Учебное пособие 283
.pdf1.5. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал для математического ожидания
нормального распределения при известном s
Пусть СВ Х образует генеральную совокупность иq - неизвестный параметр СВ Х . Если статистическая оценка q * является состоятельной, то чем больше объем выборки, тем точнее получаем значение q . Однако на практике мы имеем выборки не очень большого объема, поэтому не можем гарантировать большую точность.
|
Пусть |
q * - |
статистическая |
|
оценка |
дляq . Величина |
||||||||
|
q * -q |
|
|
называется точностью оценки. Ясно, что точность это |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
СВ, |
т.к. |
q * |
- |
случайная |
величина. |
Зададим |
малое |
|||||||
положительное число d |
и потребуем, чтобы точность оценки |
|||||||||||||
|
q * -q |
|
|
была меньше d , |
т.е. |
|
q * -q |
|
< d . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Мы не |
можем |
категорически |
|
утверждать, что оценка q * |
удовлетворяет неравенству q * -q < d ; можно лишь говорить о вероятности g , с которой это неравенство выполняется.
Надежностью g или доверительной вероятностью оценки q по q * называется вероятность g , с которой осуществляется
неравенство q * -q < d , т.е.
g = P{q * -q < d}.
Обычно надежность g задают наперед, причем за g берут число, близкое к 1 (0,9; 0,95; 0,99; …).
Так как |
неравенство |
q * -q |
< d равносильно двойному |
неравенству |
q * -d £q £ q * +d , то получаем: |
||
|
g = P{q * -d < q < q * +d}. |
9
Интервал |
(q * -d ,q * +d ) |
называется |
доверительным |
||
интервалом, |
т.е. доверительный |
интервал |
покрывает |
||
неизвестный |
параметр q с |
вероятностьюg . |
Заметит, что |
концы доверительного интервала являются случайными и изменяются от выборки к выборке, поэтому точнее говорить,
что |
интервал |
(q * -d ,q * +d ) |
покрывает |
неизвестный |
|||||
параметр q , |
а не q принадлежит этому интервалу. |
|
|
||||||
|
Пусть |
генеральная |
совокупность |
задана |
случайной |
||||
величиной |
Х, |
распределенной |
по |
нормальному |
закону, |
||||
причем, среднее |
квадратическое |
отклонение |
s |
неизвестно. |
|||||
Неизвестным является математическое |
ожиданиеa = M ( X ) . |
Требуется найти доверительный интервал дляа при заданной надежности g .
Выборочная средняя
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
X1 +K+ X n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X B |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является статистической оценкой для |
|
|
|
|
= a . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
xG |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема. Случайная величина |
|
|
имеет нормальное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xB |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
распределение, |
если Х имеет нормальное |
|
распределение, и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M ( |
|
) = a , s ( |
|
|
) = |
|
s |
, где s = |
D( X ) , a = M ( |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
XB |
XB |
X ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a имеет вид: |
|||||||||||||||||||
|
Доверительный интервал для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-d < a < |
|
+d |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XB |
XB |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P { |
|
|
|
|
|
|
|
|
< d}= g . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XB - a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Находим d , пользуясь соотношением |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
æ d |
ö |
|
|
|
|
|
|
æ d |
|
n ö |
|||||||||||||
|
|
P |
XB - a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
< d |
|
|
= 2F |
è s B ø |
= 2F ç |
|
s |
|
÷ , |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
где F(z) - функция Лапласа. Тогда имеем:
æ d |
|
n ö |
|
||
2Fç |
|
|
|
÷ |
= g . |
|
s |
|
|||
ç |
|
÷ |
|
||
è |
|
|
ø |
|
Обозначив |
d n |
= t , получим F(t) = g . Так как g |
задана, |
|||||
|
||||||||
|
s |
|
|
|
|
|
||
то по таблице |
значений |
функций Лапласа |
находим |
значение |
||||
t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из равенства t = |
d n |
находим d = |
ts |
- |
точность оценки. |
|||
|
|
|
s |
|
n |
|
|
Значит, доверительный интервал для а имеет вид:
æ |
|
|
s |
|
|
|
s |
ö |
|
|
|
|
|
||||
ç |
XB -t × |
|
, XB + t × |
|
÷ . |
|||
n |
|
|||||||
è |
|
|
|
|
|
n ø |
Если задана выборка из генеральной совокупности Х
|
хi |
|
|
х1 |
|
|
|
|
х2 |
|
|
… |
|
|
|
|
хm |
|
|||||||
|
ni |
|
|
n1 |
|
|
|
|
n2 |
|
|
… |
|
|
|
|
nm |
|
|||||||
|
n = n1 +... + nm , то доверительный интервал будет: |
||||||||||||||||||||||||
æ |
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
||||||
|
|
ç åni × xi |
|
|
|
|
s |
|
åni × xi |
|
|
|
|
s |
÷ |
|
|
|
|
||||||
|
|
ç |
i=1 |
|
- t × |
|
, |
i =1 |
|
+ t × |
|
÷ , |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|||||||||||||
ç |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ÷ |
||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
||
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
s ö |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ç xB -t × |
|
|
< a < xB + t × |
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ø |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 4. Найти доверительный интервал для оценки |
||||||||||||||||||||||||
математического |
ожидания а |
нормального |
распределения с |
||||||||||||||||||||||
надежностью 0,95, зная |
выборочную |
|
среднюю |
XB |
=10, 34 , |
||||||||||||||||||||
объем выборки n = 100 |
и среднее квадратическое отклонение |
||||||||||||||||||||||||
s = 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
Решение. Воспользуемся формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
- t × |
|
s |
< a < |
|
|
+ t × |
s |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
xB |
xB |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
Найдем |
t |
из |
|
|
|
|
соотношения2F(t) = 0,95 , |
получим: |
|||||||||||||||||||
F(t) = 0, 475 . |
По таблице находим t =1, 96 . Найдем |
точность |
|||||||||||||||||||||||||
оценки |
|
|
|
|
|
|
|
ts |
|
|
|
1,96 ×5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
d = |
= |
= 0,98 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Искомый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
100 |
|
доверительный |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(10, 43 - 0, 98 < a <10, 43 + 0, 98) |
или |
|
(9, 45 < a <11, 41). |
||||||||||||||||||||||||
s B = dB = 19, 96 = 4, 47 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Смысл |
полученного |
|
результата |
:таковесли |
будет |
||||||||||||||||||||||
произведено |
|
большое число выборок, то |
95% |
из |
них |
||||||||||||||||||||||
определяет |
|
доверительные |
|
|
|
|
интервалы, |
которых |
|||||||||||||||||||
математическое ожидание будет заключено. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2. Методы расчета характеристик выборки |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим |
|
|
|
рациональные |
|
|
методы |
|
определени |
||||||||||||||||||
характеристик выборки |
|
|
и |
dB . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
xB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2.1. Условные варианты. Метод произведений |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Пусть выборка из генеральной совокупностиХ является |
|||||||||||||||||||||||||||
вариационным рядом с равноотстоящими вариантами, т.е. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
хi |
|
|
х1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
|
|
|
|
|
… |
|
|
хm |
|
|
|||
ni |
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
… |
|
|
nm |
|
|
|||
x1 < x2 < ... < xm, xi+1 - xi = h = const, |
n = n1 + n2 +...+ nm . |
||||||||||||||||||||||||||
Условными |
|
называют |
|
|
вариантыui , |
определяемые |
|||||||||||||||||||||
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
|
|
|
|
u i |
|
|
|
xi |
- c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где С – ложный нуль. Обычно полагают С равным варианте с |
|||||||||||||||||||
наибольшей частотой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Нетрудно |
видеть, что |
условные |
|
варианты |
принимают |
||||||||||||||
только целые значения, и, если xi 0 |
= C , то uio = 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||
Условные |
варианты u1 , u 2 , ..., u n |
|
|
образуют |
условную |
||||||||||||||
выборку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui |
|
u1 |
|
u2 |
|
|
|
|
|
… |
|
|
um |
|
|||||
ui |
|
u1 |
|
U2 |
|
|
|
|
|
… |
|
|
um |
|
|||||
Тогда можно определить условные эмпирические |
|
|
|||||||||||||||||
моменты порядка k : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M k * = |
åni ×ui |
k |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определив условные выборочные моменты первого и |
|||||||||||||||||||
второго порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||
|
|
M1* = |
åni ×ui |
|
|
|
; M 2 * = |
åni ×ui 2 |
, |
|
|
||||||||
|
|
i=1 |
|
|
|
i =1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно определить выборочные среднюю и дисперсию:
xB = M 1 *×h + C ,
dB = éM 2 * -(M 1*)2 ù ×h2 . ë û
13
Пример 5. |
Даны |
|
выборочные |
|
вариантыxi и |
|||
соответствующие частоты ni |
количественного признака X : |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хi |
10 |
15 |
|
20 |
|
25 |
|
30 |
ni |
6 |
16 |
|
50 |
|
24 |
|
4 |
Найти методом произведений выборочные среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение. Составим расчетную таблицу, для чего:
1)запишем варианты xi в первый столбец;
2)запишем частоты ni во второй столбец;
3)В качестве ложного нуляС выберем варианту 20 (эта
варианта |
имеет |
наибольшую |
частоту); в |
клетке |
|
третьего |
столбца, |
которая |
принадлежит |
строке, |
|
содержащей |
варианту 20, |
пишем |
0; над |
нулем |
последовательно записываем условные варианты -1,-2,
а под нулем – последовательно 1,2;
4)Произведения частот на условные вариантыui записываем в четвертый столбец; находим сумму этих
произведений и помещаем ее в нижнюю клетку столбца;
5)Произведения частот на квадраты условных вариант запишем в пятый столбец; сумму чисел столбца(80) помещаем в нижнюю клетку столбца;
6)Произведения частот на квадраты условных вариант,
увеличенных |
на |
единицу, запишем |
в |
шестой |
(контрольный) |
столбец; |
сумму чисел |
столбца(188) |
|
помещаем в нижнюю клетку столбца. |
|
|
В итоге получим следующую расчетную таблицу:
14
xi |
ni |
ui |
ni × ui |
ni × ui 2 |
ni (ui +1)2 |
|
|
|
|
|
|
10 |
6 |
-2 |
-12 |
24 |
6 |
15 |
16 |
-1 |
-16 |
16 |
0 |
20 |
50 |
0 |
0 |
0 |
50 |
25 |
24 |
1 |
24 |
24 |
96 |
30 |
4 |
2 |
8 |
16 |
36 |
|
n = 100 |
|
åni ui = 4 |
åni ui 2 = 80 |
åni(ui +1)2 =188 |
|
|
|
|
|
|
Контроль
åni ×ni 2 + 2åni ×ui + n = 80 + 2 ×4 +100 =188 ;
2
åni (ui +1) =188
Совпадение найденных сумм свидетельствует о том, что вычисления произведены правильно.
Вычислим условные моменты первого и второг порядков:
|
åni ui |
|
åni ui 2 |
|
|
80 |
|
|
||||||
M1 * = |
|
|
|
= |
4 |
= 0, 04 ; M 2 * = |
|
|
= |
= 0, 08 . |
||||
n |
|
|
|
n |
|
|
||||||||
|
100 |
|
|
100 |
|
|
||||||||
Найдем |
шаг (разность |
между |
двумя |
соседними |
||||||||||
вариантами): h = 15 -10 = 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем искомую выборочную среднюю: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
= M1 *×h + C = 0, 04 ×5 + 20 = 20, 2 . |
|
|||||||||
|
|
|
xB |
|
||||||||||
Найдем искомую выборочную дисперсию: |
|
|
|
|
|
|||||||||
dB = éM 2 * -(M1*)2 ù×h = é0,8 - (0, 04)2 |
ù×52 =19, 96 . |
|||||||||||||
ë |
û |
ë |
|
û |
|
|
|
|||||||
Найдем искомое среднее квадратическое отклонение: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
s B = dB = |
19, 96 = 4, 47 . |
|
|
|
15
2.2. Эмпирические и теоретические частоты
|
Пусть |
значения |
СВХ |
образуют |
генеральную |
||
совокупность. Закон распределения Х неизвестен. |
|
|
|||||
|
Рассмотрим некоторую выборку объема n из генеральной |
||||||
совокупности |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хi |
|
х1 |
х2 |
… |
хm |
|
|
ni |
|
n1 |
n2 |
… |
nm |
|
n = n1 + ... + nm |
|
|
|
|
|
|
Частоты |
ni |
появления |
вариантxi |
также |
называют |
|
эмпирическими частотами. |
|
|
|
|
||
Пусть Х |
– |
дискретная |
СВ |
и |
имеются |
основания |
предположить, что изучаемая величинаХ распределена по некоторому определенному закону. Зная закон распределения
Х, мы можем найти |
вероятности pi появления значений xi , |
|||
т.е. |
pi = P {X = xi} . |
|
|
|
|
|
|
||
Теоретическими |
частотами ni |
называют |
частоты, |
|
определяемые по формуле ni |
= n × pi . |
|
|
|
Нетрудно видеть, |
что ni |
указывает, |
сколько раз |
должно |
появиться в среднем |
значение xi случайной величины Х с |
предполагаемым законом распределения.
Пусть теперь Х – непрерывная СВ. Рассмотрим более детально определение теоретических частот, предполагая, что
Х- нормально распределенная случайная величина. Пусть
хi |
х1 |
х2 |
… |
хm |
ni |
n1 |
n2 |
… |
nm |
16
|
n = n1 + ... + nm , |
равноотстоящая |
выборка из |
генеральной |
|
|||||||||||||||||||
совокупности Х, n1 ,..., nm - эмпирические частоты, |
xi + 1 - xi = h . |
|
||||||||||||||||||||||
Тогда теоретические частоты определяются по формуле |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n¢i = n × pi , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где pi - вероятность X |
в i -ом частичном интервале с концами |
|
||||||||||||||||||||||
xi - |
h |
|
и xi |
+ |
h |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
вероятности pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Приближенно |
могут |
быть |
найдены |
по |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
= |
xi - |
|
|
|
|
|
||||||||
формуле |
pi = |
|
×j(ui) , |
где |
ui |
xB |
, |
i =1, 2,..., m , |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
s B |
|
|
|
|
|
|
s B |
|
|
|
|
|
||||
j(u) = |
|
×e-u 2 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения функции (j) находится по таблице. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3. Статистическая проверка гипотез |
|
|
|
|||||||||||||||
Во многих случаях результаты наблюдений используются |
|
|||||||||||||||||||||||
для проверки предположений(гипотез) относительно либо |
|
|||||||||||||||||||||||
самого вида распределения генеральной совокупности, либо |
|
|||||||||||||||||||||||
значения |
параметров |
уже |
|
известного |
распределения– |
|
||||||||||||||||||
статистических |
|
гипотез. |
Пусть |
известно |
распределение |
СВ |
|
|||||||||||||||||
X (например, |
|
это |
|
нормальный |
|
|
закон), и |
по |
выборке |
|
||||||||||||||
необходимо |
|
|
|
проверить |
гипотезу |
о |
значении |
некоторого |
||||||||||||||||
параметра ( |
|
, |
DG или s G ) этого распределения. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x G |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
В дальнейшем выдвигаемую и проверяемую гипотезу будем |
|
|||||||||||||||||||||||
называть нулевой гипотезой (или основной) и обозначать ее |
|
|||||||||||||||||||||||
H 0 . |
Наряду |
|
с |
H 0 |
рассматривают |
также |
одну |
из |
||||||||||||||||
альтернативных (конкурирующих) гипотез H1. Например, |
|
|||||||||||||||||||||||
если |
|
проверяется |
гипотеза |
|
о |
|
равенстве |
параметраq |
|
|||||||||||||||
некоторому |
заданному |
значениюq 0 , |
т.е. |
H0 :q =q0 , |
то |
в |
|
|||||||||||||||||
качестве альтернативной гипотезы можно рассмотреть одну из |
|
17
следующих: |
а) |
H 1 :q > q 0 ; |
б) H 1 :q <q 0 ; в) H 1 :q ¹ q 0 ; |
|
||||||||||
г) H 0 :q = q1 , где q1 |
- другое заданное значение параметра q . |
|
||||||||||||
Выдвинутая |
гипотеза H 0 |
может |
соответствовать истине |
|
||||||||||
или нет. При проверке гипотезы H 0 |
по результатам выборки |
|
||||||||||||
могут быть допущены ошибки двух родов: 1)ошибка первого |
|
|||||||||||||
рода – |
отвергнутая |
правильная |
гипотеза; |
2)ошибка |
второго |
|
||||||||
рода |
– |
принятая неправильная |
гипотеза. |
Последствия |
этих |
|
||||||||
ошибок неравнозначны, и роль каждой оценивается до конца |
|
|||||||||||||
по условиям конкретной задачи. Например, если при проверке |
|
|||||||||||||
качества партии деталей по выборке из нее в качествеH 0 |
|
|||||||||||||
принята гипотеза, что доля брака не более0,1% , |
то |
при |
|
|||||||||||
допущении здесь ошибки первого рода будет забракована |
||||||||||||||
годная продукция, а допустив ошибку второго рода, выпустим |
|
|||||||||||||
потребителю |
|
партию |
деталей |
|
с |
долей |
брака |
больш |
||||||
допустимого. Перед началом анализа выборки фиксируют |
|
|||||||||||||
очень |
малое |
|
числоa . |
Вероятность |
совершить |
ошибку |
|
|||||||
первого рода называется уровнем значимостиa . Обычно |
|
|||||||||||||
берут a =0,05; 0,01; 0,005. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Правило, по которому принимается решение принять или |
|
|||||||||||||
отклонить |
гипотезу H 0 , |
называется |
критерием |
или |
||||||||||
статистическим критерием К. Выбор К зависит от конкретной |
|
|||||||||||||
задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обычно критерий проверки гипотезы реализуется |
с |
|||||||||||||
помощью |
|
некоторой |
|
|
статистической |
характеристики, |
||||||||
определенной |
|
по |
выборке, т.е. |
с |
помощью |
некоторой |
|
|||||||
статистики q . Здесь q - некоторая СВ, закон распределения |
|
|||||||||||||
которой известен. |
|
|
|
|
|
|
|
статистикиq |
|
|||||
В |
множестве |
всех |
возможных |
значений |
|
критерия К выделим подмножество w0 , при котором гипотеза
H 0 отклоняется. Это подмножество называется критической областью. То множество значений q , при котором гипотезу H 0 не отклоняют, называется областью принятия гипотезы (допустимой областью). Точки, разделяющие эти области,
18