Методическое пособие 672
.pdf4.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке a;b
Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем некоторые из них, не приводя доказательство.
I.Функция, непрерывная на отрезке a; b , ограничена на нем.
II.Функция, непрерывная на отрезке a; b , достигает на нем своего
наименьшего fнаим и наибольшего fнаиб значения.
III.Функция, непрерывная на отрезке a;b , хотя бы один раз пробегает все свои промежуточные значения между fнаим и fнаиб , рис. 4.1.
Рис. 4.1. Функция, непрерывная на отрезке a; b
Последнее свойство широко используется для приближенного решения уравнений. Без ущерба общности можно считать, что мы решаем уравнение f(x) 0, где f (x) непрерывная функция.
Предположим, что нам удалось найти отрезок a; b , на концах которого данная непрерывная функция принимает значения разных знаков f(a)f(b) 0.
70
Так как нулевое значение расположено между отрицательным и положитель-
ным значениями, то по последнему III свойству, найдется точка |
x0 (a;b) |
та- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
кая, что |
f (x0) 0. Простейшим из методов нахождения решения x0 |
с требуе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мой точностью |
|
является деление отрезка пополам |
и |
|
оставление той его по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ловины, на концах которой у функции опять значения будут разных знаков. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Найти решение уравнения |
|
f (x) x3 |
x 1 |
с точностью до 0,1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. В нашем случае |
f (x) x3 x 1 |
и |
|
f(0) 1, очевидно, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
при x 0 |
f(x) 0 и решения уравнения надо искать среди |
x 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислим f( 1) 1 1 1 1 0. |
Так как |
f( 1)f(0) 1, то исходный от- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
резок |
будет |
|
|
|
1;0 |
(a 1, |
b 0). |
Возьмем |
|
середину |
|
|
отрезка |
||||||||||||||||||||||||||
c a b |
1 0 |
|
1 |
и вычислим |
f ( |
1) 1 |
1 |
1 3 |
0. |
|
|
Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
8 |
2 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
корень |
x 1, 1 , |
на концах которого |
f ( 1)f ( 1) |
|
|
3 |
0. |
|
|
Поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
выберем |
a |
|
1, b |
1 и вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
|
b |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
27 |
|
3 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
f |
2 |
2 |
|
f |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
64 |
4 |
64 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0,25 0,1 больше |
|||||||||||||||
Поэтому корень |
x |
3, 1 , |
длина отрезка равна |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
требуемой точности. |
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Наконец, возьмем середину померенного отрезка |
|
x |
|
4 |
|
2 |
|
5 |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вычислим |
|
f |
5 125 5 1 |
67 |
0. |
Поэтому решение |
|
|
|
x |
|
3, |
5 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
512 |
|
8 |
|
|
|
512 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем опять середину отрезка |
|
|
x |
|
4 |
8 |
11 0,6875. |
Так как это |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
значение лежит на расстоянии |
|
|
0,1 от концов отрезка, |
то это и будет отве- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
том. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
( 0,6875)3 |
0,6875 1 0,01245, |
|
|
|
|
|
|
|
f(x) содержит в |
||||||||||||||||||||||||||
Проверка. |
|
так как |
|
|
сумме x, а мы получили расхождение с нулем на порядок меньше, то полученный ответ обладает точностью порядка 0,01.
71
4.5.Задания для самостоятельной работы
4.1.Установите непрерывность данных функций:
1) |
f x 3x 1 в точках x=0 и x=1; |
2) |
f x x2 2x 7; x R; |
3)x 11, если x 1,
0, если x 1;
4)f x xx22 5xx 6,x R;
2 2x2
|
|
x |
2 |
5x 6 |
|
, |
если |
x 3; |
|
|
|
|
|
|||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1, |
|
|
|
|
если |
x 3; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6) |
f x x 3 sinx; |
|
x R; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7) |
f x secx 1 cos |
3 |
x ; |
|
|
|
; |
|
; |
|
|
|
||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
8) |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
cosecx; |
|
x 1; ; |
|
|
|
||||
f x |
2 |
|
x 5 ctgx |
3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9) |
f x x |
|
(целая часть числа x) |
в точках x 1 и |
x |
1 |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
10) |
f x x (дробная часть числа x) |
в точках x 2 |
и x 2,5. |
72
5.ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ
КИСЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
5.1.Определение производной функции
|
Определение 5.1. Производной функции y f x в точке x0 |
называется |
||||||||
предел |
отношения |
приращения |
функции |
f x |
в |
точке |
x0 |
|||
f x f x f x0 |
к приращению аргумента x x x0 , когда приращение |
|||||||||
x стремится к 0, то есть |
|
f x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
Операция нахождения производной называется дифференцированием. |
|||||||||
Производную функцию y |
f x обычно обозначают |
f x |
(эф штрих от икс), |
|||||||
или y |
|
(игрек штрих), |
или |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
dx (дэ игрек по дэ икс). Кроме этого, приняты сле- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дующие обозначения: |
fx и |
yx . Индекс x внизу показывает, что f |
или y |
есть |
функция от аргумента x. Такое обозначение удобно в случае дифференцирования сложной функции y f g x .
Используя обозначение f x , запишем определение производной функции в точке x0 :
f x lim |
f x |
lim |
f x f x0 |
lim |
f x0 |
x f x0 |
. |
|||
|
x x |
|
|
|||||||
x 0 |
x |
|
x 0 |
x 0 |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Определение 5. 2. |
Если функция |
f x определена и имеет производную |
||||||||
в каждой точке числового промежутка |
X , то она называется дифференцируе- |
|||||||||
мой в промежутке X . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из теоремы 3.1 |
о единственности предела и определений 4.1 и 4.2 следу- |
|||||||||
ет, что для функции |
f x , дифференцируемой на промежутке X , производ- |
|||||||||
ная f x тоже является функцией, определенной в промежутке X . |
||||||||||
Приведем примеры непосредственного вычисления производных. |
||||||||||
Пример. Найти производную функции |
f x C , |
где C постоянная ве- |
личина C сonst на всей области определения функции f x .
Решение. Определим приращение функции f x для приращения аргумента x. Так как
73
f x x f x C,
то
f x C C 0.
Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
|
|
f x |
|
|
|
0 |
0. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
||||
Вычислим предел этого отношения: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
lim |
f x |
|
lim 0. |
|
||||||||
|
x |
|
|||||||||||
|
x 0 |
|
x 0 |
|
|
||||||||
Следовательно, производная постоянной функции равна 0. |
|
||||||||||||
Пример. |
Вычислить производную функции f x x; |
x R. |
|||||||||||
Решение. |
f x f x x f x x x x x; |
||||||||||||
|
f x lim |
f x |
lim |
x |
lim1 1; |
|
|||||||
|
|
x |
|
||||||||||
|
x 0 |
x |
|
x 0 |
x 0 |
|
x 1.
Пример. Найдем производную функции f x x2; x R.
Решение.
f x f x x f x x x 2 x2 2x x x 2 ;
f x lim |
f x |
lim |
2x x x 2 |
lim2x lim x 2x; |
||
x |
|
|||||
x 0 |
x 0 |
x |
x 0 |
x 0 |
||
|
|
|
x2 2x. |
|
|
Пример. Найдем производную функции f x sinx; x R.
Решение.
f x f x x f x sin(x x) sinx 2sin 2xcos x 2x
|
|
|
2sin |
x |
|
x |
||
|
f x |
|
2 |
cos x |
2 |
|
||
f x lim |
lim |
|
|
|
|
|||
x |
|
|
x |
|
|
|||
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
74
|
sin x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
sinx cosx. |
|
||||||||
lim |
|
|
limcos x |
|
|
cosx; |
|
|
||||||||||
|
x |
|
2 |
|
||||||||||||||
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2. Теоремы о дифференцируемых функциях |
|
|||||||||||||||||
Теорема 5.1. Если функция |
|
f x имеет производную в точке x0 , |
то она |
|||||||||||||||
непрерывна в этой точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство. Для установления непрерывности f x в точке x0 до- |
||||||||||||||||||
кажем, что f x 0 |
при |
x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim f x |
lim |
f x x |
lim |
f x |
lim x f x 0 0. |
|
||||||||||||
|
x |
|
||||||||||||||||
x 0 |
x 0 |
x |
|
|
|
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратное утверждение не верно. Например, функция f x |
|
x |
|
, |
график |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
которой изображен на рис. 5.1, |
в точке x 0 непрерывна, но производной в |
|||||||||||||||||
этой точке не имеет, так как в ее окрестности |
|
|
|
|
|
|
|
и предел lim
x 0
|
|
f x |
|
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
при x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
1 |
|||||||||
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
не существует (см. раздел 3, пример в п. 3.1). |
|||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.1. График функции y x
75
Теорема 5.2. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного для двух функций.
Если функции f x и g x имеют производные, то: 1. f x g x f x g x ;
2. f x g x f x g x f x g x ;
3. |
kf x kf x , где k const; |
|
|
||||||||
|
|
f x |
|
|
|
|
x g x f x g |
|
x |
|
|
4. |
|
|
f |
, если |
g x 0. |
||||||
|
|
|
|
||||||||
g x |
|
|
g2 x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство Правило 1. Составим приращение функции
x f x g x ;
x x x x f x x g x x f x g x f x g x .
Из этого равенства следует, что
x |
|
f x g x |
|
f x |
|
g x |
. |
x |
x |
x |
|
||||
|
|
|
x |
Переходя в последнем равенстве к пределу при x 0, получим
lim |
x |
lim |
|
f x |
|
g x |
lim |
f x |
lim |
g x |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
x |
x |
x |
x |
||||||||
x 0 |
x 0 |
|
|
|
x 0 |
x 0 |
или
x f x g x f x g x .
Аналогично доказывается правило и для производной разности двух функцийf x g x . Правило 1 доказано.
Следствие. Если функции f1 x , |
f2 x ,..., fn x имеют производные, то |
|||||
f1 x f2 x |
|
|
f1 x f2 x |
|
x . |
|
fn x |
fn |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Это следствие можно доказать методом математической индукции.
76
Пример. Найти производную функции f x x sinx; x R.
Решение. Пользуясь правилом дифференцирования суммы двух функций, получим
f x x sinx x sinx 1 cosx.
Правило 2. Составим приращение функции x f x g x .
|
|
|
x f x x g x x f x g x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
f x |
f x g |
x |
g x f x g x |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f x g x g x f x f x g x . |
|
|
|
||||||||||||||||||
Найдем предел отношения |
x |
|
при |
|
x 0: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
g x |
|
|
|
f x |
|
|
f x g x x |
|
||||||||||
lim |
|
|
|
lim |
f x |
|
|
|
|
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
x x |
|
||||||||||||||
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f x lim |
|
g x |
g x lim |
f x |
lim |
|
f x |
|
lim |
g x |
lim x |
|||||||||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
x |
|||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
x |
|
x 0 |
x 0 |
|
|
x 0 |
x 0 |
|
||||||||||||
|
|
|
f x g x g x f x f x g x 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x f x g x f x g x f x g x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Правило 2 доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Правило 3 следует из правила 2 при g x С const. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Пример. Найти производную функции y x2 sinx; |
x R. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. По правилу 2 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x2 sinx x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2 cosx.
Следовательно,
x2 sinx x 2sinx xcosx .
Пример. Найти производную функции y kx; x R. Решение. По правилу 3 имеем
77
y kx k x k .
Следовательно,
kx k .
Пример. Пусть y xn ; x R; n N. Доказать, что y xn nxn 1.
Доказательство. Докажем это утверждение методом математической индукции.
1. При n 1 и n 2 это утверждение правильно, так как x 1 и
x2 2x (см. примеры рассмотренные выше).
2.Предположим, что при n k утверждение правильно, то есть
xk kxk 1,
тогда
xk 1 xk x xk x xk x kxk 1 x xk 1 k 1 xk .
Отсюда заключаем, что утверждение правильно для любого n N:
xn nxn 1.
Замечание. Это утверждение справедливо не только для натурального показателя, но и для любого действительного показателя z R:
xz zxz 1.
Здесь x принадлежит области определения функции y x2 . Это утверждение приводится без доказательства.
Пример. Найти производную функции y x ; x 0.
Решение.
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
. |
||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
x |
2 |
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти производную функции y x12 ; x R; x 0.
Решение.
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
||||
|
x 2 2x 2 1 2x 3 |
|
|
|
||||||||||
y |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
|
|
2 |
x |
|
2 |
x |
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
78
Правило 3. Составим приращение функции x gf xx .
x |
f x x |
|
f x |
|
f x f x |
|
f x |
|
||
|
|
g x g x |
g x |
|||||||
|
|
g x x |
g x |
|
|
|
||||
|
f x g x g x f x f x g x f x g x |
|
||||||||
|
||||||||||
|
|
g x g x g x |
|
|
|
|
g x f x f x g x , g2 x g x g x
Поэтому
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
x |
|
|
g |
|
x |
|
|
|
lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g x |
|
|
|
|
f x |
|
|
. |
||||||||||||
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
x 0 g |
|
x g x g x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
lim g |
x |
|
g |
x f x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
lim f |
x |
g x |
f |
x g x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
g2 x g x g x lim |
|
|
|
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
lim |
g2 x |
|
|
|
|
|
|
g x x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
g2 x g x g x 0 g2 x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
f |
|
x g |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
x f x g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x |
|
f |
|
x g x |
f x g |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило 3 доказано.
79