Учебное пособие 375
.pdfв)
д)
5. a)
в)
д)
6. а)
в)
д)
y ln2(x2 3arctgx) ;
x(y x) ex y ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
1 tgx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
1 x |
3 |
||||||||||||
log |
3 |
|
|
; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x(y x) ln (x y); |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
|
|
|
|
|
|
x2 3x |
|
|
; |
|
|||||||
|
|
|
sin2x cos |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 arctg |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
y |
|
|
1 x2 |
yarcsinx xarctgy;
г) y (sin x)x2 1;
|
|
y |
t |
|
е) |
|
|
; |
|
|
||||
|
|
1 t2 |
x ln(1 t2).
б) y (ex2 7x)33x x3 ;
г) y (x2 7x 1)ln x ;
е) |
y t ln(1 2 t); . |
|||||||||
|
|
x arctg |
t |
|||||||
|
y (arccos2 |
|
||||||||
б) |
2x) |
1 sin x2 |
; |
|||||||
г) y (3x2 2x)tg x; |
||||||||||
|
|
y |
t 1 |
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
е) |
|
|
1 t |
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
(1 t) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
7. a) |
|
|
|
tg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 3x2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
б) |
y (2 |
cos x ; |
||||||||
y |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
) |
||||||||||
x2 7x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x2 1)arcsin x; |
|||||||||
в) |
y arctg |
arcsin (1 x2) |
; |
г) |
|||||||||||||||
д) |
cos2(x y) x2 |
y ; |
е) |
y lnsin2t; . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos2t |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
y ex2 |
|
|
|
|
|||||
8. а) |
y |
|
|
tg x 1 |
|
|
б) |
arctg |
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x2 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
в) y 3ctg(x2 22x) ;
д) |
|
x y |
e |
x y |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. а) |
y |
|
1 arcsin x |
; |
||||||||||||
(1 arccos x)2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y sin2(tg |
|
|
|
|
|||||||||||
в) |
|
4 x2 |
); |
|||||||||||||
д) |
y 1 |
ln(x y); |
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10. а) |
y |
|
|
1 arcsin 2x |
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 arccos2 x
в) y arctg1 sin2 x 1 ;
д) |
|
x |
|
|
ex y ; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y x |
|
|
||||||||||
11. а) |
y |
|
|
|
|
x3 2x |
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
cos 2x sin 2x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
y sin3 |
1 ex2 1 |
; |
|
|
||||||||
д) |
|
y |
|
|
|
cos (y x); |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y x |
|
|
|||||||||
12. a) |
y |
|
|
arctg x 2 |
|
; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 arctg x |
|
|
г) |
y (cos x)arctg x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
е) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
y (1 sin |
|
|
|
|
)ln3 x; |
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г) |
y (tg x) |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y t2 |
|
ln(1 t); |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
е) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
б) |
y (1 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
2x 1 |
; |
|||||||||||||
|
x 1) |
|||||||||||||||||||||||||
г) |
y (arctgx)x 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
y arccos2t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (ln2 8x) 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
б) |
2x x2 |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||
г) y (x2 2x)tg x ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
y t ln(1 t |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
y (cos3 x) |
|
|
|
|
|
x2 |
|
1 |
|
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x2 |
2x)x2 1; |
|||||||
в) |
y tg4(ln x2 |
1);; |
г) |
||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
д) |
|
|
cos(x y) ; |
|
|
|
е) y cos |
2 |
2t; . |
||||||||||||||||||
y x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
arctg(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
y (tg4x)3 |
|
|
; |
|
|||||||||
13. a) |
y |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
б) |
1 e2x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x)cosx ; |
||||||||||||||
в) |
y |
ln(sin (1 2x 1)) |
; |
|
г) |
y (x2 |
|||||||||||||||||||||
|
sin y |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
д) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
е) |
y t sin |
|
t; . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t cos |
|
|||||||
|
|
|
|
|
tg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
14. а) |
y |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
б) |
y (ln |
|
x 1) e sinx ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
y (x2 |
1)(x3 1) ; |
||||||||||||||||||||||
в) |
y log3(1 cos3 |
|
x x2 |
) ; |
г) |
д) |
ytgx xsin y; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. a) |
y |
tg2x |
; |
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3x x3 |
|
|
|||
в) |
y ctg2(e3x2 4x); |
|||||||
д) (x y)sin x cos y ; |
||||||||
16. a) |
y |
sin x cos |
2 x |
; |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3x x3 |
|
|
|
ln(t 1) |
|
|||
y |
|
|
|
; |
||
t 1 |
||||||
е) |
|
. |
||||
|
x |
1 |
|
|
||
t 1 |
|
|||||
|
|
|
|
б) y (ln |
3 |
x) |
|
x |
2 |
1 |
; |
|
|
5 |
|
|
|
||||
|
|
x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
г) y (x2 5x 3)x2 2 ;
|
y tg |
3 |
t; |
. |
е) |
|
|||
|
|
|
2 |
t |
x 2sin |
|
б) y tg(ex) 1 ctg(ex)
21
в) y esin2tgx ;
д) 2x y ln(2x y) ;
17. а) y cos2 3x 1; 1 9x2
в) y (lnx3 3x )2 ;
д) |
x cos(x y) y; |
||||||||||||
18. a) |
y |
sin2 2x 1 |
|
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 cos(x2) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y log32(1 |
|
|
|
|
||||||||
в) |
|
x2 23x |
); |
||||||||||
д) |
x y ctg (xy); |
||||||||||||
19. а) |
y |
sin2 3x 1 |
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 tg |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
в) y ctg3(1 x2 1);
д) y sin(x y); x
г) y (tgx)x2 1;
|
|
2 |
2t; . |
е) y t sin |
|
||
|
x cos2t |
||
|
б) y (ctg2x) 31 2x 1 ;
г) y (x2 4x)ln x ;
|
|
e2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
е) |
|
t 1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
e2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
y (1 tg3 x) |
|
|
; |
|
||||||||||||
|
arccos x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г) |
y ( |
|
|
|
x2 1)ln(x 1); |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t; . |
||||||||
е) y 3sin |
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||
|
x 2cos |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y (ln2 2x) 4 |
|
|
||||||||||||||
б) |
|
x2 3x 2 |
; |
||||||||||||||
г) |
y (x2 |
2x 3)tgx ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
e |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
е) |
|
|
t 1 . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
et |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. а) |
y 3 |
|
tg2x 1 |
|
; |
б) |
y (ex2 |
|
1) |
|
sin2 x 2x |
; |
|||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
cos2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y arctg4(cos2x sin2x); |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
в) |
г) |
y (ln(x 1)) |
x 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
д) |
xsin y ytgx 0; |
е) |
|
1 t2 |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1
Задача №1
Решить систему линейных уравнений
x 4y 2z 3;
3x y z 5;
3x 5y 6z 9.
1)методом Крамера;
2)используя обратную матрицу;
3)методом Гаусса.
Решение. 1) Решим систему уравнений методом Крамера.
Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
a1x b1y c1z d1;
a2x b2y c2z d2;a3x b3y c3z d3
находится по формулам Крамера x |
x |
; |
y |
y |
; |
z |
z |
, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
23
|
a1 |
b1 |
c1 |
|
|
|
(предполагается, что |
≠ 0), |
|||||||||||||||||||||
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
a3 |
b3 |
c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
d1 |
b1 c1 |
|
|
, y |
|
a1 |
|
d1 c1 |
|
, z |
|
a1 b1 d1 |
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
d2 |
b2 |
c2 |
|
|
|
a2 |
|
d2 c2 |
|
|
a2 b2 d2 |
|
||||||||||||||||
|
|
d3 |
b3 c3 |
|
|
|
|
a3 |
|
d3 c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 b3 d3 |
|
|
||||||||
|
|
Вычисляем главный определитель системы и |
|||||||||||||||||||||||||||
вспомогательные определители x, |
|
y , |
z : |
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
4 |
2 |
|
49, x |
|
3 |
4 |
2 |
|
49 , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
|
1 |
|
|
5 |
|
1 |
|
1 |
|
|||||||||||||||||
|
3 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
5 |
6 |
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
0 , z |
|
1 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y |
|
3 |
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
5 |
|
|
98. |
||||||||||
|
|
3 |
9 |
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формулам Крамера получаем решение системы уравнений
x |
x |
1; |
y |
y |
0; |
z |
z |
2. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2) Решим теперь систему матричным методом. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде
AX B,
где
1 |
4 |
2 |
x |
3 |
|
||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
A 3 |
, |
X y , |
B 5 |
. |
|||||
|
3 |
5 |
6 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
z |
|
|
Решение матричного уравнения имеет вид
X A 1 B,
где A 1 – матрица, обратная к матрице А. Заметим, что поскольку определитель матрицы А не равен нулю ( 49, см. п. 1), то матрица системы невырожденная и, следовательно, имеет обратную.
24
Обратная матрица находится по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1 |
1 |
|
|
|
11 |
21 |
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
A |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
22 |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
23 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
– определитель |
|
матрицы А, Aij |
|
|
|
|
– |
алгебраическое |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дополнение элемента aij |
определителя матрицы А. Вычислим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
алгебраические дополнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
A11 |
1 1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
A21 ( 1) |
2 1 |
|
|
|
|
4 2 |
|
14; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( 1) |
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
A31 |
( 1) |
3 1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
2; |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
21; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
A12 ( 1) |
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A ( 1)2 2 |
|
1 |
2 |
|
|
0; |
|
|
|
|
A ( 1)3 2 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
7; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A13 |
1 3 |
|
3 1 |
|
|
|
18; |
|
|
|
|
A23 ( 1) |
2 3 |
|
|
|
|
1 4 |
|
|
7; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( 1) |
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
A |
( 1)3 3 |
|
1 |
4 |
|
|
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
14 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1 |
|
|
|
|
21 |
0 |
|
7 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
18 |
7 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
14 |
2 3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
X A 1B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
21 |
0 |
7 5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
18 |
7 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
25
1 |
|
3 70 18 |
|
1 |
49 |
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
63 0 63 |
|
0 |
0 . |
||||||
|
49 |
||||||||||
49 |
|
54 35 117 |
|
|
98 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, x 1, y 0, z 2.
3) Решим систему линейных уравнений методом Гаусса.
x 4y 2z 3;
3x y z 5;
3x 5y 6z 9.
Метод Гаусса основан на приведении системы уравнений к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы.
Расширенная матрица системы уравнений имеет вид
1 |
4 |
2 |
3 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
3 |
5 |
||||
|
3 |
5 |
6 |
9 |
|
|
|
Последовательно умножим первую строку на (-3) и сложим со второй и третьей строками. Получаем:
1 |
4 |
2 |
3 |
||
|
|
13 |
7 |
14 |
|
0 |
. |
||||
|
0 |
7 |
0 |
0 |
|
|
|
Умножим вторую строку на 7 и прибавим к третьей
13
строке. Получим матрицу вида
|
1 |
4 |
2 |
|
3 |
|
||
|
|
|
||||||
|
0 |
13 |
7 |
|
14 |
. |
||
|
|
|
49 |
|
98 |
|
||
0 |
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|||||||
|
|
|
13 |
|
13 |
|
Сложим третью строку матрицы с четвертой. В результате получим матрицу треугольного вида.
Полученной матрице соответствует система уравнений
вида
26
x 4y 2z 3,
|
13y 7z 14, |
||||
|
49 |
98 |
|
||
|
|
|
z |
|
. |
|
|
||||
|
13 |
13 |
|
Предыдущие операции составляли прямой ход метода Гаусса. В результате обратного хода получаем из последнего уравнения z 2. Из второго уравнения находим y :
y |
1 |
(14 7z) |
1 |
|
(14 7 2) 0. |
|
|
||||
13 |
13 |
|
|
||
Подставляя найденные значения y и z в первое |
|||||
уравнение, получим x 3 4y 2z 3 4 0 2 2 1 |
|||||
Решение системы: |
x 1, y 0, z 2. |
Задача №2
Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4: A1(2, 1,1),
A2(5,5,4) , A3(3,2, 1) , A4(4,1,3). Найти:
1) |
длину ребра |
|
A1A2; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) |
угол между ребрами A1A2 |
и |
A1A4 ; |
|
|
|
||||||||||
3) |
уравнение плоскости |
|
A1A2A3 и угол между ребром |
|||||||||||||
A1A4 и плоскостью |
A1A2A3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4) |
уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань |
|||||||||||||||
A1A2A3 |
и ее длину; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5) |
площадь грани |
A1A2A3 |
и объем пирамиды. |
|||||||||||||
Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. 1) Длина ребра |
|
A1A2 |
совпадает с расстоянием |
|||||||||||||
между точками A1 и A2: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
A A |
|
(x |
2 |
x )2 (y |
2 |
y )2 (z |
2 |
z )2 |
||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
(5 2)2 (5 ( 1))2 (4 1)2 9 36 9 54 .
27
2) Найдем координаты векторов, которые совпадают с выходящими из вершины A1 ребрами пирамиды:
|
|
|
A1A2 (3,6,3); |
A1A3 (1,3, 2); |
A1A4 (2, 2, 2). |
Угол между ребрами A1A2 и A1A4 совпадает с углом
|
|
|
|
|
||
между векторами |
A1A2 |
и |
A1A4 . Определим этот угол, |
|||
используя формулу скалярного произведения векторов: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
A1A2 A1A4 |
A1A2 |
|
|
A1A4 |
cos . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда
cos |
A1A2 |
A1A4 |
|
|
|
|
3 2 6 2 3 2 |
|
|
|
24 |
|
|
2 2 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 36 9 4 4 4 |
|
|
|
54 12 |
3 |
|
||||||
|
A1A2 |
A1A4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда arccos |
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид
x x1 |
y y1 |
z z1 |
0. |
x2 x1 |
y2 y1 |
z2 z1 |
|
x3 x1 |
y3 y1 |
z3 z1 |
|
Подставляя в уравнение координаты точек A1, A2 и A3 получим
|
x 2 |
|
y 1 |
|
z 1 |
|
|
|
|
|
x 2 |
y 1 |
z 1 |
|
|||||
|
3 |
|
|
6 |
3 |
0, или |
3 |
6 |
3 |
|
|||||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|||||
(x 2) |
|
6 |
3 |
|
(y 1) |
|
3 |
3 |
|
(z 1) |
|
3 |
6 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21(x 2) 9(y 1) 3(z 1) 21x 9y 3z 48 0.
28