное преобразования Лапласа
Взаимное соответствие между функцией времени a t и ее изображением A p в операторном методе устанавливается с помощью прямого преобразования Лапласа
30