Методическое пособие 668
.pdf3)cos cos 3 sin sin 3 ;
4)tg +ctg 2 tg ctg 2 ;
|
3 |
|
3 |
|
|
|||
5) |
sin x 2 cos |
|
x |
tg x tg |
|
x |
; |
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
6)cos1930' cos 2530' sin1930' sin 2530' .
8.Найти cos , если cos4 sin4 18 ;
9.Известно, что tg =2 . Найти значение выражения:
|
а) |
sin cos |
; |
|
б) |
sin2 |
2cos2 |
. |
|
sin cos |
|
sin |
2 cos2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
10. Известно, что sin cos |
1 |
. Найти: |
|
|
||||
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) sin cos ; |
б) sin3 cos3 ; |
в) sin cos . |
|
|
11.Найти значение выражения sin cos , если sin cos 0,6 .
12.Найти значение выражения cos3 sin3 , если cos sin 0,2.
13.Найти значение выражения:
а) cos945 sin 495 tg1800;
14. Упростить выражения:
1) |
|
|
2cos2 2 |
|
|
; |
|
|
|
sin 4 cos 4 sin 4 |
|||||
3) |
|
|
cos2 x |
cos 1,5 x ; |
|||
|
|
|
|||||
|
1 sin x |
|
|
|
|||
5) |
1 sin2 1 ctg2 |
|
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
21 |
cos 9 |
. |
||
б) 2sin |
|
|
|
|
ctg |
|
|
|
||
|
|
|||||||||
|
|
|
6 |
|
|
4 |
|
|
cos sin 2
2)sin 2 cos 2 cos 2 ;
4) |
sin |
2 |
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
; |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
6) |
|
1 tg2 |
; |
|
|
|
|
|
||||
1 ctg2 |
|
|
|
|
|
81
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||
7) |
cos |
|
cos |
|
|
|
|
sin |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
9) 1 sin cos 2 sin3 ; 2sin2 sin 1
|
3 |
|
|
|
11) |
cos |
|
arcsin |
, 1 1; |
|
||||
|
|
2 |
|
|
13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
sin arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
15) |
|
|
|
|
arctg2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
17) |
sin arctg |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
19) |
cos2 ( 6 ) cos2 ( 4 ) ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
2sin |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2cos |
|
|
|
3 cos |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
23) |
|
2sin |
2 |
|
|
1,5 |
|
1; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
25) |
|
|
cos36 sin2 18 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
cos2 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
tg |
|
|
tg |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
27) |
|
ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
29) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
tg ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31) tg 45 tg(2 45 ) 2tg 2 ;
8) cos 2 cos cos3 ; |
|
||||||
|
|
tg2 |
|
|
|||
10) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
tg4 -tg2 |
|
|
||||
|
|
|
1 sin2 |
|
|
||
12) |
ctg |
|
|
cos |
; |
||
cos |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
2 |
|
|
14) |
sin |
|
|
; |
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
16) |
ctg (arctg 1) ; |
|
|
|
18) cos(arctg( |
3)); |
20) (sin cos)2 (sin cos)2 ;
|
|
sin sin |
|
|
|
22) |
|
|
2 |
|
; |
1 cos cos |
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
24) sin2 ( 2 ) sin2 ( 2 ) 1;
26) |
|
cos |
|
|
cos |
sin 2 |
; |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
1 |
sin |
1 |
sin |
|
|
28)cos2 ctg2 ; sin2 tg2
30). sin2 cos2 tg2 ctg2 2 ;
32) 3sin 4cos a 2 (4sin 3cos)2 ;
82
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
33) cos |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
34) (tg ctg ) |
2 |
|
(tg - ctg ) |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
15. Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1) |
cos |
2 |
|
|
|
4 |
|
sin |
2 |
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) tg1800 sin 495 cos945 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
5sin |
5 |
|
2cos |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
cos |
|
|
|
arcsin1 arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos 25 cos50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2arccos |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg65 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
tg arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin50 sin 25 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7) |
cos |
5 |
cos |
4 |
cos |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8) sin87 sin59 sin93 sin 61 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9) cos2 35 cos2 25 cos2 5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) sin2 10 cos50cos70 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) 2sin 70 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12) |
|
|
|
|
|
|
1 |
4cos100; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2sin10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg30 sin 40 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
||||||||
13) sin |
|
|
|
|
|
|
x |
, если cos x 0,6 и |
|
|
|
|
|
14) sin x cos x , если tg x ctg x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|||||||
x |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и 0 x 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
15) cos(x 4 ) , если cos(2 x) |
3 |
; |
|
|
16) sin4 x cos4 x , если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
sin xcos x 0,5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
17) |
sin2 |
|
|
|
|
cos2 |
, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18) ctg( ) , если ctg |
|
и |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin cos |
1 |
|
ctg 1; |
|
|
|
|||
2 . |
||||
|
83
19) tg |
|
, если cos 0,8 и 2 ; |
20) ctg |
|
, если cos 0,6 |
и 0 |
|
; |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
21)tg( ) , если sin 54 ,
16.Доказать тождество:
1) |
1 |
|
sin2 |
1; |
|||||
|
|
|
|||||||
1 tg2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
3) |
cos |
|
|
|
|
(cos sin ) ; |
|||
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
||
5) |
|
tg(1+cos2)=sin2 ; |
7)1 cos 2 sin 2 ctg =1; 1 cos 2 sin 2
9) |
1 sin 2cos |
2 |
|
|
|
|
; |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11) |
sin |
|
cos |
|
|
; |
||||
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
13) 1 tg tg cos ; cos cos
|
|
2cos 2 sin 4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
15) |
|
|
tg |
|
|
|
|
; |
|
2cos 2 sin 4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
17) |
|
sin sin3 sin5 |
|
|
tg3 ; |
||||
|
cos cos3 cos5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2
, и cos 178 , 32 2 ;
2) |
|
sin |
|
1 cos |
|
2 |
; |
|
cos |
sin |
sin |
||||
1 |
|
|
|
4) ctg tg = cos( ) ; cos sin
6) |
1 2sin |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
sin ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
||
8) |
|
|
|
sin sin 2 |
|
tg ; |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
1 cos cos 2 |
|||||||||||||
|
|
|
1 sin 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
10) |
|
|
|
|
|
tg |
|
|
; |
||||
|
cos 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
||
12) |
cos |
|
|
|
cos |
|
|
|
; |
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
14) tg tg = sin( ) ; cos cos
16) 1 cos cos 2 ctg ; sin 2 sin
18) sin6 cos6 18 (5 3cos 4 ) ;
19) sin8 cos8 |
1 |
(cos2 4 14cos 4 17) . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
Определить знак числа: а) cos |
|
2 |
cos |
|
; |
б) tg |
5 |
sin |
. |
||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
4 |
|
4 |
|
18. |
Сравнить: cos1,3 и cos2,3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
84 |
|
|
|
|
|
|
|
19.В какой четверти находится точка, соответствующая числу , если sin cos 1,4 ?
20.Пусть - один из углов прямоугольного треугольника. Найти cos и
tg , если sin 21110 .
21.Доказать, что синус суммы двух внутренних углов треугольника равен синусу его третьего угла.
22.Сравните числа:
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
1) |
arcsin |
|
|
и |
arcsin |
|
|
; |
2) |
arccos |
|
|
|
и |
arccos |
|
|
|
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3) arctg2 |
3 и |
arctg3 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
23. |
Доказать, |
что |
если |
0, 0, 0 |
|
и |
|
, то |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
tg tg tg tg tg tg 1.
24.Угол при вершине равнобедренного треугольника имеет тангенс, равный 22 . Найти косинус этого угла.
25.Найти период каждой из функций:
1) |
y tg2x ; |
|
|
|
|
2) |
y tg |
2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
y tgx sin 2x tg3x cos 4x ; |
4) |
y sin 2x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5) |
y sin |
x |
; |
|
|
|
|
6) |
y cos |
|
3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
7) |
y sin |
x |
|
|
; |
8) |
y cos |
x |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9) |
y sin |
|
|
tg |
|
|
; |
10) y sin |
|
|
|
|
|
|
5tg |
|
3x |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
||||
|
26. Решить простейшие уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
sin 3x 0 ; |
|
|
|
|
2) |
cos5x 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
3) |
tg6x 1; |
5) |
ctg7x 0 ; |
7) |
ctgx 2 ; |
9) sin |
x |
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11) |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
0 ; |
|
||||||||||||||||
sin |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
1; |
|
|||||||||||||||||
13) |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||
15) |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
17) |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
6 |
|
|
|
||||||
21) |
sin2 x sin x 0 ; |
|
||||||||||||||||||||||||
23) |
2sin cos x cos x ; |
|||||||||||||||||||||||||
25) |
sin2 xcos2 x sin xcos x 0 ; |
|||||||||||||||||||||||||
27) |
sin x cos x 2 |
sin x cos x ; |
||||||||||||||||||||||||
29) |
2sin x 1 0 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
31) |
2 3tgx 6 0; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
33) |
3ctgx 3 0; |
|
|
|
|
4) tg 2x 0 ;
6) cos2x 1;
8) cos8x 3 ;
10) tg 4 n 3 ;
12) |
|
3x |
|
1; |
|
|
|
||||||||||
tg |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14) |
ctg |
x |
|
|
2 |
|
1; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
16) |
cos |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
18) |
ctg |
3 ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
20) |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
22) cos3 x cos2 x 0;
24) 2sin x cos6x sin x ;
26) 9sin x cos3x sin x ;
|
|
|
|
|
|
|
|
28) |
2cos x |
3 0; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
30) |
sin 4x |
3 |
|
; |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
32) |
2sin x 1 0 ; |
|
|
|
|||
34) |
|
|
|
|
|
|
1; |
sin x cos |
x |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
86
35) |
sin2 |
x |
cos2 |
x |
|
2 |
|
; |
||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2x |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
37) |
ctg |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
39) |
cos x |
0 ; |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
sin x 1 |
|
|||||||
41) |
|
cos 2x |
0 |
; |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 sin x 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sin x |
|
|
|
||||
43) |
|
|
|
3 |
0 |
; |
||
2cos x 1 |
45) 3sin x 2 ;
2 sin x 1
47) 0 ; tgx 1
|
|
|
|
|
|
|
|
49) |
4x |
|
3 0 ; |
||||
ctg |
|
||||||
|
|
|
9 |
|
|
|
36) |
sin |
x |
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
38) |
sin |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
12x |
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
40) |
|
sin x 1 |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
tgx 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
44) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2sin x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
46) |
|
|
3 |
cos 2x |
|
|
|
3 |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
48) |
cos |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||
50) |
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
27. Решить уравнения, сводящихся к квадратным и на применение тригонометрических формул:
1) |
2cos2 x 7cos x 3 0 ; |
2) |
2cos2 x 3sin x 0 ; |
|||
|
|
|
|
|
2sin2 x 5sin x 3 0; |
|
3) |
|
2 sin2 x cos x 0 ; |
4) |
|||
5) |
cos 2x cos2 x 0; |
6) |
sin 2x cos x 0 ; |
|||
7) |
cos10x cos8x cos6x 1 0 ; |
8) |
sin x sin 7x sin3x sin5x ; |
|||
9) |
cos x cos3x cos5x cos7x ; |
10) |
sin3x sin9x sin5x sin 7x ; |
|||
11) sin x sin 2x sin3x sin 4x 0 ; |
12) |
cos x sin5x 0,5sin 4x ; |
87
13) tg2 x 4tgx 5 0 ;
15) 3sin x 2cos2 x 3; 17) 2ctgx tgx 1 0;
19) cos2 x sin x 1 0 ; 21) tgx ctgx ;
23) 8cos2 2x 6sin 2x 3 0 ;
25) 8sin2 5x 6cos5x 3 0 ;
27) 1 cos x cos 2x cos3x 0 ;
29) 4cos x sin 2x ;
31) cos2 x 14 ;
33) sin2 2x sin2 x 32 ;
35) sin 2x sin x cos x 12 ;
37) sin x sin 7x sin3x sin5x ;
39) sin9x cos 4x sin8x cos5x ;
41) sin2 2x 2cos 2x 2 0 ;
43) 2sin2 3x 5sin 3x 3 0 ;
14) |
2cos2 x 5sin x 4 0 ; |
|
|||||||||||||||||
16) |
2sin2 x 3cos x 0 ; |
|
|||||||||||||||||
18) |
2sin2 2x cos 2x 1; |
|
|||||||||||||||||
20) |
2sin2 x cos x 1 0 ; |
|
|||||||||||||||||
22) |
4cos2 x sin x 1; |
|
|||||||||||||||||
24) |
2cos2 4x 3sin2 4x 2cos 4x 0 ; |
||||||||||||||||||
26) |
sin4 8x 4cos2 8x |
7 |
; |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|||
28) |
sin8x |
|
|
cos7x |
cos3x |
sin 2x; |
|||||||||||||
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
30) |
|
3sin x ; |
|
||||||||||||||||
32) |
sin2 3x |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
34) |
sin x cos 2x ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
36) |
5sin |
x |
|
cos x 3 ; |
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38) |
cos x cos3x cos5x cos7x ; |
||||||||||||||||||
40) |
cos2 x 2sin x |
1 |
; |
|
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
42) |
ctgx tgx |
2 |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
44) |
sin x |
|
3 |
ctgx 0 . |
|
||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28. Решить однородные уравнения: |
|
|
1) 2sin x 3cos x 0; |
2) |
4sin2 x 2sin xcos x 3; |
88
3) |
|
3sin2 x 4sin xcos x 5cos2 x 2; |
4) |
5sin3x 2cos3x 0; |
|||
5) |
sin x 8cos x 0; |
6) |
sin2 x 0,5sin 2x 2cos2 x 0; |
||||
7) |
3cos2 x 4sin xcos x sin2 x 0; |
8) |
5cos 2x 3sin 2x 0; |
||||
9) |
cos2 x 3sin2 x 0; |
10) |
3cos2 x 3sin xcos x 2sin2 x 2; |
||||
11) |
cos2 x 4sin2 x 2sin 2x; |
12) |
6sin x 7cos x 0; |
||||
13) |
2sin2 x 5sin xcos x 3cos2 x 0; |
14) |
2sin2 x cos2 x 5sin xcos x; |
||||
15) 8sin2 x 3sin xcos x cos2 x 3; |
16) |
2sin 4x 3sin2 2x 1; |
|||||
17) |
sin 2x cos 2x 0; |
18) |
8sin2 |
x |
3sin x 4 0 ; |
||
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
19) |
sin(x 300 ) cos(x 300 ) 0; |
20) |
6sin2 3x sin 3x cos3x cos2 3x 2 . |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Тригонометрия, наряду с алгеброй и геометрией, является одним из разделов элементарной математики. Она применяется, прежде всего, для решения треугольников, а также в стериометрии и во многих приложениях физики (например, в оптике).
Предлагаемое учебное пособие позволит иностранным учащимся разобраться с основными понятиями тригонометрической теории на русском языке, сформировать и развить навыки устной и письменной речи.
Обилие формул в тригонометрии пораждает необходимость преобразований не алгебраического характера, которые носят исследовательский характер, а это ведет к развитию логического мышления.
89
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бескин, Н.М. Задачник-практикум по тригонометрии / Бескин Н.М. /Учпедгиз. - 1962. – 156 с.
2. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский. – М.: ООО «Изд-во Астрель»: «Изд-во АСТ», 2003. – 509 с.
3. Гашков, С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях/
С. Б. Гашков. – М.: МЦНМО, 2006. – 328 с.
4. Гельфанд, И.М. Тригонометрия / И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом /МЦНМО АО «Московские учебники» /Москва. - 2002. – 193 с.
5. Гончаров, М.Д. Повторяем математику / М.Д. Гончаров, Т.Я. Элевич. – Воронеж. гос. арх.-строит. акад. – Воронеж, 1999. – 216 с.
6. Громов Ю.Ю., Тригонометрия / Громов Ю.Ю., Земской Н.А., Иванова О.Г./ ТГТУ. - 2003. – 217 с.
7. Зайцев, В.В. Элементарная математика / Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И./ М.: Наука. - 1967. – 306 с.
8. Иванов, О. А. Практикум по элементарной математике. Алгеброаналитические методы / О.А. Иванов. - М.: МЦНМО. – 2001. – 320 с.
9. Иванов, О.А. Элементарная математика для школьников, студентов и преподавателей / О.А. Иванов. - М.: МЦНМО. – 2009. – 383 с.
10. Крамор, В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа / В. С. Крамор. – М.: Мир и Образование. - 2011. – 416 с.
11. Литвиненко, В.Н. Практикум по решению задач школьной математики. Практикум по тригонометрии / Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г./ М.: Просвещение. - 1977. – 259 с.
12. Лурье, М.В. Тригонометрия. Техника решения задач / Лурье М.В.
/УНЦ ДО. - 2004. – 337 с.
13. Макарычев, Ю.Н. Тригонометрия. 10 класс /Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. /Просвещение. - 2001. - 61 c.
14. Нахман, А.Д. Тригонометрия / Метод. пособие/ А.Д.Нахман А.Д. / Тамбов /ТОИПКРО. - 2008. – 46 с.
15. Нахман, А.Д. Функции и их свойства. Задачи для подготовки к ЕГЭ / метод. пособие/ А.Д.Нахман А.Д ./ Тамбов/ ТОИПКРО. - 2006. – 68 с.
16. Попырин, А.В. Задачи по элементарной математике. Алгебра и тригонометрия / Попырин А.В., Савина Л.Н./ Елабуга./ Изд-во Елабужского гос. пед. уни-та. - 2005. -276 с.
17. Русско-англо-испано-французский словарь математических терминов: учебный словарь / сост.: Н.Н. Некрасова, В.В. Горяйнов, Е.С. Логвина; под ред. проф. М.В. Шитиковой; Воронежский ГАСУ. – Воронеж, 2016. – 67 с.
18. Ткачук, В.В. Математика абитуриенту /В.В.Ткачук – М: МЦНМО. - 2000. –892 с.
19. Титаренко, А.М. Математика: 9-11 классы: 6000 задач и примеров / А.М. Титаренко/ – М.: Эксмо. - 2007. – 336 с.
90